Μάθηµα 12 Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες: 1. Γραφικές Παραστάσεις Κατανοµής Συχνοτήτων Γραφικές παραστάσεις κατανοµής συχνοτήτων. Οι πίνακες κατανοµής συχνοτήτων παρουσιάζουν πλήρως και αναλυτικά τα στατιστικά δεδοµένα, αλλά η χρήση τους έχει δύο µειονεκτήµατα: Είναι δύσκολοι στην ανάγνωση και ερµηνεία του περιεχοµένου τους και (εξ αιτίας αυτής της δυσκολίας) δεν προσφέρονται για άµεσες συσχετίσεις και συγκρίσεις µεταξύ των τιµών που παρουσιάζουν. Αυτά τα δύο µειονεκτήµατα αναιρούνται µε την (παράλληλη µε τους πίνακες) χρήση των γραφικών παραστάσεων κατανοµής συχνοτήτων. Οι γραφικές παραστάσεις µας δίνουν ακριβώς τις ίδιες πληροφορίες που µας δίνουν και οι στατιστικοί πίνακες (από αυτούς άλλωστε προκύπτουν τα δεδοµένα µε τα οποία γίνεται ο σχεδιασµός τους), αλλά, σε σχέση µε αυτούς, έχουν δύο πλεονεκτήµατα: Είναι πιο «ελκυστικές» και διευκολύνουν τη σύγκριση µεταξύ των στατιστικών δεδοµένων. Εφόσον λοιπόν η γραφική παράσταση είναι σχεδιασµένη σωστά, µας δίνει τις ίδιες ακριβώς πληροφορίες που µας δίνει και ο στατιστικός πίνακας, µόνο που, µέσω της γραφικής παράστασης, αυτές οι πληροφορίες δίνονται µε τρόπο πιο άµεσο και εποπτικό. Για να τηρούνται οι βασικοί κανόνες και η δεοντολογία της παρουσίασης στατιστικών δεδοµένων (και τα δύο πολύ συχνά παραβιάζονται βάναυσα από εφηµερίδες και περιοδικά παντός τύπου), οι γραφικές µας παραστάσεις πρέπει, όπως και οι πίνακες, να συνοδεύονται από: 1. Τίτλο. 2. Κλίµακα τιµών των µεγεθών που παρουσιάζονται. 3. Υπόµνηµα, επεξηγηµατικό των τιµών της µεταβλητής. 4. Πηγή των δεδοµένων. Ανάλογα µε το είδος της µεταβλητής (ποιοτική ή ποσοτική) και την κατανοµή συχνοτήτων που θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά (απόλυτες, σχετικές ή αθροιστικές), έχουµε διάφορες µορφές γραφικών παραστάσεων κατανοµής συχνοτήτων. Ας τις δούµε αναλυτικά Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 117
Ραβδόγραµµα Χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής. Χωρίζουµε τον οριζόντιο άξονα σε ισοµήκη διαστήµατα, ανάµεσα στα οποία (συνήθως) αφήνουµε κενά. Το µήκος κάθε διαστήµατος, όσο και το µήκος του κενού που αφήνουµε ανάµεσά τους, το καθορίζουµε αυθαίρετα (όσο θέλουµε). Στον οριζόντιο άξονα, στα διαστήµατα που έχουµε σχηµατίσει, γράφουµε τις τιµές της µεταβλητής. Στον κατακόρυφο άξονα βάζουµε, είτε τις απόλυτες συχνότητες (ραβδόγραµµα συχνοτήτων) είτε τις σχετικές συχνότητες (ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων). Σχηµατίζουµε ορθογώνια παραλληλόγραµµα, τα οποία έχουν ίσες βάσεις και διαφορετικά ύψη. 35 3 25 2 15 5 ΤΙΜΕΣ ΤΗΣ (ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 118
ιάγραµµα Χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποσοτικής µεταβλητής. Στον οριζόντιο άξονα βάζουµε τις τιµές της µεταβλητής. Στον κατακόρυφο άξονα βάζουµε, είτε τις απόλυτες συχνότητες (διάγραµµα συχνοτήτων) είτε τις σχετικές συχνότητες (διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων). Σε κάθε τιµή της µεταβλητής, υψώνουµε κάθετα προς τον οριζόντιο άξονα (και παράλληλα στον κατακόρυφο) µια γραµµή µε µήκος ίσο µε τη συχνότητα (απόλυτη ή σχετική) της αντίστοιχης τιµής. Το άκρο (τέλος) κάθε γραµµής είναι το σηµείο (, ν ) ή ( x, f ) x. Ενώνοντας αυτά τα σηµεία (οι κόκκινες γραµµές στο πιο κάτω σχήµα), σχηµατίζουµε το πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων, το οποίο µας δίνει µια (πολύ γενική) εικόνα για τις συχνότητες (απόλυτες ή σχετικές), καθώς οι τιµές της µεταβλητής µας µεγαλώνουν. (Ας µην ξεχνάµε ότι διαβάζουµε πάντα από αριστερά προς τα δεξιά...) Συχνότητες Τιµές της ποσοτικής µεταβλητής Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 119
Σηµειόγραµµα Όταν έχουµε λίγες παρατηρήσεις, µπορούµε να περιγράψουµε την κατανοµή τους σχεδιάζοντας σηµεία (κουκίδες) πάνω από τις τιµές της µεταβλητής µας, οι οποίες φαίνονται σε έναν οριζόντιο άξονα. Τιµές της ποσοτικής µεταβλητής Κυκλικό διάγραµµα Χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών, τόσο µιας ποιοτικής, όσο και µιας ποσοτικής µεταβλητής. Είναι ένας κύκλος χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς, µε εµβαδά ίσα ή ανάλογα προς τις αντίστοιχες (απόλυτες ή σχετικές) συχνότητες. Για πρακτικούς λόγους, χρησιµοποιείται όταν δεν έχουµε µεγάλο πλήθος διαφορετικών τιµών. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 12
Προσοχή!!! Στη δηµιουργία ενός κυκλικού διαγράµµατος, καθοριστικό ρόλο παίζει ο υπολογισµός της επίκεντρης γωνίας a η οποία, τελικά, καθορίζει το µέγεθος του κοµµατιού της πίτας που θα πάρει κάθε τιµής της µεταβλητής. 36 Για τον υπολογισµό αυτό, έχουµε τον τύπο: a = n = 36 f, = 1, 2,3,..., n όπου n, f η τιµή της αντίστοιχης απόλυτης ή σχετικής συχνότητας και n το µέγεθος του δείγµατος. Υπολογισµός Επίκεντρης Γωνίας Κυκλικού ιαγράµµατος 36 a = v = 36 f, = 1, 2,3,..., όπου v, f η τιµή της αντίστοιχης απόλυτης v ή σχετικής συχνότητας και v το µέγεθος του δείγµατος Χρονόγραµµα Χρησιµοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός µεγέθους. Στον οριζόντιο άξονα µετράµε το χρόνο και στον κατακόρυφο τις τιµές της εξεταζόµενης µεταβλητής. 35 3 25 2 15 5 Ιαν. Φεβ. Μάρ. Απρ. Μάι. Ιούν. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 121
Λυµένες Ασκήσεις. 1. Κατά την τουριστική περίοδο, από το αεροδρόµιο ενός Κυκλαδίτικου νησιού αναχωρούν κάθε εβδοµάδα 4 πτήσεις για το εξωτερικό. Από αυτές, 12 έχουν προορισµό το Λονδίνο, 8 το Παρίσι, το Βερολίνο, 6 τη Βιέννη και 4 τη Ρώµη. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραµµα και το κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων. Λύση. Κατ` αρχάς, από τα δεδοµένα της εκφώνησης δηµιουργούµε ένα πίνακα συχνοτήτων. Τιµή Μεταβλητής (Προορισµός Πτήσης) Απόλυτη Συχνότητα v Σχετική Συχνότητα f % Λονδίνο 12 3 Παρίσι 8 2 Βερολίνο 25 Βιέννη 6 15 Ρώµη 4 Σύνολο 4 Τώρα είµαστε έτοιµοι να κατασκευάσουµε τις γραφικές παραστάσεις που ζητάει η εκφώνηση. Ραβδόγραµµα Συχνοτήτων. Απόλυτη Συχνότητα 14 12 8 6 4 2 Λονδίνο Παρίσι Βερολίνο Βιέννη Ρώµη Προορισµός Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 122
Για το κυκλικό διάγραµµα των σχετικών συχνοτήτων, πρέπει πρώτα, από τον τύπο a = 36 f, να υπολογίσουµε την επίκεντρη γωνία του κυκλικού τοµέα κάθε προορισµού. Λονδίνο: a 1= 36, 3= 8. Παρίσι: a 2 = 36, 2= 72. Βερολίνο: a 3 = 36, 25= 9. Βιέννη: a 4 = 36,15= 54. Ρώµη: a 5 = 36,1= 36. Άρα έχουµε το ακόλουθο κυκλικό διάγραµµα: 36 54 8 Λονδίνο Παρίσι Βερολίνο Βιέννη Ρώµη 9 72 Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 123
2. Κάποια αντικείµενα ταξινοµούνται ανάλογα µε το βάρος τους. Μετά το ζύγισµα, προκύπτει ότι τα βάρη 5 τέτοιων αντικειµένων είναι:,13,14,16,18,13,18,17,,11,14,16,13,11,16,19,14,18,11,12,16, 14,,13,14,,18,16,12,18,13,15,16,12,16,14,,11,19,15,18,14, 16,14,13,19,17,18,19,16 κιλά. Να παραστήσετε τα δεδοµένα σε πίνακα συχνοτήτων. Να κατασκευάσετε τα διαγράµµατα σχετικών και αθροιστικών συχνοτήτων. Αν τα αντικείµενα που έχουν βάρος µεγαλύτερο των 16 κιλών τοποθετούνται σε ειδικό χώρο, πόσα αντικείµενα πρέπει να τοποθετηθούν σε αυτόν το χώρο; Λύση. Από τα δεδοµένα της εκφώνησης, έχουµε τον επόµενο πίνακα συχνοτήτων. x (κιλά) v f N F f % F % 5,1 5,1 11 4.8 9,18 8 18 12 3,6 12,24 6 24 13 6,12 18,36 12 36 14 8,16 26,52 16 52 15 2,4 28,56 4 56 16 9,18 37,74 18 74 17 2,4 39,78 4 78 18 7,14 46,92 14 92 19 4,8 5 1 8 Σύνολο 5 1 ιάγραµµα σχετικών συχνοτήτων f % Σχετική Συχνότητα % 2 15 5 8 6 12 16 4 18 4 14 8 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Βάρος (σε κιλά) Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 124
ιάγραµµα Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων F %. Αθροιστική Σχετική Συχνότητα % 12 8 6 4 2 18 24 36 52 56 74 78 92 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Βάρος (σε κιλά) Βάρος µεγαλύτερο των 16 κιλών (δηλαδή από 17 κιλά και πάνω), έχουν 13 αντικείµενα. Άρα, 13 αντικείµενα πρέπει να µεταφερθούν στον ειδικό χώρο φύλαξης. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 125
3. Ο Λαλάκης έχει επενδύσει τις οικονοµίες του σε 3 µετοχές στο χρηµατιστήριο και παρακολουθεί µε µεγάλη προσοχή (ενίοτε και αγωνία) την πορεία τους. Ο πίνακας που φαίνεται πιο κάτω, παρουσιάζει την εξέλιξη των τιµών (σε ευρώ) αυτών των 3 µετοχών, την εβδοµάδα που µας πέρασε. Μετοχή ευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέµπτη Παρασκευή α 9 112 115 113 113 β 217 241 234 235 242 γ 448 437 439 438 442 Ο Λαλάκης θέλει να έχει άµεση και εποπτική εικόνα της πορείας που ακολουθούν οι τιµές των µετοχών του, αλλά δεν ξέρει τι πρέπει να κάνει. Μπορείτε να τον βοηθήσετε; Λύση. Κατ` αρχήν, ο (κάθε) Λαλάκης πρέπει να προσέχει πάρα πολύ, πού βάζει τα λεφτά του Εν πάση περιπτώσει, αν επιθυµεί να συνεχίσει να επενδύει τις οικονοµίες του στο χρηµατιστήριο και θέλει να έχει µια εικόνα της κατάστασης, του χρειάζεται επειγόντως ένα χρονόγραµµα. Επειδή είµαστε καλά παιδιά και συµπονετικά, ας τον βοηθήσουµε Τιµή Μετοχής (Σε Ευρώ) 5 45 4 35 3 25 2 15 5 ευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέµπτη Παρασκευή Μετοχή α Μετοχή β Μετοχή γ Ηµέρα Εβδοµάδας Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 126
Άλυτες Ασκήσεις. 1. Καταγράψαµε τα µήκη κάποιων ευθυγράµµων τµηµάτων και τα αποτελέσµατα είναι τα ακόλουθα: 4,5,2,7,8,4,6,5,7,9,5,7,6,3,2,6,1,3,7,9,5,6,7,4,3,7,9,5,6,7,2,3,7,8,3,4,5,8,9,9. Να κάνετε πλήρη πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα απόλυτων, σχετικών και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. 2. Καταγράψαµε το χρώµα (άσπρο α, µαύρο µ, κόκκινο κ, πράσινο π ή γκρενά γ), που επέλεξαν να έχει το µπλουζάκι που αγόρασαν, οι πελάτες των 3 τελευταίων ηµερών ενός καταστήµατος: α,κ,µ,κ,µ,µ,γ,π,µ,π,γ,α,γ,γ,α,γ,µ,κ,κ,µ,κ,γ,α,π,µ,µ,µ,µ,κ,µ,κ,γ,π,κ,α,κ,µ,α,γ,κ,α,κ,µ,µ,κ,γ,γ,π,α,µ. Αφού καταγράψετε τα δεδοµένα αυτά σε ένα πίνακα συχνοτήτων, να κατασκευάσετε το ραβδόγραµµα και το κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων. 3. Σε ένα κυκλικό διάγραµµα, καταγράφεται η προτίµηση 4 ατόµων στα αθλήµατα: Ποδόσφαιρο, µπάσκετ, βόλεϊ και πόλο. Το 4% των ατόµων προτιµά το ποδόσφαιρο. Η γωνία του κυκλικού τοµέα του µπάσκετ είναι 8 µοίρες. Οι µαθητές που προτιµούν το πόλο είναι οι µισοί από αυτούς που προτιµούν το βόλεϊ. Μετατρέψτε το κυκλικό διάγραµµα σε ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων. 4. Στον επόµενο πίνακα φαίνονται οι γεννήσεις από το 1998 µέχρι το 25. Έτος Αγόρια Κορίτσια 1998 8 92 1999 77 3 2 94 74 21 85 97 22 112 123 23 13 5 24 2 119 25 117 123 Να κατασκευάσετε (στο ίδιο σύστηµα αξόνων) τα αντίστοιχα χρονογράµµατα. 5. Στη βιβλιοθήκη του Ε.Μ.Π., µπήκαν την προηγούµενη εβδοµάδα 6 φοιτητές, οι οποίοι ξόδεψαν εκεί (για µελέτη) 8,12,14,12,12,8,6,,8,6,8,14,12,14,8,12,14,12,6,8,14,8,6,8,14,,12, 14,12,6,8,6,8,12,6,8,,12,,6,,12,,12,8,6,16,16,8,14,12,14,12, 14,8,14,8,16,12,14 ώρες αντίστοιχα. a) Να παρουσιάσετε τα δεδοµένα σε έναν πλήρη πίνακα συχνοτήτων. b) Να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα σχετικών και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. c) Πόσοι φοιτητές πέρασαν στη βιβλιοθήκη περισσότερες από ώρες; Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 127
6. Μια βιοµηχανία παράγει 3 προϊόντα Α, Β, Γ. Η παραγωγή της την προηγούµενη εβδοµάδα φαίνεται στον επόµενο πίνακα: Προϊόν ευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέµπτη Παρασκευή Α 13 125 115 12 Β 135 15 12 8 Γ 2 18 152 157 165 Να κατασκευάσετε, στους ίδιους άξονες, τα χρονογράµµατα παραγωγής των 3 προϊόντων. 7. Στο επόµενο χρονόγραµµα φαίνεται το ποσοστό των τουριστών που επισκέφθηκαν έναν τόπο, από το 198 µέχρι το 199. Ποσοστό % 8 7 6 5 4 3 2 58 59 55 55 54 58 59 6 65 68 69 42 41 45 45 46 42 41 4 35 32 31 198 1981 1982 1983 1984 1985 Έτος 1986 1987 1988 1989 199 Ξένοι Έλληνες a) Ποια γενικά συµπεράσµατα προκύπτουν από το χρονόγραµµα; b) Το 1988 το σύνολο των επισκεπτών ήταν 15. Πόσοι ήταν οι Έλληνες και πόσοι οι ξένοι; c) Το 1982, επισκέφθηκαν τον τόπο αυτόν 5.625 Έλληνες. Πόσοι ήταν οι ξένοι την ίδια χρονιά; 8. Μια οµάδα µπάσκετ πέτυχε σε έναν αγώνα για το πρωτάθληµα 12 βολές, 2 δίποντα και 8 τρίποντα. Να σχεδιάσετε κυκλικό διάγραµµα και ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων για τους πόντους που προήλθαν από βολές, δίποντα, τρίποντα. Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, Στατιστική 128