τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικών Σπουδών

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Φυσική Β Λυκείου Σταύρος Π. Καρατζίκος ISBN: 978-618-5325-15-2 Επιστημονική επιμέλεια: Αθηνά Σιαπέρα Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση: Μαλβίνα Κότο Σχεδιασμός εξωφύλλου: Αλέξανδρος Γιαννακούλιας Υπεύθυνη έκδοσης: Μαλβίνα Κότο Εικόνες: Shutterstock, pixaba Copriht 2018 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Σταύρος Π. Καρατζίκος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο Κυκλοφορία έκδοσης: Σεπτέμβριος 2018 Επικοινωνία με συγγραφέα: karatzik@icloud.com Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Αριθμός έκδοσης: 1η Αριθμός αντιτύπων: 1300 Λ. Βουλιαγμένης 46 & Αλεξιουπόλεως, ΤΚ 164 52 Αργυρούπολη Τ. 210 4112507 www.ekdoseispoukamisas.r info@ekdoseispoukamisas.r

Εισαγωγή Προαπαιτούμενες γνώσεις Οδηγός επίλυσης προβλημάτων... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Καμπυλόγραμμες κινήσεις: Οριζόντια βολή, κυκλική κίνηση Ενότητα 1 Οριζόντια βολή... 25 Ενότητα 2 Ομαλή κυκλική κίνηση Κεντρομόλος δύναμη... 51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Διατήρηση της ορμής Ενότητα 3 Ορμή Η δύναμη και η μεταβολή της ορμής-η αρχή διατήρησης της ορμής... 113 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κινητική θεωρία αερίων Eνότητα 4 Νόμοι αερίων Καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων Κινητική θεωρία των αερίων... 191 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Θερμοδυναμική Ενότητα 5 Θερμοδυναμικό σύστημα Αντιστρεπτές μεταβολές-έργο-θερμότητα- Εσωτερική ενέργεια 1ος θερμοδυναμικός νόμος... 295 Ενότητα 6 Θερμικές μηχανές 2ος θερμοδυναμικός νόμος Η μηχανή του Carnot... 371 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ηλεκτρικό πεδίο Eνότητα 7 Δυναμική ενέργεια πολλών σημειακών φορτίων... 423 Ενότητα 8 Σχέση έντασης και διαφοράς δυναμικού στο ομογενές ηλεκτροστατικό πεδίο Κινήσεις φορτισμένων σωματιδίων σε ομογενές ηλεκτροστατικό πεδίο... 465 Ενότητα 9 Πυκνωτής και χωρητικότητα... 523 Ενότητα 10 Το βαρυτικό πεδίο Το βαρυτικό πεδίο της Γης Ταχύτητα διαφυγής Μαύρες τρύπες... 551 Επανάληψη Οδηγός επανάληψης 99+1... θέματα για εξάσκηση... 613

Παράρτημα Κεντρική ελαστική κρούση... 645 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΒΙΒΛΙΟΥ & ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟΥ... 671 Bιβλιογραφία... 871

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Πότε δύο διανύσματα είναι ίσα και πότε αντίθετα; Δύο διανύσματα είναι ίσα, όταν έχουν το ίδιο μέτρο και την ίδια κατεύθυνση. Ισχύει: F 1 = F 2 διανυσματική ισότητα F 1 = F 2 ισότητα μέτρων Δύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυνση. Ισχύει: F 1 = F 2 διανυσματική ισότητα F 1 = F 2 ισότητα μέτρων 2. Πώς υπολογίζεται το εμβαδόν των πιο γνωστών γεωμετρικών σχημάτων; (α) ΤΡΙΓΩΝΟ Eμβαδόν = β υ 2 (β) ΤΕΤΡΑΓΩNO Eμβαδόν = α 2 β: βάση, υ: ύψος α: πλευρά (γ) ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Eμβαδόν = α β α, β: κάθετες πλευρές (δ) ΤΡΑΠΕΖΙΟ (β + Β) υ Eμβαδόν = 2 β: μικρή βάση, Β: μεγάλη βάση, υ: ύψος (ε) ΚΥΚΛΟΣ Εμβαδόν = π R 2 R: ακτίνα 3. Πώς ορίζεται η μεταβολή ενός φυσικού μεγέθους Φ και πώς ο ρυθμός μεταβολής του; Πώς ορίζεται το ποσοστό επί τοις εκατό (%) της μεταβολής ενός μεγέθους Φ και πώς της μείωσής του; R Κάθε διανυσματικό μέγεθος παριστάνεται με ένα βέλος (διάνυσμα). Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το βέλος καθορίζει τη διεύθυνση, η αιχμή του βέλους τη φορά και το μήκος είναι ανάλογο με το μέτρο του. Το κάθε διάνυσμα συμβολίζεται με ένα γράμμα και ένα βελάκι από πάνω του. Για παράδειγμα, το διάνυσμα της ταχύτητας σε ένα σχήμα Φυσικής θα έχει την παρακάτω μορφή: Μέτρο (ή τιμή) ενός διανυσματικού μεγέθους είναι ένας θετικός αριθμός, ο οποίος δείχνει πόσο μεγάλο είναι το μέγεθος αυτό. Το μέτρο συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα που χρησιμοποιούμε και για το διάνυσμα αλλά χωρίς βελάκι. Υποπολλαπλάσια deci (d) 10 1 centi (c) 10 2 milli (m) 10 3 micro (μ) 10 6 nano (n) 10 9 pico (p) 10 12 femto (f) 10 15 atto (a) 10 18 11

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πολλαπλάσια deca (da) 10 1 hecto (h) 10 2 kilo (k) 10 3 mea (M) 10 6 ia (G) 10 9 tera (T) 10 12 peta (P) 10 15 exa (E) 10 18 Γραφική παράσταση = α (α = σταθερά) 0 12 α > 0 x α < 0 Γραφικές παραστάσεις = αx (ευθεία) (α > 0, χ 0) 0 x = αx + β (ευθεία) (α > 0, β > 0, χ 0) β 0 x Η μεταβολή ΔΦ ενός τυχαίου μεγέθους Φ ορίζεται ως: ΔΦ = Φ τελ Φ αρχ Με Φ αρχ συμβολίζουμε την αρχική τιμή του μεγέθους και με Φ τελ την τελική. Ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους Φ είναι το πηλίκο της μεταβολής ΔΦ προς την αντίστοιχη χρονική διάρκεια Δt. Ρυθμός μεταβολής = ΔΦ Δt Αν το φυσικό μέγεθος αυξάνεται, τότε ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός, ενώ, αν μειώνεται, τότε είναι αρνητικός. Το ποσοστό επί τοις εκατό (%) της μεταβολής ενός μεγέθους Φ ορίζεται ως: Π 1 (%) = Φ ΔΦ 100% αρχ Το ποσοστό επί τοις εκατό (%) της μείωσης ενός μεγέθους Φ ορίζεται ως: Π 2 (%) = Φ Φ αρχ τελ 100% Φ αρχ 4. Πώς ορίζονται οι βασικοί τριγωνομετρικοί αριθμοί ημθ, συνθ, εφθ και σφθ μιας γωνίας θ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο; Παρακάτω ορίζεται το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας θ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ως συνάρτηση των πλευρών του. απέναντι κάθετη πλευρά ημθ = ή ημθ = υποτείνουσα ΑΒ ΒΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά συνθ = ή συνθ = υποτείνουσα ΑΓ ΒΓ απέναντι κάθετη πλευρά εφθ = ή εφθ = ΑΒ προσκείμενη κάθετη πλευρά ΑΓ προσκείμενη κάθετη πλευρά σφθ = ή σφθ = ΑΓ απέναντι κάθετη πλευρά ΑΒ 5. Ποιοι είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών; Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών δίνονται στον παρακάτω πίνακα: θ 0 30 45 60 90 180 ημθ 0 1 2 3 1 0 2 2 2 συνθ εφθ σφθ 1 3 2 1 2 2 2 0 3 3 3 1 3 3 0 1 1 3 0 0

6. Πώς ορίζουμε τον λογάριθμο ενός αριθμού b με βάση το α; Ποιος λογάριθμος ονομάζεται φυσικός ή νεπέριος; Oρίζουμε ως λογάριθμο ενός αριθμού b, με βάση το α, έναν αριθμό x για τον οποίο ισχύει η σχέση: o α b = x ή α x = b O λογάριθμος που έχει βάση το 10 ονομάζεται δεκαδικός λογάριθμος και συμβολίζεται με o. O λογάριθμος με βάση το e = 2,7182 ονομάζεται φυσικός ή νεπέριος λογάριθμος και συμβολίζεται με n. Ισχύει: nb = x ή e x = b ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 7. Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη και ομαλή; Ποια είναι η εξίσωση κίνησης στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση; Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ονομάζουμε την κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα υ ενός σώματος παραμένει σταθερή. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, το κάθε σώμα διανύει σε ίσους χρόνους ίσες μετατοπίσεις. Η εξίσωση κίνησης για ένα σώμα που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, αν αρχίζουμε να μελετάμε την κίνηση τη χρονική στιγμή t 0 = 0, είναι η: x = x 0 + υ t. Αν το σώμα τη χρονική στιγμή t 0 = 0 βρίσκεται στη θέση x 0 = 0, η εξίσωση κίνησης έχει τη μορφή: x = υ t. 8. Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη; Ποια είναι η χρονική εξίσωση της ταχύτητας και ποια η εξίσωση κίνησης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση; Αν ένα σώμα κινείται σε ευθεία γραμμή και η ταχύτητά του αλλάζει με σταθερό ρυθμό, τότε η κίνησή του ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη. Αν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, τότε η κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη, ενώ, αν μειώνεται, τότε ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. Η χρονική εξίσωση της ταχύτητας σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση είναι η εξής: υ = υ 0 ± α t Το πρόσημο (+) αντιστοιχεί σε επιταχυνόμενη κίνηση και το ( ) σε επιβραδυνόμενη. Η εξίσωση κίνησης σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση είναι η εξής: x = υ 0 t ± 1 2 α t 2 Γραφικές παραστάσεις = αx + β (ευθεία) (α < 0, β > 0, χ 0) β 0 x = α x 2 (παραβολή) (α > 0, χ 0) 0 x Ιδιότητες νεπέριων λογαρίθμων 1. n1 = 0 2. ne = 1 3. n(x ) = nx + n 4. n x = nx n 5. n x = n x 6. nxα = α nx Στις παραπάνω σχέσεις οι x, είναι πραγματικοί θετικοί αριθμοί και ο α είναι ένας πραγματικός αριθμός. 13

ΘΕΩΡΙΑ 1. Ποια κίνηση ονομάζουμε οριζόντια βολή; Οριζόντια βολή είναι η κίνηση που εκτελεί ένα σώμα όταν εκτοξευθεί με οριζόντια ταχύτητα υ 0 από ένα ύψος h και η μόνη δύναμη που ασκείται σε αυτό είναι το βάρος του. Η οριζόντια βολή είναι μια σύνθετη κίνηση και αποτελείται από δύο απλές κινήσεις, μια οριζόντια (άξονας Οx) που είναι ευθύγραμμη ομαλή και μια κατακόρυφη (άξονας Ο) που είναι ελεύθερη πτώση. 2. Πώς διατυπώνεται η αρχή της ανεξαρτησίας (αρχή της επαλληλίας) των κινήσεων; Για να περιγράψουμε μια σύνθετη κίνηση, κάνουμε χρήση της αρχής της ανεξαρτησίας των κινήσεων, που διατυπώνεται ως εξής: «Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, καθεμία από αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις άλλες. Η θέση που βρίσκεται το κινητό μετά από χρόνο t, είναι η ίδια, είτε οι κινήσεις εκτελούνται ταυτόχρονα είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο t καθεμία». 3. Πώς υπολογίζουμε την ταχύτητα και τη μετατόπιση ενός κινητού που εκτελεί μια σύνθετη κίνηση; Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα και τη μετατόπιση ενός κινητού το οποίο εκτελεί ταυτόχρονα δύο κινήσεις (σύνθετη κίνηση), μετά από χρόνο t, γράφουμε το διανυσματικό άθροισμα των ταχυτήτων ή των μετατοπίσεων αντίστοιχα, που θα είχε το κινητό, αν εκτελούσε κάθε κίνηση ανεξάρτητα και σε χρόνο t την καθεμία. Προκύπτει: υ = υ 1 + υ 2 και x = x 1 + x 2 (1.1) 4. Ποιες είναι οι εξισώσεις κίνησης στην οριζόντια βολή; Θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός σώματος το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 0 από ύψος h. Ορίζoυμε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων Ox και O, έτσι ώστε η αρχή Ο(x 0 = 0, 0 = 0) να ταυτίζεται με το σημείο εκτόξευσης. h O υ 0 υ υ x Το σώμα εκτελεί μια σύνθετη κίνηση που αποτελείται από δύο επιμέρους κινήσεις: x Eυθύγραμμη ομαλή κίνηση Είναι η κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα υ του σώματος παραμένει σταθερή. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, το κάθε σώμα διανύει σε ίσους χρόνους ίσες μετατοπίσεις. Στην περίπτωση που το σώμα κινείται ευθύγραμμα χωρίς να μεταβάλλεται η κατεύθυνση της κίνησής του μπορούμε να κάνουμε χρήση της σχέσης: s = υ Δt όπου s είναι το διανυόμενο διάστημα σε χρονική διάρκεια Δt και υ είναι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος. Ελεύθερη πτώση Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση όταν το αφήνουμε να πέσει από ένα ύψος και η μόνη δύναμη που ασκείται σε αυτό είναι η ελκτική βαρυτική δύναμη από τη Γη (βάρος σώματος). Η ελεύθερη πτώση εκτελείται στο κενό και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Η εξίσωση υπολογισμού του μέτρου της ταχύτητας στην ελεύθερη πτώση είναι: υ = t ενώ του διαστήματος είναι: s = 1 2 t2 27

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Οριζόντια Βολή Έστω ότι ένα σώμα εκτοξεύεται από ύψος h με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 0 : (α) ολικός χρόνος κίνησης (t ολ ) tολ = Παρατηρούμε ότι ο ολικός χρόνος κίνησης είναι ανεξάρτητος της μάζας του σώματος και σε έναν συγκεκριμένο τόπο εξαρτάται μόνο από το ύψος h. (β) βεληνεκές (s) s = υ 0 Το βεληνεκές σε έναν συγκεκριμένο τόπο εξαρτάται από από το ύψος h και το μέτρο υ 0 της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης. Eξίσωση τροχιάς [ = f(x)] H εξίσωση τροχιάς είναι μια εξίσωση που συνδέει τις συντεταγμένες θέσης x, του σώματος κάθε χρονική στιγμή. Η εξίσωση αυτή έχει τη μορφή: = 2 υ χ 2 2 0 Η εξίσωση τροχιάς στα μαθηματικά είναι μια εξίσωση παραβολής, επομένως η τροχιά που διαγράφει ένα σώμα που εκτελεί οριζόντια βολή είναι τμήμα παραβολής. 28 Άξονας Οx: Η κίνηση είναι ευθύγραμμη και ομαλή και ισχύουν οι σχέσεις: υ x = υ 0 (1.2), x = υ 0 t (1.3) Άξονας Ο: Η κίνηση είναι ελεύθερη πτώση και ισχύουν οι σχέσεις: υ = t (1.4), = 1 2 t2 (1.5) 5. Πώς υπολογίζεται ο ολικός χρόνος κίνησης στην οριζόντια βολή; Για να υπολογίσουμε τον ολικό χρόνο κίνησης t ολ στην οριζόντια βολή, θέτουμε στην εξίσωση (1.5) όπου = h και προκύπτει: h = 1 2 t2 ολ ή t ολ = (1.6) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ (ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 (Ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο υπολογισμός του ολικού χρόνου κίνησης, του βεληνεκούς και της εξίσωσης τροχιάς) Σε αυτές τις περιπτώσεις γράφουμε αρχικά τις εξισώσεις (1.2-1.5) που περιγράφουν την κίνηση του σώματος στους άξονες Οx και O. Ολικός χρόνος κίνησης Όπως έχει αποδειχθεί ο ολικός χρόνος κίνησης υπολογίζεται από τη σχέση: t ολ = Βεληνεκές Βεληνεκές μιας οριζόντιας βολής ονομάζουμε την οριζόντια απόσταση που διανύει το σώμα μέχρι να φτάσει στο έδαφος. Για να υπολογίσουμε το βεληνεκές (s) του σώματος, αντικαθιστούμε τον ολικό χρόνο κίνησης (1.6) στην εξίσωση (1.3) και προκύπτει: s = υ 0 t ολ ή s = υ 0 (1.7) Εξίσωση τροχιάς Εξίσωση τροχιάς ονομάζουμε την εξίσωση = f(x) που συνδέει τις συντεταγμένες x, της θέσης που βρίσκεται το σώμα κάθε

χρονική στιγμή. Για να γράψουμε την εξίσωση τροχιάς του, λύνουμε τη σχέση (1.3) ως προς t: t = x υ 0 (1.8) Αντικαθιστoύμε τη σχέση (1.8) στη σχέση (1.5) και προκύπτει: = 1 2 ( x υ 0 ) 2 ή = x 2 υ 2 (1.9) 2 0 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Σώμα εκτοξεύεται οριζόντια, τη χρονική στιγμή t 0 = 0, από ύψος h = 20 m από την επιφάνεια του εδάφους με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 10 m/s. Nα υπολογίσετε το βεληνεκές του σώματος και να γράψετε την εξίσωση τροχιάς του. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι = 10 m/s 2 και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. O υ 0 x x h Υπολογίζουμε αρχικά τη χρονική στιγμή που φτάνει το σώμα στο έδαφος: h = 1 2 t2 ολ ή t ολ = s ή t ολ = ( 2 20 10 ) s ή t ολ = 2 s Το βεληνεκές της βολής υπολογίζεται από τη σχέση: s = υ 0 t ολ ή s = (10 2) m ή s = 20 m Η εξίσωση τροχιάς του σώματος (με απόδειξη) είναι: = 2 υ 2 0 x 2 ή = x2 20 (S.I.) για 0 x 20 m Ταχύτητα του σώματος κάθε χρονική στιγμή Έστω ότι ένα σώμα εκτελεί οριζόντια βολή από ύψος h από την επιφάνεια του εδάφους. Θέλουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητά του μια τυχαία χρονική στιγμή (μέτρο και διεύθυνση). Άξονας Οx: υ x = υ 0 Άξονας Ο: υ = t Mέτρο ταχύτητας: 2 2 υ = υ χ + υ Διεύθυνση ταχύτητας: Προσδιορίζεται με τη βοήθεια της σχέσης: εφθ = υ υ χ Αντίστοιχες ασκήσεις με αυτήν τη μεθοδολογία είναι οι λυμένες άσκησεις 1.1, 1.2, καθώς και οι άλυτες ασκήσεις 1.39 έως 1.44. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 (Ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο υπολογισμός της ταχύτητας του σώματος) Σε αυτού του είδους τις ασκήσεις ζητείται η ταχύτητα του σώματος μια χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Έστω ότι ζητείται να υπολογιστεί η ταχύτητα με την οποία χτυπά το σώμα στο έδαφος. 29

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Βόμβα που αφήνεται από αεροπλάνο που κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα Έστω ότι ένα αεροπλάνο, που κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα σε ένα ορισμένο ύψος από το έδαφος, αφήνει να πέσει μια βόμβα. Στην περίπτωση αυτή η βόμβα εκτελεί οριζόντια βολή με αρχική ταχύτητα ίδια με αυτήν που είχε το αεροπλάνο, επομένως οι οριζόντιες συνιστώσες της ταχύτητας των δύο σωμάτων είναι ίσες. Συμπεραίνουμε πως η οριζόντια μετατόπιση της βόμβας κάθε χρονική στιγμή θα είναι ίση με αυτήν του αεροπλάνου άρα το αεροπλάνο θα βρίσκεται συνέχεια ακριβώς πάνω από τη βόμβα (στην ίδια κατακόρυφη). Στον οριζόντιο άξονα Οx το σώμα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, επομένως: υ τ,x = υ 0 Στον κατακόρυφο άξονα Ο το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση και ισχύει: υ τ, = t ολ ή υ τ, = ή υ τ, = Το μέτρο της τελικής του ταχύτητας υπολογίζεται από τον τύπο: υ τ = υτ,x 2 + υτ, 2 Η διεύθυνση της τελικής ταχύτητας υ τ σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ. Ισχύει: εφθ = υ τ, υ τ,x ΕΦΑΡΜΟΓΗ Σώμα εκτοξεύεται οριζόντια, τη χρονική στιγμή t 0 = 0, από ύψος h = 20 m πάνω από το έδαφος με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 10 m/s. Nα υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 1 = 1 s. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι = 10 m/s 2 και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Υπολογίζουμε αρχικά τη χρονική στιγμή που φτάνει το σώμα στο έδαφος: h = 1 2 t2 ολ ή t ολ = ή t ολ = ( 2 20 10 ) s ή t ολ = 2 s Επομένως, τη χρονική στιγμή t 1 = 1s το σώμα δεν έχει φτάσει ακόμη στο έδαφος. υ 0 x O x h θ υ 1,x υ 1, υ 1 30

Στον οριζόντιο άξονα Οx το σώμα εκτελεί Ε.Ο.Κ. επομένως έχουμε: υ 1,x = υ 0 = 10 m s Στον κατακόρυφο άξονα Ο το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση και ισχύει: υ 1, = t 1 ή υ 1, = (10 1) m s ή υ 1, = 10 m s Το μέτρο της ταχύτητας υ 1 υπολογίζεται με τη βοήθεια του τύπου: υ 1 = υ1,x 2 + υ1, 2 ή υ 1 = ( 10 2 + 10 2 ) m ή υ s 1 = 10 2 m s H διεύθυνση της υ 1 σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ. Ισχύει: εφθ = υ 1, υ 1,x ή εφθ = 1 επομένως θ = 45 Αντίστοιχες ασκήσεις με αυτήν τη μεθοδολογία είναι η λυμένη άσκηση 1.3, καθώς και οι άλυτες ασκήσεις 1.44, 1.45. Οριζόντια βολή ενός σώματος Για τη μελέτη της συγκεκριμένης κίνησης θεωρούμε ότι: (α) Η αντίσταση του ατμοσφαιρικού αέρα είναι αμελητέα, επομένως η μοναδική δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι το βάρος του, το οποίο, ως συντηρητική δύναμη, δεν μεταβάλλει τη μηχανική ενέργεια του σώματος. (β) Το βάρος είναι σταθερό. Δεχόμαστε δηλαδή πως το βαρυτικό πεδίο είναι ομογενές στην περιοχή που γίνεται η οριζόντια βολή. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 (Ασκήσεις με αεροπλάνο που αφήνει βόμβα σε έναν ακίνητο ή κινούμενο στόχο) Σε αυτές τις περιπτώσεις των ασκήσεων θα πρέπει να γνωρίζουμε πως, όταν μια βόμβα αφήνεται από αεροπλάνο, το οποίο κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα υ 0, θα εκτελέσει οριζόντια βολή με ταχύτητα υ 0. Το αεροπλάνο και η βόμβα εκτελούν Ε.Ο.Κ. στον οριζόντιο άξονα Οx, άρα οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων τους θα είναι ίσες. Η οριζόντια μετατόπιση της βόμβας κάθε χρονική στιγμή θα είναι ίση με αυτήν του αεροπλάνου, άρα το αεροπλάνο θα βρίσκεται συνέχεια ακριβώς πάνω από τη βόμβα (στην ίδια κατακόρυφη). Σε αρκετές ασκήσεις θα ζητείται να εξεταστεί κατά πόσο η βόμβα θα μπορέσει να χτυπήσει έναν στόχο (κινητό ή ακίνητο) στο έδαφος. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Πολεμικό αεροπλάνο κινείται οριζόντια με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ 0 = 150 m/s σε ύψος h = 405 m από την επιφάνεια του εδάφους. Τη χρονική t 0 = 0, ο πιλότος αφήνει ελεύθερη μια βόμβα να πέσει στο έδαφος, προκειμένου να χτυπήσει έναν στόχο ο οποίος απέχει οριζόντια απόσταση d = 1,35 Km από το αεροπλάνο. 31

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Να εξετάσετε αν η βόμβα θα χτυπήσει τον στόχο. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας = 10 m/s 2. Δημόκριτος Ο Δημόκριτος (~460 π.χ.- 370 π.χ.) ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος, ο οποίος γεννήθηκε στα Άβδηρα της Θράκης. Πίστευε ότι η ύλη αποτελούνταν από αδιάσπαστα, αόρατα στοιχεία, τα άτομα. Επίσης ήταν ο πρώτος που αντιλήφθηκε ότι ο Γαλαξίας είναι το φως από μακρινά αστέρια. Ήταν ανάμεσα στους πρώτους που ανέφεραν ότι το σύμπαν έχει και άλλους «κόσμους» και μάλιστα ορισμένους κατοικημένους. Ο Δημόκριτος ξεκαθάριζε ότι το κενό δεν ταυτίζεται με το τίποτα («μη ον»), είναι δηλαδή κάτι το υπαρκτό. Από τον πολύ μεγάλο όγκο των γραπτών του δεν έχουν σωθεί παρά ελάχιστα αποσπάσματα με περιεχόμενο που αφορά κυρίως την ηθική, τα οποία ανευρίσκονται σε μεταγενέστερους συγγραφείς ως παραθέματα ή παραφράσεις. Η βόμβα θα εκτελέσει οριζόντια βολή με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 150 m/s. Υπολογίζoυμε αρχικά τη χρονική στιγμή που φτάνει η βόμβα στο έδαφος: h = 1 2 t2 ολ ή t ολ = ή t ολ = ( 2 405 10 ) s ή t ολ = 9 s To βεληνεκές της βόμβας υπολογίζεται από τον τύπο: s = υ 0 t ολ ή s = (150 9) m ή s = 1350 m Παρατηρούμε ότι s = d = 1350 m επομένως η βόμβα θα χτυπήσει τον στόχο. Αντίστοιχες ασκήσεις με αυτήν τη μεθοδολογία είναι η λυμένη άσκηση 1.4, καθώς και οι άλυτες ασκήσεις 1.47 έως 1.50. 32

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.1 Σώμα εκτοξεύεται οριζόντια, τη χρονική στιγμή t 0 = 0, από ύψος h = 80 m πάνω από την επιφάνεια του εδάφους, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ 0 = 10 m/s. (α) Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης στους άξονες Οx, Ο. (β) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που φτάνει το σώμα στο έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας = 10 m/s 2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. ΛΥΣΗ (α) x O υ 0 x h Στον οριζόντιο άξονα Ox το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και η εξίσωση κίνησης είναι: x = υ 0 t ή x = 10 t (S.I.) Στον κατακόρυφο άξονα Ο το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση και η εξίσωση κίνησης είναι: = 1 2 t2 ή = 5 t 2 (S.I.) (β) Για να υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή που φτάνει το σώμα στο έδαφος, θέτουμε στην εξίσωση κίνησης του άξονα Ο όπου = h. Προκύπτει: h = 1 2 t2 ολ ή t ολ = ή t ολ = ( 2 80 10 ) s ή t ολ = 4 s 1.2 Αντικείμενο εκτοξεύεται, τη χρονική στιγμή t 0 = 0, από ύψος h = 125 m από την επιφάνεια του εδάφους με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 0 = 5 m/s. (α) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που φτάνει το αντικείμενο στο έδαφος. (β) Ποιο είναι το βεληνεκές της οριζόντιας βολής; (γ) Να γράψετε την εξίσωση της τροχιάς του αντικειμένου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας = 10 m/s 2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. 33

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΛΥΣΗ (α) 34 x h O υ 0 s Η εξίσωση κίνησης στον άξονα Ο είναι: = 1 2 t 2 (1) Για να υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή που φτάνει το αντικείμενο στο έδαφος, θέτουμε στην εξίσωση κίνησης (1) του άξονα Ο όπου = h: h = 1 2 t2 ολ ή t ολ = x ή t ολ = ( 2 125 10 ) s ή t ολ = 5 s (β) Η εξίσωση κίνησης στον οριζόντιο άξονα Ox έχει τη μορφή: x = υ 0 t (2) Για να υπολογίσουμε το βεληνεκές s, θέτουμε στη σχέση (2) όπου x = s και όπου t = t ολ και έχουμε: s = υ 0 t ολ ή s = (5 5) m ή s = 25 m (γ) Θέλουμε να γράψουμε την εξίσωση τροχιάς του αντικειμένου. Λύνουμε τη σχέση (2) ως προς t: t = x υ 0 (3) Αντικαθιστoύμε τη σχέση (3) στην εξίσωση κίνησης (1) του κατακόρυφου άξονα Ο και προκύπτει: = 1 2 ( x υ 0 ) 2 ή = 2 υ 2 0 x 2 ή = x2 5 (S.I.) για 0 x 25 m 1.3 Σώμα εκτοξεύεται οριζόντια, τη χρονική στιγμή t 0 = 0, από σημείο Ο(0, 0) το οποίο βρίσκεται σε ύψος h = 20 m από την επιφάνεια του εδάφους με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 0 = 20 m/s. Να υπολογίσετε: (α) την τελική ταχύτητα με την οποία φτάνει το σώμα στο έδαφος, (β) την απόσταση του σώματος από το σημείο εκτόξευσης Ο τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος (σημείο Γ), (γ) τις συντεταγμένες του σημείου που βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t 1 = 1 s. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας = 10 m/s 2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. ΛΥΣΗ (α)