ο Γενικό Λύκειο Χανίων ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ - Τάξη ΓΡΠΤΕΣ ΠΡΟΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΜΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τα θέματα ΔΕΝ θα μεταφερθούν στο καθαρό. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα Οι απαντήσεις να γραφούν στο καθαρό Τα σχήματα μπορούν να γίνουν και με μολύβι Διάρκεια εξέτασης ώρες Θέμα ο. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι 80 ο. Θεωρία (Θεώρημα σελ. 83 4.6). Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν ή «Λάθος» I. Δύο τρίγωνα που έχουν, μια πλευρά τους ίση, μια από τις προσκεί- μενες γωνίες στην πλευρά αυτή και την απέναντι γωνία από την πλευρά αυτή, ίσες μία προς μία είναι ίσα. II. Κάθε τετράπλευρο που έχει τις απέναντι γωνίες του παραπλη- ρωματικές και ίσες είναι τετράγωνο. Λάθος III. IV. Ορθόκεντρο τριγώνου λέγεται το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι φορείς των υψών ενός τριγώνου. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. V. Σε κάθε τραπέζιο οι διαγώνιοι του είναι ίσες. Λάθος Γ. Ποιες είναι οι κοινές ιδιότητες σε ένα τετράγωνο και σε ένα
. ορθογώνιο; Είναι παραλληλόγραμμα ( δηλ. απέναντι πλευρές ίσες, έχουν κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων). Έχουν ίσες διαγώνιους. 3. Έχουν όλες τις γωνίες τους ορθές. Θέμα ο Δίνονται κύκλος ( Ο, R) και σημείο Σ εξωτερικό με ΟΣ = R. ν Σ και Σ τα εφαπτόμενα τμήματα από το Σ προς τον κύκλο και Μ η τομή ΟΣ και κύκλου, να αποδείξετε : α. Μ Σ = Μ Σ ( γωνίες) β. Ο Σ = Ο Σ = 6 0 ο γ. το τρίγωνο Σ είναι ισόπλευρο Επειδή Σ Σ εφαπτόμενα είναι Σ Ο και Σ Ο και ΣΟ άξονας Σ Μ Ο συμμετρίας του σχήματος δηλ. Σ = Σ, ΣΟ διχοτόμος της Σ, μεσοκάθετος της και διχοτόμος της Ο.
Οπότε στα ορθογώνια ΟΣ και ΟΣ είναι Μ μέσο υποτείνουσας και Ο =Ο =R =ΟΣ επομένως Μ = Μ = Ο Σ = R (διάμεσοι στην υποτείνουσα) () Σ = Σ = 30 ο (οξεία απέναντι από κάθετη μισή της υποτείνουσας) () Έτσι α. Μ Σ = Μ Σ = Σ = Σ = 30 ο β. = = 6 0 ο Ο Σ Ο Σ αφού στα ορθογώνια ΟΣ και ΟΣ είναι Σ = Σ = 30 ο γ. Σ ισοσκελές με Σ = 60 ο άρα ισόπλευρο. Θέμα 3 ο Σε τραπέζιο ΓΔ ( // ΓΔ) είναι = 8 < ΓΔ, Γ = 6 και ΚΛ η διάμεσός του ( Κ μέσο Δ). Η διχοτόμος Ε ( το Ε στη ΓΔ) της, είναι παράλληλη στην Δ και τέμνει την ΚΛ στο Ζ. Να αποδειχθεί: α. ΓΕ ισοσκελές ( Γ= ΓΕ) και ΓΖ Ε. β. ΓΔ = 4 γ. ΚΛ = Κ Ζ α. Επειδή //ΓΔ Δ Ε Λ Γ
είναι = = B E = B B ως εντός εναλλάξ στη τέμνουσα Ε. Έτσι ΓΕ ισοσκελές με Γ = ΓΕ. Η ΚΛ ως μεσοπαράλληλη στις βάσεις τέμενι την Ε στο μέσο Ζ, έτσι ΓΖ Ε ως διάμεσος και ύψος στη βάση του ισοσκελούς ΓΕ. β. φού //ΓΔ και Ε//Δ (δεδομένο) το ΕΔ παραλληλόγραμμο έτσι ΔΕ = = 8. Επίσης Γ=ΓΕ = 6, άρα ΓΔ = ΔΕ+ΕΓ = 8+6 =4. γ. Είναι ΚΛ = A B + Γ D = 8 + 4 = ως διάμεσος τραπεζίου. Θέμα 4 ο Δίνεται τρίγωνο Γ. Έστω Η το ορθό- κεντρό του, Ι, Κ, Λ τα μέσα των Ε τμημάτων, ΓΗ και ΔΕ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα Δ και ΓΕ είναι Ι H Λ ορθογώνια Δ Κ Γ
β. Τα τρίγωνα ΚΔΕ και ΙΔΕ είναι ισοσκελή. γ. Τα σημεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά ( βρίσκονται στην ίδια ευθεία). α. φού Η ορθόκεντρο είναι Δ, Ε ύψη. Άρα Δ Γ και Ε Γ, έτσι τα τρίγωνα Δ και ΓΕ είναι ορθογώνια. β. Είναι ΙΔ= ΙΕ = A B ως διάμεσοι σε υποτείνουσες ορθογωνίων. Όμοια ΚΔ = ΚΕ = Γ Η στα ορθογώνια ΗΕΓ και ΗΔΓ. Άρα τα τρίγωνα ΚΔΕ και ΙΔΕ είναι ισοσκελή. γ. Τα Ι, Κ, Λ επειδή ισαπέχουν από τα Δ και Ε ανήκουν στην μεσοκάθετο του άρα είναι συνευθειακά.