ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1
Θέμα 1 α) Προσδιορίστε τον όγκο V ιδανικού αερίου, στον οποίο η σχετική διακύμανση είναι α = 10-6 και η συγκέντρωση των σωματιδίων είναι n =,7 10 19 cm -3. β) Προσδιορίστε επίσης το μέσο αριθμό των σωματιδίων σε αυτόν τον όγκο. Η πιθανότητα ένα σωματίδιο να βρίσκεται στον V είναι: p V V TOT Ο μέσος αριθμός σωματιδίων στον όγκο αυτό αν το πλήθος των σωματιδίων είναι Ν ΤΟΤ θα είναι: V m NTOTp NTOT nv V Η σχετική διακύμανση των σωματιδίων στον όγκο V θα είναι: Άρα 1 V 3.7 10 cm n 8 3 Ενώ ο Μέσος αριθμός των σωματιδίων θα είναι TOT 1 m nv 10 1 1 1 m nv
Θέμα Ξέρουμε την κατανομή Maxwell ως προς το μέτρο της ταχύτητας: 3/ m m f d e 4 d i) Βρείτε σε πρώτη προσέγγιση το ποσοστό των σωματιδίων οι ενέργειες των οποίων δεν διαφέρουν περισσότερο από ΔΕ από την πιθανότερη ενέργεια Ε Π (ΔΕ/Ε Π =0,01). ii) Βρείτε σε πρώτη προσέγγιση το ποσοστό των μορίων, η ενέργεια των οποίων είναι μικρότερη από 0,01. Η Ενέργεια ενός μορίου ιδανικού αέριου είναι ίση με την κινητική του ενέργεια, δηλαδή: m d 1 de E Άρα: και d m de E m Em m Αντικαθιστώντας στην κατανομή Maxwell, έχουμε: 3/ m 3/ E 1 E 3 m m E de 1 f d e 4 d e 4 E e de f EdE m Em 3
Η πιθανότερη ενέργεια είναι αυτή που αντιστοιχεί στο μέγιστο της κατανομής, άρα: 0.99E 1 E 1 Άρα f EdE E e de df E de EE 3 0 E i) Το ποσοστό των σωματιδίων οι ενέργειες των οποίων δεν διαφέρουν περισσότερο από ΔΕ από την πιθανότερη ενέργεια Ε Π (ΔΕ/Ε Π =0,01). 1.01E 0.99E,1.01E f d (προσέγγιση ορθογωνίου) 3 1 E 1 f f 0.0E E e 0.0E 3 3 3 3 E 1 1 0.0 E e 0.0 e f(ε) 0.99Ε π 1.01Ε π 1 0.0 e 4.84 10 3 E Ε 4
ii) το ποσοστό των μορίων, η ενέργεια των οποίων είναι μικρότερη από E max = 0,01. E max 0.01 f d (προσέγγιση σε ανάπτυγμα Taylr) E max 0 1 3 0 1 E E e de E 3 1 E 3 1 max 1 E de 1 0 1 0 1 1 E 3 3 3 3 E max 1 4 1 3 3 0.01 4 3 4 10 10 7.510 3 3 3 4 max Emax 0.01 0.01 1 E e 1 5
Θέμα 3 Στο ίδιο διάγραµµα σχεδιάστε ποιοτικά την κατανοµή Maxwell για τα ιδανικά αέρια Η και Ηe. Σχολιάστε και δικαιολογήστε το λόγο των µεγίστων και τη θέση τους. Εξετάστε περιπτώσεις (δηλαδή διαγράµµατα): i) Και τα αέρια βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία, ii) Το Η βρίσκεται σε θερµοκρασία Τ, ενώ το He σε θερµοκρασία Τ. Η σχετική Μοριακή Μάζα του Η είναι: MH Η σχετική Μοριακή Μάζα του Ηe είναι: MHe 4 m H m He H πιθανότερη ταχύτητα για την κατανομή Maxwell δίνεται από τη σχέση: m Και όπως βλέπομε εξαρτάται από την θερμοκρασία και την μάζα του μορίου του αερίου 6
f(υ) i) τα δύο αέρια βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία Ηe ( ) ( e) m H m He m m He H Η υ Η πυκνότητα πιθανότητας της κατανομής Maxwell δείχνει πως τα μόρια του αερίου με το μικρότερο μοριακό βάρος που (στην άσκηση είναι το Η ) έχουν μεγαλύτερες ταχύτητες επομένως η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά και γίνεται πιο αμβλεία. 7
ii) Το Η βρίσκεται σε θερµοκρασία Τ, ενώ το He σε θερµοκρασία Τ. f(υ) ( ) ( e) m H m He m m He H 1 υ Σε αυτήν την περίπτωση, εφόσον οι πιθανότερες ταχύτητες που προκύπτουν είναι ίδιες, οι κατανομές θα ταυτίζονται. 8
Θέμα 4 β) Ένα ιδανικό αέριο, κάθε µόριο του οποίου έχει µάζα m, βρίσκεται σε θερµοκρασία Τ. Υπολογίστε τα αθροίσματα και όπου υ yi η y συνιστώσα της ταχύτητας ενός µορίου και Ν Α ο αριθµός Avgadr. N A i1 yi N A i1 yi N A i1 N A yi yi i1 NA NA NA y (1) N A i1 N A yi yi i1 NA NA NA y () 9
3/ m m f d e 4 d Η κατανομή Maxwell είναι: Αυτή είναι γραμμένη σε σφαιρικές συντεταγμένες. Αν θέλουμε όμως να την γράψουμε σε καρτεσιανές συντεταγμένες θα έχουμε: 4 d dxdydz x z y Συνεπώς σε καρτεσιανές συντεταγμένες μπορεί να γραφεί: 3/ mx y z m f d e dxdydz m x y mz 1/ m 1/ 1/ e d x e d y e d z m m m f d f d f d x x y y z z f(υ z ) υ z Άρα η κατανομή Maxwell για την συνιστώσα της ταχύτητας υ y είναι: 1/ m m y y y f d e d y 10
Διαφορετικά: Άρα Ενώ N A Από την μορφή και μόνο της κατανομής ταχυτήτων, παρατηρούμε ότι η μέση ταχύτητα στον άξονα y είναι μηδέν. 1/ m y m y yf ( y)dy ye dy 0 Π Α N 0 yi A y i1 0 f ( )d f ( )d f ( )d f ( )d y y y y y y y y y y y y y 0 0 1/ m y 1/ m m 1 ye dy 1 Άρα m 0 1/ 1/ 1 m 1 m m m m N A i1 yi N A m Π n x e 0 rx m 1 n 1 dx n1 mr m m n 1,m,r 11
Θέμα 5 Έχουμε σύστημα σωματιδίων, το καθένα από τα οποία έχει μάζα m. Για το σύστημα αυτό σε μια συγκεκριμένη κατάσταση η συνάρτηση κατανομής ως προς τα μέτρα των ταχυτήτων δίνεται από το σχήμα. Γι αυτό το σύστημα σωματιδίων βρείτε: α) την αναλυτική μορφή της συνάρτησης κατανομής ως προς τα µέτρα των ταχυτήτων, β) τη μέση ταχύτητα, γ) την πιθανότερη ταχύτητα, δ) το ποσοστό των σωματιδίων οι ταχύτητες των οποίων βρίσκονται στην περιοχή υ ο / υ 3υ ο /4, ε) τη μέση ενέργεια των σωματιδίων οι ταχύτητες των οποίων βρίσκονται στην περιοχή υ ο / υ 3υ ο /4. f(υ) υ ο υ 1
f(υ) α υ ο α) υ Η κατανομή θα είναι της μορφής f(υ) = α + bυ, για υ[0,υ ο ], ενώ η μηδενική για όλες τις άλλες ταχύτητες. Όμως, f 0 b άρα f 1 Το ολοκλήρωμα της πιθανότητας σε όλες τις ταχύτητες θα πρέπει να ισούται με την μονάδα (κανονικοποίηση), η με άλλα λόγια θα πρέπει το εμβαδόν του τριγώνου να είναι μοναδιαίο. 1 Συγκεκριμένα f και τελικά η κατανομή θα γράφεται: 0 0 f 13
f(υ) β) Η μέση τιμή της ταχύτητας θα είναι: f ( )d d 0 0 α 3 d d 3 3 0 0 f(υ) α υ ο υ ο υ υ γ) Η πιθανότερη ταχύτητα είναι αυτή όπου η κατανομή έχει μέγιστο και συνεπώς για την συγκεκριμένη κατανομή η πιθανότερη ταχύτητα είναι μηδενική δ) 0 Το ποσοστό των σωματιδίων οι ταχύτητες των οποίων βρίσκονται στην περιοχή υο/ υ 3υο/4 είναι 3 / 4 3 / 4 3, fd d 4 / 3 / 4 3 16 / / 14
ε) Την μέση ενέργεια μπορούμε να την υπολογίσουμε με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι να βρούμε την κατανομή της ενέργειας και από εκεί να βρούμε την μέση ενέργεια. Ο δεύτερος τρόπος είναι ο εξής: 1 1 E m m Άρα υπολογίζουμε την μέση τιμή του τετραγώνου της ταχύτητας: 3 / 4 3 / 4 3 / 4 3 0 / / / 3 / 4 3 / 4 3 4 13 3 4 1536 / / f ( )d d d d Άρα η μέση ενέργεια των σωματιδίων οι ταχύτητες των οποίων βρίσκονται στην περιοχή υ ο / υ 3υ ο /4 είναι 13 1 E m 1536 15
Θέμα 6 Για κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να σχεδιάσετε ποιοτικά στο ίδιο διάγραμμα τις κατανομές Maxwell για δυο ιδανικά αέρια αιτιολογώντας τες (ν 1 και ν ο αριθμός των γραμμομορίων των αερίων, m 1 και m η μάζα κάθε μορίου τους και Τ 1 και Τ οι θερμοκρασίες τους): i) Ισχύει ν 1 = ν, m 1 = m, Τ 1 > Τ. ii) Ισχύει ν 1 = ν, m 1 > m, Τ 1 = Τ. iii) Ισχύει ν 1 > ν, m 1 = m, Τ 1 = Τ. 16
i) ν 1 = ν, m 1 = m, Τ 1 > Τ. f(υ) Τ 1 > Τ Τ Τ 1 υ Όταν η θερμοκρασία του αερίου αυξάνεται, η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά και η κορυφή της χαμηλώνει. Αυτό συμβαίνει γιατί όσο αυξάνει η θερμοκρασία η ενεργός ταχύτητα αυξάνεται, ενώ η πυκνότητα πιθανότητας ελαττώνεται. Τέλος ο αριθμός των μορίων στη νέα πιθανότερη ταχύτητα είναι μικρότερος στην υψηλότερη θερμοκρασία. 17
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ii) ν 1 = ν, m 1 > m, Τ 1 = Τ. f(υ) m 1 > m m 1 m υ Η πυκνότητα πιθανότητας της κατανομής Maxwell δείχνει πως τα μόρια του αερίου με το μικρότερο μοριακό βάρος έχουν μεγαλύτερες ταχύτητες επομένως η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά και γίνεται πιο αμβλεία. iii) ν 1 > ν, m 1 = m, Τ 1 = Τ. Σε αυτήν την περίπτωση οι κατανομές είναι οι ίδιες διότι δεν εξαρτάται από των αριθμό των γραμμομορίων. 18
Θέμα 7 Σε πολύ ψηλό κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο διατομής S περιέχεται ένα γραμμομόριο ιδανικού αερίου, κάθε μόριο του οποίου έχει μάζα m. Θεωρούμε το g και τη θερμοκρασία σταθερά σ όλο το ύψος του δοχείου. Ξέρουμε ότι για δυο θερμοκρασίες Τ και Τ = 4Τ η συγκέντρωση των μορίων σε ύψος z είναι ίδια. α) Σχεδιάστε ποιοτικά τις καμπύλες n(z) και p(z) για τις δυο θερμοκρασίες δείχνοντας το z, β) υπολογίστε το Τ, γ) βρείτε τη συγκέντρωση στη βάση του δοχείου για θερμοκρασία Τ. δ) υπολογίστε το λόγο P 4T /P T σε τυχαίο ύψος z. Από την σχέση του Bltzmann έχουμε: n z ne dn dvsdz dn επειδή n dn nsdz dv Sdz dn nsdz ns Η πυκνότητα πιθανότητας είναι: dp e dz N N N ns Από την συνθήκη κανονικοποιήσης έχουμε: dp 1 e dz 1 N 0 19
ns n S e 1 1 N mg 0 Nmg n Nmg S Επειδή έχουμε ένα γραμμομόριο ν = 1 mle αριθμός σωματιδίων θα είναι Ν = Ν Α α) Για θερμοκρασία Τ έχουμε: Για θερμοκρασία Τ έχουμε: n z n e 4 (1) () Επειδή για τις δυο θερμοκρασίες Τ και Τ = 4Τ η συγκέντρωση των μορίων σε ύψος z είναι ίδια θα έχουμε: 4 4 n z n z n e n e n n e e n n e Άρα από την (3) η (1) και () γίνονται n z 3 4 (3) n z ne n e 4 (1*) n z n (*) e mg z3z Από την καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου έχουμε: PV N P n n e (3) P z P z mg z3z 4 4n e (4) 0
n(z) n z n e P(z) n z n e mg z3z 4 P z P z n e 4n e mg z3z 4 z z z z NAmg β) Επειδή: n S και n NAmg n 4S 4 n 3 1 4 4 4 3 4 ne ln n n e 3 4 3 T 4k ln 4 1
γ) στην βάση του δοχείου n(z = 0) = n όπου για θερμοκρασία Τ θα έχουμε: δ) Εφόσον δείξαμε ότι n 4 n NAmg S n και ισχύει P n μπορούμε να γράψουμε Έτσι P z T n e 4 P ne ne P4T P P e 3 4 P z P z n 4 4 4e n e 4
Θέμα 8 Δίνεται η γενική μορφή της κατανομής Bltzmann: n = n exp(-δu/) α) να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(z) (z είναι το ύψος) για σωματίδια με μάζα m στο πεδίο βαρύτητας της γης, όπου θεωρούμε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας g και η θερμοκρασία Τ είναι σταθερές (δηλ. ανεξάρτητες του ύψους) β) να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(u) όπου U είναι η δυναμική ενέργεια. α) Αν θεωρήσουμε ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας την επιφάνεια της θάλασσας z = 0 τότε η σχέση Bltzmann μπορεί να γραφεί: n z n e Θεωρώντας κύλινδρο πολύ μεγάλου ύψους και εμβαδού διατομής S και επειδή: dn dvsdz dn n dn nsdz dv Sdz dn nsdz ns Η πυκνότητα πιθανότητας είναι: dp e dz N N N 3
ns Από την συνθήκη κανονικοποιήσης έχουμε: dp 1 e dz 1 N 0 ns n S Nmg e 1 1 n N Nmg S 0 Άρα, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(z) θα δίνεται από την κατανομή: Δηλαδή: β) Επειδή U = ns mg f zdz e dz e dz N f z mg e du du mg dz άρα, dz mg U U mg mg du 1 f zdz e dz e e du mg Επομένως, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(u) είναι: f U 1 e U 4
Θέμα 9 Σε σφαιρικό δοχείο ακτίνας R σε θερμοκρασία Τ περιέχονται ν γραµµοµόρια ιδανικού αερίου που αποτελείται από «σκληρά» διατοµικά µόρια, το καθένα από τα οποία έχει μάζα m. α) Υπολογίστε τη σχετική διακύμανση του αριθμού των µορίων που συγκρούονται µε τη μονάδα της επιφάνειας των τοιχωμάτων στη μονάδα του χρόνου. β) Υπολογίστε τη σχετική διακύμανση του αριθμού των µορίων που συγκρούονται σε χρόνο t µε ολόκληρη την επιφάνεια του δοχείου. γ) Υπολογίστε τη συχνότητα κρούσεων κάθε µορίου µε τα τοιχώματα του δοχείου. δ) Αν ο όγκος του δοχείου μειωθεί αδιαβατικά, έτσι, ώστε η ακτίνα του να γίνει R/, πόσες φορές θα μεταβληθεί η συχνότητα κρούσεων κάθε µορίου; 5
Η συχνότητα κρούσεων με τα τοιχώματα του δοχείο είναι ο αριθμός των μορίων που συγκρούονται στη μονάδα του χρόνου και στη μονάδα της επιφάνειας δηλαδή: dn 1 dn n Sdt 4 Sdt α) Η σχετική διακύμανση του αριθμού των µορίων που συγκρούονται µε τη μονάδα της επιφάνειας των τοιχωμάτων στη μονάδα του χρόνου. 8 m 1/ 1/ 1 dn 1 1 8 n n dn Sdt 4 4 m Sdt 8 m 1/ V N 4 R 3 3 n N 3 4 R V 4 3 R 3 3 άρα 3 8 3 8R m 1/ 6
β) dn 1 1 1 n dn n Sdt N n St Sdt 4 4 4 Όπου μπορούμε να γράψουμε: 1 N n St 4 Η σχετική διακύμανση του αριθμού των µορίων που συγκρούονται σε χρόνο t µε ολόκληρη την επιφάνεια του δοχείου είναι: 8 1/ 1 1/ 1 m 3 8 ns t 4 S4R 4R m 3 n 3 γ) Η συχνότητα κρούσεων κάθε µορίου µε τα τοιχώματα του δοχείου. dn 1 n 1 1 3 8 f Sdt 1 3 N 4 N 4 V 8 R m δ) Αν η ακτίνα του δοχείου γίνει R/ η συχνότητα κρούσεων κάθε µορίου θα είναι: 4R 1/ 3 8 3 8 f 8 8f R m 8R m 8 1 3 3 1 7