D 0 x0 T pe is q 0y. Dpx 1, x 2 q

Θέµατα εξετάσεων και λύσεις Μάθηµα : Κβαντική Θεωρία Πεδίου Ι, Ηµεροµηνία : 16 Μαρτίου 2018 ΘΕΜΑ 1) Θεωρήστε την συνάρτηση Dpx 1, x 2 q x0 T pφpx 1 q φpx 2 q e is q 0y (1) όπου φpxq είναι ελεύθερο πεδίο, µε διαδότη x0 T pφpxqφpyqq 0y i F px yq. έκφραση S λ ż φ 4 pzq d 4 z Η S δίνεται από την Χρησιµοποιώντας το γενικευµένο ϑεώρηµα του Wick, όπου επιτρέπονται οι συστολές ( contractions ) ακόµα και πεδίων που έχουν όρισµα το ίδιο σηµείο, να ϐρεθεί η συνάρτηση (1) µέχρι πρώτη τάξη ως προς την λ. Να κάνετε το ίδιο για την έκφραση και να ϐρεθεί ακολούθως ο λόγος D 0 x0 T pe is q 0y Dpx 1, x 2 q D 0 στην ίδια τάξη της ϑεωρίας διαταραχών ως προς την σταθερά λ. Εχετε κάποια παρατήρηση όσον αφορά τα τελικά συµπεράσµατα σας ; ΘΕΜΑ 2) Καποιο πεδίο φpxq ικανοποιεί την εξίσωση p Γ µ B µ M q φpxq 0 (2) όπου B µ B Bx µ, µε xµ για µ 0, 1,... D 1, οι χωροχρονικές συντεταγµένες του χώρου Minkowski D - διαστάσεων, µε τα Γ µ ανεξάρτητα από τα x µ. ι) Τι πρέπει να ικανοποιούν τα Γ µ έτσι ώστε το πεδίο να ικανοποιεί επίσης και την εξίσωση Klein - Gordon p l ` M 2 q φpxq 0 η οποία έχει ως επακόλουθο να υπάρχουν λύσεις της µορφής επιπέδων κυµάτων e ipµxµ, που ικανοποιούν την σχέση κελύφους µάζας p 2 M 2 ιι) Στην περίπτωση που D 2, δηλαδή έχουµε χωρόχρονο 2 - διαστάσεων, να ϐρεθούν Γ µ, όποια ϑέλετε εσείς, και ακολούθως, στην περίπτωση αυτή, να ϐρεθούν ανεξάρτητες λύσης της (2). ΘΕΜΑ 3) ίνεται η ϐαθµωτή ϑεωρία 1 2 pb µφq 2 1 ˆλµ 2 ˆm2 φ 2 D 4 φ 4 ` L 4! όπου ˆm είναι κάποια παραµετρος µάζας και ˆλ µία Ϲεύξη. Η αυθαίρετη παράµετρος µάζας µ εξασφαλίζει ότι η ˆλ είναι αδιάστατη σε οποιαδήποτε χωροχρονική διάσταση D. ίνεται ότι ο πλήρης διαδότης του πεδίου φ, στην αναπαράσταση ορµών, είναι pp 2 i 1 q p2πq D p 2 ˆm 2 Σpp 2 q Γυρίστε σελίδα ùñ

όπου Σpp 2 q Σ loop pp 2 q ` C µε το Σ loop pp 2 q να είναι η συνεισφορά από τα συνήθη διαταρακτικά διαγράµµατα µε κβαντικούς ϐρόχους και το C να προέρχεται από αντίστοιχες συνεισφορές του µέρους L της Λαγκρανζιανής. Υπολογίστε την διόρθωση Σ loop pp 2 q σε πρώτη τάξη στην σταθερά Ϲεύξης ˆλ, χρησιµοποιώντας διαστατική οµαλοποίηση ( dimensional regularization ), παραλείποντας τους όρους που µηδενίζονται στο όριο ɛ Ñ 0, όπου η σταθερά ɛ ορίζεται ως ɛ 2 D. Αν η συνεισφορά C είναι σταθερή, σε αυτήν την τάξη, και αναιρεί 2 ακριβώς το ανώµαλο µέρος του Σ loop pp 2 q, εκείνο δηλαδή που απειρίζεται όταν ɛ Ñ 0, να ϐρεθεί η ϕυσική µάζα του πεδίου φ συναρτήσει των παραµέτρων ˆm, ˆλ και της κλίµακας µ όταν D 4. ΘΕΜΑ 4) ίνεται η ακόλουθη Λαγκρανζιανή που περιγράφει τρία πραγµατικά πεδία φ 1,2, µε ίδιες µάζες m, και Σ, µε µάζα M εν γένει διαφορετική, που αλληλεπιδρούν µε δυναµικο Upφ 1, φ 2, Σq L 1 2 pb µ φ 1 q 2 ` 1 2 pb µ φ 2 q 2 ` 1 2 pb µ Σq 2 1 2 m2 pφ 2 1 ` φ 2 2q 1 2 M 2 Σ 2 Upφ 1, φ 2, Σq όπου το δυναµικο Upφ 1, φ 2, Σq δίνεται από την έκφραση Upφ 1, φ 2, Σq λ pφ 2 1 ` φ 2 2q 2 ` g 1 φ 2 1 Σ ` g 2 φ 2 2 Σ όπου Λ, g 1,2 σταθερές Ϲεύξης που είναι ϑετικές. ι) είξτε ότι στην περίπτωση που g 1 g 2 υπάρχει εσωτερική συµµετρία της ϑεωρίας, και ως αποτέλεσµα αυτής ένα διατηρούµενο ϱεύµα J µ. Ποιό είναι αυτό ; Στην περίπτωση όπου g 1 g 2 B µ J µ A Να υπολογισθεί αναλυτικά η έκφραση A και να δειχθεί ότι πράγµατι είναι µηδέν στο όριο g 1 g 2. ιι) Γράψτε αναλυτικά, και σχεδιάστετε, όλα τα αποκοµµένα ( amputated ) διαγράµµατα ενός κβαντικού ϐρόχου για τους διαδότες x0 T pφ 1 pxqφ 1 pyqq 0y, x0 T pφ 2 pxqφ 2 pyqq 0y των πεδίων φ 1, φ 2 και δείξτε, χωρίς να κάνετε τον τελικό αναλυτικό υπολογισµό, ότι αυτά είναι ίδια όταν g 1 g 2. Ως αποτέλεσµα οι διαδότες σε αυτήν την τάξη είναι ίδιοι στο όριο g 1 g 2. ιιι) είξτε, χρησιµοποιώντας την γεννήτρια συνάρτηση ( generating functional ) των συναρτήσεων συσχέτισης, ότι η ισότητα των x0 T pφ 1 pxqφ 1 pyqq 0y, x0 T pφ 2 pxqφ 2 pyqq 0y, για g 1 g 2, ισχύει ανεξαρτητως της τάξης προσέγγισης και είναι αποτέλεσµα της συµµετρίας του ερωτήµατος ι) που αναδεικνύεται όταν οι σταθερές g 1, g 2 γίνουν ίσες.

Λύσεις ϑεµάτων ΘΕΜΑ 1 Σε πρώτη τάξη στην σταθερά Ϲεύξης έχουµε x0 T pφpx 1 q φpx 2 q e is q 0y x0 T pφpx 1 q φpx 2 q p 1 ` isqq 0y x0 T pφpx 1 q φpx 2 q q 0y iλ ż d 4 z x0 T pφpx 1 q φpx 2 q φ 4 pzq 0y i F px 1 x 2 q iλ ż d 4 z x0 T pφpx 1 q φpx 2 q φ 4 pzq 0y (3) Χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα του Wick για το χρονολογικό γινόµενο στον δεύτερο όρο,και επειδή στην πραγµατικότητα ϑέλουµε την έκφραση οπου αυτό είναι µεταξύ των κενών, όλοι οι όροι όπου εµφανίζονται τελεστές σε κανονική διάταξη (normal order ) δεν συνεισφέρουν, διότι αυτοί όταν δράσουν πανω στο κενο το µηδενίζουν! Αρα χρειάζεται να κρατήσουµε µόνο τους όρους µε όλες τις δυνατές συστολές, που δεν περιέχουν καθόλου κανονικά διατεταγµενους τελεστές, αν αυτοί υπάρχουν ασφαλώς. Στην περίπτωση µας υπάρχουν και είναι αυτοί που εµφανίζονται παρακάτω T pφpx 1 q φpx 2 q φ 4 pzqq 3 x0 T pφpx 1 q φpx 2 q 0y px0 T pφpzq φpzq 0yq 2 ` 12 x0 T pφpx 1 q φpzq 0y x0 T pφpzq φpzq 0y x0 T pφpzq φpx 2 q 0y... όπου οι όροι που δεν εµφανίζονται περιέχουν κανονικά γινόµενα που δεν συνεισφέρουν. έκφραση είναι T pφpx 1 q φpx 2 q φ 4 pzqq 3 i F px 1 x 2 q pi F pz zqq 2 οπότε από την (3) έχουµε απ ευθείας (4) Η πιό πάνω ` 12 i F px 1 zq i F pz zq i F pz x 2 q ` (5) x0 T pφpx 1 q φpx 2 q e is q 0y i F px 1 x 2 q i F px 1 x 2 q 3 i λ ż d 4 z pi F pz zqq 2 12 i λ ż d 4 z i F px 1 zq i F pz zq i F pz x 2 q ` (6) που σε πρώτη τάξη στην σταθερά λ µπορεί και να γραφεί ως x0 T pφpx 1 q φpx 2 q e is q 0y ˆ 1 3 i λ ż 2 ˆ d 4 z pi F pz zqq i F px 1 x 2 q 12 i λ ż d 4 z i F px 1 zq i F pz zq i F pz x 2 q (7) Αυτό είναι ακριβώς και το αποτέλεσµα που υπολογίζεται σε πρώτη τάξη µε την µεθοδολογία των συναρτησιακών πριν την απαλλοιφή των διαγραµµάτων φυσαλίδων (bubbles ). Η έκφραση D 0 υπολογίζεται πολύ πιο εύκολα και δίνει D 0 1 3 i λ ż d 4 z pi F pz zqq 2 (8) Αυτή είναι ακριβώς η συνεισφορά των διαγραµµατών φυσαλίδων. σε πρώτη τάξη στην λ! Από τις (7) και (8) έχουµε για τον λόγο που µας Ϲητείται Dpx 1, x 2 q i F px 1 x 2 q i λ ż d 4 z i F px 1 zq i F pz zq i F pz x 2 q (9) D 0 2 που είναι ακριβώς ο διαδότης, µεχρι σε πρώτη τάξη στην λ, όπως υπολογίζεται σε πρώτη τάξη µε την µεθοδολογία των συναρτησιακών, όταν απαλλοιφθούν τα διαγράµµατα φυσαλίδων.

ΘΕΜΑ 2 ι) Η εξίσωση για το πεδίο είναι Γ µ B µ φ M φ (10) Για να πάρουµε από αυτήν µιά εξίσωση δεύτερης τάξης, όπως είναι η Klein - Gordon, δρούµε µε τον τελεστή Γ µ B µ και έχουµε η το ίδιο Αυτή µπορεί να γραφεί ως Γ µ B µ Γ ν B ν φ Γ µ B µ Mφ 0 (11) Γ µ Γ ν B µ B ν φ Γ µ M B µ φ 0 Γ µ Γ ν B µ B ν φ prγ µ, Ms ` MΓ µ q B µ φ Γ µ Γ ν B µ B ν φ rγ µ, Msφ M 2 φ 0 όπου ξαναχρησιµοποιήσαµε την εξίσωση (10) στον τελευταίο όρο. Επειδή οι τελεστές B µ, B ν µετατίθενται µπορουµε να γραψουµε για την εξίσωση αυτή 1 2 pγµ Γ ν ` Γ ν Γ µ qb µ B ν φ rγ µ, Msφ M 2 φ 0 (12) Για να έχουµε µιά εξίσωση Klein - Gordon ϑα πρέπει να ισχύει Γ µ Γ ν ` Γ ν Γ µ 2η µν και επίσης rγ µ, Ms 0 (13) Στην πιό πάνω έκφραση η µν είναι ο µετρικός τανυστής ( σε D διαστάσεις ) µε στοιχεία Τότε πράγµατι η (12) δίνει η 00 1, η mm 1 για m 1, 2,...D 1 και η km 0 για m k (14) p l ` M 2 q φpxq 0 (15) Είναι προφανές ότι τα στοιχεία Γ µ δεν µπορεί να είναι συνήθεις αριθµοί αλλά µπορεί να είναι πίνακες. ιι) Για την περίπτωση όπου D 2, δύο χωροχρονικές διαστάσεις, ας δοκιµάσουµε να ϐρούµε πίνακες µε την χαµηλότερην δυνατή διάσταση. Εποµένως η πιό απλή περίπτωση ειναι να ϑεωρήσουµε πίνακες διαστάσεων 2. ( η διάσταση του χωρόχρονου δεν ταυτίζεται πάντα ίδια µε την διάσταση των πινάκων που αναζητούµε! ) Αυτοί πρέπει να ικανοποιούν, σύµφωνα µε την (13) pγ 0 q 2 1, pγ 1 q 2 `1 και rγ 0,1, Ms 0 (16) εν είναι δύσκολο να ϐρείτε τέτοιους πίνακες αν ϑυµηθείτε την άλγεβρα των πινάκων Pauli για το σπιν. Παρτε δύο οποιουσδήποτε πίνακες Pauli και απλά πολλαπλασιαστε τον ένα µε την ϕανταστική µονάδα. Για παράδειγµα Γ 0 i σ 3 Γ 1 σ 2 (17) ικανοποιούν την σχέση αντιµετάθεσης µεταξύ των Γ 0,1. Επσιδή συγχρόνως ϑα πρέπει να ικανοποιείται και η σχέση µετάθεσης rγ 0,1, Ms 0, αρκεί το M να είναι αναλόγο του ταυτοτικού πίνακα. Εποµένως σε αυτήν την αναπαράσταση έχουµε Γ 0 i 0 i σ 3, Γ 1 0 1 1 0 σ 0 i 2 και M m (18) 1 0 0 1

όπου το m είναι κάποια σταθερά µε µονάδες µάζας. Για να ϐρούµε ανεξάρτητες λύσεις ϑεωρούµε επίπεδα κύµατα, τα οποία αποτελούν ϐάση για οποιαδήποτε λύση, φpxq u e ipµxµ (19) Το u είναι κάποιο διδιάστατο µονόστηλο ανυσµα ( σπίνορας ) αφού οι πίνακες Γ είναι διάστασης 2 ˆ 2. Τότε η εξίσωση (10) δίνει pi Γ µ p µ ` M qu 0 (20) και αυτή µπορεί να επιλυθεί για να ϐρούµε όλα τα δυνατά u. Για την αναπαράσταση που έχουµε επιλέξει αυτή η εξίσωση δίνει p0 ` m i p 1 u 0 (21) i p 1 p 0 ` m Γράφωντας την µονοδιάστατη ορµή p 1 p 1 k και την ενέργεια p 0 p 0 E έχουµε να λύσουµε το σύστηµα E ` m i k u 0 (22) i k E ` m που προσδιορίζει το u εκτός από µία πολλαπλασιαστική σταθερά N. Για την ακρίβεια παίρνουµε, λύνοντας τετριµµένα το οµογενές σύστηµα, 1 u N k (23) i E ` m και εποµένως η µονοχρωµατική λύση ( επίπεδο κύµα ) είναι 1 φpxq N k e iet`ikx (24) i E ` m Αυτή έχει ενέργεια E και ορµή k, γιατί είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή της ορµής B. Να σηµειωθεί όµως Bx ότι η ενέργεια µπορεί να είναι είτε ϑετική είτε αρνητική! Για την ακρίβεια επειδή αυτή η λύση ικανοποιεί και την Klein - Gordon έχουµε p l ` M 2 q u e ipµxµ 0 ùñ p p 2 ` m 2 q u 0 (25) και εποµένως αφού u 0 έχουµε την σχέση κελύφους µάζας p 2 m 2 από την οποία προκύπτει για την ενέργεια E a k 2 ` M 2 (26) Αρα για κάθε k έχουµε µία λύση ϑετικής ενέργειας και µιά αρνητικής που αντιστοιχούν στα σηµείο + και - στην εξίσωση (26). ΘΕΜΑ 3 Για την διόρθωση του πλήρους διαδότη χρειάζεται να υπολογίσουµε τα αποκοµµένα διαγράµµατα που δεν αποκόπτονται κόβοντας µία εσωτερική γραµµή ( 1 - particle irreducible) όπως εχει αναφερθεί στο µάθηµα και στις σηµειώσεις του µαθήµατος. Γράφοντας το αποκοµµένο διαγραµµα ως ip2πq D Σpp 2 q έχουµε την διόρθωση στον διαδότη που δίνεται στην εκφώνηση. Η διόρθωση αυτή έχει δύο συνεισφορές, σύµφωνα µε

Σχήµα 1: Αποκοµµένο διάγραµµα ενός ϐρόχου που συνεισφέρει στον διαδότη. Η ορµή τπυ σωµατιδίου είναι p. την εκφώνηση. Στην πρώτη ποοσέγγιση η µία συνεισφορά δίνεται από το διάγραµµα της εικόνας [1] και το ονοµάζουµε ip2πq D Σ loop pp 2 q. Η άλλη συνεισφορά που µας λέει η εκφώνηση προέρχεται από το µέρος L της Λαγκρανζιανής και συνεισφέρει µία σταθερά στο Σpp 2 q. Να σηµειωθεί ότι είµαστε σε D διαστάσεις και αργότερα ϑα πάρουµε το όριο D 4. Το διάγραµµα [1] δίνει ip2πq D Σ loop pp 2 q c F p ip2πq Dˆλ ż µ 4 D q d D k p2πq D i k 2 ˆm 2 (27) από την οποία µε ϐάση το γεγονός ότι ο παράγοντας c F ( combinatoric η factorial ) είναι 1{2, και χρησι- µοποιώντας διαστατική οµαλοποίηση ( η έκφραση για το ολοκλήρωµα δόθηκε στις εξετάσεις ) έχουµε για το Σ loop pp 2 q, από την παραπάνω έκφραση και εντελώς τετριµµένα, Σ loop pp 2 q ˆλ 2p4πq 2 p4πqɛ µ 2ɛ Γp 1 ` ɛq ˆm 2 2ɛ λ 32π 2 ˆm2 ˆ µ2 ˆm 2 2 p4πq ɛ Γpɛq 1 ɛ (28) όπου ɛ 2 D{2. Για την δεύτερη ισότητα χρησιµοποιήθηκε η γνωστή ιδίότητα για τις συναρτήσεις Γαµµα, xγpxq Γp1 ` xq. Για να περάσουµε στο όριο D Ñ 4, η το ίδιο ɛ Ñ 0, χρειάζεται να αναπτύξουµε ώς προς ɛ χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι για ɛ Ñ 0 η συνάρτηση Γαµµα, όπως δόθηκε στις εξετάσεις, είναι Γpɛq 1{ɛ γ ` lnp4πq. Κάνοντας προσεκτικά το ανάπτυγµα, λαµβάνοντας υπ όψη όλους τους όρους που περιέχουν το ɛ, παίρνουµε τετριµµένα Σ loop pp 2 q λ 32π 2 ˆm2 ˆˆ1 ɛ γ ` lnp4πq ` 1 ` lnp4πq 2 ln ˆm µ όπου έχουµε παραλήψει τους όρους που µηδενίζονται όταν ɛ 0. Οπως λέει η εκφώνηση ο όρος (πόλος) 1{ɛ αναιρείται από το C οπότε ο προνοµαστής του διαδότη σε τέσσερεις διαστάσεις, ɛ 0, ϑα είναι p 2 ˆm 2 Σpp 2 q p 2 ˆm 2 1 ` ˆλ ˆmµ ˆ 2 32π 2 ln ` 1 ` 2 lnp4πq γ (30) Η ϕυσική µάζα m 2 phys, όπως εχει αναφερθεί και στο µάθηµα, έιναι ο πόλος του διαδότη, οι τιµή δηλαδή του p 2 για την οποία µηδενίζεται το αντίστροφο του διαδότη, δηλαδή στην περίπτωση µας m 2 phys ˆm2 1 ` ˆλ ˆmµ ˆ 2 32π 2 ln ` 1 ` 2 lnp4πq γ (31) (29)

Αρα η µάζα ˆm που εµφανίζεται στην ϑεωρία δεν αποτελεί την ϕυσική µάζα, είναι απλά κάποια παράµετρος µάζας. Ασφαλώς στην περίπτωση που αγνοηθούν οι αλληλεπιδράσεις ( ˆλ 0 ) οι δύο µάζες ˆm και m phys ταυτίζονται. ( Σηµείωση : Η ϕυσική µάζα m phys δεν πρέπει να εξαρτάται από την αυθαίρετη κλίµακα µ. Αυτό πράγµατι είναι και η περίπτωση. Για την ακρίβεια οι παράµετροι µάζας ˆm και σταθεράς Ϲεύξης ˆλ είναι συναρτήσεις της κλίµακας επακανονικοποίησης µ αλλά οχι οποιαδήποτε ϕυσική ποσότητα! Η επισήµανση αυτή ίσως είναι χρήσιµη για όσους επιθυµούν να µελετήσουν περαιτέρω το ϑέµα αυτό που σχετίζεται µε τις µεταβολές των παραµέτρων µιάς ϑεωρίας µε την αλλαγή της κλίµακας επακανονικοποίησης. ) ΘΕΜΑ 4 ι) Οταν g 1 g 2 το δυναµικό είναι συνάρτηση του αθροίσµατος φ 2 1 ` φ2 2. Στην περίπτωση αυτή υπάρχει η προφανής συµµετρία σε µετασχηµατισµούς φ 1 1 cos ω φ 1 ` sin ω φ 2 φ 1 2 sin ω φ 1 ` cos ω φ 2 (32) όπου η σταθερή γωνία ω είναι παράµετρος των µετασχηµατισµών, ενώ το πεδίο Σ δεν αλλάζει, δηλαδή Σ 1 Σ. Αυτοί οι µετασχηµατισµοί είναι στροφές οι οποίες αφήνουν αναλλοίωτο το άθροισµα φ 2 1 ` φ2 2 και εποµένως το δυναµικό είναι αναλλοίωτο κάτω από αυτούς τους µετασχηµατισµούς. Επειδη η γωνία ω είναι σταθερή οι όροι κινητικής ενεργειας είναι επίσης αναλλοίωτοι και εποµένως η Λαγκρανζιανή είναι αναλλοίωτη. Από το ϑεώρηµα Nöther υπάρχει ένα διατηρούµενο ϱεύµα που υπολογίζεται τετριµµένα ( δές εξίσωση (134) των σηµειώσεων ). Για να το εκφράσουµε χρειάζονται µόνο οι απειροστές µεταβολές των πεδίων που για µικρές γωνίες δω είναι, όπως ϐρίσκεται από τις (32), Το διατηρούµενο ϱευµα που προκύπτει είναι δφ 1 φ 2 δω, δφ 2 φ 1 δω (33) J µ φ 1 B µ φ 2 φ 2 B µ φ 1 (34) Στην περίπτωση που g 1 g 2 η Λαγκρανζιανή δεν είναι αναλλοίωτη και η µεταβολή της είναι µη µηδενική που γράφεται ως δl A δω. Από τις σηµειώσεις γνωρίζουµε ότι σε αυτή την περίπτωση το ϱεύµα δεν διατηρείται, και µάλιστα B µ J µ A (35) Η ποσότητα A είναι πολύ απλό να υπολογισθεί. Χρειαζόµαστε να ϐρούµε την µεταβολή µόνο των όρων που παραβιάζουν την συµµετρία και αυτοί είναι µόνο οι όροι g 1 Σφ 2 1 ` g 2Σφ 2 2 του δυναµικού. Πολύ εύκολα ϐρίκεται εποµένως, από τις απειροστές µεταβολές (33) ότι δl 2 pg 1 g 2 q φ 1 φ 2 Σ (36) η οποία είναι µηδέν στο όριο g 1 g 2. Το ϱεύµα δεν διατηρείται και ικανοποεί την σχέση B µ J µ 2pg 1 g 2 q φ 1 φ 2 Σ (37) Σε αυτό το αποτέλεσµα µπορεί να οδηγηθεί κανείς ϐρίσκοντας την έκφραση για την απόκλιση του ϱεύµατος χρησιµοποιώντας µετά τις εξισώσεις κίνησης για τα πεδία φ 1 και φ 2. ιι) Τα διαγράµµατα ενός κβαντικού ϐρόχου για τους διαδότες που Ϲητούνται απεικονίζοντα στην εικόνα [2]. Τα paq, pbq, pcq αφορούν στον διαδότη για το φ 1 και τα pa 1 q, pb 1 q, pc 1 q για αυτόν του φ 2. Οι εµπλεκόµενες κορυφές για αυτά τα διαγράµµατα, στην αναπαράσταση ϑέσης, δίνονται παρακάτω, κορυφή µε τέσσερα φ 1 η τέσσερα φ 2 ÝÑ i λ κορυφή µε δύο φ 1 κι δύο φ 2 ÝÑ i 8 λ κορυφή µε δύο φ 1 και ένα Σ ÝÑ i 2 g 1 κορυφή µε δύο φ 2 και ένα Σ ÝÑ i 2 g 2 (38)

Σχήµα 2: ιαγράµµατα ενός ϐρόχου για τον διαδότη φ 1 φ 1 (επάνω) και φ 2 φ 2 (κατω). Το πεδίο φ 1 απεικονί- Ϲεται µε συνεχή γραµµή, το πεδίο φ 2 µε εστιγµέννη και το Το πεδίο Σ µε κυµατοειδή. Προσέξτε τους συντελεστές µπροστά από τις Ϲεύξεις, σε κάθε περίπτωση, λόγω του γεγονότος ότι υπάρχουν ταυτοτικά σωµατίδια. Πολύ εύκολα µπορεί κανείς να λογαριάσει τα αποκοµµένα διαγράµµατα, δηάδή χωρίς την συνεισφορά των εξωτερικών γραµµών, που εµφανίζονται στο σχήµα [2]. Οι συνεισφορές των αποκοµµένων διαγραµµάτων paq, pbq, pcq εµφανίζονται ακολούθως paq λ ż d 4 z F pz zq 2 pbq 8 λ ż d 4 z F pz zq 2 ż pcq 4g1 2 d 4 z 1 d 4 z 2 F pz 1 z 2 q D F pz 1 z 2 q (39) όπου µε F έχουµε συµβολίσει τους διαδότες χωρίς ϐρόχους ( tree-level) των φ 1, φ 2, που είναι ίδιοι επειδή τα φ 1, φ 2 έχουν ίδια µάζα m, και µε D F τον αντίστοιχο διαδότη του πεδίου Σ που είναι διαφορετικός εν γένει γιατί η µάζα M είναι γενικα διαφορετική από την m. Στα πιο πάνω αποτελέσµατα έχουν ασφαλως συµπε- ϱιληφθεί και οι συνδιαστικοί παράγοντες που για τα τρία διαγράµµατα είναι κατά σειρα c F 1{2, 1{2, 1 Τα διαγράµµατα pa 1 q, pb 1 q, pc 1 q, που αφορούν το φ 2, είναι ακριβώς τα ίδια µε µόνη διαφορά ότι στο τελευταίο διάγραµµα η Ϲεύξη g 1 αντικαθίσταται από την g 2. Αρα αν g 1 g 2 έχουµε διαφορετικά αποτελέσµατα, λόγω της παρουσίας της Ϲεύξης του Σ µε τα φ 1,2, ενώ αν g 1 g 2 έχουµε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσµα γιατι οι προαναφερόµενες Ϲεύξεις είναι ίδιες για τα φ 1 και φ 2. Ως αποτέλεσµα οι διαδότες ενός κβαντικού ϐρόχου είναι ίδιοι στο όριο g 1 g 2. Αυτό είναι γενικό µη-διαταρακτικό συµπέρασµα, όπωε ϑα δείξουµε στο επόµενο ερώτηµα ιιι) οταν g 1 g 2 η συµµετρία της ϑεωρίας µεταφέρεται και στο αντίστοιχο συναρτησοειδές από το ο- ποίο υπολογίζονται όλες οι συναρτήσεις συσχέτισης και ασφαλώς και οι διαδότες. Αυτό το πρόβληµα έχει διατυπωθέι και λυθεί στο µάθηµα όπου ϐρήκαµε λογω τηςε συµµετρίας ότι ϑα πρέπει να ισχύει ZrJ 1, J 2 s Zrcos ω J 1 sin ω J 2, sin ω J 1 ` cos ω J 2 s (40) όπου ω είναι µιά τυχαία γωνία και J 1, J 2 οι πηγές των φ 1, φ 2 ( δεν είναι αναγκαίο να παρουσιάσουµε και την εξάρτηση του συναρτησοειδούς απο την πηγή του πεδίου Σ ). Για µικρές γωνίες έχουµε δείξει ότι αυτή

οδηγεί στην σχέση ż d 4 z ˆ J 1 pzq δz δj 2 pzq J 2pzq δz δj 1 pzq 0 (41) ιαφορίζοντας µία ϕορά ως προς J 1 pxq και άλλη µία ως πρός J 2 pyq και µηδενιζοντας τις πηγές µετά τις παραγωγίσεις προκύπτει άµεσα η ταυτότητα ( Ward identity ) δ 2 Z δj 1 pxq δj 1 pyq δ 2 Z δj 2 pxq δj 2 pyq όπου J 1 0, J 2 0 (42) Αρά οι διαδότες είναι ίδιοι για τα πεδία φ 1 και φ 2.