ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2"

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017 ( ) a b Ασκηση 1 Εστω A ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K Να δειχθεί ότι : c d A 0 είτε υπάρχει λ K : a λc και b λd είτε υπάρχει µ K : c µa και d µb Με άλλα λόγια, η ορίζουσα ενός 2 2 πίνακα είναι ίση µε µηδέν αν και µόνον αν µία από τις δύο γραµµές είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο της άλλης Λύση (1) Αν a λc και b λd για κάποιο λ K, τότε A λc λd c d λcd λcd 0 Παρόµοια αν c µa και d µb για κάποιο µ K, τότε : A a b µa µb µab µab 0 (2) Εστω ότι A 0 και εποµένως ad bc ιακρίνουµε περιπτώσεις : (αʹ) Υποθέτουµε ότι d 0 (i) Αν c 0, τότε ορίζονται τα κλάσµατα a c b d : λ K και τότε προφανώς ϑα έχουµε a λc και b λd (ii) Αν c 0, τότε ad 0 και επειδή d 0, ϑα έχουµε a 0 Επειδή d 0, ορίζεται το κλάσµα b d : λ K και τότε ϑα έχουµε b λd και a 0 λ 0 λc Άρα αν d 0, υπάρχει πάντα λ K έτσι ώστε : a λc και b λd (ϐʹ) Υποθέτουµε ότι d 0 (i) Αν b 0, τότε επειδή 0 ad bc, ϑα έχουµε c 0 Θέτοντας µ 0, ϑα έχουµε : µ a 0 c και µ b 0 d (ii) Αν b 0, τότε διακρίνουµε περιπτώσεις : (Αʹ) Αν c 0, τότε ϑέτοντας µ 0, ϑα έχουµε µa 0 c και µb 0 d (Βʹ) Αν c 0, τότε εξετάζουµε το στοιχείο a Αν a 0, τότε ϑέτοντας µ 0, ϑα έχουµε : µ a 0 c και µ b 0 d Αν a 0, τότε ορίζεται το κλάσµα c a : µ και τότε : µ a c και µ b 0 d Άρα αν d 0, υπάρχει πάντα µ K έτσι ώστε : µa c και µb d Ασκηση 2 Χωρίς να υπολογιστεί, να ϐρεθεί η ορίζουσα του πίνακα : a b c d b a d c c d a b d c b a

2 2 Λύση Θεωρούµε τον ανάστροφο πίνακα t A τοψ A και υπολογίζουµε τον πίνακα A ta: a b c d a b c d A ta b a d c c d a b b a d c c d a b d c b a d c b a a 2 + b 2 + c 2 + d a 2 + b 2 + c 2 + d a 2 + b 2 + c 2 + d a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Χρησιµοποιώντας ότι t A A, ϑα έχουµε : (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 4 A ta A t A A A A 2 A (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 Ασκηση 3 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του ακόλουθου πίνακα : A Λύση Θα έχουµε : Γ 2 Γ 2 2Γ 1 Γ 3 Γ 3 Γ 1 Γ 2 Γ 2 +2Γ Ανάπτυξη κατά τα στοιχεία της δεύτερης γραµµής Ανάπτυξη κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής ( 1) Ασκηση 4 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του ακόλουθου πίνακα : A Λύση Αναπτύσσοντας κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής ϑα έχουµε : A ( 1) ( 1) 1+6 ( 1) ( 1) 1+6 ( 1) ( 1) ( 1)1+6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1+6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 5 6 6!

3 3 Ασκηση 5 Να υπολογίσετε την ορίζουσα Λύση Εχουµε : α β γ β + γ γ + α α + β (α + β + γ) α β γ β + γ γ + α α + β Γ 2 Γ 2 +Γ 3 α + β + γ β + γ + α γ + α + β β + γ γ + α α + β β + γ γ + α α + β όπου η προτελευταία ισότητα προέκυψε διότι ο πίνακας (α + β + γ) 0 0 α β γ β + γ γ + α α + β έχει δύο γραµµές ίσες Ασκηση 6 Αν α, β και γ είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε να δείξετε ότι α β γ (β α)(γ α)(γ β) (ορίζουσα Vandermonde τρίτης τάξης) α 2 β 2 γ 2 Λύση Εχουµε α β γ α 2 β 2 γ 2 (α β) (α β) Ανάπτυξη κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής Σ 1 Σ 1 Σ 2 α β β γ α 2 β 2 β 2 γ β γ α + β β 2 γ 2 0 (β γ) (β γ) 1 γ α + β (β γ) (β + γ) γ 2 (α β) (β γ) Ασκηση 7 Να υπολογίσετε την ορίζουσα Λύση Εχουµε 1 + α 1 β α 1 β α 1 β α 2 β α 2 β α 2 β α 3 β α 3 β α 3 β 3 (α 2 α 1 )(α 3 α 1 ) (α β) (α β) 1 β γ (α β) (α + β) β 2 γ 2 Σ 2 Σ 2 Σ (α β) 1 β γ γ α + β β 2 γ 2 γ (α β) (β γ) 1 1 γ α + β β + γ γ α + β β + γ (α β) (β γ) (β + γ α β) (α β) (β γ) (γ α) 1 + α 1 β α 1 β α 1 β α 2 β α 2 β α 2 β α 3 β α 3 β α 3 β α 1 β α 1 β α 1 β 3 Γ 2 Γ 2 Γ 1 (α 2 α 1 )β 1 (α 2 α 1 )β 2 (α 2 α 1 )β 3 (α 3 α 1 )β 1 (α 3 α 1 )β 2 (α 3 α 1 )β α 1 β α 1 β α 1 β 3 β 1 β 2 β 3 β 1 β 2 β 3 0 όπου στην τελευταία ισότητα χρησιµοποιήσαµε ότι η ορίζουσα ενός πίνακα µε δύο ίσες γραµµές είναι ίση µε µηδέν

4 4 Ασκηση 8 Να υπολογίσετε την ορίζουσα Λύση Εχουµε : sin 2 (x) 1 cos 2 (x) sin 2 (y) 1 cos 2 (y) sin 2 (z) 1 cos 2 (z) sin 2 (x) 1 cos 2 (x) sin 2 (y) 1 cos 2 (y) sin 2 (z) 1 cos 2 (z) Σ 1 Σ 1 +Σ 3 sin 2 (x) + cos 2 (x) 1 cos 2 (x) sin 2 (y) + cos 2 (y) 1 cos 2 (y) sin 2 (z) + cos 2 (z) 1 cos 2 (z) 1 1 cos 2 (x) 1 1 cos 2 (y) 1 1 cos 2 (z) 0 όπου στην τελευταία ισότητα χρησιµοποιήσαµε ότι η ορίζουσα ενός πίνακα µε δύο ίσες στήλες είναι ίση µε µηδέν Ασκηση 9 Αν λ R, να υπολογισθεί η ορίζουσα A του 4 4 πίνακα πραγµατικών αριθµών : A 1 2 λ λ 2 Λύση Εχουµε λ λ 2 (4 λ ) 0 1 λ Γ 2 Γ 2 Γ 1 Γ 4 Γ 4 Γ 3 ανάπτυγµα κατά τα στοιχεία της δεύτερης γραµµής λ λ 2 ανάπτυγµα κατά τα στοιχεία της τέταρτης γραµµής (4 λ 2 )(1 λ 2 ) (1 λ2 )(4 λ 2 ) Ασκηση 10 Θεωρούµε έναν πίνακα A M 3 (K) ο οποίος ικανοποιεί την σχέση : A A O Να δείξετε ότι ο πίνακας A + I 3 είναι αντιστρέψιµος, να ϐρείτε τον (A + I 3 ) 1, και να υπολογίσετε την ορίζουσα A του A Λύση Στην ισότητα 3 3 πινάκων A A O προσθέτουµε και στα δύο µέλη τον µοναδιαίο 3 3 πίνακα I 3 και ϑα έχουµε : A A O A A + I 3 O + I 3 I 3 (A + I 3 ) (A + I 3 ) I 3 Εποµένως (A + I 3 ) (A + I 3 ) I 3 (A + I 3 ) (A + I 3 ) και άρα ο πίνακας A + I 3 είναι αντιστρέψιµος και Από τη σχέση A A O έπεται ότι (A + I 3 ) 1 A + I 3 A (A + 2I 3 ) O A (A + 2I 3 ) O A A + 2I 3 0 A 0 ή A + 2I 3 0 Αν A 0, τότε γνωρίζουµε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και εποµένως υπάρχει ο αντίστροφός του A 1 Πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά τη σχέση A 2 + 2A O µε τον πίνακα A 1 ϑα έχουµε : A 1 (A 2 + 2A) A 1 O A 1 A (A + 2I 3 ) O I 3 (A + 2I 3 ) O A + 2I 3 O Θεωρώντας ορίζουσες και στα δύο µέλη ϑα έχουµε : A 2I 3 A 2I 3 ( 2) 3 I 3 8

5 5 Συνοψίζοντας δείξαµε ότι : { 0, αν ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιµος A 8, αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 11 Θεωρούµε τους ακόλουθους 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K: ( ) ( ) x 1 A B και B A 2 4 x 1 Να ϐρεθεί ο αριθµός x Λύση Γνωρίζουµε ότι, για τυχόντες n n πίνακες A και B, ισχύει ότι : Στην περίπτωσή µας, έχουµε : A B A B B A B A 4 A B B A 2 + x(x 1) x 2 x 2 0 x 1 ή x 2 Ασκηση 12 Εστω A ένας αντισυµµετρικός n n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K Q ή R ή C Αν ο n είναι περιττός, να δειχθεί ότι A 0 Ακολούθως να δοθούν παραδείγµατα αντισυµµετρικών 2 2 και 4 4 πινάκων µε µη µηδενική ορίζουσα Λύση Από τον ορισµό αντισυµµετρικού πίνακα, έχουµε t A A Εποµένως, επειδή οι πίνακες t A και A έχουν τιν ίδια ορίζουσα, ϑα έχουµε : A t A A ( 1) n A Αν ο n είναι περιττός, τότε A A απ όπου 2 A 0, δηλαδή A 0 Οι ακόλουθοι πίνακες είναι αντισυµµετρικοί µε µη-µηδενική ορίζουσα : ( ) και Ασκηση 13 Να λυθεί η εξίσωση Λύση Εχουµε 2 x 1 i 1 2 x i i i 2 x Σ 2 Σ 2 +Σ 1 (1 x) Άρα, έπεται ότι 2 x 1 i 1 2 x i i i 2 x 0, όπου i2 1 1 x 1 + x 0 Γ 1 Γ 1 Γ x i i i 2 x x i i 2i 2 x (1 x) 3 x 2i (1 x)(x 2 5x + 4) 0 (1 x)(x 1)(x 4) 0 (1 x) x i i i 2 x i 2 x (1 x)(x2 5x + 4) { x 1, πολλαπλότητας 2 x 4, απλή

6 6 Ασκηση 14 Να υπολογισθεί η n n ορίζουσα Λύση Αφαιρώντας διαδοχικά την πρώτη γραµµή από τις υπόλοιπες γραµµές, έχουµε : Γ 2 Γ 2 Γ 1, Γ 3 Γ 3 Γ ( 1) n 1, Γ n Γ n Γ όπου στην τελευταία ισότητα χρησιµοποιήσαµε ότι η ορίζουσα ενός άνω τριγωνικού πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο των διαγωνίων στοιχείων του Ασκηση 15 Να υπολογισθεί η n n ορίζουσα n n n Λύση Προσθέτοντας την πρώτη γραµµής σε όλες τις υπόλοιπες ϑα έχουµε : n n n n n Γ 2 Γ 2 +Γ 1, Γ 3 Γ 3 +Γ n (n 1) n n!, Γ n Γ n+γ n όπου στην τελευταία ισότητα χρησιµοποιήσαµε ότι η ορίζουσα ενός άνω τριγωνικού πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο των διαγωνίων στοιχείων του Ασκηση 16 Να υπολογισθεί η n n ορίζουσα Λύση Θέτουµε Αν n 1, τότε A Αν n 2, τότε A A n Αν n 3, τότε µε τον κανόνα του Sarrus, υπολογίζουµε εύκολα ότι A Με χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής, ϑα δείξουµε ότι : A n 2 n+1 1 (1)

7 7 Από την παραπάνω ανάλυση, έπεται ότι η σχέση (1) ισχύει οταν n 1, 2, 3 Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουµε ότι : A k 2 k+1 1, για κάθε 1 k n Εστω n 3 Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του πίνακα A n κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής, ϑα έχουµε : A n A n 1 2 A n Να σηµειώσουµε ότι οι ορίζουσες µετά την δεύτερη ισότητα είναι (n 1) (n 1), και η ορίζουσα A n 2 πρόεκυψε αναπτύσσοντας την ορίζουσα πριν την τελευταία ισότητα κατά τα στοιχεία της πρώτης στήλης Εποµένως, χρησιµοποιώντας την επαγωγική υπόθεση, ϑα έχουµε : A n+1 3 A n 2 A n 1 3 (2 n+1 1) 2 (2 n 1) 3 2 n n n+1 2 n n n (n+1)+1 1 Εποµένως η σχέση (1) είναι αληθής και για k n + 1 Τότε από την Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής, έπεται ότι η σχέση (1) είναι αληθής για κάθε n 1 Ασκηση 17 Να υπολογισθεί η n n ορίζουσα A α + β αβ α + β αβ α + β α + β αβ α + β Λύση Αναπτύσσοντας την ορίζουσα A n κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής, έχουµε : α + β αβ αβ α + β α + β 0 0 A n (α + β) αβ 0 0 α + β αβ 0 0 α + β αβ α + β α + β Να σηµειώσουµε ότι οι παραπάνω ορίζουσες είναι (n 1) (n 1) Παρατηρούµε ότι η πρώτη ορίζουσα είναι η αρχική που ξεκινήσαµε αλλά µεγέθους (n 1) (n 1) και αν αναπτύξουµε την δεύτερη ορίζουσα ως προς την πρώτη στήλη, τότε καταλήγουµε στην αναδροµική σχέση : A n (α + β) A n 1 αβ A n 2 (2) Για να καταλάβουµε ποια έιναι η τιµή της ορίζουσας A n, ξεκινάµε πρώτα υπολογίζοντας τις παρακάτω ορίζουσες : A 1 α + β A 2 α + β αβ 1 α + β α2 + αβ + β 2 A 3 α + β αβ 0 1 α + β αβ 0 1 α + β α3 + α 2 β + αβ 2 + β 3

8 8 Με ϐάση τους παραπάνω υπολογισµούς ϑα δείξουµε µε Μαθηµατική Επαγωγή ότι : A k α k + α k 1 β + α k 2 β α 2 β k 2 + αβ k 1 + β k, k 1 ( ) 1 Για k 1, η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει αφού A 1 α + β 2 Υπόθεση Επαγωγής: Εστω ότι η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει για k n, δηλαδή δεχόµαστε ότι : A k α k + α k 1 β + α k 2 β α 2 β k 2 + αβ k 1 + β k 3 Θα δείξουµε ότι η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει για k n + 1 Εχουµε Εποµένως, έχουµε, n 1: A n+1 (2) (α + β) A n αβ A n 1 (α + β)(α n + α n 1 β + + αβ n 1 + β n ) αβ(α n 1 + α n 2 β + + αβ n 2 + β n 1 ) α n+1 + α n β + + αβ n + β n+1 A n α n + α n 1 β + α n 2 β α 2 β n 2 + αβ n 1 + β n Ασκηση 18 Να υπολογισθεί η 2n 2n ορίζουσα α 0 0 β 0 α β 0 0 β α 0 β 0 0 α Λύση Αν αναπτύξουµε την ορίζουσα A 2n ως προς την πρώτη στήλη, τότε έχουµε : α 0 β β 0 α 0 0 α 0 β 0 A 2n α β β 0 α 0 0 β α β 0 α 0 Να σηµειώσουµε ότι οι παραπάνω ορίζουσες είναι (2n 1) (2n 1) Αν αναπτύξουµε την πρώτη ορίζουσα ως προς τη τελευταία γραµµή και τη δεύτερη ορίζουσα ως προς τη πρώτη γραµµή, τότε καταλήγουµε A 2n α 2 A 2n 2 β 2 A 2n 2 (α 2 β 2 ) A 2n 2 (3) Για να καταλάβουµε ποια έιναι η τιµή της ορίζουσας A 2n, ξεκινάµε πρώτα υπολογίζοντας τις παρακάτω ορίζουσες : A 2 α β β α α2 β 2 A 4 A 6 α 0 0 β 0 α β 0 0 β α 0 β 0 0 α α β 0 α 0 0 β α β β α β 0 0 α 0 β α (α 2 β 2 ) 2 (α 2 β 2 ) 3

9 9 Με ϐάση τους παραπάνω υπολογισµούς ϑα δείξουµε µε Μαθηµατική Επαγωγή ότι : A 2k (α 2 β 2 ) k, k 1 ( ) 1 Για k 1, η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει αφού A 2 α 2 β 2 2 Υπόθεση Επαγωγής: Εστω ότι ισχύει για k < n, δηλαδή δεχόµαστε ότι : A 2k (α 2 β 2 ) k 3 Θα δείξουµε ότι η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει για k n Εχουµε A 2n (3) (α 2 β 2 ) A 2n 2 (α 2 β 2 )(α 2 β 2 ) n 1 (α 2 β 2 ) n Άρα, έχουµε A 2n (α 2 β 2 ) n, n 1 Ασκηση 19 Να υπολογισθεί η ορίζουσα του ακόλουθου n n πίνακα A, όπου x R: 1 + x 2 x x 1 + x 2 x x 1 + x 2 x 0 0 A x 2 x x 1 + x 2 x x 1 + x 2 Λύση Αν αναπτύξουµε την ορίζουσα A n ως προς την πρώτη γραµµή, τότε έχουµε : 1 + x 2 x 0 0 x x 0 0 x 1 + x x A n (1 + x 2 ) x x 2 x 0 0 x 1 + x x 2 x 0 0 x 1 + x 2 Να σηµειώσουµε ότι οι παραπάνω ορίζουσες είναι (n 1) (n 1) Παρατηρούµε ότι η πρώτη ορίζουσα είναι η αρχική που ξεκινήσαµε αλλά διάστασης (n 1) (n 1) και αν αναπτύξουµε την δεύτερη ορίζουσα ως προς την πρώτη στήλη, τότε έχουµε A n (1 + x 2 ) A n 1 x 2 A n 2 (4) Για να καταλάβουµε ποια έιναι η τιµή της ορίζουσας A n, ξεκινάµε πρώτα υπολογίζοντας τις παρακάτω ορίζουσες : A x 2 A x2 x x 1 + x x2 + x 4 A x 2 x 0 x 1 + x 2 x 0 x 1 + x x2 + x 4 + x 6 Με ϐάση τους παραπάνω υπολογισµούς ϑα δείξουµε µε Μαθηµατική Επαγωγή ότι : A k 1 + x 2 + x 4 + x 2k, k 1 ( ) 1 Για k 1, η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει αφού A x 2 2 Υπόθεση Επαγωγής: Εστω ότι ισχύει για k n, δηλαδή δεχόµαστε ότι : A k 1 + x x 2k

10 10 3 Θα δείξουµε ότι η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει για k n + 1 Εχουµε A n+1 (4) (1 + x 2 ) A n x 2 A n 1 (1 + x 2 )(1 + x x 2n ) x 2 (1 + x x 2(n 1) ) 1 + x x 2n+2 Εποµένως, έχουµε A n 1 + x 2 + x x 2n, n 1 Ασκηση 20 Να λυθεί η εξίσωση ως προς x: A 0, όπου A είναι ο ακόλουθος n n πίνακας : x x A n 2 x n 1 x n x Λύση Αφαιρώντας την πρώτη γραµµή από όλες τις υπόλοιπες, ϑα έχουµε : x x Γ 2 Γ 2 Γ 1, Γ 3 Γ 3 Γ 1, Γ n Γ n Γ n 2 x n 1 x n x x x ( x)(1 x)(2 x) (n 1 x) n 3 x n 2 x n 1 x όπου στην τελευταία ισότητα χρησιµοποιήσαµε ότι η ορίζουσα ενός άνω τριγωνικού πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο των διαγωνίων στοιχείων του Εποµένως A 0 ( x)(1 x)(2 x) (n 1 x) 0 x 0 ή x 1 ή x 2 ή ή x n 1 ηλαδή οι ϱίζες της εξίσωσης A 0 είναι οι αριθµοί : 0, 1, 2,, n 1 Ασκηση 21 Πόσες διαφορετικές τιµές µπορεί να έχει η ορίζουσα ενός 5 5 πίνακα τής µορφής A ; (Με συµβολίζουµε αυθαίρετες τιµές στοιχείων του K) Λύση Θεωρουµε το πέµπτο στοιχείο τής τέταρτης γραµµής του πίνακα A

11 11 (1) Πρώτη Περίπτωση Αν το πέµπτο στοιχείο τής τέταρτης γραµµής είναι µηδέν, τότε ο πίνακας A έχει την µορφή A Αναπτύσσοντας την ορίζουσα κατά τα στοιχεία τής πρώτης γραµµής ϐλέπουµε ότι οφείλουµε να υπολογίσουµε δύο ορίζουσες 4 4 πινάκων που και οι δυό τους έχουν τη µορφή A Οι τελευταίοι 4 4 πίνακες είναι κάτω τριγωνικοί µε µηδενικό στοιχείο στην κύρια διαγώνιό τους και συνεπώς η ορίζουσά τους ισούται µε µηδέν Ωστε, σε αυτή την περίπτωση έχουµε : A 0 (2) εύτερη Περίπτωση Αν το πέµπτο στοιχείο τής τέταρτης γραµµής δεν είναι µηδέν, τότε αφαιρώντας ένα κατάλληλο πολλαπλάσιο τής τέταρτης γραµµής από την πέµπτη, µπορούµε να µηδενίσουµε το πέµπτο στοιχείο τής πέµπτης γραµµής Ετσι προκύπτει ο πίνακας B και εκ κατασκευής έχουµε A B Στον πίνακα B εναλλάσσουµε την πέµπτη µε την τέταρτη γραµµή Ετσι προκύπτει ένας πίνακας τής µορφής και εκ κατασκευής έχουµε C B C Οµως ο πίνακας C είναι της µορφής που µελετήσαµε στην πρώτη περίπτωση, και εποµένως έχουµε C 0 Συµπεραίνουµε ότι καιµστην δεύτερη περίπτωση έχουµε : Άρα σε κάθε περίπτωση, έχουµε : A 0 A B C 0 Η ακολουθία Fibonacci F n, n 0, είναι η ακολουθία ϕυσικών αριθµών η οποία ορίζεται ως εξής : F 0 1, F 1 1, F 2 2, F 3 3, F 4 5, F 5 8, F 6 13, F 7 21, F 8 34, F 9 55 και κάθε όρος της, εκτός του µηδενικού, είναι το άθροισµα των δύο προηγούµενων, δηλαδή, n 1: F n+1 F n + F n 1

12 12 Ασκηση 22 Να δειχθεί ότι για κάθε n 1, η ορίζουσα του n n πίνακα A n συµπίπτει µε τον n-οστό όρο της ακολουθίας Fibonacci, δηλαδή : A n F n, n 1 Λύση Για n 1, έχουµε A 1 1 F 1 Για n 2, έχουµε A F 2 Για κάθε n 3, ϑα έχουµε : A n Ανάπτυγµα κατά τα στοιχεία της πρώτης στήλης Στο παραπάνω άθροισµα οριζουσών, οι ορίζουσες είναι µεγέθους (n 1) (n 1), και η πρώτη είναι προφανώς η ορίζουσα του πίνακα A n 1 Αναπτύσσοντας την δεύτερη ορίζουσα κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής, η ορίζουσα η οποία ϑα προκύψει είναι µεγέθους (n 2) (n 2) και προφανώς συµπίπτει µε την ορίζουσα του πίνακα A n 2 Εποµένως, από τις παραπάνω σχέσεις έχουµε : A n A n 1 + A n 2 Ετσι, χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση, έχουµε A 3 A 2 + A F 3 Ετσι, οι τρεις πρώτες ορίζουσες, συµπίπτουν µε τους τρεις πρώτους όρους της ακολουθίας Fibonacci, και κάθε µια από τις υπόλοιπες ορίζουσες προκύπτει ως το άθροισµα των δύο προηγούµενων Αυτό σηµαίνει ότι A n F n Ασκηση 23 Εστω ότι x, y είναι πραγµατικοί αριθµοί Να ϐρεθεί η ορίζουσα του n n πίνακα x y x y x 0 0 A n x y y x

13 13 Λύση Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του A n κατά τα στοιχεία της πρώτης στήλης, έχουµε : x y x y y x y x y 0 0 x y x x 0 0 A n x +( 1) 1+n 0 x y 0 0 y x y x y y 0 y x x x y }{{}}{{} ορίζουσα τάξης n 1 ορίζουσα τάξης n 1 Εποµένως : x x n 1 + ( 1) n+1 y y n 1 x n + ( 1) n+1 y n A n x n + ( 1) n+1 y n Ασκηση 24 Εστω ότι a, b είναι πραγµατικοί αριθµοί Να ϐρεθεί η ορίζουσα του n n πίνακα a b b b b b a b b b b b a b b A n b b b a b b b b b a Λύση Προσθέτουµε όλες τις στήλες του πίνακα A n στην πρώτη στήλη : a b b b b a + (n 1)b b b b b b a b b b a + (n 1)b a b b b b b a b b Σ 1 Σ 1 +Σ 2 + +Σ n a + (n 1)b b a b b A n b b b a b a + (n 1)b b b a b b b b b a a + (n 1)b b b b a 1 b b b b 1 b b b b ( a+(n 1)b ) 1 a b b b 0 a b b a b b Γ 2 Γ 2 Γ 1, ( ) 0 0 a b 0 0 a+(n 1)b, Γ n Γ n Γ 1 1 b b a b a b 0 1 b b b a a b Εποµένως : ( a + (n 1)b ) (a b) n 1 A n ( a + (n 1)b ) (a b) n 1 Ασκηση 25 Εστω ότι x, a 1, a 2,, a n είναι πραγµατικοί αριθµοί Να ϐρεθεί η ορίζουσα του n n πίνακα a 1 x x x x x a 2 x x x x x a 3 x x A n x x x a n 1 x x x x x a n

14 14 Λύση Η τελευταία στήλη του πίνακα A µπορεί να γραφεί x x 0 x x 0 x x 0 + x x 0 a n x a n x Γνωρίζουµε ότι αν µια στήλη Σ j ενός πίνακα A είναι ίση µε το άθροισµα Σ j + Σ j δύο στηλών Σ j και Σ j, τότε η ορίζουσα του πίνακα A είναι ίση µε το άθροισµα των οριζουσών A + A δύο πινάκων A και A, οι οποίοι προκύπτουν από τον A αντικαθιστώντας την j-στήλη του A µε τις στήλες Σ j και Σ j αντίστοιχα Εφαρµόζοντας την παραπάνω ιδιότητα στην τελευταία στήλη του πίνακα A έχουµε : A n a 1 x x x x x a 2 x x x x x a 3 x x x x x a n 1 x x x x x a n a 1 x x x x x a 2 x x x x x a 3 x x x x x a n 1 x x x x x x + a 1 x x x 0 x a 2 x x 0 x x a 3 x 0 x x x a n 1 0 x x x x a n x Αναπτύσσοντας την δεύτερη ορίζουσα κατά τα στοιχεία της τελευταίας στήλης, έχουµε : a 1 x x x 0 a 1 x x x x x a 2 x x 0 x a 2 x x x x x a 3 x 0 x x a 3 x x (a n x) (a n x) A n 1 x x x a n 1 0 x x x a n 1 x x x x x a n x x x x x a n όπου η τελευταία ισότητα προέκυψε διότι η τελευταία ορίζουσα είναι µεγέθους (n 1) (n 1) και άρα ταυτίζεται µε την ορίζουσα του πίνακα A n 1 Για την πρώτη ορίζουσα εργαζόµαστε ως εξής : αφαιρούµε την τελευταία στήλη από όλες τις υπόλοιπες και έχουµε : a 1 x x x x x a 2 x x x x x a 3 x x x x x a n 1 x x x x x x a 1 x x 0 a 2 x 0 0 x 0 0 a 3 x 0 x a n 1 x x x όπου η τελευατία ισότητα προέκυψε διότι ο τελευταίος πίνακας είναι άνω τριγωνικός Συνοψίζοντας δείξαµε ότι : x(a 1 x)(a 2 x) (a n 1 x) A n (a n x) A n 1 + x(a 1 x)(a 2 x) (a n 1 x) (5) Ισχυρισµός: Η ορίζουσα του πίνακα A n είναι ίση µε : A n x(a 1 x)(a 2 x) (a n 2 x)(a n 1 x) + x(a 1 x)(a 2 x) (a n 2 x)(a n x) + x(a 2 x)(a 3 x) (a n 1 x)(a n x) + (a 1 x)(a 2 x) (a n 1 x)(a n x) Αν n 1, τότε προφανώς A 1 a 1 x + (a 1 x), και εποµένως ο παραπάνω τύπος (*) ισχύει ( )

15 15 Αν n 2, τότε προφανώς A 2 a 1 x x a 2 a 1a 2 x 2 x(a 1 x) + x(a 2 x) + (a 1 x)(a 2 x) και εποµένως ο παραπάνω τύπος ( ) ισχύει Επαγωγική Υπόθεση Υποθέτουµε ότι ο παραπάνω τύπος (*) ισχύει για k n Θα δείξουµε ότι ο παραπάνω τύπος ισχύει για k n + 1 Πράγµατι ϑα έχουµε : A n+1 (5) (a n+1 x) A n + x(a 1 x)(a 2 x) (a n 1 x)(a n x) Αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση την ορίζουσα A n από τη σχέση (*), εύκολα ϐλέπουµε ότι A n+1 x(a 1 x)(a 2 x) (a n 2 x)(a n 1 x)(a n+1 x) + x(a 1 x)(a 2 x) (a n 2 x)(a n x)(a n+1 x) + x(a 2 x)(a 3 x) (a n 1 x)(a n x)(a n+1 x) + (a 1 x)(a 2 x) (a n 1 x)(a n x) + x(a 1 x)(a 2 x) (a n 1 x)(a n x) δηλαδή ο παραπάνω τύπος (*) ισχύει και για k n + 1 Σύµφωνα µε την Αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής, ο τύπος (*) ισχύει για κάθε n 1 Ασκηση 26 Εστω ότι x, a 1, a 2,, a n είναι πραγµατικοί αριθµοί Να ϐρεθεί η ορίζουσα του n n πίνακα x + a 1 a 2 a 3 a n 1 a n a 1 x + a 2 a 3 a n 1 a n a 1 a 2 x + a 3 a n 1 a n A n a 1 a 2 a 3 x + a n 1 a n a 1 a 2 a 3 a n 1 x + a n Λύση Για καλύτερη εποπτεία, συµβολίζουµε τον δοθέντα πίνακα µε A n (x; a 1,, a n ) Αν n 1, τότε ο δοθείς πίνακας είναι ο 1 1 πίνακας A 1 (x; a 1 ) (x+a 1 ) και άρα A 1 (x; a 1 ) x+a 1 ( ) x + a1 a Αν n 2, τότε ο δοθείς πίνακας είναι ο 2 2 πίνακας A 2 (x; a 1, a 2 ) 2 και άρα a 2 x + a 2 A 2 (x; a 1, a 2 ) (x + a 1 )(x + a 2 ) a 1 a 2 x 2 + xa 1 + xa 2 x(x + a 1 + a 2 ) Ισχυρισµός: Η ορίζουσα του πίνακα A n είναι ίση µε : A n (x; a 1,, a n ) x n 1 (x + a 1 + a a n ) (6) Οι παραπάνω υπολογισµοί δείχνουν ότι ο ισχυρισµός (6) είναι αληθής, όταν n 1 ή n 2 Επαγωγική Υπόθεση Υποθέτουµε ότι ο παραπάνω τύπος (6) ισχύει για k n 1, δηλαδή υποθέτουµε ότι : A n 1 (x; a 2,, a n ) x n 2 (x + a 2 + a a n ) ( ) Θα δείξουµε ότι ο παραπάνω τύπος ισχύει για k n

16 16 Παρατηρούµε ότι η πρώτη στήλη του πίνακα A n (x; a 1, a n ) µπορεί να γραφεί x + a 1 x a 1 a 1 0 a 1 a 1 0 a 1 + a 1 0 a 1 a 1 0 a 1 Γνωρίζουµε ότι αν µια στήλη Σ j ενός πίνακα A είναι ίση µε το άθροισµα Σ j + Σ j δύο στηλών Σ j και Σ j, τότε η ορίζουσα του πίνακα A είναι ίση µε το άθροισµα των οριζουσών A + A δύο πινάκων A και A, οι οποίοι προκύπτουν από τον A αντικαθιστώντας την j-στήλη του A µε τις στήλες Σ j και Σ j αντίστοιχα Εφαρµόζοντας την παραπάνω ιδιότητα στην τελευταία στήλη του πίνακα A έχουµε : A n (x; a 1, a n ) x + a 1 a 2 a 3 a n 1 a n a 1 x + a 2 a 3 a n 1 a n a 1 a 2 x + a 3 a n 1 a n a 1 a 2 a 3 x + a n 1 a n a 1 a 2 a 3 a n 1 x + a n x a 2 a 3 a n 1 a n 0 x + a 2 a 3 a n 1 a n 0 a 2 x + a 3 a n 1 a n 0 a 2 a 3 x + a n 1 a n 0 a 2 a 3 a n 1 x + a n + a 1 a 2 a 3 a n 1 a n a 1 x + a 2 a 3 a n 1 a n a 1 a 2 x + a 3 a n 1 a n a 1 a 2 a 3 x + a n 1 a n a 1 a 2 a 3 a n 1 x + a n Αναπτύσσοντας την πρώτη ορίζουσα στο παραπάνω άθροισµα κατά τα στοιχεία της πρώτηξς στήλης, ϑα έχουµε : x a 2 a 3 a n 1 a n 0 x + a 2 a 3 a n 1 a n 0 a 2 x + a 3 a n 1 a n 0 a 2 a 3 x + a n 1 a n 0 a 2 a 3 a n 1 x + a n x x + a 2 a 3 a 4 a n 1 a n a 2 x + a 3 a 4 a n 1 a n a 2 a 3 x + a 4 a n 1 a n a 2 a 3 a 4 x + a n 1 a n a 2 a 3 a 4 a n 1 x + a n Εποµένως ϑα έχουµε : x a 2 a 3 a n 1 a n 0 x + a 2 a 3 a n 1 a n 0 a 2 x + a 3 a n 1 a n 0 a 2 a 3 x + a n 1 a n 0 a 2 a 3 a n 1 x + a n x A n 1 (x; a 2,, a n ) ( )

17 17 Για την δεύτερη ορίζουσα στο πατραπάνω άθροισµα, αφαιρούµε την πρώτη γραµµή από όλες τις υπόλοιπες και έχουµε : a 1 a 2 a 3 a n 1 a n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n a 1 x + a 2 a 3 a n 1 a n 0 x a 1 a 2 x + a 3 a n 1 a n Γ 2 Γ 2 Γ 1, Γ 3 Γ 3 Γ x 0 0,Γ n Γ n Γ 1 a 1 a 2 a 3 x + a n 1 a n x 0 a 1 a 2 a 3 a n 1 x + a n x Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( ) και ( ) έπεται ότι a 1 x n 1 ( ) A n (x; a 1,, a n ) x A n 1 (x; a 2,, a n ) + a 1 x n 1 Χρησιµοποιώντας την επαγωγική υπόθεση ( ): A n 1 (x; a 2,, a n ) x n 2 (x + a 2 + a a n ), ϑα έχουµε : A n (x; a 1,, a n ) x A n 1 (x; a 2,, a n ) + a 1 x n 1 x ( x n 2 (x + a 2 + a a n ) ) + a 1 x n 1 x n 1 (x + a 2 + a a n ) + a 1 x n 1 x n 1 (x + a 1 + a 2 + a a n ) ηλαδή ο παραπάνω τύπος (6) ισχύει και για k n Επαγωγής, ϑα έχουµε, n 1: Εποµένως, σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής A n (x; a 1,, a n ) x n 1 (x + a 1 + a 2 + a a n ) Ασκηση 27 Εστω ότι x, y είναι πραγµατικοί αριθµοί Να ϐρεθεί η ορίζουσα του n n πίνακα 0 x x x x y 0 x x x y y 0 x x A n y y y 0 x y y y y 0 Λύση Παρατηρούµε ότι η τελευταία στήλη του πίνακα A n µπορεί να γραφεί x x 0 x x 0 x x 0 + x x 0 0 x x Γνωρίζουµε ότι αν µια στήλη Σ j ενός πίνακα A είναι ίση µε το άθροισµα Σ j + Σ j δύο στηλών Σ j και Σ j, τότε η ορίζουσα του πίνακα A είναι ίση µε το άθροισµα των οριζουσών A + A δύο πινάκων A και A, οι οποίοι προκύπτουν από τον A αντικαθιστώντας την j-στήλη του A µε τις στήλες Σ j και Σ j αντίστοιχα Εφαρµόζοντας την παραπάνω ιδιότητα στην τελευταία στήλη του πίνακα A n έχουµε : A n 0 x x x x y 0 x x x y y 0 x x y y y 0 x y y y y 0 0 x x x x y 0 x x x y y 0 x x y y y 0 x y y y y x + 0 x x x 0 y 0 x x 0 y y 0 x 0 y y y 0 0 y y y y x

18 18 Θέτουµε και τότε : B n 0 x x x x y 0 x x x y y 0 x x y y y 0 x y y y y x και C n A n B n + C n 0 x x x 0 y 0 x x 0 y y 0 x 0 y y y 0 0 y y y y x Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του πίνακα C n κατά τα στοιχεία της τελευταίας στήλης, έχουµε : 0 x x x 0 y 0 x x 0 y y 0 x 0 C n ( x) ( x) A n 1 y y y 0 0 y y y y x }{{} ορίζουσα τάξης n 1 Για την ορίζουσα του πίνακα B n, έχουµε : 0 x x x x y 0 x x x y y 0 x x Γ 1 Γ 1 Γ 2,, B n Γ n 1 Γ n 1 Γ n y y y 0 x y y y y x y x y x y y 0 y y y y x ( 1) n+n x( y) n 1 x( y) n 1 διότι ο πίνακας ο οποίος ϑα προκύψει είναι άνω τριγωνικός Εποµένως, n 2: ανάπτυγµα κατά τα στοιχεία της τελευταίας στήλης A n B n + C n x( y) n 1 + ( x) A n 1 ( ) Για να υπολογίζουµε την ορίζουσα A n, υπολογίζουµε την A n για µικρές τιµές του n (n 1, 2, 3, 4) για να µαντέψουµε την τιµή της A n, και ακολούθως µε τη ϐοήθεια του αναδροµικού τύπου επαληθεύουµε την τιµής που έχουµε µαντέψει Προφανώς A 0 (0) και εποµένως A 0 0 ( ) 0 x Προφανώς A 1 και εποµένως y 0 1 A 2 xy Με τη ϐοήθεια του αναδροµικού τύπου ( ), έχουµε : A 3 x( y) ( x) A 3 1 x( y) 2 + ( x)( xy) xy 2 + x 2 y xy(x + y) Με τη ϐοήθεια του αναδροµικού τύπου ( ), έχουµε : A 4 x( y) 4 1 +( x) A 4 1 x( y) 3 +( x)(xy(x+y)) xy 3 +( x)(x 2 y+xy 2 ) xy 3 x 3 y x 2 y 2 (xy)(x 2 y + xy + xy 2 ) Ισχυρισµός: Η ορίζουσα του πίνακα A n είναι ίση µε : A n ( 1) n 1 xy ( x n 2 + x n 3 y + + xy n 3 + y n 2) ( ) Οι παραπάνω υπολογισµοί δείχνουν ότι ο ισχυρισµός ( ) είναι αληθής, όταν 1 n 4 1 Ο υπολογισµός προκύπτει και από τον αναδροµικό τύπο ( ): A2 x( y) ( x) A 2 1 xy + ( x) 0 xy

19 A n ( 1) n 1 xy ( x n 2 + x n 3 y + + xy n 3 + y n 2) 19 Επαγωγική Υπόθεση Υποθέτουµε ότι n 3, και ότι ο παραπάνω τύπος ( ) ισχύει για k n 1, δηλαδή υποθέτουµε ότι : A n 1 ( 1) n 2 xy ( x n 3 + x n 4 y + + xy n 4 + y n 3) ( ) Θα δείξουµε ότι ο παραπάνω τύπος ισχύει για k n Χρησιµοποιώντας τον αναδροµικό τύπο ( ), ϑα έχουµε : A n x( y) n 1 + ( x) A n 1 x( y) n 1 + ( x)( 1) n 2 xy ( x n 3 + x n 4 y + + xy n 4 + y n 3) ( 1) n 1 xy n 1 + ( 1) n 1 x(xy) ( y n 2)( x n 3 + x n 4 y + + xy n 4 + y n 3) ( 1) n 1 xy ( y n 2 + x n 2 + x n 3 y + + xy n 3) Εποµένως η τύπος ( ) ισχύει και για k n Από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, έπεται ότι ο τύπος ( ) ισχύει για κάθε n 1, και εποµένως 2 : Ασκηση 28 Να υπολογιστεί η ορίζουσα του n n πίνακα µε στοιχεία από το σώµα K x 1 x 2 x 3 x n 1 x n x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 n 1 x 2 n V (x 1, x 2,, x n ) x n 2 1 x2 n 2 x n 2 3 xn 1 n 2 x n 2 n x n 1 1 x2 n 1 x n 1 3 xn 1 n 1 x n 1 n Η ορίζουσα V (x 1, x 2,, x n ) καλείται ορίζουσα Vandermonde τάξης n Λύση Υπολογίζουµε πρώτα την ορίζουσα Vandermonde για µικρές τιµές του n, ξεκινλωντας από την πρώτη µη-τετριµένη περίπτωση n 2 ( ) 1 1 Αν n 2, τότε V (x 1, x 2 ) και εποµένως : x 1 x 2 V (x 1, x 2 ) x 2 x 1 Αν n 3, τότε V (x 1, x 2, x 3 ) x 1 x 2 x 3 και εποµένως : x 2 1 x 2 2 x Σ V (x 1, x 2, x 3 x 1 x 2 x 3 2 Σ 2 Σ x 2 1 x 2 2 x 2 Σ 3 Σ 3 Σ 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 3 x 2 1 x 2 2 x2 1 x 2 3 x (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) x x 2 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) 1 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 (x 2 x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 + x 1 x 2 x 1 ) ανάπτυγµα κατά τα στοιχεία της πρωτης γραµµής (x 2 x 1 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) 2 Αν x y, τότε ο τύπος ( ) γράφεται και ως : A n ( 1) n 1 xy xn 1 y n 1 x y

20 20 Ισχυρισµός: Για n το πλήθος τυχόντα στοιχεία y 1, y 2,, y n K, η ορίζουσα του πίνακα V (y 1, y 2,, y n ) είναι ίση µε : V (y 1, y 2,, y n (y j y i ) ( ) δηλαδή : V (y 1, y 2, y 3 (y 2 y 1 ) 1 i<j n (y 3 y 1 ) (y 3 y 2 ) (y 4 y 1 ) (y 4 y 2 )(y 4 y 3 ) (y n y 1 ) (y n y 2 ) (y n 1 y n 1 ) Οι παραπάνω υπολογισµοί δείχνουν ότι ο ισχυρισµός ( ) είναι αληθής, όταν 2 n 3 Επαγωγική Υπόθεση Υποθέτουµε ότι n 3, και ότι ο παραπάνω τύπος ( ) ισχύει για k n Θα δείξουµε ότι ο παραπάνω τύπος ισχύει για k n + 1 δηλαδή ϑα δείξουµε ότι, για n + 1 το πλήθος τυχόντα στοιχεία x 1, x 2,, x n+1 K: V (x 1, x 2,, x n+1 (x j x i ) ( ) V (x 1, x 2, x n+1 ) 1 i<j n x 1 x 2 x 3 x n x n+1 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 n x 2 n+1 x n 1 1 x n 1 2 x3 n 1 x n 1 n xn+1 n 1 x n 1 x n 2 x n 3 x n n x n n x 1 x 2 x 3 x n x n+1 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 n x 2 n+1 x n 1 1 x n 1 2 x n 1 3 xn n 1 0 x n 2 x 1x n 1 2 x n 3 x 1x n 1 3 x n n x 1 x n 1 n xn+1 n 1 x n n+1 xn 1 n+1 Γ n+1 Γ n+1 x 1 Γ n x 1 x 2 x 3 x n x n+1 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 n x 2 n+1 0 x n 1 2 x 1 x n 2 2 x n 1 3 x 1 x3 n 2 x n n 1 x 1x n 2 n 0 x n 2 x 1x n 1 2 x n 3 x 1x n 1 3 x n n x 1 x n 1 n Γ n Γ n x 1 Γ n 1 xn+1 n 1 xn 2 n+1 x n n+1 xn 1 n+1 Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία εκτελώντας τις πράξεις Γ i+1 x 1 Γ i, 1 i n, προκύπτει ότι ϑα έχουµε x 2 x 1 x 3 x 1 x n x 1 x n+1 x 1 0 x 2 2 V (x 1, x 2,, x n+1 ) x 1x 2 x 2 3 x 1x 3 x 2 n x 1 x n x 2 n+1 x 1x n+1 0 x n 1 2 x 1 x n 2 2 x3 n 1 x 1 x3 n 2 x n n 1 x 1xn n 2 xn+1 n 1 xn 2 n+1 0 x n 2 x 1x2 n 1 x n 3 x 1x3 n 1 x n n x 1 x n 1 n x n n+1 xn 1 n+1

21 21 ανάπτυγµα κατά τα στοιχεία της πρωτης στήλης x 2 x 1 x 3 x 1 x n x 1 x n+1 x 1 x 2 2 x 1x 2 x 2 3 x 1x 3 x 2 n x 1 x n x 2 n+1 x 1x n+1 x n 1 2 x 1 x n 2 2 x3 n 1 x 1 x n 2 3 x n n 1 x 1xn n 2 xn+1 n 1 n+1 x n 2 x 1x n 1 2 x n 3 x 1x3 n 1 x n n x 1 x n 1 n x n n+1 xn 1 n+1 (x 2 x 1 ) 1 (x 3 x 1 ) 1 (x n x 1 ) 1 (x n+1 x 1 ) 1 (x 2 x 1 ) x 2 (x 3 x 1 ) x 3 (x n x 1 ) x n (x n+1 x 1 ) x n+1 (x 2 x 1 ) x n 2 2 (x 3 x 1 ) x3 n 2 (x n x 1 ) x n 2 n (x n+1 x 1 ) xn+1 n 2 (x 2 x 1 ) x n 1 2 (x 3 x 1 ) x3 n 1 (x n x 1 ) x n 1 n (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) (x n x 1 )(x n+1 x 1 ) (x n+1 x 1 ) x n 1 n x 2 x 3 x n x n+1 x2 n 2 x n 2 3 xn n 2 x n 2 n+1 x2 n 1 x n 1 3 xn n 1 (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) (x n x 1 )(x n+1 x 1 ) V (x 2, x 3,, x n+1 ) x n 1 n+1 Εποµένως : V (x 1, x 2,, x n+1 ) (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) (x n x 1 )(x n+1 x 1 ) V (x 2, x 3,, x n+1 ) Από την επαγωγική υπόθεση, έχουµε ότι : V (x 2, x 3,, x n+1 ) (x j x i ) 2 i<j n+1 Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις, έπετυαι ότι : V (x 1, x 2,, x n+1 ) (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) (x n x 1 )(x n+1 x 1 ) (x j x i ) (x j x i ) 2 i<j n+1 1 i<j n+1 ηλαδή δείξαµε ότι V (x 1, x 2,, x n+1 ) (x j x i ) 1 i<j n+1 Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, έπεται ότι, n 2: V (x 1, x 2,, x n ) (x j x i ) 1 i<j n

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt205/nt205.html ευτέρα 27 Απριλίου 205 Ασκηση. είξτε ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με Κεφάλαιο Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί a b Εάν A τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b ad bc Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν A τότε ( ) 8 Εάν a a a A a a a a a a τότε η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii08/laii08.html Παρασκευή 4 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html ευτέρα 23 Απριλίου 2018 Αν C

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 12 Απριλίου 2019 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα