ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4 ευτέρα 2 Μαίου 204 Ασκηση.. Να δειχθεί ότι αν N, τότε : φ(. 2. Να δειχθεί ότι : : σύνθετος > φ( <. 3. Να δειχθεί ότι : : πρώτος φ(. Λύση. Υπενθυµίζουµε την συνάρτηση φ του Euler: φ( { N & (, }. Προφανώς φ(. Αν φ( και >, τότε επειδή (, >, έπεται ότι φ( <, το οποίο είναι άτοπο. Άρα. 2. Εστω ότι ο είναι σύνθετος, και άρα, όπου <, <. Επειδή >, έπεται ότι (, >, και επειδή (, >, έπεται ότι, / { N & (, }. Αυτό σηµαίνει ότι φ( <. 3. Αν φ(, τότε προφανώς > και από το 2. έπεται ότι ο δεν µπορεί να είναι σύνθετος. Άρα ο είναι πρώτος. Αντίστροφα αν ο είναι πρώτος, τότε γνωρίζουµε ότι φ(. Ασκηση 2. Να ϐρεθούν όλοι οι ϑετικοί ακέραιοι για τους οποίους φ(, 2, 3, 4. Λύση.. Θα δείξουµε ότι : φ( ή 2. Προφανώς φ(, αν ή 2. Αντίστροφα έστω ότι φ(. Αν > 2, τότε γνωρίζουµε ότι ο αριθµός φ( είναι άρτιος και ιδιαίτερα είναι >. Άρα αναγκαστικά 2, δηλαδή ή Θα δείξουµε ότι : φ( 2 3 ή 4 ή 6. Προφανώς φ( 2, αν 3 ή 4 ή 6. Αντίστροφα έστω ότι φ( 2. Τότε προφανώς 3. Εστω 2 a ar r η πρωτογενής ανάλυση του, όπου > 0 αν ο είναι άρτιος, και 0 αν ο είναι περιττός. Τότε : φ( ( a a ( a 2 2 a 2 2 ( ar r ar r, αν 0 φ( 2 ( a a ( a 2 2 a 2 ( ar ar, αν > 0 Παρατηρούµε ότι αν > 0, τότε αναγκαστικά ή 2. Πράγµατι, αν 3 τότε από την παραπάνω σχέση ϐλέπουµε ότι ο αριθµός 2 > 2 διαιρεί τον φ( 2 το οποίο είναι άτοπο. Αν r 0, δηλαδή ο δεν έχει περιττό πρώτο διαιρέτη, τότε αναγκαστικά > 0 και 2. Αν r >, έστω {, 2,, r } και a {a, a 2,, a r }. Αν a 2, τότε προφανώς ϑα έχουµε ότι a ( φ( 2 το οποίο είναι άτοπο διότι ο είναι περιττός. Άρα a,

2 2 δηλαδή a i, i r. Τότε ϑα έχουµε και φ( 2 και ιδιαίτερα 2, δηλαδή 3. Αυτό σηµαίνει ότι r και 3. Συνοψίζοντας ϑα έχουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις : 2 3 a, όπου 0 2 & a 0 ή ( Αν και κάποιες τιµές για το Ϲεύγος (, a, έτσι ώστε φ(2 3 a 2, απορρίπτονται άµεσα, χάριν πληρότητας αναλύουµε όλες τις πιθανές περιπτώσεις οι οποίες προκύπτουν από την ( :. 0, a 0: απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a : δεκτή διότι τότε 3 και φ( , a 0: απορρίπτεται διότι τότε 2 και φ( , a : δεκτή διότι τότε και φ( , a 0: δεκτή διότι τότε και φ( , a : απορρίπτεται διότι τότε και φ( Άρα αν φ( 2, τότε ο είναι ένας εκ των 3, 4, Θα δείξουµε ότι : N : φ( 3. Πράγµατι, επειδή φ(, αν ή 2, και επειδή ο αριθµός φ( είναι άρτιος αν 3, έπεται ότι δεν υπάρχει ϑετικός ακέραιος έτσι ώστε φ( Θα δείξουµε ότι : φ( 4 5 ή 8 ή 0 ή 2. Προφανώς φ( 4, αν 5 ή 8 ή 0 ή 2. Αντίστροφα έστω ότι φ( 4. Τότε προφανώς 5. Εστω 2 a ar r η πρωτογενής ανάλυση του, όπου > 0 αν ο είναι άρτιος, και 0 αν ο είναι περιττός. Τότε : φ( ( a a ( a 2 2 a 2 2 ( ar r ar r, αν 0 φ( 2 ( a a ( a 2 2 a 2 ( ar ar, αν > 0 Παρατηρούµε ότι αν > 0, τότε αναγκαστικά ή 2 ή 3. Πράγµατι, αν 4 τότε από την παραπάνω σχέση ϐλέπουµε ότι ο αριθµός 2 > 4 διαιρεί τον φ( 4 το οποίο είναι άτοπο. Αν r 0, δηλαδή ο δεν έχει περιττό πρώτο διαιρέτη, τότε αναγκαστικά > 0 και 2. Σ αυτή την περίπτωση, ϑα πρέπει 3 διότι φ(2 2 αν 2. Αν r >, έστω {, 2,, r } και a {a, a 2,, a r }. Αν a 2, τότε προφανώς ϑα έχουµε ότι a ( φ( 4 το οποίο είναι άτοπο διότι ο είναι περιττός πρώτος. Άρα a, δηλαδή a i, i r. Σ αυτή την περίπτωση ϑα έχουµε και 4 και ιδιαίτερα 4 ή ισοδύναµα 5. Αυτό, επειδή ο είναι περιττός πρώτος, σηµαίνει ότι 3 ή 5. Ιδιαίτερα συµπεραίνουµε ότι r 2. Συνοψίζοντας ϑα έχουµε ότι : 2 3 a 5 b όπου 0 3 & a, b 0 ή ( Αν και κάποιες τιµές για την τριάδα (, a, b, έτσι ώστε φ(2 3 a 5 b 4, απορρίπτονται άµεσα, χάριν πληρότητας αναλύουµε όλες τις πιθανές περιπτώσεις οι οποίες προκύπτουν από την ( :. 0, a 0, b 0: απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a, b 0: απορρίπτεται διότι τότε 3 και φ( , a 0, b : δεκτή διότι τότε 5 και φ( , a, b : απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a 0, b 0: απορρίπτεται διότι τότε 2 και φ( , a, b 0: απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a 0, b : δεκτή διότι τότε και φ( , a, b : απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a 0, b 0: απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a, b 0: δεκτή διότι τότε και φ( , a 0, b : απορρίπτεται διότι τότε και φ(

3 3 2. 2, a, b : απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a 0, b 0: δεκτή διότι τότε και φ( , a, b 0: απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a 0, b : απορρίπτεται διότι τότε και φ( , a, b : απορρίπτεται διότι τότε και φ( Άρα αν φ( 4, τότε ο είναι ένας εκ των 5, 8, 0, 2. Ασκηση 3. Αν, είναι ϑετικοί ακέραιοι, να δειχθεί ότι φ( φ( Λύση. Επειδή το Ϲητούµενο ισχύει τετριµµένα αν, µπορούµε να υποθέσουµε ότι > και τότε έστω a a 2 2 ar r η πρωτογενής ανάλυση του. Τότε η πρωτογενής ανάλυση του είναι a a 2 2 ar r και εποµένως : φ( φ( a φ( a 2 2 φ( ar r Οµως για κάθε πρώτο αριθµό και για ϑετικούς ακεραίους, a, έχουµε : φ( a a a a ( ( a+a ( ( a a ( ( a φ( a Εποµένως : φ( ( a φ( a ( a 2 2 φ( a 2 2 ( ar r φ( ar r ( a r ( ar φ( a φ(ar r ( a a 2 2 ar r φ( φ( Ασκηση 4. Εστω,, N, και. Τότε να δειχθεί ότι : φ( φ( Λύση. Επειδή, έπεται ότι µπορούµε να γράψουµε : l m, όπου l > είναι η µεγαλύτε- ϱη δύναµη του η οποία διαιρεί τον αριθµό. Τότε ( r, m, για κάθε ϑετικό ακέραιο r, και χρησιµοποιώντας την Άσκηση 3, ϑα έχουµε : φ( φ( l m φ( +l m φ( +l φ(m +l φ(m φ( φ( l m φ( l φ(m l φ(m +l φ(m και εποµένως : φ( φ(. Ασκηση 5.. Αν, να υπολογισθεί η τιµή φ(2 συναρτήσει της τιµής φ(.. Αν, να υπολογισθεί η τιµή φ(3 συναρτήσει της τιµής φ(. Λύση.. Αν, τότε φ(2 φ(2 φ(. Αν >, και είναι περιττός, τότε (2, και εποµένως φ(2 φ(2 φ( φ(. Αν ο είναι άρτιος, έστω 2 η µεγαλύτερη δύναµη του 2 η οποία διαιρεί τον. Τότε ϑα έχουµε 2 m, όπου (2, m (2 +, m, και άρα : φ(2 φ(2 + m φ(2 + φ(m 2 φ(m και φ( φ(2 m φ(2 φ(m 2 φ(m. Εποµένως 2 φ( φ(2, και έτσι : : άρτιος φ(2 2 φ( & : περιττός φ(2 φ( 2. Εστω 3. Τότε (3, διότι ο 3 είναι πρώτος, και ϑα έχουµε : φ(3 φ(3 φ( 2 φ(

4 4 Εστω 3, και έστω 3 η µεγαλύτερη δύναµη του 3 η οποία διαιρεί τον. Τότε ϑα έχουµε 3 m, όπου (3, m (3 +, m, και άρα : φ(3 φ(3 + m φ(3 + φ(m (3 + 3 φ(m 3 (3 φ(m 2 3 φ(m 3 φ( 3 φ(3 m 3φ(3 φ(m 3 (3 3 φ(m 3 3 (3 φ(m 2 3 φ(m 3 φ(3 2 φ( & 3 φ(3 3 φ( Ασκηση 6.. Για ποιούς ϑετικούς ακέραιους ισχύει ότι : φ(2 2φ(; 2. Για ποιούς ϑετικούς ακέραιους ισχύει ότι : φ(3 3φ(; 3. Για ποιούς ϑετικούς ακέραιους ισχύει ότι : 2φ(; 4. Αν ο είναι περιττός ϑετικός ακέραιος, τότε να δειχθεί ότι φ(4 2φ(. Ισχύει το αντίστροφο ; Λύση.. Από την Άσκηση 5, προκύπτει ότι : 2. Από την Άσκηση 5 προκύπτει ότι : φ(2 2 φ( : άρτιος φ(3 3 φ( 3 3. Αν 2φ(, τότε προφανώς ο είναι άρτιος. Εστω 2 η µεγαλύτερη δύναµη του 2 η οποία διαιρεί τον, και τότε µπορούµε να γράψουµε 2 m, όπου m είναι περιττός και άρα (2, m. Τότε : 2 φ( 2 φ(2 m 2 φ(2 φ(m 2 2 φ(m 2 φ(m Χρησιµοποιώντας την Άσκηση, έπεται ότι : 2 φ( 2 φ(m 2 m φ(m m m 2 Αντίστροφα, αν 2, τότε 2φ( 2 φ( Εποµένως : 2φ( 2, 4. Αν ο είναι περιττός, τότε (2, (4, και εποµένως : φ(4 φ(2 2 φ(2 2 φ( 2 φ( Το αντίστροφο δεν ισχύει διότι για παράδειγµα αν 2, τότε : φ(4 2 φ( φ(2. Ασκηση 7. Εστω ω( το πλήθος των διακεκριµµένων πρώτων διαρετών του. Να δειχθεί ότι : φ( 2 ω( και φ( 2 ω( 2 r, r 0 Λύση. Παρατηρούµε ότι αν, τότε ω( 0, και φ( 2 0. ηλαδή το Ϲητούµενο 2 ω( ισξύει για. Εστω > και έστω a a 2 2 a η πρωτογενής ανάλυση του, άρα ω(. Τότε προφανώς ϑα έχουµε, για κάθε i, 2,, : i 2 και i 2 i 2 Ετσι ϑα έχουµε : φ( ( ( ( 2 2 }{{ 2 } 2 2 ω( ϕορές

5 5 Αν i > 2 για κάποιο i, 2,,, τότε προφανώς i > 2. Εποµένως ϑα έχουµε : φ( 2 ω( ( ( 2 ( 2 & 2 2 a Εποµένως συνοψίζοντας έχουµε : φ( 2 ω( αν και µόνον αν 2 r για κάποιο r. Ασκηση 8.. Αν είναι ένας πρώτος αριθµός, να δειχθεί ότι, : φ( ( φ( 2. Αν, m είναι ϑετικοί ακέραιοι και (, m, όπου είναι ένας πρώτος αριθµός, να δειχθεί ότι : φ(m φ(φ(m 3. Αν, m είναι ϑετικοί ακέραιοι, να δειχθεί ότι : φ(m (, m φ((, m φ(φ(m Λύση.. Υποθέτουµε πρώτα ότι. Τότε επειδή ο είναι πρώτος, ϑα έχουµε (,, και επειδή η συνάρτηση φ είναι πολλαπλασιαστική και φ(, ϑα έχουµε το Ϲητούµενο φ( φ(φ( ( φ( Υποθέτουµε ότι φ( ( φ(, και έστω ότι. Τότε µπορούµε να γράψουµε m, όπου (, m και ιδιαίτερα (, m. Θα έχουµε τότε : φ( φ( m φ( + m φ( + φ(m ( + φ(m ( φ(m Επειδή από την υπόθεση έχουµε φ( ( φ(, και επειδή φ( φ( m φ( φ(m ( φ(m ( φ(m, έπεται ότι φ( ( ( φ(m Από τις σχέσεις ( και (, τότε ϑα έχουµε : ( φ(m ( ( φ(m το οποίο είναι άτοπο. Άρα. 2. Επειδή (, m, έπεται προφανώς ότι, m. Τότε µπορούµε να γράψουµε a a 2 2 a & b b 2 2, όπου a, b, a i, b, b i 0 και όπου 2, είναι διακεκεριµµένοι πρώτοι διάφοροι του. Θα έχουµε (, m mi{a,b} mi{a 2,b 2 2 mi{a,b απ όπου προφανλώς ϑα έχουµε ότι mi{a, b} και εποµένως ο πρώτος διαιρεί ακριβώς µια ϕορά έναν εκ των και m (ανάλογα αν mi{a, b} a ή mi{a, b} b. Εστω χωρίς ϐλάβη της γενικότητας ότι a b, οπότε a. Τότε x, όπου x a 2 2 a, και (, x (m, x. Ιδιαίτερα (m, x. Εποµένως φ( φ(x φ(φ(x ( φ(x φ(x φ( φ(m φ( b+ b 2 2 b b 2 2 ( ( 2 ( φ(m ( Επειδή (m, x, ϑα έχουµε (m, x. Πράγµατι, αν (m, x >, τότε έστω q ένας πρώτος διαιρέτης του. Τότε q m και εποµένως q m ή q και q x. Επειδή m, σε κάθε ( (

6 6 περίπτωση έχουµε q m και q x και άρα q (m, x, δηλαδή q το οποίο είναι άτοπο διότι ο q είναι πρώτος. Τότε χρησιµοποιώντας ότι (m, x και τη σχέση (, ϑα έχουµε : φ(m φ(mx φ(mφ(x φ(mφ(x φ(m φ( φ(φ(m 3. Εστω. Τότε, επειδή (, m και φ(, ϑα έχουµε ότι η Ϲητούµενη ισότητα ισχύει τετριµµένα. Παρόµοια η Ϲητούµενη ισότητα ισχύει τετριµµένα αν m. Εποµένως µπορούµε να υποθέσουµε ότι, m >. Εστω,, οι διακεκριµµένοι πρώτοι οι οποίοι διαιρούν τον αλλά όχι τον m, q,, q µ, οι διακεκριµµένοι πρώτοι οι οποίοι διαιρούν τον m αλλά όχι τον, και έστω r,, r l, οι οποίοι διαιρούν τον και τον m. Με ϐάση τις παραπάνω πληροφορίες οι πρωτογενείς αναλύσεις των και m είναι της µορφής : a a 2 2 a rb rb 2 2 rb l l & m r c rc 2 2 rc l l q q 2 2 qµ µ Προφανώς τότε ϑα έχουµε : Θέτουµε για ευκολία m a a 2 2 a rb +c r b 2+c 2 2 r b l+c l l q q 2 2 qµ µ P ( ( & Q ( q ( q µ & R ( r ( r l Τότε ϑα έχουµε : φ(m φ ( a a 2 2 a rb +c r b 2+c 2 2 r b l+c l l q q 2 2 qµ µ m P Q R Οµως, επειδή φ( ( ( ( r ( r l P R ϑα έχουµε : Επειδή προφανώς ϑα έχουµε : φ(m m( q ( q µ ( r ( r l mqr φ(m m P Q R P R mqr R φ(φ(m R (, m r mi{b,c } r mi{b 2,c 2 } 2 r mi{b l,c l } l φ((, m (, m ( r ( r l (, m R R φ((, m (, m ( ( Εποµένως από τις σχέσεις ( και ( ϑα έχουµε το Ϲητούµενο : φ(m φ((, m (, m φ(φ(m Σχόλιο. Το µέρος 2. στην Άσκηση 8 προκύπτει και από το µέρος 3.. Πράγµατι, αν (, m, τότε φ((, m. Ασκηση 9. Να δείξετε ότι αν m N, τότε το σύνολο των ϑετικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης είναι πεπερασµένο. φ(x m

7 7 Λύση. Αν m, τότε προφανώς οι µόνες (ϑετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης φ(x είναι οι :, 2. Εστω m > και N είναι µια λύση της εξίσωσης φ(x m, δηλαδή φ( m. Τότε προφανώς > και εποµένως µπορούµε να ϑεωρήσουµε την πρωτογενή ανάλυση a a του αριθµού. Θα έχουµε : φ( ( ( ( r a a ( ( a i i ( i φ( m διότι προφανώς a i i ( i m i a i i i m i a i i 2, για κάθε πρώτο. 2m Άρα κάθε δύναµη πρώτου η οποία διαιρεί τον αριθµό ικανοποιεί την ανισότητητα : 2m. Οµως προφανώς υπάρχει πεπερασµένο πλήθος δυνάµεων πρώτων µε την ιδιότητα 2m και εποµένως υπάρχει πεπερασµένο πλήθος γινοµένων τέτοιων δυνάµεων πρώτων. Συνεπώς υπάρχουν πεπερασµένες λύσεις της εξίσωσης φ(x m. Ασκηση 0.. Να δείξετε ότι υπάρχουν ϑετικοί ακέραιοι έτσι ώστε φ( 2, 4, 6, 8, 0, Να δείξετε ότι η εξίσωση φ( 4 δεν έχει ϑετικές ακέραιες λύσεις. Λύση.. Εχουµε φ(3 2 φ(5 4 και φ(7 6 φ(5 φ(3 5 φ(3 φ(5 (3 ( φ( 0 φ( Εστω ότι υπάρχει ϕυσικός αριθµός έτσι ώστε φ( 4. Προφανώς > διότι φ(. Εστω a ar r η πρωτογενής ανάλυση του. Γνωρίζουµε ότι φ( a ar r ( ( r ( Επειδή 7 φ( 4 και ο αριθµός 7 είναι πρώτος, υπάρχει κάποιο i r έτσι ώστε 7 a i i ή 7 i Υπενθυµίζουµε ότι φ( φ(2, και ο αριθµός φ( είναι άρτιος, αν 3.

8 8 Αν 7 a i i, τότε προφανώς ϑα έχουµε ότι i 7 και άρα i 7 6 φ( 4, το οποίο είναι άτοπο. Σηµειώνουµε ότι αυτή η περίπτωση εξετάζεται αν a i >. ιαφορετικά, αν a i, τότε ο όρος a i i δεν εµφανίζεται στην (. Αν 7 i, τότε i 7, για κάποιον ϑετικό ακέραιο, και άρα i 7 +. Για τις τιµές και 2, έχουµε τους αριθµούς i 8 και i 5 οι οποίοι δεν είναι πρώτοι. Άρα ϑα έχουµε αναγκαστικά ότι 3, δηλαδή i Οµως τότε i 2 και άρα, επειδή ο αριθµός i είναι διαιρέτης του φ(, έπεται ότι φ( 2 το οποίο είναι άτοπο. Εποµένως η εξίσωση φ( 4 δεν έχει (ϑετικές ακέραιες λύσεις. Ασκηση. Να δείξετε ότι, N: φ( φ( Λύση. Αν τότε και άρα η σχέση φ( φ( ισχύει. Εστω >. Αν τότε φ( φ(. Εστω > και >. Εστω a ar r η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας (µε εναλλαγή στην σειρά των i µπορούµε να υποθέσουµε ότι υπάρχει µε r και ακέραιοι b,..., b µε b i a i για i, 2,...,, ώστε η πρωτογενής ανάλυση του είναι η εξής : Τότε b b. φ( a ar r ( ( r και a ar r ( ( 2... ( r φ( b b ( ( b b ( ( 2... ( Αφού b i a i για κάθε i έπεται ότι φ( φ(. Ασκηση 2. Να υπολογισθούν τα αθροίσµατα : φ( και φ( Λύση.. Αν, τότε προφανώς ϑα έχουµε φ( φ(. Εστω > και a ar r η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού. Η συνάρτηση ι : N C, ι( είναι προφανώς πολλαπλασιαστική. Επειδή η συνάρτηση φ είναι πολλαπλασιαστική, έπεται ότι η συνάρτηση ι φ: N C, (ι φ( φ( είναι πολλαπλασιαστική. Τότε και η συνάρτηση f : N C, f( (ι φ( φ( είναι πολλαπλασιαστική, και εποµένως f( f( a f(ar r φ( ( a φ( ( φ( ar r

9 9 Για κάθε πρώτο και κάθε ϑετικό ακέραιο a έχουµε : Εποµένως : a φ( φ( + φ( + 2 φ( 2 + a φ( a + ( + 2 ( a ( a a + ( 2 + ( ( 2a 2a ( 2a 2a + 2a 2a+ + + φ( ( φ( ( φ( a ar r ( 2a + + ( 2ar+ r + + r + φ( 2. Αν, τότε προφανώς ϑα έχουµε φ(. Εστω > και a ar r η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού. Η συνάρτηση θ : N C, θ( είναι προφανώς πολλαπλασιαστική. Επειδή η συνάρτηση φ είναι πολλαπλασιαστική, έπεται ότι η συνάρτηση θ φ: N C, (θ φ( φ( g : N C, g( είναι πολλαπλασιαστική. Τότε και η συνάρτηση (θ φ( φ( είναι πολλαπλασιαστική, και εποµένως g( g( a g(ar r Για κάθε πρώτο και κάθε ϑετικό ακέραιο a έχουµε : φ( φ( + φ( a Εποµένως : φ( a + + φ( ( a φ( ( ar r + φ(2 2 + φ(a a a a a + + }{{} a ϕορές + a ( a φ( ( ar r ( + a ( + ar r r φ(

10 0 Ασκηση 3. Για έναν ϑετικό ακέραιο, να δειχθεί ότι : : άρτιος µ(φ( 0 Λύση. Αν, τότε µ(φ( µ(φ( 0. Υποθέτουµε ότι >, και έστω a a η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού. Επειδή η συνάρτηση φ είναι πολλαπλασιαστική, έπεται ότι 2 : µ(φ( ( φ( ( φ( ( ( ( ( (2 (2 Εποµένως : µ(φ( 0 (2 (2 0 r, 2,, : r 2 2 Ισοδύναµα : µ(φ( 0 : άρτιος Ασκηση 4. Να δείξετε ότι : µ 2 ( φ( φ( Λύση. Αν τότε προφανώς η παραπάνω σχέση ισχύει. Εστω > και a ar r η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού. Επειδή φ( 0 για κάθε N, τότε ορίζουµε τη συνάρτηση f( µ2 ( φ( η οποία είναι πολλαπλασιαστική διότι οι συναρτήσεις µ, φ είναι πολλαπλασιαστικές. Τότε f( f( a ar r f( a f(ar r και άρα έχουµε µ 2 ( φ( ( µ 2 ( ( µ 2 ( φ( φ( ar r Υπολογίζουµε µ2 ( φ( a a µ2 ( φ( + µ2 ( φ( + µ2 ( 2 φ( µ2 ( a φ( a µ2 ( φ( + µ2 ( φ( µ2 ( φ( + µ2 ( φ( + ( 2 2 Υπενθυµίζουµε ότι αν f είναι µια πολλαπλασιαστική συνάρτηση, τότε : µ(f( ( f( ( f(

11 Άρα και έτσι δείξαµε πράγµατι ότι : µ 2 ( φ( r r r ( ( r a ar r a ar r ( ( r φ( µ 2 ( φ( φ(. Ασκηση 5. είξτε ότι : 0, : άρτιος ( φ(, : περιττός Λύση. ιακρίνουµε δυο περιπτώσεις. (: Εστω περιττός. Τότε για κάθε διαιρέτη έπεται ότι ο είναι περιττός και άρα ο αριθµός είναι επίσης περιττός. Τότε από το Θεώρηµα του Gauss έχουµε ( φ( φ( ( φ( (2: Εστω άρτιος. Τότε 2 m όπου m είναι περιττός. Τότε έχουµε ( φ( φ ( ( 2 m ( 2 φ ( 2 m ( 2 m 2 2 m 2 2 m φ ( 2 m 2 ( 2 φ ( 2 φ ( m 2 ( 2 φ ( 2 φ ( m 2 ( ( 2 Στην ισότητα ( παραπάνω, χρησιµοποιήσαµε ότι επειδή 2 m και (2, m, τότε 2 όπου 2, 2 m µε (, 2. Ολοι οι διαιρέτες του 2 είναι άρτιοι εκτός ϕυσικά από τον. Επειδή 2 m και m περιττός έχουµε ότι ο 2 είναι περιττός. Άρα για έχουµε (( 2 ( 2. Αν > τότε (( 2. Συνεπώς, χρησιµοποιώντας ότι για κάθε ϕυσικό c ισχύει φ( c, έχουµε c

12 2 ( φ( Άρα αν είναι άρτιος τότε : 2 2 m 2 2 m > ( 2 > ( 2 > ( 2 φ φ ( 2 φ ( m 2 ( ( 2 φ ( 2 φ ( m 2 + φ ( 2 2 m φ ( 2 (2 2 m φ ( 2 φ ( m 2 ( φ ( m φ(2 φ ( m m 2 m φ( 2 φ(2 2 m φ(2 m φ(2 m ( 2 φ(2 m φ(2 m 2 m 2 φ(2 m 2 m 2 2 m 2 m 2 m 0 ( φ( 0. φ( 2 Υπενθυµίζουµε ότι ένας ϕυσικός αριθµός καλείται τέλειος, αν είναι ίσος µε το άθροισµα των γνησίων διαιρετών του. Ισοδύναµα ο είναι τέλειος αν και µόνον αν σ( 2. Ασκηση 6. Αν ο είναι ένας τέλειος άρτιος αριθµός, να δείχθεί ότι : 2 Λύση. Αφού ο ϕυσικός αριθµός είναι άρτιος τέλειος τότε 2 (2 όπου 2 είναι πρώτος και >. Τότε µε αν και µόνο αν ο είναι της µορφής :, 2,..., 2, 2, 2 (2,..., 2 (2 Συνεπώς το πλήθος των ϕυσικών διαιρετών του αιρθµού είναι τ( 2. Τότε έχουµε ( (2 2 ( (2 + + ( σ(

13 3 Οµως αφού ο αριθµός είναι τέλειος έχουµε ότι σ( 2, όπου σ( είναι το άθροισµα των ϕυσικών διαιρετών του ϕυσικού αριθµού. Άρα από τη παραπάνω σχέση έπεται ότι σ( 2 2 και έτσι έχουµε το Ϲητούµενο. Ασκηση 7. Εστω 2 (2 ένας άρτιος τέλειος αριθµό, όπου ο αριθµός 2 είναι πρώτος και >. Τότε :. γ( : (2. 3. φ( 2 (2. Λύση.. Θα δείξουµε πρώτα ότι για κάθε ϑετικό ακέραιο m ισχύει : γ(m m τ(m 2 ( Πράγµατι, αν, 2,, τ(m είναι οι ϕυσικοί διαιρέτες του m, τότε προφανώς οι ϑετικοί ακέ- ϱαιοι m, m m 2,, είναι επίσης οι ϕυσικοί διαιρέτες του m. Εποµένως ϑα έχουµε : τ(m και εποµένως γ(m m 2 τ(m m m m 2 τ(m m τ(m 2 τ(m γ(m mτ(m γ(m γ(m 2 m τ(m γ(m m τ(m 2 Εστω τώρα ο άρτιος τεέλειος αριθµός 2 (2. Τότε επειδή ο αριθµός 2 είναι πρώτος, επειδή η συνάρτηση σ είναι πολλαπλασιαστική, και επειδή (2, 2, έπεται ότι : τ( τ( 2 (2 τ(2 τ(2 2 2 Εποµένως από τη σχέση ( ϑα έχουµε : 2. Εχουµε γ( τ( (2 (2 ( (2 2 2 (2 και άρα πράγµατι (2.

14 4 3. Επειδή η συνάρτηση φ του Euler είναι πολλαπλασιαστική και (2, 2, έχουµε : φ( φ ( 2 (2 φ ( 2 φ ( 2 ( (2 2 ( ( ( (2 2 2 (2 Σηµειώνουµε ότι για τη σχέση φ ( χρησιµοποιήσαµε ότι ο αριθµός 2 είναι πρώτος. Εποµένως : φ( 2 (2. Ενας ϑετικός ακέραιος καλείται : ( ατελής, αν σ( < 2. (2 υπερτελής, αν σ( > 2. Ασκηση 8.. Εστω ένας ϑετικός ακέραιος της µορφής 2 m (2 m, όπου ο 2 m είναι σύνθετος. Να δειχθεί ότι ο αριθµός είναι υπερτελής. 2. Να δειχθεί ότι κάθε αριθµός της µορφής a q b, όπου, q είναι διακεκριµµένοι περιττοί πρώτοι και a, b είναι ϑετικοί ακέραιοι, είναι ατελής. 3. Να δειχθεί ότι κάθε γνήσιος διαιρέτης ενός ατελούς ή τέλειου αριθµού είναι ατελής αριθµός. 4. Να δειχθεί ότι κάθε πολλαπλάσιο ενός υπερτελούς ή τέλειου αριθµού, στην τελευταία περίπτωση εκτός του τέλειου αριθµού, είναι υπερτελής αριθµός. Λύση.. Θα δείξουµε ότι : σ( > 2. Θα έχουµε : σ( σ(2m (2 m 2 m (2 m σ(2m σ(2 m 2 m (2 m (2m σ(2 m 2 m (2 m σ(2m 2 m Επειδή γαι κάθε ϑετικό ακέραιο, έχουµε σ( + και η ισότητα ισχύει αν και µόνον αν είναι πρώτος, η τελευταία σχέση δίνει : Εποµένως 2. Θα έχουµε : σ( σ(2 m 2 m > 2m + 2 m 2m 2 m 2 > 2 σ( > 2 : υπερτελής σ( a q b σ( a σ(q b ( a ( a a+ Οµως προφανώς : a+ qb+ q < a+ qb+ q a q q qb Θα δείξουµε ότι, επειδή οι και q είναι περιττοί πρώτοι, µε q, τότε ϑα έχουµε ότι : Πράγµατι, αν αυτό δεν συµβαίνει, ϑα έχουµε : 2. Αν 3, τότε q 5 και q q 3 2 q q q q 3q 2q 2 2 q 4 q q a q b qb+ q q q < 2.

15 5 το οποίο είναι άτοπο. Υποθέτουµε τώρα, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, ότι 3 < < q, και άρα 5 < q. Τότε : q 2 q 2( (q 2q 2 2q + 2 q 2( + q q και εποµένως 2 < q 2( + q < 2( + 2( < 0 Επειδή οι ϱίζες του τριωνύµου είναι 2 ± 2 και επειδή > 3, έπεται ότι ( (2 + 2 ( (2 2 > 0 το οποίο έρχεται σε αντίφαση µε την παραπάνω ανισότητα. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι και εποµένως σ( a q b a+ qb+ q το οποίο σηµαίνει ότι ο αριθµός a q b είναι ατελής. q q < 2 < q q a q b < 2 a q b 3. Εστω, m δύο ϑετικοί ακέραιοι, όπου m >. Τότε µπορούµε να γράψουµε : m a i και b i, όπου b i a i i Τότε : σ(m m σ( i a i i σ(a i i i a i ( + i + 2 i + + a i i a i i a i i ( i a i i i > ( i b i i i σ( i Εποµένως : σ(m m > σ( Αν ο αριθµός m είναι ατελής, τότε σ(m < 2m και τότε : 2 > σ(m m αριθµός είναι ατελής. Αν ο αριθµός m είναι τέλειος, τότε : σ(m 2m και τότε : 2 σ(m m αριθµός είναι ατελής. i a i + i i i i a i > σ( > σ( και εποµένως ο και εποµένως ο 4. Εστω ότι ο ϑετικός ακέραιος είναι τέλειος ή υπερτελής. Τότε σ( 2. Εστω m ένα πολλαπλάσιο του, δηλαδή m για κάποιον ϑετικό ακέραιο, όπου υποθέτουµε ότι > αν ο είναι τέλειος. Μεταξύ των διαιρετών του m, περιλαµβάνονται και οι ϑετικοί ακέραιοι, όπου. Εποµένως ϑα έχουµε : σ(m m ( + ( + ( + σ( ( + 2 > 2 2m Άρα ο m είναι υπερτελής. Σχόλιο 2. Υπενθυµίζουµε ότι, λαµβάνοντας υπ όψιν το άθροισµα των ϕυσικών διαιρετών, µπορούµε να διακρίνουµε τους ϑετικούς ακέραίους σε τρείς κατηγορίες : ( Τους ατελείς αριθµούς, δηλαδή εκείνους για τους οποίους : σ( < 2. (2 Τους τέλειους αριθµούς, δηλαδή εκείνους για τους οποίους : σ( 2. (3 Τους υπερτελείς αριθµούς, δηλαδή εκείνους για τους οποίους : σ( > 2. Οπως έχουµε δείξει στο µάθηµα (και όπως επίσης προκύπτει από την Άσκηση 8:

16 6 ( Υπάρχει άπειρο πλήθος ατελών αριθµών, για παράδειγµα οι αριθµοί του συνόλου { a N : πρώτος & a } (2 Υπάρχει άπειρο πλήθος υπερτελών αριθµών, για παράδειγµα οι αριθµοί του συνόλου {2 a 3 N a 2} (3 εν είναι γνωστό αν το πλήθος των τέλειων αριθµών είναι άπειρο. Οπως γνωρίζουµε, η απεικόνιση 2 2 (2 ορίζει µια - και επί αντιστοιχία µεταξύ των πρώτων του Mersee, δηλαδή πρώτων της µορφής 2, 2, και των άρτιων τέλειων αριθµών. Επειδή, µέχρι σήµερα (3 Μαΐου 204 είναι γνωστοί µόνο 48 πρώτοι του Mersee, υπάρχουν µόνο 48 τέλειοι άρτιοι αριθµοί. Ο µεγαλύτερος πρώτος του Mersee, δηλαδή ο 48όγδος στη σειρά, και ο οποίος ταυτόχρονα είναι και ο µεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθµός, ανακαλύφθηκε τον Φεβρουάριο του 203 και είναι ο αριθµός το πλήθος των ψηφίων του οποίου είναι Εποµένως ο µεγαλύτερος γνωστός τέλειος άρτιος αριθµός είναι ο αριθµός ( το πλήθος των ψηφίων του οποίου είναι εν είναι γνωστό αν υπάρχει περιττός τέλειος αριθµός. Αν όµως υπάρχει περιττός τέλειος αριθµός, τότε έχει αποδειχθεί (το έτος 202 ότι αυτός οφείλει να είναι µεγαλύτερος του αριθµού 0 500

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Ασκηση 1. 1) είξτε ότι η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt205/nt205.html ευτέρα 27 Απριλίου 205 Ασκηση. είξτε ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 6 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Βρείτε όλους τους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 7 Απριλίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1. Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2013-2014 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα