Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y,

Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)(τριγωνική ιδιότητα). Τότε η d είναι µια µετρική στο X και το ευγάρι (X, d) ονοµάζεται µετρικός χώρος. Συχνά για λόγους απλότητας ϑα λέµε ο µετρικός χώρος X αντί του ακριβούς ο µετρικός χώρος (X, d). Εστω (X, d) µετρικός χώρος. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 ϑα συµ- ϐολίζουµε µε B(x, ρ) την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ, δηλαδή B(x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ} και όταν γράφουµε B(x, ρ) ϑα εννοούµε πάντοτε ότι ρ R µε ρ > 0. Στο κεφάλαιο αυτό ϑεωρούµε γνωστές τις ϐασικές τοπολογικές έννοιες και ιδιότητες των µετρικών χώρων. Υπενθυµίζουµε τις κυριότερες από αυτές που ϑα χρησιµοποιήσουµε στο ϐιβλίο. Εστω A X. Το A είναι ανοικτό αν για κάθε x A, B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστο ρ και το A 1

2 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι είναι κλειστό αν το συµπλήρωµα A c = X \ A του A στο X είναι ανοικτό. Αν x X το x είναι εσωτερικό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για ένα τουλάχιστον ρ, το x είναι συνοριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A και B(x, ρ) A c για κάθε ρ, το x είναι σηµείο συσσώρευσης του A αν B(x, ρ) (A \ {x}) για κάθε ρ και το x είναι οριακό σηµείο του A αν B(x, ρ) A για κάθε ρ. Για κάθε A X συµβολίζουµε µε A το σύνολο των οριακών σηµείων του A. Αποδεικνύεται εύκολα ότι το A είναι κλειστό αν και µόνο αν A = A. Επίσης αποδεικνύεται ότι το σύνολο A είναι το µικρότερο, υπό την έννοια του εγκλεισµού, κλειστό υποσύνολο του X που περιέχει το A και για το λόγο αυτό το A ονοµάζεται κλειστό περίβληµα του A. Εστω x X. Το A X είναι περιοχή του x αν υπάρχει ανοικτό υποσύνολο B του X ώστε x B A. Αµέσως έπεται ότι το A είναι περιοχή του x αν και µόνο αν υπάρχει ρ > 0 ώστε B(x, ρ) A ή ισοδύναµα, υπάρχει n N ώστε B(x, 1 ) A. Ετσι το σύνολο των περιοχών {B(x, 1 ) n N} n n του x, είναι ϐάση περιοχών του x υπό την έννοια ότι το A X είναι περιοχή του x αν και µόνο αν B(x, 1 ) A, για κάποιο n N. n Η ακολουθία {x n } του X συγκλίνει στο x και γράφουµε x n x, αν για κάθε περιοχή B(x, ρ) του x οι όροι της ακολουθίας ανήκουν στη περιοχή αυτή τελικά για κάθε n n 0. Η ακολουθία {x n } του X είναι ακολουθία Cauchy αν για κάθε ε > 0 υπάρχει n 0 N ώστε d(x n, x m ) < ε για κάθε m, n n 0. Αν X, Y µετρικοί χώροι η συνάρτηση f : X Y είναι συνεχής στο x αν για κάθε περιοχή B(f (x), ρ) του f (x) υπάρχει περιοχή B(x, δ) του x ώστε f (y) B(f (x), ρ), για κάθε y B(x, δ). Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f : X Y είναι συνεχής στο x αν και µόνο αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει η συνεπαγωγή : x n x = f (x n ) f (x). Αν η f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του X, η f είναι συνεχής στον X. Εστω X µετρικός χώρος και A X. Αν το κλειστό περίβληµα του A είναι ολόκληρο το X, δηλαδή A = X, λέµε ότι το A είναι πυκνό υποσύνολο του X ή ότι το A είναι πυκνό στον X. Αν υπάρχει αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο A του X, λέµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος. ηλαδή ο X είναι διαχωρίσιµος αν υπάρχει ακολουθία {x n } του X πυκνή στον X. Υπεν- ϑυµίζουµε ότι η ακολουθία {x n } είναι πυκνή στον X αν για κάθε x X και κάθε ɛ > 0 η σφαίρα B(x, ɛ) περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο της

1.2. Η επαγόµενη τοπολογία 3 ακολουθίας ή ισοδύναµα για κάθε x X υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } που συγκλίνει στο x. Ο µετρικός χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν µπορεί να γραφεί σαν ένωση δυο ξένων, µη κενών, ανοικτών υποσυνόλων του. Ο µετρικός χώρος (E, d) είναι πλήρης αν κάθε ακολουθία Cauchy του E συγκλίνει σε στοιχείο του E. 1.2 Η επαγόµενη τοπολογία Εστω (E, d) µετρικός χώρος και X E, X, τυχαίο υποσύνολο του E. Ο περιορισµός d X της µετρικής d στο X X είναι µετρική στον X που ονοµάζεται επαγόµενη µετρική του X. Ετσι για κάθε x, y X έχουµε d X (x, y) = d(x, y) και πραγµατικά είναι εύκολο να δείξουµε ότι η d X είναι µετρική στον X. Επίσης για λόγους απλότητας ϑα συµβολίζουµε την µετρική d X του X πάλι µε d. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 συµβολίζουµε µε B X (x, ρ) = {y X d(x, y) < ρ} την ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. έχουµε : B X (x, ρ) = B(x, ρ) X, Για κάθε x X όπου B X (x, ρ) είναι η ανοικτή σφαίρα του E µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Η επαγόµενη µετρική του X ορίζει µια τοπολογία στο X που αναφέρεται ως η µετρική τοπολογία ή επαγόµενη τοπολογία του X. Επίσης όταν λέµε ο µετρικός χώρος X ϑα εννοούµε τον X εφοδιασµένο µε τη µετρική τοπολογία. Ετσι αν A X έχουµε ότι το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X ( ή στην επαγόµενη τοπολογία του X) αν για κάθε x A υπάρχει ρ > 0 ώστε B X (x, ρ) A. Οπως ϑα δούµε παρακάτω αν το A είναι ανοικτό υποσύνολο του X δεν έπεται κατανάγκη ότι είναι και ανοικτό υποσύνολο του E.

4 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Υποθέτουµε τώρα ότι (E, ) είναι χώρος µε norm και X E, X. Η επαγόµενη τοπολογία του X ορίζεται ως εξής : Για κάθε x, y X d(x, y) = x y, όπου η norm του E, οπότε η d είναι η επαγόµενη µετρική του X και το ευγάρι (X, d) είναι ο µετρικός χώρος X. Για κάθε x X και ρ R, ρ > 0 B X (x, ρ) = {y X x y < ρ}, είναι η ανοικτή σφαίρα του X µε κέντρο x και ακτίνα ρ. Θεώρηµα 1.1. Εστω E µετρικός χώρος και X E, X και έστω A X, τότε : (i) το A είναι ανοικτό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E ανοικτό ώστε A = B X, (ii) το A είναι κλειστό υποσύνολο του µετρικού χώρου X αν και µόνο αν υπάρχει B E κλειστό ώστε A = B X. Απόδειξη. (i): Εστω A ανοικτό υποσύνολο του X. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B X (x, ρ x ) A. Τότε A = x A B X (x, ρ x ). Αν B = x A B(x, ρ x ), τότε B ανοικτό υποσύνολο του E και A = B X = ( x A B(x, ρ x )) X = x A B X (x, ρ x ) = A. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι A = B X, όπου B E, ανοικτό. Τότε για κάθε x A υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) B, άρα εποµένως το A είναι ανοικτό. B X (x, ρ x ) = B(x, ρ x ) X B X = A,

1.3. Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι 5 (ii): Εστω A κλειστό υποσύνολο του X. Τότε A c = X \ A ανοικτό υποσύνολο του X, εποµένως, από την (i), υπάρχει D E ανοικτό ώστε A c = D X, άρα A = X \ A c = X \ (D X) = X F, όπου F = E \ D κλειστό υποσύνολο του E. 1.3 Ευκλείδειοι Μετρικοί Χώροι Εστω X R m, X. Για κάθε x, y X, d(x, y) = x y, όπου η Ευκλείδεια norm του R m, είναι η επαγόµενη ή η Ευκλείδεια µετρική του X. Το ευγάρι (X, d) είναι Ευκλείδειος µετρικός χώρος που για συντοµία ϑα αναφέρεται και ως ο µετρικός χώρος X R m. Αν είναι norm του R m ισοδύναµη µε την Ευλείδεια norm, δηλαδή υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί α, ϐ > 0 ώστε : και X R m, η ϐ x x α x για κάθε x R m. d (x, y) = x y για κάθε x, y X, είναι µετρική στον X, ισοδύναµη µε την Ευλείδεια µετρική d του X. Σηµειώνουµε ότι στον R m κάθε norm είναι ισοδύναµη µε την Ευλείδεια norm. Θεώρηµα 1.2. Αν K R m, έχουµε : Το σύνολο K είναι κλειστό και ϕραγ- µένο υποσύνολο του R m αν και µόνο αν κάθε ακολουθία {x n } του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Απόδειξη. Εστω το K είναι κλειστό και ϕραγµένο υποσύνολο του R m και x n = (x n (1), x n (2),..., x n (m)), n N ακολουθία του K. Τότε η ακολου- ϑία των πρώτων συντεταγµένων {x n (1)} της {x n } είναι ϕραγµένη, άρα

6 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι έχει συγκλίνουσα υπακολουθία {x kn (1)}. Αν προχωρήσουµε στη δεύτε- ϱη συντεταγµένη της {x kn } έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία της {x kn } ώστε η πρώτη και η δεύτερη συντεταγµένη της υπακολουθίας να συγκλίνουν. Ετσι αν προχωρήσουµε εξαντλώντας τις συντεταγµένες προκύπτει υπακολουθία {y n } της {x n } ώστε y n (i) y(i) για κάθε i = 1, 2,..., m. Αν y = (y(1), y(2),..., y(m)) έχουµε ότι y n y. Πραγµατικά για κάθε ɛ > 0 υπάρχει n 0 ώστε y n (i) y(i) < ɛ για κάθε i = 1, 2,..., m και κάθε n n 0, άρα y n y < ɛ για κάθε n n 0, εποµένως y n y. Επειδή το K είναι κλειστό έχουµε ότι y K. Αντίστροφα αν κάθε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K τότε το K είναι προφανώς κλειστό. Αποδεικνύουµε ότι το K είναι ϕραγµένο ως εξής : Αν το K δεν είναι ϕραγµένο, υπάρχει ακολουθία y n K µε y n n για κάθε n N. Αν {y kn } είναι συγκλίνουσα υπακολουθία της {y n } τότε η {y kn } είναι ϕραγµένη, άτοπο γιατί y kn k n για κάθε n. Άρα το K είναι και ϕραγµένο. Θεώρηµα 1.3. Για κάθε X R m, ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος. Απόδειξη. Το σύνολο Q m, όπου Q είναι το σύνολο των ϱητών είναι α- ϱιθµήσιµο και πυκνό στον R m. Εστω Q m = {r i i N} µια αρίθµηση του συνόλου. Για κάθε x X και για κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1 ) ή n ισοδύναµα x B(r i, 1 ). Εποµένως B(r n i, 1 ) X. Εστω n D = {(i, n) N N B(r i, 1 n ) X }. Για κάθε (i, n) D επιλέγουµε x (i,n) B(r i, 1 ) X. Τότε η ακολουθία n {x (i,n) } είναι πυκνή στο X. Πραγµατικά για κάθε x X και κάθε n N υπάρχει r i B(x, 1 ) οπότε x n (i,n) B(x, 1 ) X. Άρα d(x, x n (i,n)) < 2, n εποµένως η {x (i,n) } είναι πυκνή στον X. 1.4 Συµπάγεια Οπως αποδείξαµε προηγουµένως, στους χώρους R m τα κλειστά και ϕραγ- µένα υποσύνολα K του χώρου έχουν την ιδιότητα : κάθε ακολουθία του K έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του K. Η ιδιότητα αυτή

1.4. Συµπάγεια 7 του µετρικού χώρου K έχει πολύ σηµαντικές συνέπειες τόσο στη µα- ϑηµατική ϑεωρία όσο και στις εφαρµογές. Χώροι µε αυτή την ιδιότητα απετέλεσαν αντικείµενο συστηµατικής µελέτης των µαθηµατικών και αναφέρονται ως συµπαγείς. Ετσι δίνουµε τον ορισµό : µετρικός χώρος X ονοµάζεται συµπαγής αν κάθε ακολουθία του X έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του X. Επειδή ϑα αποδείξουµε παρακάτω ότι η συµπάγεια του X είναι ισοδύναµη µε την ιδιότητα ότι κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη, αρχίζουµε τη µελέτη της συµπάγειας µε τους αντίστοιχους ορισµούς. Εστω µετρικός χώρος X. Λέµε ότι η οικογένεια (A i ) i I είναι κάλυψη του X αν A i X για κάθε i και i I A i = X. Αν επιπλέον κάθε A i είναι ανοικτό υποσύνολο του X η (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Αν (A i ) i I είναι κάλυψη του X και I I ώστε i I A i = X, λέµε ότι η (A i ) i I είναι υποκάλυψη του X που αντιστοιχεί στην (A i ) i I. Αν επιπλέον το I είναι πεπερασµένο (αριθµήσιµο) λέµε ότι η (A i ) i I είναι πεπερασµένη (αριθµήσιµη) υποκάλυψη του X ή ισοδύναµα ότι η κάλυψη (A i ) i I έχει πεπερασµένη (αριθµήσιµη) υποκάλυψη. Οταν χρειάζεται δηλώνουµε την κάλυψη στην οποία αντιστοιχεί η υποκάλυψη. Θεώρηµα 1.4. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες (i) Ο X είναι συµπαγής, (ii) κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Απόδειξη. (i) = (ii): Εστω (A i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X. Θα δείξουµε πρώτα ότι υπάρχει ρ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I ώστε B(x, ρ) A ix. Αν υποθέσουµε ότι αυτό δεν ισχύει, για κάθε ρ n = 1, n N υπάρχει n x n X ώστε B(x n, 1 n ) A i, για κάθε i I. Από την (i), υπάρχει υπακολουθία της {x n } που συµβολίζουµε πάλι µε {x n } που συγκλίνει σε σηµείο x X. Επειδή η (A i ) i I είναι κάλυψη

8 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι του X έχουµε ότι x A i, για ένα τουλάχιστο i και επειδή A i ανοικτό υπάρχει r > 0 ώστε B(x, r) A i. Επειδή η x n συγκλίνει στο x, έχουµε ότι x n B(x, ɛ) για κάθε n n 0. Αν ɛ < r 2, τότε για κάθε n max{ 2, n r 0}, έχουµε B(x n, 1 ) B(x, r) A n i, άτοπο. Άρα υπάρχει ρ > 0 ώστε για κάθε x X υπάρχει i x I µε B(x, ρ) A ix. Θα δείξουµε ότι για αυτό το ρ υπάρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n B(x i, ρ). i=1 Αν υποθέσουµε ότι δεν ισχύει η σχέση, τότε αρχίζοντας από κάποιο x 1 X µπορούµε να επιλέξουµε x 2 X \ B(x 1, ρ) και συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο παίρνουµε την ακολουθία {x n } του X ώστε x n+1 X \ n i=1 B(x i, ρ), για κάθε n N. Τότε d(x n, x m ) ρ για κάθε n m, άρα η x n δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, που είναι άτοπο. Άρα υπάρχουν x 1,..., x n X ώστε X = n i=1 B(x i, ρ). Επειδή B(x i, ρ) A, έχουµε ixi X = n i=1 A i x i, άρα ισχύει η (ii). (ii) (i) : Υποθέτουµε ότι η ακολουθία {x n } του X δεν έχει υπακολου- ϑία που συγκλίνει σε στοιχείο του X. Τότε για κάθε x X υπάρχει ρ x > 0 ώστε B(x, ρ x ) περιέχει το πολύ πεπερασµένου πλήθους όρους της ακολουθίας. Η οικογένεια (B(x, ρ x )) x X είναι ανοικτή κάλυψη του X και από τη (ii) υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη του X. Επειδή κάθε σφαί- ϱα περιέχει πεπερασµένο πλήθος όρων της ακολουθίας η πεπερασµένη υποκάλυψη περιέχει και πεπερασµένο πλήθος στοιχείων της ακολουθίας, άτοπο. Άρα η {x n } έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Μια οικογένεια συνόλων έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν κάθε πεπερασµένη υποοικογένεια έχει µη κενή τοµή. Ετσι η οικογένεια {B i i I} υποσυνόλων του µετρικού χώρου X έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής αν για κάθε J I πεπερασµένο, έχουµε i J B i.

1.4. Συµπάγεια 9 Θεώρηµα 1.5. Αν X µετρικός χώρος, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) Ο X είναι συµπαγής, (ii) κάθε οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του X µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, έχει µη κενή τοµή. Απόδειξη. (i) (ii) : Εστω η οικογένεια (F i ) i I κλειστών υποσυνόλων του X ώστε i A F i, για κάθε A I πεπερασµένο. Θα δείξουµε ότι i I F i. Υποθέτουµε ότι i I F i =. Τότε ( i I F i ) c = i I F c i = X. Επειδή (F c i ) i I είναι ανοικτή κάλυψη του X, από το Θεώρηµα 1.4, υπάρχει A I πεπερασµένο ώστε i A F c i = X. Άρα έχουµε ( i A F c i ) c = i A F i =, άτοπο γιατί η οικογένεια (F i ) i I έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, εποµένως i I F i. (ii) (i) : Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 1.4 αρκεί να δείξουµε ότι κά- ϑε ανοικτή κάλυψη του X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Τότε i I A i = X, άρα i I A c i =. Αν υποθέσουµε ότι i J A i X για κάθε J I πεπερασµένο έχουµε ότι i J A c i, για κάθε J I πεπερασµένο, εποµένως i I A c i, άτοπο. Εποµένως υπάρχει πεπερασµένη υποκάλυψη της (A i ) i I, άρα ο X είναι συµπαγής. Παρατήρηση 1.6. Η έννοια της συµπάγειας γενικεύεται σε γενικούς τοπολογικούς χώρους όπου όµως δεν ισχύει πλέον η ισοδυναµία του Θεω- ϱήµατος 1.4, δηλαδή ότι κάθε ακολουθία του X έχει συγκλίνουσα υπακολουθία σε στοιχείο του X αν και µόνο αν κάθε ανοικτή κάλυψη του

10 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι X έχει πεπερασµένη υποκάλυψη. Σηµειώνουµε ότι η ισοδυναµία αυτή ισχύει εφόσον η έννοια της ακολουθίας αντικατασταθεί µε τη γενικότερη έννοια του δικτύου. Ετσι στη σύγχρονη µαθηµατική ϐιβλιογραφία σε οποιοδήποτε τοπολογικό χώρο (µετρικό ή µη) ως ορισµός της συµπάγειας δίνεται εκείνος µε τις ανοικτές καλύψεις. Θεώρηµα 1.7. Ο µετρικός χώρος X είναι διαχωρίσιµος αν και µόνο αν για κάθε ανοικτή κάλυψη (A i ) i I του X υπάρχει αριθµήσιµη υποκάλυψη. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι ο X είναι διαχωρίσιµος και ότι {x n } είναι πυκνή ακολουθία στον X. Εστω (A i ) i I ανοικτή κάλυψη του X. Για κάθε A i και για κάθε x A i υ- πάρχει m N ώστε B(x, 1 ) A m i γιατί το A i είναι ανοικτό. Επειδή η {x n } 1 είναι πυκνή στον X υπάρχει x n B(x, ), άρα έχουµε x B(x 1 2m n, ) και 2m 1 B(x n, ) B(x, 1 ) A 2m m i. Πραγµατικά για τη τελευταία σχέση έχουµε 1 ότι για κάθε z B(x n, ) έχουµε d(x, z) d(x, x 2m n) + d(x n, z) 1. Για m κάθε i ορίζουµε το σύνολο F i = {(n, m) N N B(x n, 1 m ) A i}, οπότε έχουµε : A i = (n,m) F i B(x n, 1 m ), γιατί κάθε x A i περιέχεται σε κάποιο B(x n, 1 ). Επειδή (A m i) i I κάλυψη του X έχουµε ότι X = B(x n, 1 m ), (n,m) F όπου F = F i N N. Για κάθε (n, m) F επιλέγω i = i(n, m) I ώστε B(x n, 1 m ) A i(n,m), οπότε έχουµε : X = (n,m) F A i(n,m), άρα (A i(n,m) ) (n,m) F είναι αριθµήσιµη υποκάλυψη του X.

1.5. Συνέχεια συναρτήσεων 11 Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι για κάθε ανοικτή κάλυψη του X υπάρχει αριθµήσιµη ( υποκάλυψη. Τότε για κάθε k N σταθερό, έχουµε ότι η οικογένεια B(x, 1)) είναι ανοικτή κάλυψη του X, άρα υπάρχει k x X αριθµήσιµη υποκάλυψη ( B(x k n, 1 k )) n N του X. Το σύνολο {x k n n, k N}, είναι αριθµήσιµο και πυκνό στον X, άρα ο X είναι διαχωρίσιµος. 1.5 Συνέχεια συναρτήσεων Εστω X µετρικός χώρος και f : X R. Η f είναι συνεχής στο x X αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x f (x n ) f (x). Επειδή η f (x n ) συγκλίνει στο f (x) αν και µόνο αν limf (x n ) = limf (x n ) = f (x), η παραπάνω συνεπαγωγή γράφεται ως εξής x n x limf (x n ) f (x) και limf (x n ) f (x), όπου µε limf (x n ) και limf (x n ) συµβολίζουµε το ανώτερο και κατώτερο όριο της ακολουθίας {f (x n )}. Ετσι η συνέχεια της συνάρτησης διασπάται στις δυο παρακάτω συνθήκες και x n x limf (x n ) f (x) x n x limf (x n ) f (x). που όταν ισχύουν ταυτόχρονα εξασφαλίζουν τη συνέχεια. Οταν ισχύει µια από αυτές η συνάρτηση είναι άνω ή κάτω ηµισυνεχής στο x. Στη

12 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι διεθνή ϐιβλιογραφία ορίζονται διάφορα είδη ηµισυνέχειας. Ειδικά για συναρτήσεις χρησιµοποιείται ο όρος semicontinuous και για πλειότιµες απεικονίσεις οι όροι hemicontinuous και demicontinuous. Στό ϐιβλίο αυτό για συναρτήσεις ϑα χρησιµοποιήσουµε τον ελληνκό όρο ηµισυνέχεια και για πλειότιµες απεικονίσεις ϑα διατηρήσουµε την αγγλική ορολογία. Εστω f : X R και x X. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x), ϑα λέµε ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής στο x. Αν για κάθε ακολουθία {x n } του X ισχύει x n x limf (x n ) f (x), ϑα λέµε ότι η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο x. Αν η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής για κάθε x X ϑα λέµε ότι η f είναι άνω (κάτω) ηµισυνεχής στο X. Θεώρηµα 1.8. Αν X µετρικός χώρος και f : X R, έχουµε : (i) Η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a R, (ii) Η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο X αν και µόνο αν f 1 ((, a]) είναι κλειστό για κάθε a R. Απόδειξη. (i): Εστω ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής. Υποθέτουµε ότι x n f 1 ([a, + )) και ότι x n x. Θα δείξουµε ότι f (x) a, οπότε το f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Εστω ότι f (x) < a και έστω ϐ R µε f (x) < ϐ < a. Επειδή η f είναι άνω ηµισυνεχής έχουµε limf (x n ) f (x), άρα υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } µε f (x kn ) < ϐ για κάθε n, άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f (x n ) a για κάθε n. Άρα για κάθε a R, f 1 ([a, + )) είναι κλειστό. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε

1.5. Συνέχεια συναρτήσεων 13 a R. Αν η f δεν είναι άνω ηµισυνεχής υπάρχει x X και ακολουθία {x n } του X ώστε x n x και limf (x n ) > f (x) και έστω limf (x n ) ϐ > γ > f (x). Από τις υποθέσεις αυτές έχουµε ότι υπάρχει υπακολουθία {x kn } της {x n } ώστε f (x kn ) > γ > f (x) για κάθε n. Ετσι έχουµε x kn f 1 ([γ, + )), x kn x και x f 1 ([γ, + )), άτοπο γιατί υποθέσαµε ότι f 1 ([a, + )) είναι κλειστό για κάθε a. Άρα η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X. Ανάλογα αποδεικνύεται και η (ii). Θεώρηµα 1.9. Εστω X συµπαγής µετρικός χώρος και f : X R. Τότε έχουµε : (i) Αν η f είναι άνω ηµισυνεχής στο X, η f παίρνει µέγιστη τιµή στο X. Το σύνολο K των σηµείων που µεγιστοποιείται η f είναι συµπαγές υποσύνολο του X. (ii) Αν η f είναι κάτω ηµισυνεχής στο X, η f παίρνει ελάχιστη τιµή στο X. Το σύνολο των σηµείων που ελαχιστοποιείται η f είναι συµπαγές υποσύνολο του X. Απόδειξη. (i): Υποθέτουµε ότι η f είναι άνω ηµισυνεχής. Για κάθε x X, το σύνολο F x = f 1 ([f (x), + )) είναι κλειστό υποσύνολο του X και F x γιατί x F x. Η οικογένεια (F x ) x X έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής γιατί για κάθε πεπερασµένο υποσύνολο {x 1,..., x n } του X έχουµε ότι n i=1 F x i = F xk, όπου f (x k ) = max{f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (x n )}. Επειδή ο X είναι συµπαγής έχουµε ότι F = x X F x. Για κάθε y F έχουµε ότι y F x για κάθε x X, εποµένως f (y) f (x) για κάθε x X, άρα η f µεγιστοποιείται στο σηµείο y και F K.

14 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Αν z K τότε f (z) f (x) για κάθε x X, έπεται z F x για κάθε x ή ισοδύναµα z F. Εποµένως έχουµε ότι K = F και το K ως κλειστό υποσύνολο του X είναι συµπαγές. Η (ii) αποδεικνύεται ανάλογα. Εστω f : X Y, όπου X, Y µετρικοί χώροι. Το σύνολο Gr(f ) = {(x, f (x)) x X} είναι το γράφηµα της f. Αν το Gr(f ) είναι κλειστό υποσύνολο του X Y δηλαδή αν (x n, y n ) Gr(f ) και (x n, y n ) (x, y) X Y συνεπάγεται ότι (x, y) Gr(f ), λέµε ότι η f έχει κλειστό γράφηµα. Θεώρηµα 1.10 (Κλειστού γραφήµατος). Εστω X, Y µετρικοί χώροι και έστω η συνάρτηση f : X Y. Τότε έχουµε : (i) Αν η f είναι συνεχής, το γράφηµα της f είναι κλειστό. (ii) Αν το γράφηµα της f είναι κλειστό και ο Y είναι συµπαγής, η f είναι συνεχής. Απόδειξη. (i): Εστω ότι η f είναι συνεχής και ότι (x n, y n ) Gr(f ) µε (x n, y n ) (x, y), όπου x X, y Y. Τότε έχουµε ότι x n x και y n = f (x n ) y. Επειδή η f είναι συνεχής y = f (x), άρα (x, y) Gr(f ) και το γράφηµα της f είναι κλειστό. (ii): Για να δείξουµε ότι η f είναι συνεχής επιλέγουµε τυχαίο x X και ακολουθία x n του X µε x n x κα έχουµε να δείξουµε ότι f (x n ) f (x). Αν υποθέσουµε ότι αυτό δεν ισχύει υπάρχει υπακολουθία f (x kn ) της f (x n ) και ɛ > 0 ώστε d ( f (x kn ), f (x) ) ɛ για κάθε n. Επειδή ο Y είναι συµπαγής υπάρχει υπακολουθία της f (x kn ) που συµβολίζουµε πάλι µε f (x kn ) που συγκλίνει σε κάποιο σηµείο y του Y. Ετσι έχουµε (x kn, f (x kn )) (x, y) Gr(f ), γιατί το Gr(f ) είναι κλειστό, άρα y = f (x). Εποµένως έχουµε ότι f (x kn ) f (x), άτοπο και εποµένως η f είναι συνεχής.

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 15 1.6 Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους Εστω η συνάρτηση f : X R, όπου το X είναι κυρτό υποσύνολο γραµµικού χώρου E. Υπενθυµίζουµε ότι η f είναι κυρτή αν για κάθε x, y X και για κάθε λ (0, 1) ισχύει f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y) και ότι η f είναι αυστηρά κυρτή αν για κάθε x, y X µε x y και κάθε λ (0, 1) έχουµε f (λx + (1 λ) y) < λf (x) + (1 λ) f (y). Αν η f είναι κυρτή (αντίστοιχα, αυστηρά κυρτή), λέµε ότι η f είναι κοίλη (αντίστοιχα, αυστηρά κοίλη). Επίσης λέµε ότι το επιγράφηµα epi(f ) = {(x, y) X R y f (x)}, της f της f είναι αυστηρά κυρτό αν είναι κυρτό και για κάθε (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) epi (f ) µε x 1 x 2 και για κάθε λ (0, 1) έχουµε. f (λx 1 + (1 λ) x 2 ) < λy 1 + (1 λ) y 2. Πρόταση 1.11. Η συνάρτηση f : X R, όπου X κυρτό υποσύνολο του γραµµικού χώρου E, είναι (i) κυρτή αν και µόνο αν το επιγράφηµα epi(f ) της f είναι κυρτό σύνολο, (ii) αυστηρά κυρτή, αν και µόνο αν, το επιγράφηµα epi(f ) της f είναι αυστηρά κυρτό. Απόδειξη. (i) Εστω ότι η f είναι κυρτή και ότι (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) epi(f ). Για κάθε λ (0, 1) έχουµε λ(x 1, y 1 ) + (1 λ)(x 2, y 2 ) = (λx 1 + (1 λ)x 2, λy 1 + (1 λ)y 2 ) epi(f ), γιατί y 1 f (x 1 ), y 2 f (x 2 ), εποµένως λy 1 + (1 λ)y 2 λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ) f (λx 1 + (1 λ)x 2 ),

16 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι αφού η f είναι κυρτή. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι το epi(f ) είναι κυρτό σύνολο. Τότε για κάθε x 1, x 2 X και λ (0, 1) έχουµε ότι (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) epi(f ), εποµένως άρα λ(x 1, f (x 1 )) + (1 λ)(x 2, f (x 2 )) = = (λx 1 + (1 λ)x 2, λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 )) epi(f ), f (λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ) και εποµένως η f είναι κυρτή. (ii) Εστω ότι η f είναι αυστηρά κυρτή. Τότε, το epi (f ) είναι κυρτό. Επίσης, αν υποθέσουµε ότι (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) epi(f ) µε x 1 x 2, τότε για κάθε λ (0, 1) έχουµε f (λx 1 + (1 λ) y 1 ) < λf (x 1 ) + (1 λ) f (y 1 ) λx 2 + (1 λ) y 2, άρα το epi (f ) είναι αυστηρά κυρτό. Για το αντίστροφο, υποθέτουµε ότι το epi(f ) είναι αυστηρά κυρτό. Αν x, y X µε x y, τότε για κάθε λ (0, 1) έχουµε (x, f (x)), (y, f (y)) epi(f ), άρα έχουµε ότι f (λx + (1 λ) y) < λf (x) + (1 λ) f (y), εποµένως η f είναι αυστηρά κυρτή. Λήµµα 1.12. Εστω I ανοικτό διάστηµα του R και f : I R. Αν η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι και δεύτερης τάξης στο I, x 1, x 2 I µε x 1 < x 2, και t (0, 1), τότε υπάρχουν ξ 1,ξ, ξ 2 (x 1, x 2 ), µε ξ 1 < ξ < ξ 2, ώστε t f ( x 1 )+ ( 1 t ) f ( x 2 ) f ( tx 1 + ( 1 t ) x 2 ) = t ( 1 t ) ( ξ 2 ξ 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( ξ ). Απόδειξη. Εστω r = tx 1 + ( 1 t ) x 2. Από το Θεώρηµα µέσης τιµής, υπάρχουν ξ 1 (x 1, r ) και ξ 2 ( r, x 2 ) ώστε f ( r ) f ( x 1 ) = f ( ξ 1 ) ( r x 1 ) και f ( x 2 ) f ( r ) = f ( ξ 2 ) ( x 2 r ).

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 17 Από τις παραπάνω σχέσεις και αν λάβουµε υπόψη µας ότι έχουµε : r x 1 = ( 1 t ) ( x 2 x 1 ) και x 2 r = t ( x 2 x 1 ), tf ( x 1 ) + ( 1 t ) f ( x 2 ) = t [ ] [ ] f ( r ) f ( ξ 1 ) ( r x 1 ) + ( 1 t ) f ( r ) + f ( ξ 2 ) ( x 2 r ) ( ) = f ( r ) + t ( 1 t ) ( x 2 x 1 ) f ( ξ 1 ) f ( ξ 2 ). Από το Θεώρηµα µέσης τιµής για την f, υπάρχει ξ ( ξ 1, ξ 2 ) ώστε tf ( x 1 ) + ( 1 t ) f ( x 2 ) f ( r ) = t ( 1 t ) ( x 2 x 1 ) ( ξ 2 ξ 1 ) f ( ξ ).. Θεώρηµα 1. Αν η συνάρτηση f : I R έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι και δεύτερης τάξης στο I, όπου I ανοικτό διάστηµα του R, τότε έχουµε : (i) Η f είναι κυρτή στο I αν και µόνο αν f (x) 0 για κάθε x I. (ii) Αν f (x) > 0 για κάθε x I, η f είναι αυστηρά κυρτή στο I. Απόδειξη. (i) Εστω η f είναι κυρτή και έστω x I. Για κάθε διάστηµα (x 1, x 2 ) που περιέχει το x, από το προηγούµενο λήµµα έχουµε ότι για κάθε t (0, 1) υπάρχουν ξ 1,ξ, ξ 2 (x 1, x 2 ), µε ξ 1 < ξ < ξ 2, ώστε t f ( x 1 )+ ( 1 t ) f ( x 2 ) f ( tx 1 + ( 1 t ) x 2 ) = t ( 1 t ) ( ξ 2 ξ 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( ξ ). Επειδή η f είναι κυρτή έχουµε ότι t f ( x 1 ) + ( 1 t ) f ( x 2 ) f ( tx 1 + ( 1 t ) x 2 ) 0, έποµένως έχουµε f ( ξ ) 0. Αν πάρουµε όρια όταν x 1 x και x 2 x, έχουµε ότι ξ x και από τη συνέχεια της f έχουµε ότι f (ξ) 0. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι f (x) 0, για κάθε x I. Τότε από το προηγούµενο λήµµα έχουµε ότι t f ( x 1 ) + ( 1 t ) f ( x 2 ) f ( tx 1 + ( 1 t ) x 2 ) 0,

18 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι άρα η f είναι κυρτή, εποµένως ισχύει η (i). Για την απόδειξη της (ii), υποθέτουµε ότι f (x) > 0, για κάθε x I. Τότε από το προηγούµενο λήµµα έχουµε ότι t f ( x 1 ) + ( 1 t ) f ( x 2 ) f ( tx 1 + ( 1 t ) x 2 ) > 0, άρα η f είναι αυστηρά κυρτή. Παρατήρηση 1.13. Το αντίστροφο του (ii) του προηγουµένου ϑεωρήµατος δεν ισχύσι. Πραγµατικά, η συνάρτηση f ( x ) = x 4 είναι αυστηρά κυρτή αλλά δεν ισχύει ότι f ( x ) > 0 για κάθε x, γιατί f (0) = 0. Εστω X R m κυρτό και έστω η συνάρτηση f : X R, P X, έστω διάνυσµα a R m, a 0 και έστω η ευθεία a ɛ : r(t) = P + t a, t R, του R m που περνά από το σηµείο P και είναι παράλληλη στο a. Τονί- ουµε ότι στην εξίσωση της ευθείας παίρνουµε το διάνυσµα a για να a διατηρήσουµε ενιαία µονάδα µήκους στην ευθεία και στον R m. Αν στην ευθεία ϑεωρήσουµε το a αντί του, προκύπτουν διαφοτετικές τιµές a a των παραγώγων που µελετούµε παρακάτω που εξαρτούνται απο το a. Υποθέτουµε ότι υπάρχει διάστηµα I του R που περιέχει το µηδέν ώστε r(t) X για κάθε t I και ϑεωρούµε το περιορισµό g(t) = f (r(t)), t I, της f στο τµήµα c = {r(t), t I} της ɛ που περιέχεται στο X. Αν υποθέσουµε ότι υπάρχουν οι παράγωγοι πρώτης τάξης της f, έχουµε g (t) = f x1 (r(t)) a 1 a +f x 2 (r(t)) a 2 a,..., +f x m (r(t)) a m a = gradf (r(t)) a a και αν υποθέσουµε ότι υπάρχουν οι παράγωγοι µέχρι και δεύτερης τάξης της f, έχουµε

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 19 g (t) = m ( m ϑ 2 f (r(t)) a i a j ). ϑx i ϑx j a a i=1 j=1 Οι παράγωγοι αυτοί της g είναι οι πρώτης και δεύτερης τάξης παράγωγοι της f στο σηµείο r(t) κατά τη κατεύθυνση του a και συµβολίζονται µε D a f (r(t)), και D (2) a f (r(t)) αντίστοιχα. ηλαδή D a f (P) = gradf (P) a a, είναι η παράγωγος της f στο σηµείο P κατά τη κατεύθυνση του a και m D (2) a f (P) = ( m ϑ 2 f (P) a i a j ), ϑx i ϑx j a a i=1 j=1 είναι η δεύτερης τάξης παράγωγος της f κατεύθυνση του a. στο σηµείο P κατά τη Πρόταση 1.14. Εστω X R m ανοικτό και κυρτό και έστω η συνάρτηση f : X R. Αν η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι και δεύτερης τάξης στο X έχουµε : (i) Η f είναι κυρτή αν και µόνο αν για κάθε P X και για κάθε διάνυσµα a = (a 1, a 2,..., a m ) R m µε a 0 ισχύει D (2) a f (P) 0. (ii) Αν για κάθε P X και για κάθε διάνυσµα a = (a 1, a 2,..., a m ) R m µε a 0 ισχύει D (2) a f (P) > 0, η f είναι αυστηρά κυρτή. Απόδειξη. Για λόγους απλότητας αποδεικνύουµε το αποτέλεσµα για m = 2. Για τυχαίο m η απόδειξη είναι εντελώς ανάλογη. (i) Εστω ότι D (2) a f (x, y) 0 για κάθε (x, y) X και για κάθε διάνυσµα a = (a 1, a 2 ) R 2. Θα δείξουµε ότι η f είναι κυρτή δηλαδή f (λ(x 1, y 1 ) + (1 λ)(x 2, y 2 )) λf (x 1, y 1 ) + (1 λ)f (x 2, y 2 ), για κάθε (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) X και λ (0, 1) ή ισοδύναµα ότι f ((x 2, y 2 ) + λ(x 1 x 2, y 1 y 2 )) λf (x 1, y 1 ) + (1 λ)f (x 2, y 2 ).

20 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Εστω g(t) = f ((x 2 + t(x 1 x 2 ), y 2 + t(y 1 y 2 )) = f (r(t)), όπου r(t) = (x 2, y 2 ) + t(a 1, a 2 ) = (x 2 + ta 1, y 2 + ta 2 ), t R, η ευθεία που περνά από το σηµείο (x 2, y 2 ) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα a = (a 1, a 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) και υποθέτουµε ότι t I, όπου I είναι ανοικτό διάστηµα του R που περιέχει το 0 και το 1, αφού r(0) και r(1) είναι σηµεία του X (τέτοιο διάστηµα υπάρχει). Τότε έχουµε g (t) = f xx (r(t))a1 2 + 2f xy (r(t))a 1 a 2 + f yy (r(t))a2 2 = a 2 D (2) a f (r(t)) 0, για κάθε t I, άρα η g είναι κυρτή. Εποµένως g(λ) λg(1) + (1 λ)g(0), για κάθε λ (0, 1). Άρα έχουµε f (λ(x 1, y 1 ) + (1 λ)(x 2, y 2 )) λf (x 1, y 1 ) + (1 λ)f (x 2, y 2 ) και η f είναι κυρτή. Το αντίστροφο της (i) αποδεικνύεται αντιστρέφοντας την παραπάνω απόδειξη. (ii) Αν υποθέσουµε ότι D (2) a f (x, y) > 0 για κάθε (x, y) X και για κάθε διάνυσµα a = (a 1, a 2 ) R 2, τότε όπως στην (i), έχουµε g (t) = f xx (r(t))a1 2 + 2f xy (r(t))a 1 a 2 + f yy (r(t))a2 2 = a 2 D (2) a f (r(t)) > 0, για κάθε t I, άρα η g είναι αυστηρά κυρτή. Εποµένως g(λ) < λg(1) + (1 λ)g(0), για κάθε λ (0, 1), άρα έχουµε f (λ(x 1, y 1 ) + (1 λ)(x 2, y 2 )) < λf (x 1, y 1 ) + (1 λ)f (x 2, y 2 ) και η f είναι αυστηρά κυρτή. Εστω X R m και έστω η συνάρτηση φ : X R. Αν ρ R, το σύνολο S ρ = {x X φ(x) = ρ}, είναι η ρ-ισοσταθµική της φ. Αν P 0 X και ρ = φ(p 0 ), τότε λέµε ότι το σύνολο S ρ είναι η ισοσταθµική της φ στο σηµείο P 0 ή ότι είναι η ισοσταθ- µική της φ που περνά από το σηµείο P 0. Στο επόµενο ϑεώρηµα αποδεικνύουµε ότι το gradφ(p 0 ) κατευθύνεται προς τις µεγαλύτερες ισοσταθµικές της φ.

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 21 Θεώρηµα 1.15. Εστω X R m κυρτό και έστω η συνάρτηση φ : X R. Υποθέτουµε επίσης ότι P 0 είναι εσωτερικό σηµείο του X και η φ έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης σε µια περιοχή του σηµείου P 0 και gradφ(p 0 ) 0. Υποθέτουµε επίσης ότι P 1 X και ϑεωρούµε την ευθεία ε : r(t) = P 0 + ta που ορίζεται απο τα σηµεία P 0, P 1, όπου a = P 1 P 0. (i) Αν υπάρχει δ > 0 ώστε ο περιορισµός g(t) = φ(r(t)), t [0, δ) της φ στο ευθύγραµµο τµήµα της ε µε άκρα τα r(0), r(δ) παίρνει ελάχιστη τιµή για t = 0, τότε a gradφ(p 0 ) 0. (ii) Αν υπάρχει δ > 0 ώστε ο περιορισµός g(t) = φ(r(t)), t [0, δ) της φ στο ευθύγραµµο τµήµα της ε µε άκρα τα r(0), r(δ) παίρνει µέγιστη τιµή για t = 0, τότε a gradφ(p 0 ) 0. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε το Θεώρηµα για m = 3. Για m 3 η απόδειξη είναι ανάλογη. Εχουµε g(t) = φ(r(t)) = φ((x 0 + t(x 1 x 0 ), y 0 + t(y 1 y 0 ), z o + t(z 1 z 0 ))), άρα g (t) = φ x (r(t))(x 1 x 0 ) + φ y (r(t))(y 1 y 0 ) + φ z (r(t))(z 1 z 0 ) = εποµένως gradφ(r(t)) a, g (0) = gradφ(p 0 ) a. Από την υπόθεση ότι g(t) g(0) για κάθε t [0, δ), έχουµε g (0) = lim t 0+ g(t) g(0) t 0, άρα ισχύει η (i). Ανάλογα αποδεικνύεται και η (ii). Εστω X R m και έστω η συνάρτηση φ : X R. Αν P 0 X, το σύνολο S P0 = {x X φ(x) φ(p 0 )},

22 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι είναι το άνω τµήµα της φ στο σηµείο P 0 ή το άνω τµήµα που αποκόπτει η φ από το X στο σηµείο P 0. Η µελέτη των ισοσταθµικών και των άνω τµηµάτων συναρτήσεων είναι πολύ σηµαντική στη ϑεωρία ήτησης. Στο επόµενο ϑεώρηµα αποδεικνύουµε ότι το gradφ(p 0 ) στηρίζει το άνω τµήµα S P0 έχουµε της φ στο P 0 στο σηµείο P 0, δηλαδή ότι για κάθε x S P0 gradφ(p 0 ) x gradφ(p 0 ) P 0. Θεώρηµα 1.16. Εστω X R m κυρτό και έστω η συνάρτηση φ : X R. Υποθέτουµε επίσης ότι P 0 είναι εσωτερικό σηµείο του X, η φ έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης σε µια περιοχή του σηµείου P 0 και ότι gradφ(p 0 ) 0. Αν το άνω τµήµα S P0 της φ στο P 0 είναι κυρτό, το gradφ(p 0 ) στηρίζει το S P0 στο σηµείο P 0. Απόδειξη. Επειδή το σύνολο S P0 είναι κυρτό, για κάθε x S P0 το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα σηµεία x και P 0 κείτεται στο σύνολο S P0. Ετσι για κάθε t [0, 1] έχουµε ότι r(t) = P 0 + t(x P 0 ) S P0 ή ισοδύναµα ότι φ(r(t)) φ(r(0)), για κάθε t [0, 1]. Εποµένως η συνάρτηση g(t) = φ(r(t)), t [0, 1] παίρνει ελάχιστη τιµή για t = 0, άρα από το Θεώρηµα 1.15 έχουµε (x P 0 ) gradφ(p 0 ) 0. Εποµένως για κάθε x S P0 έχουµε x gradφ(p 0 ) P 0 gradφ(p 0 ), άρα το gradφ(p 0 ) στηρίζει το σύνολο S P0 στο σηµείο P 0. 1.6.1 εσµευµένα ακρότατα Εστω ότι Ω R n ανοικτό και έστω ότι ϑέλουµε να µελετήσουµε τα στατικά σηµεία της συνάρτησης f : Ω R περιορισµένης στο µη κενό υποσύνολο G των σηµείων του Ω που ικανοποιούν τους περιορισµούς

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 23 φ 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0, φ 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0,... φ k (x 1, x 2,..., x n ) = 0, (1.6.1.1) όπου 1 k < n. Υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f, φ 1, φ 2,..., φ k έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης στο Ω. Επίσης υποθέτουµε ότι για κάθε P G, τα διανύσµατα gradφ 1 (P), gradφ 2 (P),..., gradφ k (P) είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Τότε από το ϑεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων έχουµε ότι για κάθε P G το σύστηµα των περιορισµών λύνεται τοπικά στο P ώστε n k από τις x 1, x 2,..., x n να είναι συνάρτηση των υπολοίπων και οι συναρτήσεις αυτές έχουν συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης τοπικά στο P. ηλαδή το σύνολο G, τοπικά στο σηµείο P, είναι "επιφάνεια" του R n. Τότε η f περιορισµένη στο G είναι µια συνάρτηση k µεταβλητών και αν υποθέσουµε ότι οι n k τελευταίες µεταβλητές είναι συνάρτηση των k πρώτων έχουµε ότι ο περιορισµός της f στο G είναι η συνάρτηση g(x 1, x 2,..., x k ) = f (x 1,..., x k, x k+1 (x 1,..., x k ),..., x n (x 1,..., x k )). Τότε η συνάρτηση g είναι ο περιορισµός της f στο G. Επίσης η g αναφέρεται και ως η συνάρτηση f υπό τους περιορισµούς (1.6.1.1). Εστω P 0 G. Αν το P 0 είναι στατικό σηµείο της g, λέµε ότι το P 0 είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f ή στατικό σηµείο της f υπό τους περιορισµούς (1.6.1.1). Ανάλογοι ορισµοί ισχύουν για τα δεσµευµένα τοπικά ακρότατα της f. Αν υποθέσουµε ότι P 0 G, γνωρίζουµε ότι το P 0 είναι στατικό σηµείο της g αν και µόνο αν ισχύουν g(p 0) x i = 0, για κάθε i = 1, 2,..., k. Από τον κανόνα της αλυσίδας αν κάνουµε πράξεις και αντικαταστήσουµε τις παραγώγους από το Θεώρηµα των πεπλεγµένων συναρτήσεων προκύπτει τελικά η διανυσµατική εξίσωση gradf (P 0 ) = k λ i gradφ i (P 0 ). i=1

24 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι Αυτή είναι ισοδύναµη µε τις εξισώσεις f (P 0 ) x i = k j=1 λ j φ j (P 0 ) x i, i = 1, 2,..., k. Αν λάβουµε υπόψη µας ότι P 0 G έχουµε επίσης ότι φ i (P 0 ) = 0 για κάθε i = 1, 2,..., k. Ετσι από τις υποθέσεις που ϑέσαµε παραπάνω έχουµε Θεώρηµα 1.17. Το P 0 G είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f αν και µόνο αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ 1, λ 2,..., λ k ώστε gradf (P 0 ) = k λ i gradφ i (P 0 ), i=1 δηλαδή το gradf (P 0 ) ανήκει στο γραµµικό υπόχωρο που παράγεται από τα διανύσµατα gradφ i (P 0 ), i = 1, 2,..., k. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε το Θεώρηµα στη περίπτωση όπου n = 3, k = 2. Στη γενική περίπτωση η απόδειξη είναι ανάλογη. Υποθέτουµε ότι µελετούµε τα στατικά σηµεία της συνάρτησης f (x, y, z) περιορισµένης στο µη κενό σύνολο G που ορίζεται από τους περιορισµούς φ(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0. (1.6.1.2) Υποθέτουµε ότι P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) G. Επειδή gradφ(p 0 ), gradh(p 0 ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα µπορούµε να υποθέσουµε ότι D(φ, h) D(y, z) (P 0) = φ y(p 0 ) φ z (P 0 ) h y (P 0 ) h z (P 0 ) 0, οπότε από το Θεώρηµα των πεπλεγµένων συναρτήσεων το σύστηµα των περιορισµών λύνεται ως προς y, z, τοπικά στο σηµείο P 0 και έχουµε z = z(x), y = y(x) µε z 0 = z(x 0 ), y 0 = y(x 0 )

1.6. Κυρτές συναρτήσεις σε Ευκλείδειους χώρους 25 και y (x) = D(φ,h) D(x,z) D(φ,h) D(y,z), z (x) = D(φ,h) D(y,x) D(φ,h) D(y,z) Ετσι το σύνολο G τοπικά στο σηµείο P 0 είναι η καµπύλη r(x) = (x, y(x), z(x)) και ο περιορισµός της f στο G είναι η συνάρτηση g(x) = f (x, y(x), z(x)). Εχουµε g (x 0 ) = f x (P 0 )+f y (P 0 )y (x 0 )+f z (P 0 )z (x 0 ). Το P 0 είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f αν και µόνο αν x 0 στατικό σηµείο της g ή ισοδύναµα g (x 0 ) = 0. Άρα έχουµε D(φ, h) f x (P 0 ) D(y, z) (P D(φ, h) 0) f y (P 0 ) D(x, z) (P D(φ, h) 0) f z (P 0 ) D(y, x) (P 0) = 0 ή ισοδύναµα f x (P 0 ) f y (P 0 ) f z (P 0 ) φ x (P 0 ) φ y (P 0 ) φ z (P 0 ) h x (P 0 ) h y (P 0 ) h z (P 0 ). = 0. Εποµένως τα τρία διανύσµατα είναι γραµµικά εξαρτηµένα ή ισοδύνα- µα gradf (P 0 ) = λgradφ(p 0 ) + µgradh(p 0 ), όπου λ, µ πραγµατικοί αριθµοί. Εποµένως για n = 3 και k = 2 ισχύει το Θεώρηµα. Σηµειώνουµε ότι σύµφωνα µε το προηγούµενο ϑεώρηµα, ένα σηµείο P 0 Ω είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f αν και µόνο αν (i) ικανοποιεί τους περιορισµούς και φ i (P 0 ) = 0, για κάθε i = 1, 2,..., k

26 Κεφάλαιο1. Μετρικοί χώροι (ii) υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ 1, λ 2,..., λ k ώστε k gradf (P 0 ) = λ i gradφ i (P 0 ). i=1 Οι παραπάνω εξισώσεις προκύπτουν µε τον παρακάτω κοµψό τρόπο που αποµνηµονεύεται εύκολα και είναι γνωστός ως µέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange. Θεωρούµε τη συνάρτηση k F(x 1, x 2,..., x n, λ 1, λ 2,..., λ k ) = f (x 1,..., x n ) + λ i φ i (x 1,..., x n ), όπου οι x 1,..., x n, λ 1,..., λ k ϑεωρούνται ως µεταβλητές της συνάρτησης. Το σηµείο P 0 = (x 0 1, x0 2,..., x0 n) Ω είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f αν και µόνο αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ 0 1,..., λ0 k ώστε i=1 gradf(x 0 1,..., x0 n, λ0 1,..., λ0 k) = 0. Παράδειγµα 1.18. Προσδιορίστε τα στατικά σηµεία της συνάρτησης f (x, y) = xy, όταν x + y = 5, x 0, y 0, που είναι υποψήφια σηµεία τοπικου µεγίστου. Αν x = 0 ή y = 0, τότε f (x, y) = 0. Επειδή f (x, y) > 0 γιά κάθε (x, y) µε x 0 ή y 0, έχουµε ότι σηµεία (x, y) µε x 0 ή y 0 δεν µπορεί να είνα σηµεία τοπικού µεγίστου. Αρα αν η f παίρνει µέγιστη τιµή στο (x 0, y 0 ) έχουµε x 0 > 0 και y 0 > 0. Εποµένως προσδιορίζουµε τα δεσµευµένα στατικά σηµεία της f στο ανοικτό σύνολο Ω = {(x, y) x > 0, y > 0} υπό το περιορισµό x + y = 5. Εχουµε άρα έχουµε gradf (P 0 ) = λgradφ(p 0 ), φ(p 0 ) = 5, (y 0, x 0 ) = λ(1, 1) x 0 + y 0 = 5. Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι (x 0, y 0 ) = ( 5 2, 5 2 ) είναι δεσµευµένο στατικό σηµείο της f και το σηµείο αυτό είναι µοναδικό και είναι εύκολο να δούµε ότι είναι δεσµευµένο σηµείο ολικού µεγίστου της f.