1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

f I X i I f i X, για κάθεi I.

47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

f x 0 για κάθε x και f 1

06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

ii

Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 5Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Τοπολογια γινομενο και προβολες Εστω X, Y τοπολογικοί

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc

Shmei seic Genik c TopologÐac Miqa l GerapetrÐthc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα, βάσεις και υποβάσεις..................

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

B = F i. (X \ F i ) = i I

Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε}

1 Ανοικτή μπάλα στον R n Ορισμός: Εστω x 0 R n και ε > 0. Ανοικτή μπάλα του R n με κέντρο x 0 και ακτίνα ε καλείται το σύνολο: B( x 0, ε) = { x R n : x x 0 < ε} Κλειστή μπάλα στον R n Ορισμός: Εστω x 0

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΟΓΔΟΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και A X. Ονομάζουμε εσωτερικό του A το σύνολο Ονομάζουμε σύνορο του A το σύνολο A = {x x εσωτερικό του A}. A = {x

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 1: Μέτρα Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 }

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2014 ii Πρώτη έκδοση, πιθανόν με τυπογραφικά λάθη. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 σ-άλγεβρες 5 1.1 Άλγεβρες και σ-άλγεβρες.........................

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

n k=1 k=n+1 k=1 k=1 k=1

Πιθανότητες ΙΙ - Λύσεις Ασκήσεων Άσκηση 1 Εστω A σ-άλγεβρα. Τότε, A και A κλειστή στα συμπληρώματα (ιδιότητες (i) και (ii) της σ-άλγεβρας). Εστω A 1, A 2,..., A πεπερασμένη ακολουθία στοιχείων της A. Αφού

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΗΜΜΑ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και x, y X με x y. Τότε υπάρχει μια περιοχή του x και μια περιοχή του y (και, μάλιστα, ίδιας ακτίνας) οι οποίες είναι

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Ενότητα: ιαχωριστικά αξιώµατα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

.1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :

Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2 η : Εισαγωγικές Ένvοιες Ι Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

f(x) = και στην συνέχεια

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ