Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Transcript

1 Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος των Cauchy, ipschitz και Picard. Κεντρικό ϱόλο τόσο στη διατύπωση του ϑεωρήµατος όσο και στην απόδειξη, έχει η διαφόριση και ολοκλήρωση σε έναν χώρο Banach, για το λόγο αυτό κρίθηκε σκόπιµο να συµπεριληφθεί µια σύντοµη παρουσίαση του εργαλείου µε το οποίο επιτυγχάνεται µια τέτοια ολοκλήρωση, δηλαδή το ολοκλήρωµα Bochner. Η πρώτη ενότητα είναι αφιερωµένη στο ολοκλήρωµα Bochner και κάποια ακόµα ϑεωρήµατα από την πραγµατική ανάλυση που ϑα χρειαστούµε. Στη δεύτερη ενότητα αποδεικνύουµε το ϑεώρηµα του Picard. 1 Εννοιες που ϑα χρειαστούµε 1.1 Το Ολοκλήρωµα Bochner Το ολοκλήρωµα ebesgue µιας συνάρτησης από έναν χώρο µέτρου στο R οριζόταν αρχικά για τις απλές συναρτήσεις και ύστερα επεκτεινόταν στην κλάση των µετρήσιµων συναρτήσεων, παίρνοντας κατάλληλα remum ολοκληρωµάτων απλών συναρτήσεων. Η ολοκλήρωση διανυσµατικών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων που λαµβάνουν τιµές σε έναν χώρο Banach, επιτυγχάνεται µε παρόµοιο τρόπο όπως και µε το ολοκλήρωµα ebesgue. Καθώς όµως σε έναν τυχαίο χώρο Banach, δεν υπάρχει η έννοια της διάταξης, πόσο µάλλον αυτής του remum, χρειαζόµαστε µια διαφορετική περιγραφή της κλάσης των ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Στις επόµενες σελίδες παρουσιάζουµε κάποιες ϐασικές έννοιες της ολοκλήρωσης κατά Bochner και αναφέρουµε τα αποτελέσµατα που ϑα χρειαστούµε στην απόδειξη του ϑεωρήµατος του Picard. Οι περισσότερες αποδείξεις παραλείπονται και ο αναγνώστης µπορεί να τις αναζητήσει στο [Die]. Ορισµός Μια τετράδα (, τ, F, µ, όπου ο (, F, µ είναι χώρος µέτρου, ο (, τ είναι τοπολογικός χώρος και επιπλέον ισχύει ότι τ F, δηλαδή κάθε ανοικτό σύνολο είναι F-µετρήσιµο, ονοµάζεται τοπολογικός χώρος µέτρου. Αν επιπλέον ο (E, είναι χώρος Banach και f : E, τότε η f καλείται F-µετρήσιµη αν f 1 (U F για κάθε U E ανοικτό. Οι F-µετρήσιµες συναρτήσεις δεν είναι αρκετές για να περιγράψουν πλήρως τη ϑεωρία των διανυσµατικών ολοκληρωµάτων και για το λόγο αυτό χρειαζόµαστε την έννοια της µ-µετρησιµότητας : Ορισµός Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E. 1

2 Η f ονοµάζεται απλή αν υπάρχουν x 1,..., x n E και 1,..., n F τέτοια ώστε f(ω = n x i I i (ω, ω, i=1 όπου I i η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου i. Η f ονοµάζεται µ-µετρήσιµη αν υπάρχει ακολουθία απλών συναρτήσεων (f n n N τέτοια ώστε f n (ω f(ω n, µ-σχεδόν παντού. Το επόµενο Λήµµα συνδέει µεταξύ τους τις δύο έννοιες µετρησιµότητας που ορίσαµε. Λήµµα Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E. Τα επόµενα είναι ισοδύναµα : ( i Η f είναι µ-µετρήσιµη, (ii η f είναι F-µετρήσιµη και επιπλέον υπάρχει E κλειστός και διαχωρίσιµος υπόχωρος του E τέτοιος ώστε το σύνολο f 1 (E \ E να έχει µηδενικό µέτρο. Το ολοκλήρωµα Bochner, όπως και στην περίπτωση του ολοκληρώµατος ebesgue, ορίζεται κατ αρχάς για τις απλές συναρτήσεις και στη συνέχεια επεκτείνεται στην ευρύτερη κλάση των µ- µετρήσιµων συναρτήσεων. Ορισµός Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E. Αν η f είναι απλή, δηλαδή f = Αν η f = n x i I i, τότε ορίζουµε το ολοκλήρωµα της f να είναι : i=1 n x i I i dµ = i=1 n x i µ( i. (1.1.1 n x i I i απλή και F, τότε ορίζουµε το ολοκλήρωµα της f στο ως : i=1 fdµ = i=1 fi dµ. Αν η f είναι µ-µετρήσιµη και (f n n N ακολουθία απλών συναρτήσεων τέτοιες ώστε f n f dµ, n τότε η f καλείται ολοκληρώσιµη κατά Bochner και για κάθε F το στοιχείο fdµ = lim f n dµ, n ονοµάζεται ολοκλήρωµα Bochner της f στο. 2

3 Παρατήρηση Σε αυτό το σηµείο αξίζει να τονιστεί η διαφορά ανάµεσα στις εκφράσεις fdµ και f dµ. Στην πρώτη περίπτωση το fdµ είναι ένα στοιχείο του χώρου Banach και εποµένως η fdµ είναι η νόρµα του στοιχείου αυτού. Στη δεύτερη περίπτωση η f είναι µια πραγµατική συνάρτηση, f : R, για την οποία f (ω = f(ω, για κάθε ω. Εποµένως η έκφραση f dµ δεν είναι άλλη από το ολοκλή- ϱωµα ebesgue της συνάρτησης. Εν γένει δεν περιµένουµε οι δύο αυτές εκφράσεις να είναι ίσες, είναι όµως λογικό να αναζητήσουµε κάποιου είδους σύνδεση ανάµεσα τους. Αποδεικνύεται εύκολα ότι για f απλή συνάρτηση ισχύει ότι fdµ f dµ. Αυτό επεκτείνεται και για µ-ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια. Θεώρηµα Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E Bochner ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Τότε : (i fdµ =, (ii lim µ( fdµ f dµ, για κάθε F, (iii αν ( n n N ακολουθία ξένων ανά δύο στοιχείων του F τότε n=1 n fdµ = n=1 n fdµ. Θεώρηµα Εστω (, F, µ χώρος πεπερασµένου µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E µ-µετρήσιµη συνάρτηση. Η f είναι Bochner ολοκληρώσιµη αν και µόνο αν η f είναι ebesgue ολοκληρώσιµη, δηλαδή f dµ <. Θεώρηµα Θεωρούµε τον χώρο = [, 1] εφοδιασµένο µε την σ-άλγεβρα των Borel και το µέτρο ebesgue. Αν η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner, τότε, σχεδόν για κάθε s [, 1], ισχύει ότι 1 s+h lim f(tdt = f(s. h h s Γνωρίζουµε ότι αν [a, b] διάστηµα του R, τότε κάθε συνεχής συνάρτηση f : [a, b] R είναι ολοκληρώσιµη κατά ebesgue. Ενα εύλογο ερώτηµα είναι το κατά πόσον ισχύει κάτι αντίστοιχο για το ολοκλήρωµα Bochner αναφορικά µε συνεχείς συναρτήσεις από έναν τοπολογικό χώρο µέτρου σε έναν χώρο Banach. Πιο συγκεκριµένα, έστω (, τ, F, µ τοπολογικός χώρος µέτρου, (E, χώρος Banach και f : E συνεχής. Προφανώς η f είναι F-µετρήσιµη. Μπορούµε, επιπλέον, να συµπεράνουµε ότι η f είναι µ-µετρήσιµη ή ολοκληρώσιµη κατά Bochner; Το επόµενο Λήµµα δίνει ικανές συνθήκες για την µ-µετρησιµότητα. 3

4 Λήµµα Εστω (, F, µ συµπαγής χώρος πεπερασµένου µέτρου, Y µετρικοποιήσιµος χώρος και f : Y F-µετρήσιµη συνάρτηση. Τότε υπάρχει Y, κλειστός και διαχωρίσιµος υπόχωρος του Y τέτοιος ώστε το f 1 (Y \ Y να έχει µέτρο µηδέν. Απόδειξη. Η πλήρης απόδειξη είναι αρκετά εκτενής και µπορεί να ϐρεθεί στο [Fre], Λήµµα 451Q, σελ Με τη ϐοήθεια του παραπάνω λήµµατος ϑα διατυπώσουµε µια ικανή συνθήκη ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση από έναν κατάλληλα επιλεγµένο τοπολογικό χώρο µέτρου να είναι ολοκλη- ϱώσιµη κατά Bochner. Πόρισµα Εστω (, τ, F, µ τοπολογικός χώρος µέτρου, τέτοιος ώστε ο (, τ συµπαγής τοπολογικός χώρος και ο (, F, µ συµπαγής χώρος µέτρου. Αν (E, χώρος Banach και f : E συνεχής, τότε η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Απόδειξη. Η f είναι συνεχής, εποµένως ϑα είναι και F-µετρήσιµη, ενώ ο E είναι χώρος Banach, εποµένως µετρικοποιήσιµος. Από το Λήµµα (1.1.9, υπάρχει E E κλειστός διαχωρίσιµος υ- πόχωρος τέτοιος ώστε το f 1 (E \ E να έχει µέτρο µηδέν. Από το Λήµµα (1.1.3, η f είναι µ-µετρήσιµη. Άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα (1.1.7, αρκεί να δείξουµε ότι f dµ < για να συµπεράνουµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Οµως το συµπαγές σύνολο και η f συνεχής, εποµένως το f( ϑα είναι -ϕραγµένο υποσύνολο του E, έστω από τη σταθερά M >. Επιπλέον το µέτρο µ είναι πεπερασµένο. Εποµένως f dµ µ( M <. Άρα η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Παράδειγµα Εστω t > και ϑεωρούµε τον χώρο ([, t], B([, t], λ, όπου µε B([, t] συµ- ϐολίζουµε τα Borel του [, t] και µε λ το µέτρο ebesgue. Ο χώρος αυτός είναι συµπαγής τοπολογικός χώρος και, όπως είναι γνωστό, το µέτρο ebesgue είναι εσωτερικά κανονικό ως προς τα συµπαγή. Αφού ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του προηγούµενου Πορίσµατος συµπεραίνουµε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση από τον ([, t], B([, t], λ σε έναν χώρο Banach, (E,, είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Το παράδειγµα αυτό δεν επιλέχθηκε τυχαία. Πρόκειται για τον χώρο στον οποίο ϑα δουλέψουµε στην απόδειξη του Θεωρήµατος του Picard και µόλις εξασφαλίσαµε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση του χώρου αυτού είναι και ολοκληρώσιµη κατά Bochner. Στην πραγµατικότητα, αυτός ήταν ο απώτερος σκοπός ολόκληρης της ανάλυσης που προηγήθηκε : Να εξασφαλίσουµε ότι το ολοκλήρωµα που ϑα εµφανιστεί στη σχέση (2..2 έχει νόηµα. Θα έλεγε κανείς πως έχουµε ολοκληρώσει τη συζήτησή µας πάνω στην ολοκληρωσιµότητα διανυσµατικών συναρτήσεων και µπορούµε να προχωρήσουµε στην απόδειξη του Θεωρήµατος του Picard. Στην πραγµατικότητα υπάρχει ένα ακόµη λεπτό σηµείο της απόδειξης που ϑα χρειαστεί να αποσαφηνίσουµε από τώρα και αυτό είναι η ισοδυναµία της ύπαρξης λύσης για την ολοκληρωτική έκφραση (2..2, µε αυτήν για το αρχικό πρόβληµα (2..1. Χρειαζόµαστε ένα αποτέλεσµα ανάλογο του Θεµελιώδους Θεωρήµατος του Ολοκληρωτικού Λογισµού, αλλά για διανυσµατικές συναρτήσεις. Υπενθυµίζεται ότι ένας χώρος πεπερασµένου µέτρου (, F, µ ονοµάζεται συµπαγής, εαν υπάρχει οικογένεια F F τέτοια ώστε το µέτρο µ να είναι εσωτερικά κανονικό ως προς τα στοιχεία της F, δηλαδή για κάθε στοιχείο της F, µ( = µ(f : F, F F και, επιπλέον, για κάθε F F µε την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής, έπεται ότι F. F F 4

5 Θεώρηµα (Hille. Εστω (, F, µ χώρος µέτρου, X, Y χώροι Banach, T : X Y κλειστός και γραµµικός τελεστής και f : X και T f ολοκληρώσιµες κατά Bochner. Τότε ( T fdµ = T fdµ, F. (1.1.2 Θεώρηµα Εστω (X, χώρος Banach και f : [, t] (X, συνεχής και διαφορίσιµη συνάρτηση. Τότε για κάθε t [, t] ισχύει ότι : t f(t = f( + f (sds. (1.1.3 Απόδειξη. Εστω x X. Θα δείξουµε πρώτα ότι x f = (x f. Πράγµατι, (x f (x f(s + h (x f(s (s = lim h h x (f(s + h x (f(s = lim h h ( f(s + h f(s = lim x h h = x ( lim h = x (f (s f(s + h f(s h = (x f (s, s [, t]. Με τη ϐοήθεια του x µετατρέψαµε την παραγώγιση της διανυσµατικής συνάρτησης f σε παραγώγιση της x f, η οποία όµως είναι µια πραγµατική συνάρτηση, x f : [, t] R. Πλέον µπορούµε να εφαρµόσουµε το Θεµελιώδες Θεώρηµα Ολοκληρωτικού Λογισµού για την (x f : t Οµως από το Θεώρηµα του Hille, (x f (sds = t t (x f (sds = (x f(t (x f( = x (f(t x (f( = x (f(t f(. (x f (sds = x ( t f (sds, εποµένως ( t x f (sds = x (f(t f(, x X, t [, t]. Επειδή ο X διαχωρίζει τα σηµεία του X, από την παραπάνω σχέση προκύπτει άµεσα ότι t f (sds = f(t f(, t [, t]. 5

6 1.2 Αποτελέσµατα από την Πραγµατική Ανάλυση Θεώρηµα (Σταθερού Σηµείου του Banach. Εστω (X, d πλήρης µετρικός χώρος και F : X X συνάρτηση συστολής. Τότε η F έχει µοναδικό σταθερό σηµείο. Απόδειξη. [li] Θεώρηµα 3.48, σελ. 95. Ορισµός Εστω X σύνολο, (Y, d µετρικός χώρος και f n, f : X Y. Λέµε ότι η ακολουθία f n συγκλίνει οµοιόµορφα στην f (συµβ. f n f, αν για κάθε ɛ > υπάρχει n N τέτοιο ώστε d(f n (x, f(x < ɛ, για κάθε n n και κάθε x X. Πρόταση Εστω (X, ρ, (Y, d µετρικοί χώροι και f n, f : X Y συναρτήσεις τέτοιες ώστε η f n να είναι συνεχής για κάθε n N και f n f. Τότε η f συνεχής. 2 Το Θεώρηµα του Picard Θεώρηµα (Cauchy, ipschitz, Picard. Εστω (E, χώρος Banach και F : E E απεικόνιση για την οποία υπάρχει σταθερά τέτοια ώστε F u F v u v, u, v E. Τότε για κάθε u E υπάρχει µοναδικό u C 1 ([,, E τέτοιο ώστε du = F u, στο [,, dt u( = u. (2..1 Απόδειξη. Θα ακολουθήσουµε την απόδειξη όπως αυτή είναι γραµµένη στο [Bre] εξηγώντας αναλυτικά το κάθε ϐήµα. Πρώτα από όλα, παρατηρούµε ότι µια συνάρτηση u C([, η οποία ικανοποιεί την εξίσωση αποτελεί λύση του (2..1. Πράγµατι, u(t = u + t F (u(sds, (2..2 du dt u(s + h u(s = lim h h = lim h s+h F (u(xdx s F (u(xdx h s+h F (u(xdx s h = lim h = F (u(s, σχεδόν για κάθε s [, t], από το Θεώρηµα ( Επιπλέον η F (u είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών, εποµένως η παραπάνω ισότητα ισχύει για κάθε s [, t]. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν µια συνάρτηση u λύνει το πρόβληµα (2..1, τότε ικανοποιεί και την εξίσωση (2..2. Πρόκειται για άµεση εφαρµογή του Θεωρήµατος (

7 Θα δείξουµε ότι η εξίσωση (2..2 έχει λύση και µάλιστα µοναδική. Για το λόγο αυτό ϑεωρούµε k > το οποίο ϑα προσδιορίσουµε αργότερα και ορίζουµε τον γραµµικό χώρο X = u C([,, E : e kt u(t E <. t Εύκολα επαληθεύουµε ότι ο X είναι γραµµικός υπόχωρος του C([,, E. Θα δείξουµε ότι η απεικόνιση X : X R για την οποία u X = e kt u(t E, u X, t ορίζει νόρµα. (i Για κάθε t, u(t E, e kt, άρα e kt u(t E, για κάθε t, άρα u X. (ii Αν u X, t αφού η E είναι νόρµα. u X = e kt u(t E = e kt u(t E =, t u(t E =, t u(t =, t, (iii Αν a R, au X = e kt au(t E t = a e kt u(t E t = a u X. (iv Αν u, v X, τότε u + v X = e kt u(t + v(t E t t e kt u(t E + e kt v(t E t = u X + v X. Εποµένως η X ορίζει νόρµα. Θα δείξουµε ότι ο (X, X είναι χώρος Banach. Εστω (u n n N X ακολουθία Cauchy, δηλαδή για κάθε ɛ > υπάρχει n N τέτοιο ώστε u n u m X < ɛ, για κάθε n, m n. Σταθεροποιούµε t και παρατηρούµε ότι η ακολουθία (u n (t n N είναι µια Cauchy ακολουθία του E. Πράγµατι, για κάθε ɛ > αρκεί να επιλέξουµε δ = ɛ. Τότε για το συγκεκριµένο δ >, kt e υπάρχει n N τέτοιο ώστε e kt u n (t u m (t < δ, n, m n. 7

8 Άρα u n (t u m (t < δe kt = ɛe kt e kt = ɛ, για κάθε n, m n. Αφού η (u n (t n N είναι ακολουθία Cauchy και ο E χώρος Banach, έπεται ότι ϑα συγκλίνει σε κάποιο στοιχείο του E. Συµβολίζουµε µε u(t το όριο αυτό, u(t = lim u n(t. Η u είναι µια n καλά ορισµένη απεικόνιση από το [, στο E. Θα δείξουµε ότι η u είναι στοιχείο του X, δηλαδή ότι είναι συνεχής µε u X < και επιπλέον ότι η ακολουθία u n συγκλίνει στο u ως προς την X νόρµα. Για τη συνέχεια, παρατηρούµε ότι σε κάθε διάστηµα [, t ] η u n συγκλίνει οµοιόµορφα στην u. Πράγµατι, αν ɛ >, τότε για δ = ɛe t έχουµε ότι u n (t u(t e t ɛ e t ɛ = δ, για κάθε t [, t ]. Από την Πρόταση (1.2.3 συµπεραίνουµε ότι η u είναι συνεχής σε κάθε τέτοιο διάστηµα, άρα και σε ολόκληρο το [,. Θα δείξουµε ότι u X <. Εστω M >. Επειδή η (u n n N Cauchy, υπάρχει n N τέτοιο ώστε u n u m X < M για κάθε n, m n. Αυτό σηµαίνει ότι για κάθε n, m n, e kt u n (t u m (t E < M t e kt u n (t u m (t E < M, t lim m e kt u n (t u m (t E < M, t e kt u n (t u(t E < M, t. Εποµένως u X u u n X + u n X M + u n X <. X Θα δείξουµε ότι u n u. Εστω ɛ >. Υπάρχει n N τέτοιο ώστε t u n u m X < ɛ, n, m n e kt u n (t u m (t E < ɛ, n, m n e kt u n (t u m (t E < ɛ, n, m n, t lim m e kt u n (t u m (t E < ɛ, n n, t e kt u n (t u(t E < ɛ, n n, t t e kt u n (t u(t E < ɛ, n n Ορίζουµε Φ : X X τέτοια ώστε για κάθε u X, u n u X < ɛ, n n X u. u n Φ u (t = u + t F (u(sds. (2..3 Οπως είδαµε στο Παράδειγµα (1.1.11, η u είναι ολοκληρώσιµη κατά Bochner στο διάστηµα [, t] αφού είναι συνεχής. Για τον ίδιο λόγο η F u είναι επίσης ολοκληρώσιµη αφού είναι συνεχής ως t σύνθεση συνεχών. Εποµένως η έκφραση F (u(sds έχει νόηµα. Θα δείξουµε ότι η Φ u όντως ανήκει στον X, για κάθε u X. 8

9 Εστω u X. Τότε t e kt Φ u (t E = t t t F (u(sds E e kt t u E + e kt e kt u + u E e kt + + t t e kt ( t t F (u(s E ds ( F (u(s F (u( E + F (u( E ds u E e kt + F (u E t e kt + t + t t t e kt u(s u( ds e kt t u + 1 ke ( u + F (u + t t Εποµένως αρκεί να ϕράξουµε το g(t = e kt u(s u( ds t kg(t = e kt u(t u X, εποµένως g (se ks + kg(se ks e ks u X, s t (g(se ks e ks u X, s t g(te kt u X t Άρα Φ u X u + 1 ke ( u + F (u + u X k u(s u( ds.. Παρατηρούµε ότι g (t + e ks ds = u X k (1 ekt g(t u X k. (2..4 <. Αποµένει να δείξουµε ότι Φ u Φ v X k u v X, για κάθε u, v X. Πράγµατι t Φ u Φ v X = e kt (F (u(s F (v(sds t E t e kt t t e kt t F (u(s F (v(s E ds u(s v(s E ds. t Εφαρµόζοντας την (2..4 για u v στη ϑέση του u, ϐρίσκουµε ότι e kt u(s v(s E ds u v X, για κάθε t, εποµένως Φ u Φ v X k k u v X. Επιλέγουµε k >, οπότε η Φ : X X είναι συνάρτηση συστολής. Από το Θεώρηµα Σταθερού Σηµείου του Banach, η Φ έχει µοναδικό σταθερό σηµείο το οποίο προφανώς αποτελεί λύση της εξίσωσης (2..2 και κατά συνέπεια του αρχικού προβλήµατος. 9

10 Αποµένει να δειχθεί ότι η λύση του (2..1 είναι µοναδική. Εστω u, v δύο λύσεις του προβλή- µατος και ϑέτουµε φ(t = u(t v(t E. Τότε φ(t t = t t F (u(s F (v(s ds u(s v(s ds φ(sds. Άρα φ(t t φ(s, t. (2..5 Θα αποδείξουµε µε δύο διαφορετικούς τρόπους ότι η συνθήκη αυτή συνεπάγεται ότι η φ µηδενίζεται παντού στο [,. Α Τρόπος : Με τη χρήση επαγωγής. Θα δείξουµε, χρησιµοποιώντας [ ισχυρή επαγωγή, ότι η φ n 1 µηδενίζεται ταυτοτικά σε κάθε διάστηµα της µορφής, n ], για n 1. Από αυτό συµπεραίνουµε άµεσα ότι φ και στην ένωσή τους, δηλαδή σε ολόκληρο το [,. [ Για n = 1 ϑεωρούµε το διάστηµα, 1 και υποθέτουµε προς απαγωγή σε άτοπο ότι υπάρχει t < 1 τέτοιο ώστε φ(t >. Στο συµπαγές διάστηµα [, t ] η συνεχής συνάρτηση φ λαµβάνει µέγιστο, έστω στο σηµείο t 1. Προφανώς t 1, αφού φ( =. Οµως φ(t 1 t1 φ(sds t 1 φ(t = t 1 φ(t 1 και καθώς t 1 t < 1 t [,t 1] έχουµε ότι φ(t 1 < φ(t 1, [ άτοπο. Άρα φ(t =, για κάθε t, 1. Επειδή η φ συνεχής, ϑα µηδενίζεται επιπλέον και στο 1 [, δηλαδή φ(t =, για κάθε t, 1 ]. Για [ το επαγωγικό ϐήµα υποθέτουµε ότι η φ µηδενίζεται σε κάθε διάστηµα της µορφής n 1, n ] [ m, για n m και ϑα δείξουµε ότι µηδενίζεται και στο, m + 1 ]. Οπως και [ m πριν, αν υποθέσουµε ότι υπάρχει t, m + 1 ] τέτοιο ώστε φ(t >, τότε ϑα υπάρχει [ m [ m t 1 ], t στο οποίο η φ να λαµβάνει µέγιστο για το διάστηµα 1], t. Προφανώς t 1 m Εξασφαλίσαµε ότι το πρόβληµα έχει µοναδική λύση σε έναν υπόχωρο του αρχικού χώρου στον οποίο δουλεύαµε. Συγκεκριµένα, περιοριστήκαµε στα στοιχεία του C([,, E τα οποία έχουν πεπερασµένη νόρµα X. Εποµένως, δεν αποκλείεται να υπάρχουν και άλλες λύσεις της (2..2 για τις οποίες η X-νόρµα να µην είναι ϕραγµένη. Για το λόγο αυτό χρειάζεται επιπλέον να δείξουµε ότι η λύση της (2..2 είναι µοναδική σε ολόκληρο τον χώρο C([,, E. 1

11 ( m [ αφού φ =. Επειδή φ στο, m ], ϑα ισχύει ότι άτοπο. Άρα η φ µηδενίζεται στο [ m το, m + 1 ]. t1 φ(t 1 = t1 m φ(sds φ(sds ( t 1 m ( = t 1 m < 1 φ(t 1 = φ(t 1, [ m, m + 1 t [,t 1] φ(t 1 φ(t και λόγω συνέχειας µηδενίζεται σε ολόκληρο Β Τρόπος : Χρησιµοποιώντας την ανισότητα Gronwall. Η απόδειξη αυτή είναι αρκετά συντο- µότερη και η ιδέα της ανήκει στον συνάδελφο Οδυσσέα Μπάκα. Παραγωγίζοντας τη σχέση (2..5 ϐρίσκουµε ότι φ(t t φ(s, t φ (t φ(t, t φ(t φ( e t ds =, t. ====== Ανισότητα ====== Gronwall Άρα φ(t =, για κάθε t και εποµένως u(t = v(t, για κάθε t. Αναφορές [li] liprantis, C. D., Border K. C. Infinite Dimensional nalysis: Hitchhiker s Guide, Springer, 3rd edition, 27. [Bre] Brezis, H. Συναρτησιακή Ανάλυση : Ε.Μ.Π., Θεωρία και εφαρµογές, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις [Die] Diestel, J., Uhl, J.J. Vector Measures, merican Mathematical Society, [Fre] Fremlin, D. H. Measure Theory, vol. 4: Topological Measure Spaces, Torres Fremlin,