Ατοµική Θεωρία Ζήτησης

Transcript

1 Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του. Οι προτιµήσεις του καταναλωτή εκφράζονται από τη σχέση προτίµησης που τον χαρακτηρίζει. Βέβαια οι τιµές στο κεφάλαιο αυτό παίζουν πολύ σηµαντικό ϱόλο γιατί η αξία του αγαθού που ϑα επιλέξει δεν πρέπει να υπερβαίνει το πλούτο του καταναλωτή. Συνχνά στην οικονοµία υποθέτουµε ότι ο καταναλωτής διαθέτει αρχικό αγαθό ω το οποίο ϑέλει να ανταλλάξει µε κάποιο άλλο αγαθό σύµφωνα µε τις προτιµήσεις του, οπότε η αξία αυτού του αγαθού σε τρέχουσες τιµές είναι ο πλούτος w του καταναλωτή. 1.1 Χώρος τιµών Ανάλογα µε τα αγαθά που εµφανίζονται ως διανύσµατα, σε οικονοµία µε m αγαθά οι τιµές εµφανίζονται επίσης ως διανύσµατα όπου κάθε συντεταγµένη του διανύσµατος είναι η τιµή της µονάδας του αντίστοιχου αγαθού. Κάθε τέτοιο διάνυσµα ονοµάζεται διάνυσµα τιµών. Ετσι αν q = (q 1, q 2,..., q m ) είναι ένα διάνυσµα τιµών, τότε q i είναι η τιµή της µονάδας του i αγαθού. Η αξία της δέσµης αγαθών a = (a 1, a 2,..., a m ) είναι το εσωτερικό γινόµενο : q a = q 1 a 1 + q 2 a q m a m. 1

2 2 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα τιµών είναι γραµµική και συνεχής συνάρτηση που ορίζεται στον χώρο αγαθών. Η συνέχεια και γραµµικότητα των τιµών είναι επίσης µιά από τις σηµαντικότερες υποθέσεις της οικονοµίας. Τα διανύσµατα τιµών είναι στοιχεία του δυϊκού χώρου του χώρου αγαθών που είναι πάλι ο R m και ονοµάζεται χώρος τιµών. Στήν οικονοµία οι τιµές των αγαθών υποτίθενται συνήθως αυστηρά ϑετικές. Αν υποθέσουµε ότι µιά συντεταγµένη του διανύσµατος τιµών q = (q 1, q 2,..., q m ) είναι µηδέν, π.χ. q i = 0, τότε το i-αγαθό είναι ελεύθερο αγαθό (υπό τη τιµή q). Ετσι η υπόθεση ότι τα διανύσµατα τµών είναι αυστηρά ϑετικά σηµαίνει ότι στην οικονοµία δεν έχουµε ελεύθερα αγαθά. Σε οικονοµία µε άπειρα αγαθά υποθέτουµε οτι ο χώρος αγαθών είναι χώρος Banach E ή γενικότερα χώρος µε νόρµ, οπότε κάθε στοιχείο x του E είναι ενα διάνυσµα (δέσµη) αγαθών. Συνήθως υποθέτουµε επίσης οτι ο E είναι µερικά διατεταγµένος και η διάταξη του E χρησιµεύει στη σύγκριση των διανυσµατικών αγαθών. Το σύνολο κατανάλωσης X είναι µη κενό και κυρτό υποσύνολο του E και συνήθως υποθέτουµε ότι X = E +. Το σύνολο κατανάλωσης µε την επαγόµενη τοπολογία είναι µετρικός χώρος και d(x, y) = x y για κάθε x, y X. είναι η επαγόµενη µετρική στο X. Οι τιµές απαιτούµε να είναι γραµµικές και συνεχείς, έτσι ως χώρος τιµών ϑεωρείται ο τοπολογικός δυϊκός E του E. Υπενθυµίζουµε οτι E είναι το σύνολο των γραµµικών και συνεχών απεικονίσεων p : E R. Αν υποθέσουµε οτι X = E + και p E είναι διάνυσµα τιµών απαιτούµε συνήθως p(x) 0 για κάθε x X, δηλαδή υποθέτουµε οτι δεν έχουµε αγαθά µε αρνητικές τιµές. Ετσι υποθέτουµε συνήθως οτι τα διανύσµατα τιµών είναι στοιχεία του ϑετικού κώνου E+ του E. Αν υποθέσουµε επίσης οτι δεν έχουµε ελευθερα αγαθά απαιτούµε p(x) > 0 για κάθε x E + µε x 0, οπότε οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά και συνεχή γραµµικά συναρτησιακά του E. Στό κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι ο χώρος αγαθών είναι µερικά διατεταγµένος χώρος µε νόρµ E και το σύνολο κατανάλωσης X είναι ο ϑτικός κώνος του E, δηλαδή X = E +. Επίσης υποθέτουµε ότι ο E + είναι κλειστός και διάφορος του {0}. Ως χώρος τιµών ϑεωρείται ο τοπολογικός δυϊκός E του E. Επίσης ϑα υποθέτουµε ότι οι

3 1.2. Σύνολο Προϋπολογισµού 3 σχέσεις προτίµησης των καταναλωτών είναι λογικές, δηλαδή είναι ανακλαστικές, πλήρεις και µεταβατικές. 1.2 Σύνολο Προϋπολογισµού Οπως αναφέραµε παραπάνω, υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε αρχικό πλούτο w που είναι διατεθειµένος να καταναλώσει για αγορά αγαθών. Ο αρχικός πλούτος w του καταναλωτή είναι πραγ- µατικός αριθµός. Αν υποθέσουµε ότι p E +, είναι το διάνυσµα τιµών τότε ο καταναλωτής µπορεί να επιλέξει ένα οποιοδήποτε διάνυσµα αγαθών x E + ώστε η αξία του να µην υπερβαίνει τον αρχικό πλούτο, δηλαδή να ισχύει p(x) w. Συνήθως υποθέτουµε ότι ο καταναλωτής διαθέτει αρχικό αγαθό ω E + και ότι η αξία του αρχικού αγαθού w = p(ω) υπό τη τιµή p είναι ο αρχικός πλούτος του καταναλωτή. Το σύνολο B p,w = {x E + p(x) w}, ονοµάζεται σύνολο προϋπολογισµού του καταναλωτή υπό την τιµή p και πλούτο w και το σύνολο {x E + p(x) = w}, εισοδηµατικός περιορισµός του καταναλωτή υπό τη τιµή p και πλούτο w. Το σύνολο πρϋπολογισµού είναι κλειστό και κυρτό ως τοµή των κλειστών και κυρτών σύνολων, του ηµιχώρου {x E p(x) w}, και του ϑετικού κώνου E + του E. Επίσης εύκολα αποδεικνύεται ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό α έχουµε B p,w = αb αp,w, B p,w = B αp,αw και αb p,w = B p,αw.

4 4 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Από τις σχέσεις αυτές έπεται ότι αν το διάνυσµα τιµών πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και ο αρχικός πλούτος παραµίνει σταθερός το σύνολο προϋπολογισµού πολλαπλασιάζεται µε 1, δηλαδή συρρικνώνεται κατά α α, ενώ όταν ο αρχικός πλούτος πολλαπλασιαστεί µε τον αριθµό α και το διάνυσµα τιµών παραµένει σταθερό το σύνολο προϋπολογισµού πολλαπλσιάζεται µε τον αριθµό α. Αντίθετα αν ο αρχικός πλούτος προέρχεται από αρχικό αγαθό η µεταβολή του διανύσµατος τιµών δεν επηρεάζει το σύνολο προϋπολογισµού. Παράδειγµα 1.1. Υποθέτουµε ότι E = R m είναι ο χώρος αγαθών, w ο αρχικός πλούτος και p το διάνυσµα τιµών. Το σύνολο προϋπολογισµού είναι B p,w = {x R m + p x w}, και το σύνολο {x R m + p x = w}, είναι ο εισοδηµατικός περιορισµός. Στην οικονοµία υποθέτουµε συνήθως ότι y y B p,w B p,w (α ) p 0 x (ϐ ) p > 0, p 2 = 0 x οι τιµές είναι αυστηρά ϑετικά διανύσµατα. Στην περίπτωση όπου το p είναι ένα απλά ϑετικό διάνυσµα του R m και w αυστηρά ϑετικός πραγµατικός αριθµός ορίζουµε επίσης το σύνολο B p,w µε τον ίδιο τρόπο και χρησιµοποιούµε την ίδια ορολογία. ηλαδή το σύνολο B p,w = {x R m + p x w},

5 1.3. Μεγιστοποίησης της χρησιµότητας 5 ϑα αναφέρεται ως σύνολο προϋπολογισµού και το σύνολο ως εισοδηµατικός περιορισµός. {x R m + p x = w}, Πρόταση 1.2. Αν E = R m, και το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό, το σύνολο πρϋπολογισµού είναι κλειστό, κυρτό και συµπαγές. Το διάνυσ- µα τιµών είναι κάθετο στον εισοδηµατικό περιορισµό, υπό την έννοια ότι p (x 1 x 2 ) = 0, γιά κάθε ευγάρι σηµείων x 1, x 2 του εισοδηµατικού περιορισµού. Απόδειξη. Αποδείξαµε παραπάνω ότι το σύνολο πρϋπολογισµού είναι κ- λειστό και κυρτό. Αν το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό τότε µ = min{p i } > 0, εποµένως γιά κάθε x B p,w έχουµε w p x µ x 1, άρα x 1 w µ. Εποµένως το σύνολο B p,w είναι ϕραγµένο και επειδή είναι και κλειστό είναι συµπαγές. Εστω x 1, x 2 σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού. Τότε p x 1 = p x 2 = w, άρα p (x 1 x 2 ) = 0, εποµένως το διάνυσµα p είναι κάθετο στον εισοδηµατικό περιορισµό. Αρα ισχύει η πρόταση. 1.3 Μεγιστοποίησης της χρησιµότητας Στην οικονοµική ϑεωρία ο καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε αρχικό πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί (εξυπηρετεί) µε το καλύτερο τρόπο τις προτιµήσεις του. Ετσι καλείται να µεγιστοποιήσει τη σχέση προτίµησης στο σύνολο προϋπολογισµού B p,w δηλαδή έχει να επιλύσει το πρόβληµα : Μεγιστοποίησε την σχέση προτίµησης στο σύνολο B p,w. Γενικά αν D E, και σχέση προτίµησης που ορίζεται στο D, ϑα λέµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή (µεγιστοποιείται) στο D στο σηµείο x 0 αν x 0 D και x 0 x, για κάθε x D.

6 6 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Θεώρηµα 1.3. Εστω D E και λογική σχέση προτίµησης που ορίζεται στο D. Αν το σύνολο D είναι συµπαγές και η σχέση προίµησης είναι άνω ηµισυνεχής, η παίρνει µέγιστη τιµή στο D, σε ένα τουλάχιστον σηµείο του D. Τα στοιχεία στα οποία µεγιστοποιείται η ανήκουν στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον το D είναι κυρτό και η αυστηρά κυρτή, η παίρνει µέγιστη τιµή ακριβώς σ ένα σηµείο του D. Απόδειξη. Για κάθε x D το σύνολο F x = {y D y x} είναι συµπαγές σαν τοµή του συµπαγούς D και του κλειστού συνόλου P (x). Αν δείξουµε ότι F = x D F x, τότε κάθε στοιχείο x 0 της τοµής µεγιστοποιεί τη σχέση προτίµησης γιατί x 0 F x για κάθε x, εποµένως x 0 x για κάθε x D. Για να δείξουµε ότι η τοµή δεν είναι κενή αρκεί να δείξουµε ότι η οικογένεια των συνόλων F x, x D έχει την ιδιότητα της πεπερασµένης τοµής. Ετσι υποθέτουµε ότι x 1, x 2,..., x n 1, x n D. Επειδή η σχέση προτίµησης είναι πλήρης και µεταβατική χωρις ϐλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι x n x n 1 x 2 x 1. Τότε n F xi = F xn. i=1 Εποµένως F και η παίρνει µέγιστη τιµή σε κάποιο στοιχείο x 0 του D. Αν υποθέσουµε ότι το x 0 είναι επίσης µέγιστο στοιχείο της στο D έχουµε ότι x 0 x 0 και x 0 x 0 άρα x 0 x 0. Εποµένως το σύνολο των στοιχείων στα οποία παίρνει µέγιστη τιµή είνα αδιάφορα µεταξύ τους. Αν επιπλέον το D είναι κυρτό και η αυστηρά κυρτή και υποθέσουµε ότι x 0, x 0 είναι µέγιστα στοιχεία της µε x 0 x 0 έχουµε ότι λx 0 + (1 λ)x 0 x 0 για κάθε λ (0, 1), άτοπο γιατί λx 0 + (1 λ)x 0 D. Άρα x 0 = x 0. Πόρισµα 1.4. Αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές και η σχέση προίµησης είναι άνω ηµισυνεχής, η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w, σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα στοιχεία στα οποία

7 1.3. Μεγιστοποίησης της χρησιµότητας 7 µεγιστοποιείται η ανήκουν στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, το µέγιστο λαµβάνεται ακριβώς σ ένα σηµείο του B p,w. Οπως έχουµε αποδείξει, σε πεπερασµένες οικονοµίες αν το διάνυσµα τµών είναι αυστηρά ϑετικό, το σύνολο προϋπολογισµού είναι συµπαγές, έποµένως το παρακατω πόρισµα είναι αληθές. Πόρισµα 1.5. Εστω E = R m, και το διάνυσµα τιµών p είναι αυστηρά ϑετικό. Αν η σχέση προίµησης είναι άνω ηµισυνεχής, η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w, σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα στοιχεία στα οποία µεγιστοποιείται η ανήκουν στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, το µέγιστο είναι µοναδικό. Πρόταση 1.6. Εστω x 0 B p,w. Η σχέση προτίµησης παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0 αν και µόνο αν ισχύει η συνεπαγωγή. x E +, x x 0 p(x) > w. Απόδειξη. Εστω ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Τότε γιά κάθε x x 0 έχουµε ότι p(x) > w γιατί διαφορετικά ϑα είχαµε p(x) w, άρα x B p,w, άτοπο. Εποµένως x x 0 p(x) > w. Για το αντίστροφο υποθέτουµε ότι x x 0 p(x) > w και ότι η δεν παίρνει µέγιστη τιµή στο x 0. Τότε υπάρχει x B p,w ώστε x x 0, εποµένως p(x) > w, άτοπο γιατί x B p,w. Αρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο x 0. Πρόταση 1.7. Εστω ότι η σχέση προτίµησης παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0. Αν η σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, τότε p(x 0 ) = w, δηλαδή το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. Απόδειξη. Εστω ότι το x 0 δεν ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Τότε p(x 0 ) < w. Αν L = {x E p(x) < w} είναι ο αρνητικός ανοικτός ηµίχωρος που ορίζει το υπερεπίπεδο p(x) = w έχουµε ότι x 0 L, εποµένως υπάρχει σφαίρα B(x 0, r) µε κέντρο x 0 και ακτίνα r που περιέχεται στον L. Επειδή η σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, υπάρχει y B(x 0, r) E + ώστε y x 0. Εποµένως y B p,w γιατί y L E +, άτοπο γιατί η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Αρα το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού.

8 8 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης y L r y x 0 B p,w x Σχήµα 1.1: Πρόταση 1.7 Πόρισµα 1.8. Αν ισχύει τουλάχιστο µιά από τις παρακάτω προτάσεις (i.) η σχέση ειναι γνησίως µονότονη, (ii.) η σχέση έχει άκρως επιθηµητό στοιχείο, (iii.) η σχέση είναι αυστηρά κυρτή και για κάθε x E +, υπάρχει y E + ώστε y x και y x, τότε σχέση είναι τοπικά µη κορεσµένη, εποµένως αν η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0, το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισ- µού. Από την Πρόταση 1.4, 1.7 και το Πόρισµα 1.8 έχουµε Πόρισµα 1.9. Αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές, η σχέση προτίµησης είναι άνω ηµισυνεχής και τοπικά µη κορεσµένη, τότε η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w σε ένα τουλάχιστον σηµείο του B p,w. Τα σηµεία του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή ανήκουν στον εισοδηµατικό περιορισµό και στο ίδιο σύνολο αδιαφορίας της. Αν επιπλέον η είναι αυστηρά κυρτή, η παίρνει µέγιστη τιµή ακριβώς σε ένα σηµείο του B p,w.

9 1.3. Μεγιστοποίησης της χρησιµότητας 9 Εστω η σχέση προτίµησης, x 0 E + και διάνυσµα p E. Αν για κάθε x E + ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) p(x 0 ), λέµε ότι το διάνυσµα (τιµή) p στηρίζει την σχέση στο x 0. Πρόταση Αν η είναι µονότονη και το διάνυσµα p στηρίζει την σχέση προτίµησης στο σηµείο x 0, τότε p E +. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουµε ότι p x 0 για κάθε x E +. Για κάθε x E + έχουµε x + x 0 x 0, εποµένως x + x 0 x 0, γιατί η είναι µονότονη. Επειδή το p στηρίζει την στο x 0 έχουµε ότι p(x + x 0 ) p(x 0 ), εποµένως p(x) 0. Αρα p E +. Πρόταση Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή. Αν η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0 του συνόλου B p,w, τότε το p είναι αυστηρά ϑετικό και το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισ- µού. Επίσης ισχύουν : (i) x x 0 p(x) > p(x 0 ), (ii) x x 0 p(x) p(x 0 ). Απόδειξη. Εστω ότι το p δεν είναι αυστηρά ϑετικό. Τότε υπάρχει x E +, x > 0 ώστε p(x) = 0, άρα x 0 + λx B p,w, για κάθε λ R +. Επειδή x 0 +λx > x 0 και η σχέση είναι µονότονη έχουµε ότι x 0 +λx x 0. Άρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w και στο σηµείο x 0 + λx. Άρα έχουµε x 0 = x 0 + λx γιατι η σχέση είναι αυστηρά κυρτή. Αυτό είναι άτοπο, άρα το p είναι αυστηρά ϑετικό. Εστω ότι το x 0 δεν ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Τότε p(x 0 ) < w. Αν L = {x E p(x) < w} είναι ο αρνητικός ανοικτός ηµίχωρος που ορίζει το υπερεπίπεδο p(x) = w έχουµε ότι x 0 L, εποµένως υπάρχει σφαίρα B(x 0, r) µε κέντρο x 0 και ακτίνα r που περιέχεται στον L. Τότε (1 + r 2 )x 0 B p,w και (1 + r 2 )x 0 x 0 γιατί ησχέση είναι µονότοη. Άρα

10 10 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης η µεγιστοποιείται και στο σηµείο (1 + r 2 )x 0, άρα x 0 = (1 + r 2 )x 0, άτοπο. Εποµένως το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού. (i): Αν υποθέσουµε ότι x x 0, τότε x B p,w, άρα p(x) > w, εποµένως p(x) > p(x 0 ). (ii): Εστω x x 0. Αν υποθέσουµε ότι p(x) < p(x 0 ) = w, έχουµε ότι x B p,w, άρα η σχέση προτίµησης παίρνει επίσης µέγιστη τιµή και στο σηµείο x, εποµένως x = x 0, άρα p(x) = p(x 0 ), άτοπο. Άρα p(x) p(x 0 ). Πρόταση Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι αυστηρά µονότονη και παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0 του συνόλου B p,w. Τότε p είναι αυστηρά ϑετικό και ισχύουν (i) x x 0 p(x) > p(x 0 ), (ii) x x 0 p(x) p(x 0 ). Απόδειξη. Εστω ότι το p δεν είναι αυστηρά ϑετικό. Τότε υπάρχει x E +, x > 0 ώστε p(x) = 0, άρα x 0 + λx B p,w, για κάθε λ R +. Επειδή x 0 + λx > x 0 και η σχέση είναι αυστηρά µονότονη έχουµε ότι x 0 + λx x 0. Οµως p(x 0 + λx) = p(x 0 ) + λp(x) = p(x 0 ) w, άρα x 0 + λx B p,w άτοπο, γιατί υποθέσαµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Αρα p είναι αυστηρά ϑετικό. Επειδή η σχέση είναι αυστηρά µονότονη είναι τοπικά µη κορεσµένη, από τη Πρόταση 1.7, το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x 0 ) = w. Αν υποθέσουµε ότι x x 0, τότε x B p,w, άρα p(x) > w, εποµένως p(x) > p(x 0 ). Εστω x x 0. Αν υποθέσουµε ότι p(x) < p(x 0 ) = w, έχουµε ότι x B p,w, άρα η σχέση προτίµησης παίρνει επίσης µέγιστη τιµή και στο σηµείο x, εποµένως έχουµε ότι x είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x) = w, άτοπο. Άρα p(x) p(x 0 ). Πρόταση Εστω x 0 B p,w, και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι κάτω ηµισυνεχής. Αν ισχύει η συνεπαγωγή x E +, x x 0 p(x) w,

11 1.3. Μεγιστοποίησης της χρησιµότητας 11 τότε η σχέση παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0. Απόδειξη. Επειδή x 0 x 0 έχουµε ότι p(x 0 ) w, εποµένως p x 0 = w γιατί το x 0 ως σηµείο του συνόλου πρϋπολογισµού, ικανοποιεί την σχέση p(x 0 ) w. Υποθέτουµε ότι η δεν παίρνει την µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0. Τότε υπάρχει x B p,w τέτοιο ώστε x x 0. Επειδή η είναι κάτω ηµισυνεχής το σύνολο P (x 0 ) των γνησίως προτιµότερων στοιχείων του x 0 είναι ανοικτό. y P (x0 ) x tx x 0 B p,w x Σχήµα 1.2: Πρόταση 1.13 Εποµένως υπάρχει περιοχή B(x, ρ) του x που περιέχεται στο P (x 0 ), άρα υπάρχει t (0, 1) τέτοιο ώστε tx B(x, ρ). Τότε έχουµε tx x 0, εποµένως tp(x) w = p(x 0 ). Επειδή w > 0 έχουµε ότι tp(x) > 0, εποµένως p(x) > tp(x), γιατί t (0, 1). Αρα έχουµε p(x) > w, άτοπο γιατί x B p,w. Αρα η παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο x 0. Πρόταση Αν η σχέση προτίµησης είναι κάτω ηµισυνεχής, αυστηρά µονότονη και x 0 B p,w, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες : (i) Η παίρνει µέγιστη τιµή στο B p,w στο σηµείο x 0,

12 12 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης (ii) το διάνυσµα p είναι αυστηρά ϑετικό και ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) > w, (iii.) το διάνυσµα p είναι αυστηρά ϑετικό και ισχύει η συνεπαγωγή x x 0 p(x) w. Απόδειξη. Εστω ότι ισχύει η (i). Από τη Πρόταση 1.7, έχουµε ότι το x 0 είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, δηλαδή p(x 0 ) = w. Επίσης από την Πρόταση 1.12 έχουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό και ότι x x 0 p(x) > p(x 0 ) = w, εποµένως (i) (ii). Επίσης από τη Πρόταση 1.13 έχουµε ότι (iii) (i). y B p,w tx x U(x, ρ) x Θα δείξουµε τώρα ότι (ii) (iii). Γιά το σκοπό αυτό υποθέτουµε ότι ισχύει η (ii) και ότι x x 0 και ϑέλουµε να αποδείξουµε ότι p(x) w. Αν υποθέσουµε ότι p(x) < w έχουµε ότι x B p,w και ότι υπάρχει ανοικτή σφαίρα B(x, ρ) µε κέντρο x και ακτίνα ρ που περιέχεται στον ανοικτό ηµίχωρο L = {x E p(x) < w}. Τότε υπάρχει t > 1 ώστε tx B(x, ρ). Επειδή x E +, έχουµε ότι tx E +, εποµένως tx B p,w και tx x x 0 γιατί tx > x και η σχέση είναι γνησίως µονότονη. Εποµένως από την (ii) έχουµε ότι p(tx) > w, άτοπο γιατί tx B p,w. Εποµένως p(x) w, άρα (ii) (iii).

13 1.3. Μεγιστοποίησης της χρησιµότητας 13 Ασκηση Σε οικονοµία ανταλλαγής µε τρία αγαθά και έναν καταναλωτή µε συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y, z) = 2x + 3y + z, προσδιορίστε τα σηµεία του συνόλου προϋπολογισµού B p,w στα οποία η u παίρνει µέγιστη τιµή όταν (i) p = (2, 3, 1), w = 10, (ii) p = (2, 3, 1 ), w = 10 και (iii) 2 p = (2, 3, 4), w = 10. Λύση (i): B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + z 10} και είναι εύκολο να δούµε ότι η u παίρνει µέγιστη τιµή στα σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού L = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + z = 10}. (ii): B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x + 3y + 1 z 10}. Επειδή η u είναι 2 τοπικά µη κορεσµένη (γνησίως µονότονη) το µέγιστο (x, y, z) λαµβάνεται στον εισοδηµατικό περιορισµό. Οπεριορισµός της u στον εισοδηµατικό περιορισµό είναι u(x, y, z) = 2x + 3y + z = 10 z 2 + z = 10 + z 2. Επειδή (x, y, z) R 3 + έχουµε x 0, y 0, z 0, άρα 2x + 3y = 10 z 2 0 z 20. Άρα η µέγιστη τιµή της u λαµβάνεται για z = 20, οπότε 2x + 3y = 0, άρα x = y = 0. Άρα η u παίρνει µέγιστη τιµή στο σηµείο (0, 0, 20). (iii): B p,w = {(x, y, z) R 3 + 2x+3y+4z 10} και η u µεγιστοποιείται στον εισοδηµατικό περιορισµό 2x +3y+4z = 10. Άρα z = 10 (2x+3y) 0. 4 Εποµένως 0 2x + 3y 10. Στα σηµεία του εισοδηµατικού περιορισµού έχουµε u(x, y, z) = 2x + 3y + z = 2x + 3y + 10 (2x + 3y) 4 = 3 4 (2x + 3y) Από τη σχέση αυτή έπεται εύκολα ότι η u παίρνει µέγιστη τιµή στα σηµεία του ευθυγράµµου τµήµατος {(x, y, 0) R 3 + 2x + 3y = 10}.

14 14 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Θεώρηµα Εστω η σχέση προτίµησης που ορίζεται στο κυρτό υποσύνολο X του R m, αναπαρίσταται από τη συνάρτηση χρησιµότητας u : R m + R. Αν x είναι εσωτερικό σηµείο του X, η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης σε µιά περιοχή του x και grad(u)(x) 0 και επίσης η είναι κυρτή, (ή ισοδύναµα αν η u είναι σχεδόν κοίλη), τότε το gradu(x) στηρίζει την σχέση στο σηµείο x. Απόδειξη. Για κάθε y X ώστε y x ή ισοδύναµα u(y) u(x) το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα x, y κείτεται στο σύνολο P (x) = {z R m + z x}. Ετσι για κάθε t [0, 1] έχουµε ότι r(t) = x + t(y x) x ή ισοδύναµα u(r(t)) u(r(0)) για κάθε t [0, 1]. Εποµένως η g(t) = u(r(t)), t [0, 1] παίρνει ελάχιστη τιµή για t = 0, άρα από το Θεώρηµα ;; έχουµε (y x) gradu(x) 0. Εποµένως για κάθε y x έχουµε y gradu(x) x gradu(y), άρα το gradu(x) στηρίζει τη σχέση στο x. Ασκηση Εστω η σχέση προτίµησης του R 2 + που ορίζεται από τη συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y). Να ϐρεθεί η καµπύλη αδιαφορίας της που διέρχεται από το (x 0, y 0 ) και ένα διάνυσµα p >> 0 που στηρίζει την στο σηµείο (x 0, y 0 ), όταν (i) u(x, y) = xy 2, (x 0, y 0 ) = (2, 3) (ii) u(x, y) = min{x, y}, (x 0, y 0 ) = (3, 3). Απόδειξη. (i) Η καµπύλη αδιαφορίας της που περνά από το σηµεί (x 0, y 0 ) µε x 0 y 0 > 0 η ισοσταθµική καµπύλη της u στο σηµείο (x 0, y 0 ). ηλαδή η C = {(x, y) R 2 + /xy2 = x 0 y0 2 y = x 0y0 2 x }. Επειδή η y = x 0y0 2 x είναι κρτή η είναι κυρτή. Επίσης η u έχει συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης τάξης, άρα gradu(x 0, y 0 ) = (y0 2, 2x 0y 0 ) στηρίζει τη σχέση στό (x 0, y 0 ). Γιά (x 0, y 0 ) = (2, 3), το διάνυσµα (9, 12) στηρίζει τη σχέση στό (2, 3). (ii) Η καµπύλη αδιαφορίας είναι η ισοσταθµική c = {(x, y) R 2 +, min{x, y} = 3}. Αν (x, y) c έχουµε : x y = y = 3, και y > x = x = 3. Άρα c = {(x, y) R 2 + ; y x, x = 3} {(x, y) R 2 + ; x > y, y = 3}.

15 1.4. Αντιστοιχία ήτησης 15 Θα δείξουµε οτι κάθε διάνυσµα p >> 0 στηρίζει την στο (3, 3). Αν (x, y) (3, 3) τότε x min{x, y} 3 και y min{x, y} 3. Αν p = (p 1, p 2 ), p >> 0, τότε p 1 x + p 2 y 3(p 1 + p 2 ). Άρα το p στηρίζει την στο (3, 3). 1.4 Αντιστοιχία ήτησης Οπως αναφέραµε προηγουµένως ο καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε τη σχέση προτίµησης και αρχικό πλούτο w και για κάθε διάνυσµα τιµών p επιθυµεί να διαλέξει τα διανύσµατα του B p,w τα οποία µεγιστοποιούν την σχέση προτίµησης, δηλαδή ικανοποιούν κατά το καλύτερο τρόπο τις ανάγκες του. Η διαδικασία αυτή ορίζει µια αντιστοιχία µεταξύ των διανυσµάτων τιµών και των σηµείων του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή. Γιά κάθε p E+, αυστηρά ϑετικό και κάθε πραγµατικό αριθµό w > 0 συµβολίζουµε µε µε φ(p, w) το σύνολο των σηµείων του B p,w στα οποία η παίρνει µέγιστη τιµή (στο B p,w ). Από το Θεώρηµα 1.3 έχουµε ότι αν το σύνολο προϋπολογισµού B p,w είναι συµπαγές και η σχέση προτίµησης άνω ηµισυνεχής, τότε φ(p, w). Αν επιπλέον η σχέση προτίµησης είναι τοπικά µη κορεσ- µένη, κάθε στοιχείο του φ(p, w) ανήκει στον εισοδηµατικό περιορισµό. Αν η σχέση προτίµησης είναι αυστηρά κυρτή και φ(p, w), το φ(p, w) είναι µονοσύνολο. Το σύνολο φ(p, w) ονοµάζεται σύνολο ήτησης και κάθε στοιχείο του φ(p, w) ητούµενο αγαθό. Η αντιστοιχία (p, w) φ(p, w), όπου p E+, αυστηρά ϑετικό και w > 0 ονοµάζεται αντιστοιχία ήτησης ή συνάρτηση ήτησης αν η ανιστοιχία είναι µονότιµη. Αν φ(p, w) γιά κάθε (p, w) λέµε ότι υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Αν ο αρχικός πλούτος w είναι σταθερός, αντί φ(p, w) γράφουµε φ(p). Η αντιστοιχία ήτησης έχει τις παρακάτω ιδιότητες. Πρόταση Αν φ(p, w), τότε

16 16 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης (i) φ(p, w) = φ(αp, αw) για κάθε α > 0 (είναι οµογενής µηδενικού ϐαθµού), (ii) αν η σχέση προτίµησης είναι τοπικά µη κορεσµένη, έχουµε x φ(p, w) = p(x) = w ( κανόνας του Walras). Απόδειξη. (i): Επειδή B αp,αw = B p,w, έχουµε ότι φ(αp, αw) = φ(p, w) για κάθε p και w. (ii): Επειδή η σχέση προτίµησης είναι τοπικά µη κορεσµένη το x είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, άρα p(x) = w. Πρόταση Εστω ότι η σχέση προτίµησης είναι συνεχής και έστω ότι υπάρχει η αντιστοιχία ήτησης. Αν η είναι αυστηρά µονότονη, ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, έχουµε : (ι) αν p n p, w n w και x n φ(p n, w n ) µε x n x, όπου γιά κάθε n, το p n E + είναι αυστηρά ϑετικό και w n > δ > 0, τότε p είναι αυστηρά ϑετικό και x φ(p, w), (ιι) γιά κάθε πραγµατικό αριθµό δ > 0, η αντιστοιχία ήτησης φ(p, w), p E+, αυστηρά ϑετικό και w δ, έχει κλειστό γράφηµα. Απόδειξη. (ι) Υποθέτουµε ότι p n p, w n w και x n φ(p n, w n ) µε x n x, όπου p n E +, αυστηρά ϑετικό και w n > δ > 0. Τότε p E +. Θα δείξουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό και ότι x φ(p, w). Από τις υποθέσεις για τη σχέση προτίµησης έχουµε το x n του B pn,w n ανήκει στόν εισοδηµατικό περιορισµό, Πρόταση 1.7 και Πρόταση Εποµένως έχουµε p n (x n ) = w n w > 0. Επίσης έχουµε p n (x n ) p(x), εποµένως p(x) = w, άρα x B p,w. Θα δείξουµε ότι η παίρνει µέγιστη τιµή στο σύνολο B p,w στο σηµείο x. Για κάθε y B p,w έχουµε p(y) w. Επειδή w > 0, έχουµε p(λy) < w, για κάθε λ (0, 1). Υποθέτουµε ότι λ (0, 1) και ότι το λ είναι σταθερό. Επειδή p n p υπάρχει n 0 τέτοιο ώστε p n (λy) < w, για κάθε n n 0. Θα δείξουµε ότι υπάρχει n 1 N ώστε p n (λy) < w n, γιά κάθε n n 1.

17 1.4. Αντιστοιχία ήτησης 17 Αν υποθέσουµε ότι ο ισχυρισµός αυτός δεν είναι αληθής, υπάρχει ακολουθία n r του N ώστε p nr (λy) w nr, γιά κάθε r. Παίρνουµε όρια και έχουµε p(λy) w, άτοπο. Άρα ο ισχυρισµός είναι αληθής. Εποµένως άρα λy B pn,w n γιά κάθε n n 1, λy x n, γιά κάθε n n 1. Επειδή η σχέση προτίµησης είναι συνεχής έχουµε ότι x λy. Εποµένως για κάθε λ (0, 1) έχουµε ότι x λy. Αν πάρουµε όρια όταν λ συγκλίνει στο 1, από την συνέχεια της έχουµε ότι x y. Αρα η παίρνει µέγιστη τιµή στό B p,w στό σηµείο x και εποµέµως x φ(p, w). Επίσης από τη Πρόταση 1.11 και Πρόταση 1.12 έχουµε ότι το p είναι αυστηρά ϑετικό, άρα ισχύει η (i). Από την (i) έχουµε επίσης ότι η αντιστοιχία ήτησης έχει κλειστό γράφηµα. Πρόταση Εστω E = R m, και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι συνεχής. Υποθέτουµε ότι x n φ(p n, w n ), όπου p n >> 0 και w n > δ > 0 για κάθε n και υποθέτουµε επίσης ότι p n q. Αν η είναι αυστηρά µονότονη ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, έχουµε : (i) αν q i > 0, όπου q i η i-συντεταγµένη του q, η ακολουθία {x i n} της i-συντεταγµένης των x n είναι ϕραγµένη, (ii) αν το q δεν είναι αυστηρά ϑετικό, η ακολουθία {x n } δεν έχει ϕραγ- µένη υπακολουθία. Απόδειξη. (i) Από τη Πρόταση 1.7 και τη Πρόταση 1.11, έχουµε ότι το x n είναι σηµείο του εισοδηµατικού περιορισµού, εποµένως p n x n = w n w.

18 18 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Άρα p n x n < 2w, για κάθε n > n 0, εποµένως p i n x i n < 2w για κάθε n > n 0. Επειδή p i n q i > 0 έχουµε ότι p i n > 1 2 q i για κάθε n > n 1 από όπου έχουµε 0 < x i n < 4w q i, τελικά για κάθε n. Άρα ισχύει η (i). Αν υποθέσουµε ότι δεν ισχύει η (ii), η {x n } έχει συγκλίνουσα υπακολου- ϑία που συµβολίζουµε πάλι µε {x n }. Ετσι αν υποθέσουµε ότι x n x, µπορούµε να υποθέσουµε ότι w n w > 0, γιατί διαφορετικά περνούµε πάλι σε πακολοθία της w n. Από την Πρόταση 1.19, έχουµε ότι q >> 0, άτοπο, άρα ισχύει η (ii). Θεώρηµα Εστω ότι E = R m και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι συνεχής. Αν η είναι αυστηρά µονότονη ή η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, η αντιστοιχία ήτησης είναι upper hemicontinuous. Απόδειξη. Εστω p 0 εσωτερικό σηµείο του R m και w 0 > 0. Θα δείξουµε ότι η συνάρτηση φ(p, w) είναι upper hemicontinuous στο σηµείο (p 0, w 0 ). Εστω α η µικρότερη και ϐ η µεγαλύτερη συντεταγµένη του p 0. Τότε α > 0 και το p 0 είναι εσωτερικό σηµείο του διατεταγµένου διαστήµατος [ 1 2 αe, 2ϐe] του Rm +, όπου e = (1, 1,..., 1). Επίσης υποθέτουµε ότι 0 < γ < w 0 < 2γ. Θα δείξουµε ότι η φ(p, w) είναι upper hemicontinuous στο σύνολο D = [ 1 2 αe, 2ϐe] [γ, 2γ]. Επειδή το (p 0, w 0 ) είναι εσωτερικό σηµείο του D ϑα έχουµε τότε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι συνεχής στο (p 0, w 0 ). Για κάθε (p, w) D και κάθε x φ(p, w) έχουµε p(x) = w 2γ.

19 1.4. Αντιστοιχία ήτησης 19 Επίσης έχουµε ότι Εποµένως p(x) 1 2 αe(x) = 1 2 α x 1. x 1 4γ α. Αρα η ανιστοιχία ήτησης, περιορισµένη στο D, παίρνει τιµές στο συµπαγές σύνολο Ω = {z R m + z 1 4γ α } του R m +. Από τη Πρόταση 1.19 έχουµε επίσης ότι το γράφηµα της αντιστοιχίας ήτησης περιορισµένης στο D είναι κλειστό, άρα από το ϑεώρηµα του κλειστού γραφήµατος γιά πλειότιµες απεικονίσεις, έχουµε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι upper hemicontinuous στο D και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. Γνωρίζουµε ότι κάθε upper hemicontinuous συνάρτηση είναι συνεχής, εποµένως έχουµε : Πόρισµα Εστω ότι E = R m και έστω ότι η σχέση προτίµησης είναι συνεχής. Αν η είναι µονότονη και αυστηρά κυρτή, η συνάρτηση ήτησης είναι συνεχής. ίνουµε παρακάτω µιά εφαρµογή σε πεπερασµένες οικονοµίες. Ασκηση Εστω οικονοµία ανταλλαγής µε δύο αγαθά και έναν καταναλωτή µε αρχικό αγαθό ω = (3, 9) και συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y) = xy 2. Προσδιορίστε τη συνάρτηση ήτησης του καταναλωτή. Απόδειξη. Εστω p >> 0. Το σύνολο προϋπολογισµού είναι το B ω (p) = {(x, y) R 2 + p 1 x + p 2 y 3p 1 + 9p 2 }. Προσδιορίζουµε (x, y) B ω (p) στο οποίο µεγιστοποιείται η u. Το πρόβλη- µα του καταναλωτή είναι το εξής : Μεγιστοποίησε τη συνάρτηση u 1 (xy) = xy 2 υπό τον περιορισµό (x, y) B ω (p). Επειδή η συνάρτηση u είναι συνεχής και ορίζει αυστηρά µονότονη σχέση προτίµησης, το πρόβληµα έχει λύση

20 20 Κεφάλαιο1. Ατοµική Θεωρία Ζήτησης (x, y) που λαµβάνεται πάνω στον εισοδηµατικό περιορισµό. Εποµένως το πρόβληµα του καταναλωτή γίνεται : Μεγιστοποίησε τη συνάρτηση υπό τους περιορισµούς Ισχύει u(xy) = xy 2 p 1 x + p 2 y = 3p 1 + 9p 2, x, y 0. y = 3p 1 + 9p 2 p 1 x p 2, εποµένως έχουµε να µεγιστοποιήσουµε τη συνάρτηση f (x) = x( 3p 1+9p 2 p 1 x p 2 ) 2, όταν x 0, 3p 1+9p 2 p 1 x p 2 0 ή ισοδύναµα όταν x [0, 3p 1+9p 2 ]. Εχουµε Είναι f (x) = ( 3p 1 + 9p 2 p 1 x ) 2 + 2x 3p 1 + 9p 2 p 1 x ( p 1 ). p 2 p 2 p 2 f (x) = 0 3p 1 + 9p 2 p 1 x [ 3p 1 + 9p 2 p 1 x 2xp 1 ] = 0. p 2 p 2 p 2 Άρα x 1 = 3p 1+9p 2 p 1, x 2 = 3p 1+9p 2 3p 1 οι ϱίζες της f (x). Εχουµε ότι x 2 < x 1 και ότι το τριώνυµο είναι αρνητικό εντός των ϱιζών. Άρα έχουµε ότι η f (x) είναι αύξουσα στο [0, x 2 ] και ϕθίνουσα στο [x 2, x 1 ]. Εποµένως η µέγιστη τιµή της f στο διάστηµα [0, 3p 1+9p 2 p 1 ] λαµβάνεται για x = x 2. Άρα η u(x, y) µεγιστοποιείται στο σηµείο ( 3p 1+9p 2 3p 2, 2p 1+6p 2 p 2 ), που είναι το ητούµενο αγαθό. Εποµένως η συνάρτηση ήτησης είναι όπου p = (p 1, p 2 ) >> 0. x(p) = ( 3p 1 + 9p 2 3p 2, 2p 1 + 6p 2 p 2 ), Ασκηση Σε οικονοµία µε δύο αγαθά και έναν καταναλωτή µε συνάρτηση χρησιµότητας u(x, y) = x + y και αρχικό αγαθό ω = (3, 2) προσδιορίστε την αντιστοιχία ήτησης x(p), p R 2, p >> 0 και εξετάστε αν έχει συνεχή επιλογή. p 1

21 1.4. Αντιστοιχία ήτησης 21 Απόδειξη. Εστω p = (p 1, p 2 ) >> 0. Τότε τα σηµεία τοµής του εισοδηµατικού περιορισµού {(x, y) R 2 + : p 1 x + p 2 y = 3p 1 + 2p 2 } µε τις ευθείες x = 0, y = 0 είναι τα σηµεία (0, 3p 1 + 2p 2 p 2 ), ( 3p 1 + 2p 2 p 1, 0). Παρατηρούµε ότι η αντιστοιχία ήτησης είναι η ακόλουθη x(p) = (3 + 2 p 2 p 1, 0), αν p 2 > p 1, x(p) = (0, p 1 p 2 ), αν p 1 > p 2, x(p) = {(x, y) R 2 +, x + y = 5} αν p 1 = p 2. Εστω f (p) µια επιλογή της x(p), p >> 0, δηλαδή µια συνάρτηση f (p), p >> 0 τέτοια ώστε f (p) x(p) για κάθε p >> 0. Υποθέτουµε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση. Τότε η f είναι συνεχής και στο p = (1, 1). Οµως παρατηρούµε ότι για τις ακολουθίες τιµών ισχύει αντίστοιχα ότι p n = (1 + 1 n, 1), q n = (1, n ) f (p n ) = (0, 2 + 3(1 + 1 )) (0, 5), n και f (q n ) = (3 + 2(1 + 1 ), 0) (5, 0). n Από τα παραπάνω έπεται ότι δεν υπάρχει το όριο lim p (1,1) f (p) και ε- ποµένως η f δεν είναι συνεχής στο (1, 1). Άρα δεν υπάρχει συνεχής επιλογή της x(p).