website:

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι συνεχώς κατανεμημένες σε ολόκληρο το ρευστό. Τέτοιες δυνάμεις είναι οι δυναμεις βαρύτητας, οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις και οι δυνάμεις αδράνειας. Οι δυνάμεις μάζας προέρχονται από την αλληλεπίδραση των σωμάτων μεταξύ τους και συνδέονται πάντα με τη μάζα του ρευστού. Δυνάμεις επαφής ή επιφανειακές δυνάμεις ονομάζουμε τις δυνάμεις που ενεργούν σε κάθε διαχωριστική επιφάνεια που χωρίζει δύο τμήματα του ρευστού. Η επιφάνεια αυτή μπορεί να είναι μια ιδεατή επιφάνεια στο εσωτερικό του ρευστού ή η οριακή επιφάνεια που περιορίζει το ρευστό. Οι επιφανειακές δυνάμεις είναι μοριακής φύσης και θεωρούνται συνεχώς κατανεμημένες σε όλη την επιφάνεια. Οι επιφανειακές δυνάμεις έχουν πολύ μεγαλύτερη σημασία από τις δυνάμεις μάζας στις περιπτώσεις κίνησης των ρευστών. email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com 1

2 Εξίσωση της συνέχειας Στη μελέτη των ρευστών θεωρούμε ότι η μάζα μιας υλικής περιοχής του ρευστού δεν μεταβάλλεται κατά την κίνηση του. Η διατήρηση της μάζας διατυπώνεται, σε μεταβλητές Euler, από την εξίσωση συνέχειας η οποία δίνεται από την σχέση ή ισοδύναμα ρ t dρ dt + div(ρū) = 0, (1) + ρdiv(ū) = 0. (2) Στην περίπτωση του ασυμπίεστου ρευστού η πυκνότητα κατά μήκος την κίνησης είναι σταθερή, δηλαδή dρ dt = 0, και άρα η εξίσωση συνέχειας γίνεται divū = 0. (3) Αντίστροφα αν ισχύει η σχέση (3) τότε έχουμε κίνηση ασυμπίεστου ρευστού. Η εξίσωση της συνέχειας σε μεταβλητές Lagrange δίνεται από την σχέση ρ(ξ 1, ξ 2, ξ 3, t 0 ) = Jρ(x 1, x 2, x 3, t), (4) όπου J = (x 1, x 2, x 3 ) (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) (5) η Ιακωβιανή ορίζουσα του μετασχηματισμού x i = x i (ξ 1, ξ 2, ξ 3, t), (i = 1, 2, 3) και ρ(ξ 1, ξ 2, ξ 3, t 0 ), ρ(x 1, x 2, x 3, t) η πυκνότητα που χαρακτηρίζει ένα συγκεκριμένο σωματίδιο του ρευστού τη στιγμή t 0 και t αντίστοιχα. Με λίγα λόγια η παραπάνω σχέση δίνει την πυκνότητα ενός σωματιδίου του ρευστού με σωματιακές συντεταγμένες (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) κατά μήκος της τροχιάς του. 2

3 Διάνυσμα τάσης Εστω μια τυχαία τομή Σ που χωρίζει ένα συνεχές μέσο (σχήμα 1). Η τομή Σ χωρίζει το συνεχές μέσο σε δύο τμήματα (Α) και (Β). Το τμήμα (Β) επιδρά στο (Α) μέσω της επιφάνειας Σ με επιφανειακές δυνάμεις που είναι συνεχώς κατανεμημένες σε όλη την επιφάνεια Σ εξαρτώνται από αυτή αλλά όχι από τις μάζες των τμημάτων (Α) και (Β). Σχήμα 1: Εστω F η επιφανειακή δύναμη που επιδρά στο τμήμα (Α) μέσω της στοιχειώδους επιφάνειας εμβαδού σ στο σημείο Μ. Το διάνυσμα της τάσης δίνεται από τη σχέση p = lim F σ 0 σ, (6) και εξαρτάται από τη θέση Μ και από τον προσανατολισμό της στοιχειώδους επιφάνειας σ. Ο προσανατολισμός της στοιχειώδους επιφάνειας ορίζεται από τη διανυσματική μονάδα n την κάθετη σε αυτή, και η φορά της ορίζεται συμβατικά προς το εξωτερικό του τμήματος του συνεχούς μέσου που δέχεται την επίδραση. Άρα p = p( r, n), (7) όπου r το διάνυσμα θέσης του σημείου Μ στο οποίο αντιστοιχεί το διάνυσμα 3

τάσης p. Ισχύει επίσης ότι p( r, n) = p( r, n). (8) Το διάνυσμα τάσης p δεν είναι γενικά παράλληλο προς τη διανυσματική μονάδα n και συνεπώς αναλύεται σε δύο συνιστώσες (σχήμα 2): μία κάθετη προς την επιφάνεια p n που ονομάζεται ορθή τάση και μία κατά τη εφαπτόμενη της επιφάνειας p τ που ονομάζεται διατμητική τάση. Σχήμα 2: Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι από το σημείο Μ περνούν άπειρες επιφάνειες που εφάπτονται σε αυτό (άρα έχουν την ίδια κάθετη διανυσματικη μονάδα). Με βάση την αρχή του Cauchy το όριο του δεξιού μέλους της (6) είναι ανεξάρτητο από την καμπυλότητα της επιφάνειας. 4

4 Τανυστής τάσης Το διάνυσμα τάσης, p, στο σημείο r συνδέεται με το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα n με τη σχέση p = T n, (9) όπου T = σ ij, ένας συμμετρικός τανυστής δεύτερης τάξης που ονομάζεται τανυστής τάσης. Τα διαγώνια στοιχεία του τανυστή τάσης σ ii αντιστοιχούν στην ορθή τάση και τα μη διαγώνια στοιχεία σ ij, i j, αντιστοιχούν στη διατμητική τάση για τα συντεταγμένα επίπεδα. Η κατάσταση τάσης σε ένα τυχαίο σημείο του ρευστού μπορεί να θεωρηθεί ως συνδιασμός τριών απλών συμπιέσεων ή εκτάσεων κατά μήκος τριών κάθετων μεταξύ τους διευθύνσεων που είναι οι κύριες διευθύνσεις του τανυστή τάσης. Ο τανυστής τάσης μπορεί να αναλυθεί σε δύο επιμέρους τανυστές, τον τανυστή πίεσης ( pu ij ) και τον τανυστή ιξώδους τάσης (τ ij ): T ij = pu ij + τ ij, (10) όπου p η πίεση, U ij = δ ij ο μοναδιαίος τανυστής. Τόσο ο τανυστής πίεσης όσο και ο τανυστής ιξώδους τάσης είναι συμμετρικοί. Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι το διάνυσμα τάσης μπορεί να αναλυθεί σε δύο επιμέρους διανύσματα: 1. Το διάνυσμα πίεσης ( n pu ij ) το οποίο οφείλεται στην πίεση του ρευστού και είναι ένα ισοτροπικό μέγεθος αφού το μέτρο του δεν εξαρτάται από τον προσανατολισμό της επιφάνειας πάνω στην οποία ενεργεί. Τα διανύσματα πίεσης είναι κάθετα στην επιφάνεια ελέγχου και έχουν διεύθυνση πάντα προς το εσωτερικό του όγκου ελέγχου και προκαλούν πάντα συμπίεση των σωματιδίων του ρευστού στα οποία ενεργούν. 2. Το διάνυσμα ιξώδους τάσης n τ ij το οποίο οφείλεται στο ιξώδες του ρευστού και αντίθετα προς το διάνυσμα της πίεσης, το μέτρο του εξαρτάται από τον προσανατολισμό της επιφάνειας πάνω στην οποία ενεργεί. Εχουν τυχαίο προσανατολισμό και αναλύονται σε τρεις συνιστώσες, μία κάθετη 5

και δύο διατμητικές. 5 Εξισώσεις κίνησης του ρευστού. Εξισορρόπηση της ορμής και της στροφορμής. Συνθήκες ισορροπίας Θεωρούμε ότι κάθε σωματίδιο του ρευστού κινείται σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Η εξίσωση εξισορρόπησης της ορμής εκφράζει το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση ενός ρευστού και υπο ολοκληρωτική μορφή δίνεται από την σχέση: d ρūdv = ρ dt fdv + pdσ, (11) V V Σ όπου f η πυκνότητα των δυνάμεων μάζας V ο όγκος του ρευστού, Σ η επιφάνεια που περιβάλλει την υλική περιοχή και dσ η στοιχείωδης επιφάνεια επί της Σ. Ισοδύναμα σε διαφορική μορφή η εξίσωση εξισορρόπησης της ορμής δίνεται από τη σχέση ρ dū dt = ρ f + p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3. (12) Κατά την κίνηση ενός ρευστού πρέπει να ισχύει η σχέση d L dt = M, (13) όπου L η στροφορμή και M η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων (μάζας και τάσης) ως προς την αρχή ενός αδρανειακού συστήματος αξόνων. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει η εξίσωση της εξισορρόπησης της στροφορμής η οποία σε ολοκληρωτική μορφή δίνεται από τη σχέση d ( r ū)ρdv = dt V V r ρ fdv + Σ r pdσ. (14) 6

Αν η στροφορμή δίνεται από τη σχέση L = ( r ū)ρdv, (15) τότε η σχέση (14) είναι ισοδύναμη με τις σχέσεις V σ 12 = σ 21, σ 13 = σ 31, σ 23 = σ 32. (16) Η εξίσωση της συνέχειας και οι εξισώσεις της εξισορρόπησης της ορμής μας δίνουν ένα σύστημα τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης που μας περιγράφουν την κίνηση του ρευστού. Γενικά, συστήματα διαφορικών εξισώσεων, όπως το παραπάνω, αν και γραμμικά, δεν λύνονται. Πέρα από αυτό στο συγκεκριμένο σύστημα του ρευστού ο αριθμός των άγνωστων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των διαφορικων εξισώσεων και έτσι έχουμε ανάγκη για παραπάνω εξισώσεις με τις οποίες θα συμπληρώσουμε το παραπάνω σύστημα. Οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται καταστατικές εξισώσεις του ρευστού. Τέλος, οι αναγκαίες συνθήκες ισορροπίας ενός ρευστού το οποίο ισορροπεί ως προς αδρανειακό σύστημα αξόνων είναι: ρ t = 0, ρf 1 + σ 11 x 1 + σ 12 x 2 + σ 13 x 3 = 0, ρf 2 + σ 21 x 1 + σ 22 x 2 + σ 23 x 3 = 0, ρf 3 + σ 31 + σ 32 + σ 33 = 0, x 1 x 2 x 3 σ 12 = σ 21, σ 13 = σ 31, σ 23 = σ 32. (17) 6 Ασκήσεις 1. Να βρεθεί η πυκνότητα ενός σωματιδίου κατά μήκος της τροχιάς του για το πεδίο ταχυτήτων ū = x 1 tē 1 + x 2 tē 2, με πυκνότητα ρ = ρ(t) και ρ(0) = ρ 0. 7

2. Το πεδίο πυκνότητας μιας διδιάστατης ροής μεταβάλλεται γραμμικά με το y σύμφωνα με την εξίσωση ρ = a by, όπου a, b σταθερές. Να εξεταστεί αν το πεδίο ταχύτητας της ροής αυτής μπορεί να έχει την ακόλουθει μορφή: ū = 2cxī cy j, όπου ο συντελεστής c είναι σταθερό μέγεθος. 3. Η ακτινική συνιστώσα, u r, της ταχύτητας του ρευστού σε μια ασυμπίεστη, διδιάστατη ροή δίνεται από την σχέση u r = a cos θ, όπου a είναι σταθερά. r 2 Ποιά μορφή πρέπει να έχει η εφαπτομενική συνιστώσα, u θ της ταχύτητας ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση συνέχειας. 4. Το πεδίο ταχύτητας μιας ροής δίνεται από την σχέση ū = b 2 x 3 ī + a 2 y 3 j z 3 k, όπου a, b σταθερές. Να καθοριστούν οι περιοχές του πεδίου ροής στις οποίες η πυκνότητα του ρευστού αυξάνεται, μειώνεται ή παραμένει σταθερή στο χρόνο, θεωρόντας ότι το μεγεθος αυτό εξαρτάται μόνο από το χρόνο. 5. Τα διανύσματα τάσης σε ένα σημείο του χώρου είναι: p x = aī, p y = b j a k, p z = a j + b k, όπου τα a = 1kP a, b = 3kP a είναι σταθερές. α) Ποιά είναι η κατάσταση τάσης στο σημείο; β) Να βρεθεί το διάνυσμα τάσης, το οποίο εφαρμόζεται στο σημείο πάνω στην επιφάνεια η οποία είναι κάθετη στο μοναδιαίο διάνυσμα n = (ī+ j) 2. γ) Να υπολογιστεί η συνιστώσα του διανύσματος τάσης κατά τη διεύθυνση του n. 6. Εστω ο τανυστής τάσης 0 5y 0 σ ij = 5y 0 5x 2, 0 5x 2 10xz όπου x, y, z οι καρτεσιανές συντεταγμένες των σημείων του χώρου. Να βρεθεί το διάνυσμα τάσης το οποίο ασκείται στο σημείο (3, 4, 5) πάνω στο επίπεδο το οποίο εφάπτεται στην κυλινδρική επιφάνεια x 2 + y 2 = 25. 8

7. Η κατάσταση τάσης σε συνεχές μέσο καθορίζεται από τον τανυστή τάσης σ 11 = σ 22 = σ 33 = 0, σ 12 = kx 3, σ 13 = 0, σ 23 = kx 2, όπου k σταθερά. Να βρεθούν στο σημείο (0, 0, 1), ι) οι κύριες τάσεις και ιι) η μέγιστη και ελάχιστη διατμητική τάση. 8. Δίνεται ο τανυστής τάσης ομογενούς μέσου σ 11 = ax 2, σ 22 = 0, σ 33 = f(x 1, x 2, x 3 ), σ 12 = x 3, σ 13 = 0, σ 23 = x 2. Αν η πυκνότητα των δυνάμεων μάζας του ρευστού είναι ίση με gē 3, να βρεθεί η συνάρτηση f(x 1, x 2, x 3 ) έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι εξισώσεις ισορροπίας. 9. Ο τανυστής τάσης ενός ρευστού είναι σ 11 = ax 3, σ 22 = ax 1, σ 33 = ax 2, σ 12 = ax 2, σ 13 = ax 1, σ 23 = ax 3. Να υπολογισθεί η συνολική επιφανειακή δύναμη που ασκείται στο τετράγωνο ΟΒΓΔ που βρίσκεται στο επίπεδο x 3 = 0 και έχει κορυφές τα σημεία O(0, 0), B(l, 0), Γ(l, l) και (0, l). 10. Ο τανυστής τάσης σ 11 = σ 22 = σ 33 = 0, σ 12 = ax 3, σ 13 = ax 2, σ 23 = 0, περιγράφει την κατάσταση τάσης μιας κυλινδρικής ράβδου με ακτίνα ρ και με άξονα συμμετρίας τον άξονα x 1. Να βρεθεί η συνολική δύναμη και η ροπή δυνάμεων ως προς την αρχή O για τις επιφανειακές δυνάμεις που επιδρούν στην επιφάνεια x 1 = l. 11. Ο τανυστής τάσης ενός ρευστού είναι σ 11 = 2, σ 22 = 0, σ 33 = 1, σ 12 = 3, σ 13 = 2, σ 23 = 3. ι) Να βρεθεί το διάνυσμα τάσης στο επίπεδο που περνά από τυχόν σημείο 9

Α και είναι παράλληλο προς το επίπεδο x 1 + 2x 2 + 2x 3 6 = 0. ιι) Να βρεθεί η ορθή και η διατμητική τάση. 10