3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ηλεκτρικό κύκλωµα LC, αµελητέας ωµικής αντίστασης, εκτελεί η- λεκτρική ταλάντωση µε περίοδο T. Αν τετραπλασιάσουµε τη χωρητικότητα του πυκνωτή χωρίς να µεταβάλουµε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου, τότε η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης ϑα είναι : γ. T Α.. Σε µια ϕθίνουσα µηχανική ταλάντωση µε δύναµη απόσβεσης της µορ- ϕής F = bυ: (δ) η περίοδος της ταλάντωσης παραµένει σταθερή. Α.3. ίνεται ότι το πλάτος µιας εξαναγκασµένης µηχανικής ταλάντωσης µε απόσβεση υπό την επίδραση µιας εξωτερικής περιοδικής δύναµης είναι µέγιστο. Αν διπλασιάσουµε τη συχνότητα της δύναµης αυτής το πλάτος της ταλάντωσης ϑα : (ϐ) µειωθεί Α.4. Σώµα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο, στην ίδια διεύθυνση, µε εξισώσεις : x 1 = 5ηµ(10t) και x = 8ηµ(10t + π) (S.I.) Η αποµάκρυνση του σώµατος κάθε χρονική στιγµή ϑα δίνεται στο S.I. από την εξίσωση : (ϐ) x = 3ηµ(10t + π) 1
Α.5. (α) Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση αυξάνεται το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος που ταλαντώνεται καθώς αυξάνεται το µέτρο της δύναµης επαναφοράς. Λάθος (ϐ) Η σταθερά απόσβεσης b σε µία ϕθίνουσα ταλάντωση εξαρτάται και από τις ιδιότητες του µέσου. Σωστό (γ) Ενα σύστηµα ελατηρίου-µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν διπλασιάσουµε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης αυτού του συστήµατος, τότε η συχνότητα ταλάντωσης του ϑα διπλασιαστεί. Λάθος (δ) Στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων κύριος λόγος απόσβεσης είναι η ωµική αντίσταση του κυκλώµατος. Σωστό (ε) Σε κύκλωµα εξαναγκασµένων ηλεκτρικών ταλαντώσεων µεταβάλλουµε τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Τότε µεταβάλλεται και η συχνότητα των ταλαντώσεων του κυκλώµατος. Λάθος Θέµα Β Β.1. Το πλάτος µιας ϕθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση A = A 0 e Λt. Β.1.1. Ο χρόνος που απαιτείται ώστε η ολική ενέργεια της ταλάντωσης να γίνει η µισή της αρχικής (E = E 0 ln )είναι : ϐ. t = Λ E = 1 DA = E 0 e Λt = E 0 1 = e Λt Λt = ln t = ln Λ Β.1.. Το έργο της δύναµης απόσβεσης F στο παραπάνω χρονικό διάστηµα ισούται µε : α. E 0 W F = E E 0 = E 0 E 0 = E 0 http://www.perifysihs.com
Β.. Στο κύκλωµα του σχήµατος ο πυκνωτής είναι ϕορτισµένος και ο διακόπτης ϐρίσκεται στη ϑέση Β. Τη χρονική στιγµή t 0 = 0 ο διακόπτης τίθεται στη ϑέση Α και αρχίζει να εκτελείται ηλεκτρική ταλάντωση µε περίοδο Τ. Τη χρονική στιγµή t 1 = 5T ο διακόπτης µεταφέρεται στη ϑέση Γ. Αν 8 I max,1 είναι το µέγιστο ϱεύµα στο κύκλωµα L 1 C και I max, το µέγιστο ϱεύµα στο κύκλωµα L C, τότε : α. I max,1 = I max, ίνεται L 1 = L και ότι ο διακόπτης µεταφέρεται από τη µία ϑέση στην άλλη ακαριαία και χωρίς να δηµιουργηθεί σπινθήρας. Για την ταλάντωση του Κυκλώµατος L 1 C την χρονική στιγµή t 1 ϑα υπολογίσω το ϕορτίο του πυκνωτή q 1 = Q 1 συν(ω 1 t 1 ) = Q 1 συν( π 5T T 1 8 ) = Q 1συν( 5π 4 ) q 1 = Q 1 Οταν ο διακόπτης περάσει στην ϑέση Γ το παραπάνω ϕορτίο ϑα είναι και το µέγιστο ϕορτίο του πυκνωτή για την ταλάντωση του κυκλώµατος L C (Q = Q 1). I max,1 = ω 1Q 1 = I max, ω Q Q 1 L1 C Q L C = Q 1 L C Q L1 C = Q 1 = Q Β.3. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων µε παραπλήσιες συχνότητες f 1 και f, ίδιας διεύθυνσης και ίδιου πλάτους, που γίνονται γύρω από την ίδια ϑέση ισορροπίας, µε f 1 > f, παρουσιάζονται διακροτήµατα µε περίοδο διακροτήµατος T = s. Αν στη διάρκεια του χρόνου αυτού πραγµατοποιούνται 00 πλήρεις ταλαντώσεις, οι συχνότητες f 1 και f είναι : ϐ. f 1 = 100, 5Hz και f = 99, 75Hz T = 1 f 1 f = f 1 f = 0, 5 και T = 00T = 00 f όπου f = f 1 + f f = 100 = f 1 + f f 1 + f = 00 http://www.perifysihs.com 3
Από τις δύο παραπάνω σχέσεις για τις συχνότητες, λύνοντας το σύστηµα προκύπτει η λύση Θέµα Γ Πυκνωτής χωρητικότητας C = 80µF ϕορτίζεται µε τάση V = 50V. Στη συνέχεια οι οπλισµοί του συνδέονται στα άκρα ενός ιδανικού πηνίου µε συντελεστή αυτεπαγωγής L = mh και το σύστηµα αρχίζει να εκτελεί αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Γ.1 Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων που εκτελεί το κύκλωµα L C καθώς και το πλάτος της έντασης του ϱεύµατος που το διαρρέει. ω = 1 = LC 1 104 ω = 80 10 6 10 3 4 rad/s Γ. Να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν το ϕορτίο και την ένταση του ϱεύµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. Το µέγιστο ϕορτίο, ϱεύµα ϑα είναι : Q = CV = 80 10 6 50 = 10 C και I = ωq = 50A q = 10 συν( 104 t) και i = 50ηµ(104t) (S.I.) 4 4 Γ.3 Να ϐρείτε την τιµή του ϕορτίου του πυκνωτή την χρονική στιγµή που η ένταση του ϱεύµατος στο κύκλωµα είναι +30A για πρώτη ϕορά καθώς και ΗΕ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο πηνίο. E = U B + U E 1 Q C = 1 Li + 1 q C q = Q i ω = ±1, 6 10 C Για πρώτη ϕορά που το ϱεύµα έχει ϑετική τιµή το ϕορτίο ϑα είναι αρνητικό q = 1, 6 10 C E αυτ = V C = q C = 00V olt http://www.perifysihs.com 4
0,0 q (m C ) 0,0 1 i(a ) 0,0 0-0,0 1-0,0 4 0 0 0-0 -4 0 0,0 0 0 0,0 0 0 4 0,0 0 0 6 0,0 0 0 8 t(p s ) 0,0 0 0 0,0 0 0 4 0,0 0 0 6 0,0 0 0 8 t(p s ) Γ.4 Να ϐρείτε τον ϱυθµό µεταβολής της έντασης του ϱεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα την χρονική στιγµή t 1 = 3π 10 4 s. Εξετάστε αν την στιγµή t 1 ο πυκνωτής ϕορτίζεται ή εκφορτίζεται. di dt = E αυτ L = V C L = ω q = 16 106 A/s Αφού T 4 t 1 T ο πυκνωτής ϕορτίζεται. http://www.perifysihs.com 5
Θέµα Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς = 300N/m έχει το κάτω άκρο του στερεωµένο στο δάπεδο. Στο άνω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώµα Σ 1 µάζας m 1 = g που ισορροπεί. Τη χρονική στιγµή t 0 = 0 αφήνεται πάνω στο σώµα Σ 1, χωρίς αρχική ταχύτητα, ένα άλλο σώµα Σ µάζας m = 1g. Θεωρούµε την κατακόρυφη προς τα πάνω ϕορά, ως ϑετική και την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 10m/s..1 Να αποδείξετε ότι το σύστηµα των δύο σωµάτων εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση η οποία ϑα έχει πλάτος A = 1 30 m. Το Σ 1 ισορροπεί µε το ελατήριο συσπειρωµένο κατά d 1 εφαρµόζω την συνθήκη ισορροπίας ΣF = 0 d 1 = m 1 g d 1 = m 1g Το συσσωµάτωµα ϑα ισορροπεί στην ΘΙΤ µε το ελατήριο συσπειρωµένο κατά d. Εφαρµόζω την συνθήκη ισορροπίας ΣF = 0 d = (m 1 + m )g d = (m 1 + m )g Σε µια τυχαία ϑέση που απέχει x κάτω από την ΘΙΤ ισχύει : ΣF = (m 1 + m )g (d + x) ΣF = x Αρα το σώµα εκτελεί α.α.τ. µε σταθερά επαναφοράς την σταθερά του ελατηρίου. Η αρχική ϑέση είναι η ακραία ϑέση της ταλάντωσης, αφού το Σ αφήνεται εκεί χωρίς να έχει αρχική ταχύτητα. Αρα το πλάτος της ταλάντωσης από την ΘΙΤ ϑα είναι η διαφορά των δύο συσπειρώσεων. A = d d 1 = m g A = 1 30 m http://www.perifysihs.com 6
. Την εξίσωση της δυναµικής ενέργειας του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο U = f(t) Αφού για t o = 0 το σώµα είναι στην ακραία ϑετική ϑέση (Aηµ(0 + φ 0 ) = +A ηµφ 0 = 1 φ 0 = π ). Επίσης η γωνιακή συχνότητα για την ταλάντωση του συστήµατος ϑα είναι ω = = 10rad/s. Η m 1 + m δυναµική Ενέργεια ταλάντωσης ϑα είναι : U = 1 Dx = 1 300( 1 30 ) ηµ (10t + π ) U = 1 6 ηµ (10t + π ) (S.I.).3 Την δύναµη επαφής N που ασκείται από το Σ στο σώµα Σ 1 σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση από την Θέση Ισορροπίας. Να κατασκευαστεί το αντίστοιχο διάγραµµα N = f(x) Σε µια τυχαία ϑέση κάτω από την ΘΙΤ η δύναµη επαναφοράς για το Σ ϑα είναι : N (N ) ΣF = D x N m g = m ω x N = 10 100x 1 30 x 1 30 (S.I.) 0-0,0 4-0,0 0,0 0 0,0 0,0 4-5 -1 0 x (m ) http://www.perifysihs.com 7
Οπου ϐέβαια η N είναι η δύναµη που ασκεί το Σ 1 στο Σ, οπότε σύµφωνα µε τον 3ο Νόµο του Νεύτωνα η Ϲητούµενη δύναµη ϑα είναι η N = N N = 100x 10 1 30 x 1 30 (S.I.).4 Να εξετάσετε αν τα δύο σώµατα ϑα παραµένουν σε επαφή σε όλη την διάρκεια της ταλάντωσης. Για να µην χάνει επαφή το σώµα πρέπει N 0 10 100x 0 x 0, 1m Αρα δεν ϑα χάσει επαφή αφού το πλάτος της ταλάντωσης είναι µικρό σε σχέση µε το παραπάνω x. Πραγµατοποιούµε ένα νέο πείραµα µε την χρήση του παραπάνω ελατηρίου και µιας µάζας M = 3m. Το νέο µας σύστηµα εκτελεί περιοδική κίνηση µε την αποµάκρυνση από την ϑέση ισορροπίας να δίνεται από την σχέση : x = 0, 4ηµ(ωt) + 0, 4συν(ωt) (S.I.).5 Να υπολογισθεί ο ϱυθµός µεταβολής της Κινητικής Ενέργειας Ταλάντωσης του παραπάνω συστήµατος την χρονική στιγµή t = π 10 s. Η δοσµένη σχέση αντιστοιχεί σε µια σύνθεση ταλαντώσεων Α είδους µε διαφορά ϕάσης φ = π µε ω = M = 10rad/s. A = A 1 + A A = 0, 4 m και ɛφθ = A = 1 θ = π A 1 4 Αρα η σύνθετη κίνηση ϑα περιγράφεται από την x = 0, 4 ηµ(10t + π 4 ) και ο Ϲητούµενος ϱυθµός µεταβολής ϑα είναι : dk dt = ΣF υ = Dxυ = ωa ηµ(ωt + θ)συν(ωt + θ) dk dt = 480J/s Επιµέλεια :Καραδηµητρίου Μιχάλης http://www.perifysihs.com 8