Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D1 D2

2.1 Ομάδα Α 1) Να δειχθεί ότι τα παρακάτω γραφήματα είναι ισόμορφα: u 3 u 9 0 v 9 v 8 0 G v 3 H 2) Να εξετασθεί ποια από τα παρακάτω ζεύγη γραφημάτων είναι ισόμορφα: u 3 i) v 3 iii) v 3 u 3 G 1 G 2 G 5 G 6 u 3 v 3 v 8 ii) v 3 iv) u 3 G 3 G 4 G 7 G 8 3) Να εξετασθεί ποιά από τα παρακάτω ζεύγη γραφημάτων είναι ισόμορφα: v 3 u 3 i) v 8 G 1 G 2 1

v 3 u 3 ii) v 8 H 1 H 2 4) Να εξετασθεί αν υπάρχουν γραφήματα δεσμών G με τις παρακάτω ακολουθίες βαθμών. i) (1,1,1,1,0,0,0,0) ii) (6,4,4,4,2,2,0) iii) (5,5,3,3,3,1) iv) (2,2,2,2,2,2,2,2) v) (3,3,3,3,3,3,3,3) vi) (4,4,2,2,2,1,1,1) vii) (4,4,3,3,2,2,2,2) viii) (5,5,5,5,5,5,5,5) ix) (4,4,3,3,3,3,3,3) x) (4,4,3,3,3,3,2,2) xi) (5,5,4,4,3,3,2,2,1,1). 5) Να κατασκευασθούν γραφήματα δεσμών G που έχουν τις παρακάτω ακολουθίες βαθμών. i) (6,3,3,3,3,3,3) ii) (3,3,3,3,1,1,1,1,1,1) και το G να είναι συνεκτικό. iii) (3,3,3,3,1,1,1,1,1,1) και το G να μην είναι συνεκτικό. iv) (3,3,3,3,2,2,2,2,2). v) (4,4,2,2,2,2,2,2,2,2) και το G να είναι συνεκτικό. vi) (4,4,2,2,2,2,2,2,2,2) και το G να μην είναι συνεκτικό. 6) Σε μια αθλητική συνάντηση συμμετείχαν ορισμένοι αθλητές. Κάθε αθλητής αγωνίστηκε σε ακριβώς 6 παιχνίδια και σε κάθε παιχνίδι συμμετείχαν ακριβώς 8 αθλητές. Αν ο αριθμός των παιχνιδιών είναι 15, να βρεθεί ο αριθμός των αθλητών που έλαβαν μέρος. 7) i) Να βρεθεί ο αριθμός των δεσμών του γραφηματος K n. ii) Εστω G=(V, E) ένα γράφημα δεσμών με V =n και E =k. Να βρεθεί ο αριθμός των δεσμών του G c. 8) Να δειχθεί ότι αν ο αριθμός των κορυφών ενός γραφήματος δεσμών G είναι πολλαπλάσιο του 4 και ο αριθμός των δεσμών του είναι περιττός, τότε το γράφημα G δεν είναι κανονικό (δηλαδή έχει τουλάχιστον δύο κορυφές με διαφορετικούς βαθμούς). 9) Να δειχθεί ότι αν ο αριθμός των κορυφών ενός d-κανονικού γραφήματος δεσμών G είναι άρτιος και ο αριθμός των δεσμών του είναι περιττός, τότε το G δεν είναι γράφημα Euler. 10) Να βρεθεί ο αριθμός των δένδρων (συνεκτικών συνιστωσών) ενός δάσους με n κόμβους και m δεσμούς, όπου n>m. 11) i) Να δειχθεί ότι το άθροισμα των βαθμών όλων των κόμβων ενός δένδρου με n κόμβους ισούται με 2n 2. ii) Να δειχθεί ότι αν ένα γράφημα G έχει n κόμβους και n 2 δεσμούς τότε είναι μη συνεκτικό. 2

12) Να βρεθεί ο αριθμός των γενετικών δένδρων των παρακάτω γραφημάτων i) G 1 v 3 ii) G 2 v 3 iii) v 3 G 3 13) Να εξετασθεί αν καθένα από τα παρακάτω γραφήματα περιέχει ένα δρόμο Euler, ή κύκλο Hamilton, ή είναι γράφημα Euler. G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 14) i) Για ποια n N ισχύει ότι το γράφημα K n να είναι γράφημα Euler; ii) Να βρεθεί ένας κλειστός δρόμος Euler για το γράφημα K 5 : 1 5 2 4 3 iii) Να βρεθεί ένας κλειστός δρόμος Euler για το γράφημα K 7 : 3

7 1 2 6 3 5 4 15) Να δειχθεί ότι αν ένα γράφημα δεσμών G περιέχει ισθμό τότε δεν μπορεί όλοι οι κόμβοι του G να έχουν άρτιο βαθμό. 16) i) Εστω G=(V, E) ένα γράφημα δεσμών και P ένα μονοπάτι στο G με μέγιστο μήκος. Να δειχθεί ότι τα άκρα του P μπορούν να συνδέονται μόνο με κόμβους του P. ii) Εστω G=(V, E) ένα γράφημα δεσμών στο οποίο ο ελάχιστος βαθμός των κόμβων του είναι 4. Να δειχθεί ότι το G περιέχει δύο τουλάχιστον κύκλους που αποτελούνται από διαφορετικούς δεσμούς. 17) Εστω S ένα σύνολο και C ένα υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του S. Ορίζουμε το γράφημα I(C) ως εξής: Οι κορυφές του I(C) είναι τα στοιχεία του C, ενώ οι δεσμοί του αποτελούνται από τα ζεύγη A, B C με A B. i) Εστω S = [7] και C={{2,3},{3,5},{2,3,4},{4,5,6},{6,7}. Να σχεδιασθεί το γράφημα I(C). ii) Εστω S= [5] και C το σύνολο υποσυνόλων του [5] που περιέχουν ακριβώς 2 στοιχεία. Να σχεδιασθεί το γράφημα I(C). 18) i) Να γίνει διάτρεξη σε προδιάταξη, ενδοδιάταξη και μεταδιάταξη στο διατεταγμένο δένδρο (με ρίζα Α). A V R B F L S W G M C H N T D I O J E P K Q U X Y Z ii) Να γίνει διάτρεξη σε προδιάταξη, μεταδιάταξη και ενδοδιάταξη στο δυαδικό δένδρο (με ρίζα A). 4

A V B U R M C S P Q L D T O K E W Y N F X Z J G I iii) Να βρεθεί το δυαδικό δένδρο για το οποίο γνωρίζουμε ότι οι διασχίσεις του ως προς την προδιάταξη και ενδοδιάταξη είναι αντίστοιχα: A B C D E F G H I J K L M N O P Q και B D C F E G A I H K M O N P L J Q. H 2.2 Ομάδα Β Προσοχή! Για τις παρακάτω ασκήσεις μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε γλώσσα προγραμματισμού η οποία διδάσκεται στο Τμήμα μας. Η παράδοση των παρακάτω ασκήσεων γίνεται μόνο ηλεκτρονικά στην ενότητα Εργασίες του μαθήματος, όπου πρέπει να ανεβάσετε μόνο τον πηγαίο κώδικα του προγραμματός σας. D1) Να γραφεί πρόγραμμα που δέχεται ως είσοδο ένα φυσικό αριθμό n και εκτυπώνει, αν υπάρχει, ένα κύκλο Euler για το γράφημα K n. D2) Να γραφεί πρόγραμμα που δέχεται ως είσοδο ένα φυσικό αριθμό n και εκτυπώνει, αν υπάρχει, ένα κύκλο Hamilton για το γράφημα Q n, όπου Q n είναι το γράφημα δεσμών του οποίου οι κορυφές είναι οι δυαδικές λέξεις μήκους n, ενώ οι δεσμοί του αποτελούνται από τα ζεύγη των δυαδικών λέξεων που διαφέρουν ακριβώς σε μια ϑέση. 5