Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 15-16 Ν. Βλαχάκης 1. Σημειακό σώμα μάζας m είναι δεμένο σε αβαρές και μη εκτατό νήμα ακτίνας R και κινείται κάτω από την επίδραση του βάρους του mgẑ και της τάσης από το νήμα T = T ˆr (σφαιρικό εκκρεμές). (α) Δείξτε ότι διατηρείται η ẑ συνιστώσα της στροφορμής L z = ( r m v) ẑ. Βρείτε την έκφρασή της σε σφαιρικές συντεταγμένες. (β) Γράψτε σε σφαιρικές συντεταγμένες την κινητική, τη δυναμική και την ολική ενέργεια E. (γ) Δείξτε ότι η διατήρηση της στροφορμής L z και της ενέργειας E ανάγουν το πρόβλημα σε «μονοδιάστατο» στο οποίο ισχύει mr + V eff () = E με V eff () = mr sin cos. Κάτω αριστερά φαίνεται το γράφημα της V eff () για διάφορα L z (με το V eff σε μονάδες και το L z σε μονάδες m gr ). V eff () =L z /(sin )-cos 1.5 1.5 L z = L z =.1 L z =.5 -.5 L z =/ L z = -1 π/ π/ π (δ) Εστω αρχικά το σώμα βρίσκεται στη έση = π/ και έχει οριζόντια ταχύτητα v = v ˆφ. (δ 1 ) Για δεδομένο v ποια η στροφορμή L z, ποια η συνάρτηση V eff () και ποια η ενέργεια E; (δ ) Για ποιες τιμές της v το σώμα περνά πάνω από το επίπεδο y; (δ ) Διερευνήστε αν και πότε χαλαρώνει το νήμα. (Αν δεν υμάστε την έκφραση του a r στις σφαιρικές συντεταγμένες, μπορείτε να την βρείτε παραγωγίζοντας δύο φορές τη σχέση r = R.) (δ ) Για ποια v το σώμα εκτελεί οριζόντια κυκλική τροχιά = σταερό = π/ (κωνικό εκκρεμές); (δ 5 ) Αν διαταράξουμε την κυκλική αυτή τροχιά δίνοντας μια στιγμιαία μικρή ώηση στην ˆ κατεύυνση ποια η περίοδος των μικρών ταλαντώσεων; Ποια η σχέση της με την περίοδο της αρχικής κυκλικής κίνησης;. Σώμα μάζας m κινείται σε άξονα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση δύναμης ελατηρίου kˆ και τριβής ολίσησης µmg. (α) Γράψτε την εξίσωση κίνησης και δείξτε ότι αν μετράμε μήκη σε μονάδες µmg/k και χρόνους σε μονάδες m/k απλοποιείται σε ẍ = 1, όπου ± το πρόσημο της ταχύτητας. (β) Δείξτε ότι σε κάε επιμέρους κίνηση στην οποία το πρόσημο της ταχύτητας είναι σταερό, υπάρχει ολοκλήρωμα «ενέργειας» ẋ + V ±() = σταερά, με V ± = 1 ( ± 1). (γ) Εστω αρχικά = 7.7 και ẋ =. Περιγράψτε την κίνηση και φτιάξτε πρόχειρα το διάγραμμα = (t) και την καμπύλη φάσης. y L z O z v T φ mg
ΛΥΣΕΙΣ: 1. (α) L ) ( ) z = ( r m v ẑ + r m v ẑ = + ( r m a) ẑ = [ r ( T ˆr + mgẑ)] ẑ =. L z = mϖ φ = mr sin φ αφού ϖ = R sin. Αλλιώς: v = R ˆ + R sin φ ˆφ, L = r m v = mr ˆr ˆ ˆφ R mr mr sin φ = mr sin φ ˆ + ˆφ, Lz = L ẑ = mr sin φ, διότι ẑ = (ẑ ˆr)ˆr + (ẑ ˆ)ˆ + (ẑ ˆφ) ˆφ = cos ˆr sin ˆ. (β) v = R ˆ + R sin φ ˆφ, 1 mv = 1 mr ( + sin φ ), V = mgz = cos, E = 1 mr ( + sin φ ) cos. Η ενέργεια είναι σταερή αφού το βάρος είναι συντηρητική δύναμη ενώ η τάση του νήματος δεν παράγει έργο. (γ) Η ζητούμενη προκύπτει αντικαιστώντας φ L z = mr sin στο ολοκλήρωμα ενέργειας. (δ 1 ) Αρχικά v = v ˆφ, δηλ. = και φ = v R sin. Άρα L z = mr sin v = mrv, V eff () = mv sin cos, E = mv cos = mv. (δ ) Η εξίσωση V eff () = E έχει λύσεις τα όρια της τροχιάς και ma, τα οποία εδώ είναι = π/ και ma > π/ αντίστοιχα. Δηλ. πρέπει V eff (π/) < E v > gr Στην οριακή περίπτωση είναι v = gr, οπότε L z = m gr και E =. Οπως φαίνεται από το γράφημα της V eff () τα όρια της τροχιάς είναι V eff () E π/ π/. (δ ) d dt r d = r v = και dt ( r v) = v + r a = v + Ra r = a r = v R. Αυτή η σχέση δεν είναι ίδια με την a κ = v, διότι το κέντρο καμπυλότητας δεν είναι πάντα στο R σημείο Ο, ούτε η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς είναι R. (Π.χ. στο κωνικό εκκρεμές όπου το μένει σταερό, το σώμα εκτελεί οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας R = R sin.) Η προβολή του νόμου Νεύτωνα πάνω στη διεύυνση ˆr δίνει την τάση του νήματος: ma r = mgẑ ˆr T και αντικαιστώντας ẑ ˆr = cos και a r = v R Από το ολοκλήρωμα ενέργειας mv cos = E v = E m κάε έση είναι T = mg cos + E R. βρίσκουμε T = mg cos + mv R. + gr cos, οπότε η τάση σε Το νήμα χαλαρώνει σε έση όπου T = cos χ = E. Για να είναι αυτό δυνατό πρέπει να ισχύει αφενός cos χ 1 E (η σχέση cos χ 1 E ισχύει πάντα αφού η ενέργεια είναι μεγαλύτερη ή ίση της ελάχιστης τιμής του V eff, δηλ. του ) και L z αφετέρου V eff ( χ ) E E mr sin. Αναγκαία συνήκη για να ισχύει η τελευταία είναι χ η E >, η οποία σημαίνει ότι cos χ < χ > π/, δηλ. μόνο όταν το σώμα βρίσκεται πάνω από το επίπεδο y υπάρχει περίπτωση να χαλαρώσει το νήμα, όπως αναμέναμε. Για τις δοσμένες αρχικές συνήκες η συνήκη E μεταφράζεται σε v gr, κάτι που σύμφωνα με το ερώτημα (δ ) σημαίνει ότι το σώμα α έμενε κάτω από το επίπεδο y. Επομένως το νήμα ποτέ δεν χαλαρώνει. ( ) L z v Αλλιώς: Η συνήκη E mr sin για τις δοσμένες αρχικές συνήκες δίνει f, χ gr
όπου f(ξ) = ξ ξ + 57 ξ +. Η συνάρτηση f(ξ) είναι αύξουσα και άρα δεν μπορεί να είναι αρνητική για ξ = v/gr >. (δ ) Πρέπει η V eff () να έχει ελάχιστο στο = π/, δηλ. V eff (π/) = v = gr/. Ισοδύναμα μέσω των δυνάμεων, στη διεύυνση ẑ πρέπει T cos = mg ενώ στην οριζόντια T sin = mv sin gr. Απαλείφοντας το T προκύπτει v = gr = για = π/. R sin cos Οπως φαίνεται από το γράφημα της V eff (), αν v < gr L z < m gr το σώμα κινείται στο χώρο π, δηλ. π/ είναι η μεγαλύτερη από τις δύο ρίζες της V eff() = E. Ομοια, αν v > gr L z > m gr το σώμα κινείται στο χώρο π ma, δηλ. π/ είναι η μικρότερη από τις δύο ρίζες της V eff () = E. Τα ίδια προκύπτουν ( και από τη λύση της ανισότητας V eff () E. Η διαφορά V eff () E γράφεται sin cos + c 1 cos cos + c ), όπου c = v >. Η παρένεση μπορεί να παραγοντοποιηεί (αφού ξέρουμε ότι μηδενίζεται για = π/, δηλ. για cos = 1/) και gr προκύπτει V eff () E = sin (cos + µ c c + 16 + c ) (cos µ 1 ) (cos 1/) με µ = c c + 16 c και µ 1 =. Για κάε c > είναι µ > 1 και 1 < µ 1 < 1, επομένως η ανισότητα V eff () E ισχύει για cos μεταξύ των τιμών 1/ και µ 1. Ελέγχοντας αν το µ 1 είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο του 1/ προκύπτει ότι για c < / είναι µ 1 > 1/ και η επιτρεπτή περιοχή είναι 1/ cos µ 1 arccos µ 1 π/ (διότι η cos µ 1 είναι φίνουσα συνάρτηση στο διάστημα µ 1 π), ενώ για c > / είναι µ 1 < 1/ και η επιτρεπτή περιοχή είναι µ 1 cos 1/ π/ arccos µ 1. Για c = / η επιτρεπτή περιοχή ανάγεται στο σημείο = π/, περίπτωση που αντιστοιχεί στο κωνικό εκκρεμές. Μπορούμε επίσης να ελέγξουμε πότε το σώμα α περάσει πάνω από το επίπεδο y. Αυτό α γίνει αν arccos µ 1 > π/ µ 1 < το οποίο υλοποιείται αν c >. (δ 5 ) Μετά την ώηση η ταχύτητα είναι v ˆφ + ɛˆ με v = gr/. Επομένως δεν αλλάζει η L z = m gr, ούτε η V eff () = V eff () = 9(sin + cos ) sin + mɛ. 9 cos 16 sin cos, V eff () = 9 sin + sin, + cos, ενώ η ενέργεια γίνεται m(v + ɛ ) mg cos = Με = π ( π ) ( π ) ( π ) + q (όπου q 1), είναι V eff + q V eff + V eff q + 1 ( π ) V eff q = + 7 q και το ολοκλήρωμα ενέργειας (με = q) δίνει q + 7g R q = ɛ 7g, ή q + R R q =. 7g R Άρα Ω = R και η περίοδος είναι T τ = π. Η περίοδος της αρχικής κυκλικής κίνησης 7g είναι T = π/ φ = πr sin /v = π R/g, άρα T r = T.756T. 7 Από την q + 7g R q = ɛ R το πλάτος της ταλάντωσης προκύπτει q = ɛ 7gR.
. (α) Οταν το σώμα έχει ταχύτητα ẋ = ± ẋ η εξίσωση κίνησής του είναι m d = k µmg dt (η τριβή ολίσησης είναι αντίετη της ταχύτητας). Αν μετράμε τη συντεταγμένη σε μονάδες µmg/k και τους χρόνους σε m/k μπορούμε να έσουμε = µmg m d µmg k, t = k t στην εξίσωση κίνησης, οπότε αυτή γίνεται m k ( ) = m d k t k µmg k µmg d dt = 1. Μπορούμε να αφαιρέσουμε του τόνους για απλούστευση, οπότε καταλήγουμε στην ẍ = 1. Η εξίσωση αυτή περιγράφει γραμμική αρμονική ταλάντωση γύρω από το σημείο ισορροπίας 1. Είναι δηλ. σαν να έτουμε στην αρχική εξίσωση µmg/k = 1 και m/k = 1. (β) Είναι ẍ = F ± () ẋ + V ±() = σταερά, με V ± = F ± d = 1 ( ± 1) (μηδενίσαμε την αυαίρετη προσετική σταερά ολοκλήρωσης). Το ολοκλήρωμα προκύπτει και αν πολλαπλασιάσουμε το νόμο Νεύτωνα με την ταχύτητα ẋ. (γ) Γενικά, όταν το σώμα είναι στιγμιαία ακίνητο σε σημείο, α αρχίσει να κινείται μόνο αν η δύναμη από το ελατήριο είναι μεγαλύτερη από την τριβή, δηλ. αν > 1. Αν η συνήκη αυτή ικανοποιείται στο αρχικό σημείο < το σώμα α αρχίσει να κινείται προς μεγαλύτερα. Αφού η ταχύτητα είναι ετική ισχύει ẍ = 1, δηλ. η κίνηση είναι μέρος αρμονικής ταλάντωσης γύρω από το σημείο ισορροπίας = 1. Το πλάτος ταλάντωσης είναι 1, επομένως το σώμα α φτάσει στο σημείο ma = 1 + ( 1 ) = όπου στιγμιαία α ακινητοποιηεί ξανά. Αν στο σημείο αυτό ισχύει η συνήκη > 1 το σώμα α αρχίσει να κινείται προς μικρότερα. Η κίνηση περιγράφεται από ẍ = + 1, δηλ. είναι μέρος αρμονικής ταλάντωσης γύρω από το σημείο ισορροπίας = +1. Το πλάτος ταλάντωσης είναι ma 1, επομένως το σώμα α φτάσει στο σημείο () = 1 ( ma 1) = ma όπου στιγμιαία α ακινητοποιηεί ξανά. Ετσι η κίνηση επαναλαμβάνεται μεταξύ των σημείων (n) (n) ma = (n) (n+1) = (n) ma για οποιοδήποτε n, μέχρις ότου κάποιο ακραίο σημείο βρεεί στην περιοχή [ 1, 1], οπότε το σώμα μένει εκεί γιατί η δύναμη ελατηρίου δεν μπορεί να υπερνικήσει την τριβή. Κάε κίνηση από ακινησία σε ακινησία διαρκεί μισή περίοδο, δηλ. χρόνο π. Η κίνηση από το (n) στο (n) ma ξεκινά το χρόνο (n 1) π με αρχικές συνήκες = (n), ẋ = και τελειώνει το χρόνο (n 1) π + π. Η κατάλληλη λύση της ẍ = 1 που την περιγράφει είναι η = 1 + ( (n) + 1) cos t. Η επόμενη κίνηση από το (n) ma στο (n+1) ξεκινά το χρόνο (n 1) π + π με αρχικές συνήκες = (n) ma, ẋ = και τελειώνει το χρόνο n π. Η κατάλληλη λύση της ẍ = + 1 που την περιγράφει είναι η = 1 ( (n) ma 1) cos t. Στο διάγραμμα των δυναμικών ενεργειών, η τροχιά από το (n) στο (n) ma περιγράφεται από το ολοκλήρωμα ẋ + V +() = E (n) + με E (n) + = V + ( (n) ) τα άκρα της αντιστοιχούν στις τομές της παραβολικής καμπύλης V + () με την ενέργεια E (n) +. Η επόμενη τροχιά από το (n) ma στο (n+1) περιγράφεται από το ολοκλήρωμα ẋ + V () = E (n) με E (n) = V ( (n) ma) τα άκρα της αντιστοιχούν στις τομές της παραβολικής καμπύλης V () με την ενέργεια E (n). Αν αρχικά το σώμα είναι ακίνητο στο = 7.7 τότε α κινηεί με = 7.7 ma =
= 5.7 () = ma =.7 () ma = () = 1.7 () = () ma =.. Συνολικά κινείται χρόνο π. Η κίνηση φαίνεται στα παρακάτω σχήματα (οι γκρι περιοχές είναι οι < 1 όπου το σώμα αν σταματήσει στιγμιαία μένει για πάντα ακίνητο καώς η δύναμη ελατηρίου δεν μπορεί να υπερνικήσει την στατική τριβή). ma () ma () () π π π π t ẋ () () () ma ma E + V - () V + () E - E + () E - () () () () ma ma