ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ.

Transcript

1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. Θα μελετήσουμε τώρα συστήματα που διεγείρονται σε ταλάντωση μέσω εξωτερικής ς που μπορεί να είναι (όπως θα δούμε παρακάτω) σταθερή, μεταβλητού μέτρου σταθερής κατεύθυνσης. 1. Ταλάντωση με την βοήθεια σταθερής ς. Σε σώμα μάζας που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθερά k, όπως στο σχήμα ασκούμε σταθερή έτσι ώστε το ελατήριο να επιμηκύνεται. Τα ερωτήματα που θα μας απασχολήσουν εδώ είναι: α. Να δειχθεί ότι το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης πλέον δεν είναι η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου αλλά εκεί που ισχύει οπότε έχουμε: ελ k Δ = k (1) ελ Σε μία τυχαία θέση ισχύει: (1) k k( ) k Άρα έχουμε Α.Α.Τ. με = k. Δηλαδή η σταθερή δεν επηρεάζει την σταθερά επαναφοράς που ισχύει ότι σε ένα οριζόντιο ελατήριο χωρίς την εξωτερική αυτή. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = αφού το σώμα ξεκινά την ταλάντωση του από την. με μηδενική ταχύτητα άρα έχουμε ακραία θέση. β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης θωρώντας ως χρονική στιγμή t = τη στιγμή που ξεκινά την ταλάντωση το σώμα θετική τη φορά προς τα δεξιά. Η ταλάντωση μας αρχίζει τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση = Α, οπότε έχουμε αρχική φάση. 3π Για t = έχουμε: 1 φ = rad. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , W.U. 1

2 Ερωτήματα που προκύπτουν αν η καταργηθεί σε κάποια θέση της ταλάντωσης. Όπως θα δούμε παρακάτω έχει σημασία η θέση που. Τις περιπτώσεις αυτές θα τις δούμε παρακάτω. γ. Αν η ς καταργηθεί στο δεξιό άκρο της ταλάντωσης, ποιο το νέο πλάτος; Στο άκρο της ταλάντωσης η ταχύτητα είναι μηδέν οπότε θα είναι άκρο για την νέα ταλάντωση. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης αλλάζει, τώρα είναι η θέση Άρα: Ν. ελ Α = Α. δ. Αν η ς καταργηθεί δεξιά της της ταλάντωσης, ποιο το νέο πλάτος; Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα που βρίσκεται με εφαρμογή της Ν. ελ Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση E K U υ = ±ω Α. Το πρόσημο της ταχύτητας επηρεάζει μόνο την αρχική φάση της νέας ταλάντωσης. Η απομάκρυνση από τη νέα θέση ισορροπίας είναι = +. Εφαρμόζουμε ξανά Α.Δ.Ε. για την νέα ταλάντωση: E K U υ Αν θέλουμε να βρούμε την αρχική φάση για την νέα ταλάντωση θέτουμε για t =, ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , W.U.

3 ε. Αν η ς καταργηθεί αριστερά της της ταλάντωσης, ποιο το νέο πλάτος; Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα που βρίσκεται με εφαρμογή της Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση. Ν. ελ E K U υ = ±ω Α. Το πρόσημο της ταχύτητας επηρεάζει μόνο την αρχική φάση της νέας ταλάντωσης. Η απομάκρυνση από τη νέα θέση ισορροπίας είναι =. Εφαρμόζουμε ξανά Α.Δ.Ε. για την νέα ταλάντωση: E K U υ Αν θέλουμε να βρούμε την αρχική φάση για την νέα ταλάντωση θέτουμε για t =, στ. Τι θα συμβεί αν η καταργηθεί στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου; Η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου αποτελεί άκρο για την υπάρχουσα ταλάντωση, άρα εκεί θα έχει ταχύτητα μηδέν. Με την κατάργηση της ς η θέση ισορροπίας της νέας ταλάντωσης είναι η. του ελατηρίου. Έτσι λοιπόν έχουμε το σώμα με μηδενική ταχύτητα στη οπότε θα παραμείνει ακίνητο χωρίς να ταλαντώνεται.. Ταλάντωση με την βοήθεια ς σταθερής κατεύθυνσης μεταβαλλόμενου μέτρου. Σε σώμα μάζας που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθερά k, όπως στο σχήμα ασκούμε με μέτρο που δίνεται από τη σχέση (όπου α, β θετικές σταθερές) έτσι ώστε το ελατήριο να επιμηκύνεται. Ως χρονική στιγμή t =, λαμβάνουμε την στιγμή άσκησης της ς. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , W.U. 3

4 Σημείωση: Μία τέτοια περίπτωση έχει νόημα μόνο όταν η μεταβαλλόμενη που έχει την μορφή έχει τέτοια στιγμή ο συντελεστής β ώστε να ισχύει k έτσι ώστε κάποια στιγμή η του ελατηρίου να γίνεται ίση με την (αλλιώς το σώμα θα επιταχύνεται συνεχώς). Τα ερωτήματα που θα μας απασχολήσουν εδώ είναι: α. Να δειχθεί ότι το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης πλέον δεν είναι η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου αλλά εκεί που ισχύει οπότε έχουμε: ελ 1 k1 1 α = (1) k β ελ Σε μία τυχαία θέση ισχύει: ( ) k( ) k k (k ) (1) Άρα έχουμε Α.Α.Τ. με = k β. Δηλαδή η μεταβαλλόμενη επηρεάζει την σταθερά επαναφοράς του συστήματος δεν ισχύει πλέον = k. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = αφού το σώμα ξεκινά την ταλάντωση του από την. με μηδενική ταχύτητα άρα έχουμε ακραία θέση. β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης θωρώντας ως χρονική στιγμή t = τη στιγμή που ξεκινά την ταλάντωση το σώμα θετική τη φορά προς τα δεξιά. Η ταλάντωση μας αρχίζει τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση = Α, οπότε έχουμε αρχική φάση. 3π Για t = έχουμε: 1 φ = rad. Επίσης έχουμε: ω= k β ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , W.U. 4

5 Ερωτήματα που προκύπτουν αν η καταργηθεί σε κάποια θέση της ταλάντωσης. Όπως θα δούμε παρακάτω έχει σημασία η θέση που. Τις περιπτώσεις αυτές θα τις δούμε παρακάτω. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι θα αλλάξει σταθερά επαναφοράς αφού από = k β θα έχουμε μετά την κατάργηση της ς = k. γ. Αν η καταργηθεί στο δεξιό άκρο της ταλάντωσης, ποιο το νέο πλάτος; Στο άκρο της ταλάντωσης η ταχύτητα είναι μηδέν οπότε θα είναι άκρο για την νέα ταλάντωση. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης αλλάζει, τώρα είναι η θέση Άρα: Ν. ελ 1 Α = Α. δ. Αν η καταργηθεί δεξιά της της ταλάντωσης, ποιο το νέο πλάτος; Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα που βρίσκεται με εφαρμογή της Ν. ελ Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση (με = k β) (Α ) E K U υ = ±. Το πρόσημο της ταχύτητας επηρεάζει μόνο την αρχική φάση της νέας ταλάντωσης. Η απομάκρυνση από τη νέα θέση ισορροπίας είναι = +. Εφαρμόζουμε ξανά Α.Δ.Ε. για την νέα ταλάντωση (με = k): E K U υ Αν θέλουμε να βρούμε την αρχική φάση για την νέα ταλάντωση θέτουμε για t =, ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , W.U. 5

6 ε. Αν η ς καταργηθεί αριστερά της της ταλάντωσης, ποιο το νέο πλάτος; Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα που βρίσκεται με εφαρμογή της Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση (με = k β). Ν. ελ (Α ) E K U υ = ±. Το πρόσημο της ταχύτητας επηρεάζει μόνο την αρχική φάση της νέας ταλάντωσης. Η απομάκρυνση από τη νέα θέση ισορροπίας είναι =. Εφαρμόζουμε ξανά Α.Δ.Ε. για την νέα ταλάντωση (με = k): E K U υ Αν θέλουμε να βρούμε την αρχική φάση για την νέα ταλάντωση θέτουμε για t =, στ. Τι θα συμβεί αν η καταργηθεί στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου; Η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου αποτελεί άκρο για την υπάρχουσα ταλάντωση, άρα εκεί θα έχει ταχύτητα μηδέν. Με την κατάργηση της ς η θέση ισορροπίας της νέας ταλάντωσης είναι η. του ελατηρίου. Έτσι λοιπόν έχουμε το σώμα με μηδενική ταχύτητα στη οπότε θα παραμείνει ακίνητο χωρίς να ταλαντώνεται. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , W.U. 6