Ασκήσεις Κεφ. 1, Κινηματική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 10 Απριλίου 2012 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t 3 +1), e 2t, t 2 )], να υπολογιστούν για t = 0: (α) η ταχύτητά του, (2) το μέτρο της ταχύτητας του, (3) η επιτάχυνσή του, (4) το μέτρο της επιτάχυνσης του. 2. Εστω δύο κινούμενα υλικά σημεία και r 1 (t) το διάνυσμα θέσης του πρώτου και r 2 (t) το διάνυσμα θέσης του δεύτερου. Η επιτάχυνση a 1 (t) του πρώτου είναι παράλληλη στο διάνυσμα θέσης του δεύτερου, δηλ. a 1 (t)// r 2 (t). Το διάνυσμα της επιτάχυνσης a 2 (t) του δεύτερου είναι παράλληλο στο διάνυσμα θέσης του πρώτου, δηλ. a 2 (t)// r 1 (t). Να δειχθεί ότι r 1 (t) u 2 (t) u 1 (t) r 2 (t) είναι σταθερό διάνυσμα. 3. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι το r(t) = a 1 cost + b 1 sint, όπου a 1 και b 1 είναι σταθερά διανύσματα τότε τα r(t), u(t) και a(t) είναι συνεπίπεδα. 4. Υλικό σημείο κινείται στον άξονα των x και η επιτάχυνσή του δίνεται από τη σχέση ẍ(t) = 3t 2 + 1. Αν για t = 0, x = 0 και ẋ = 0 να βρεθούν η ταχύτητά του κάθε χρονική στιγμή και η απόσταση που διένυσε από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι t. 5. Η επιτάχυνση πυραύλου (υλικού σημείου) που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω δίνεται από την σχέση z = 6 + 0.02z. Να υπολογιστεί ο χρόνος που χρειάζεται ο πύραυλος να φτάσει σε ύψος z 1 = 100m. Για t = 0s, ο πύραυλος βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και ηρεμεί. 6. Η επιτάχυνση του σημείου, Α, που κινείται στην ευθεία x ορίζεται από την σχέση ẍ = 1.08sinkt 1.44coskt, όπου ẍ και t εκφράζονται σε m/s 2 και s αντίστοιχα και k = 3rad/s. Γνωρίζοντας ότι x = 0.16m και ẋ 0 = 0.36m/s όταν t = 0, να υπολογιστούν η ταχύτητα και η θέση του σημείου Α όταν t = 0.5s. (Ο μηχανισμός EF ολισθαίνει και το BC περιστρέφεται με κέντρο το σταθερό σημείο B, Σχήμα 1). 7. Η επιτάχυνση σωματιδίου (υλικού σημείου) που κινείται στον άξονα x δίνεται από την σχέση ẍ = k(1 e x ), με k σταθερά. Γνωρίζοντας ότι η ταχύτητα του σωματιδίου είναι ẋ = 9m/s όταν x = 3m και ότι το σωματίδιο σταματά στην αρχή των αξόνων (x = 0), να υπολογιστεί: (α) η τιμή του k, (β) η ταχύτητα του σωματιδίου όταν x = 2m. 8. Εχουμε τρία σχοινιά με σταθερά μήκη (ADE, DEC, DCF E, Σχήμα 2) και το σημείο F είναι σταθεροποιημένο. Αν το σημείο, A του σχοινιού ADE κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα u A = 14m/s, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου C. Η ακτίνα των τροχαλιών 1

2 θεωρείται αμελητέα. 9. Το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου δίνεται από τη σχέση: r = a cos ωt x 0 + a sin ωt y 0 + bt z 0, όπου a, b και ω σταθερές. Να δειχθεί ότι η τροχιά του υλικού σημείου είναι έλικα. Να βρεθούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου. 10. Υλικό σημείο κινείται στο Oxy επίπεδο και η ταχύτητα του είναι ίση με u = 3 x 0 + 10t y 0. Αν για t = 0, βρίσκεται στην αρχή των αξόνων να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x). 11. Υλικό σημείο κινείται στο Oxy επίπεδο έτσι ώστε οι συνιστώσες της θέσης του να πληρούν τις παρακάτω σχέσεις: x(t) = 5 + 7 cos t, y(t) = 6 + 8 sin t. Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x). 12. Υλικό σημείο κινείται στο Oxy επίπεδο έτσι ώστε οι συνιστώσες της θέσης του να πληρούν τις παρακάτω σχέσεις: } x(t) = 2 tan t, y(t) = tan 2t, με περιορισμό x ( 2, 2). Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x). 13. Υλικό σημείο κινείται στο Oxy επίπεδο έτσι ώστε οι συνιστώσες της ταχύτητάς του να πληρούν τις παρακάτω σχέσεις: ẋ = 2y, ẏ = 8x. (α) Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου. (β) Να βρεθεί η κατεύθυνση της επιτάχυνσης. 14. Σωμάτιο, A, κινείται στον χώρο και το διάνυσμα θέσης του είναι: r A = (e t + 2, t 2, t + 1). Σωμάτιο, B, επίσης κινείται στον χώρο και έχει διάνυσμα θέσης: r B = (2t + 3, 3 2 t2, 3t + 1). Τα σωμάτια A και B θα συγκρουστούν στον χώρο και σε ποιά θέση; 15. Υλικό σημείο W είναι δεμένο στο άκρο ενός σχοινιού μήκους 50m, που περνά από μια τροχαλία στο σημειο P, 20m πάνω από το έδαφος. Το άλλο άκρο του σχοινιού δένεται σε όχημα στο σημείο A, 2m πάνω από το έδαφος. Αν το όχημα κινείται με ταχύτητα 9m/s κατά τον y-άξονα, με ποιά ταχύτητα υψώνεται το υλικό σημείο, τη χρονική στιγμή που αυτό είναι 6m πάνω από το έδαφος (Σχήμα 3); 16. Το άκρο, A, ράβδου AB κινείται με ταχύτητα u A = u A x 0, (u A > 0). Ζητείται η ταχύτητά του άκρου B, όταν η γωνία θ = θ 1. Δίνεται το μήκος l της ράβδου (Σχήμα 4). 17. Η επιτάχυνση υλικού σημείου για t 0, δίνεται από την σχέση: a = 12 cos 2t x 0 8 sin 2t y 0 + 16t z 0. }

3 Αν το υλικό σημείο ηρεμεί στην αρχή των αξόνων για t = 0, να βρεθούν τα u και r κάθε χρονική στιγμή. 18. Υλικό σημείο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας, r. Οταν το υλικό σημείο βρίσκεται στο A η γωνία είναι θ = 0 και το μέτρο της ταχύτητάς του είναι u A = 5m/s. Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται με ρυθμό d u /dt = kt, όπου k = 0.06m/s 3. Να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης όταν το υλικό σημείο έχει διανύσει το 1/3 της κυκλικής τροχιάς (ακτίνα τροχιάς r = 300m). 19. Υλικό σημείο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας ρ. Το μέτρο της ταχύτητας του είναι u 0 = 4 m/s για t = 0. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου αυξάνει σύμφωνα με τη σχέση d u /dt = bs, b > 0. Τη χρονική στιγμή t = 0, S = 0. Να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης όταν το υλικό σημείο έχει κινηθεί απόσταση S = 10 m. Δίνονται: ρ = 50 m, b = 0.05 s 2. 20. Σωματίδιο (υλικό σημείο) κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας, u = 300 mm/s, κατά μήκος της καμπύλης y = k x, k = 20 103 mm 2 (Σχήμα 5). Να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης του σωματιδίου όταν αυτό βρίσκεται στη θέση x = 200 mm. 21. Υλικό σημείο όταν βρίσκεται στο σημείο, A, κινείται με μέτρο ταχύτητας u 0 = 1m/s (Σχήμα 6). Αν το μέτρο της ταχύτητάς του αυξάνει με ρυθμό d u /dt = 0.1m/s 2 να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t = 5s. 22. Υλικό σημείο κινείται σε τμήμα της περιφέρειας κύκλου ακτίνας, r. Οταν το υλικό σημείο βρίσκεται στο σημείο A η γωνία θ στις πολικές συντεταγμένες είναι θ = 0. Στο σημείο αυτό το υλικό σημείο έχει μέτρο ταχύτητας u 1 = 2m/s. Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι d u /dt = 0.002S, όπου S η τυχαία απόσταση του υλικού σημείου πάνω στον περιφέρεια του κύκλου από το σημείο A. Να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του όταν το υλικό σημείο έχει διανύσει τα τρία τέταρτα του κύκλου. 23. Οι εξισώσεις κίνησης ενός σωματιδίου δίνονται από τις σχέσεις: x = t 2, y = t 4 2t 2 3. (α) Να γραφεί η εξίσωση τροχιάς του ως y = y(x) και να βρεθούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του τη χρονική στιγμή t = 2s. (β) Να βρεθούν η επιτρόχια και η κεντρομόλος επιτάχυνση την ίδια χρονική στιγμή. 24. Σωματίδιο κινείται επιταχυνόμενο σε κυκλική τροχιά ακτίνας, R, με σταθερή επιτρόχια επιτάχυνση. (α) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται ώστε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων της ταχύτητας, u, και της επιτάχυνσης, a, να γίνει φ. (β) Να βρεθεί το διάστημα, S, που διανύει το σωματίδιο στο χρονικό αυτό διάστημα. 25. Η τροχιά υλικού σημείου είναι: r(t) = (t 3 4t) x 0 + (t 2 + 4t) y 0 + (8t 2 3t 3 ) z 0. Να βρεθούν τα μέτρα της εφαπτομενικής και της κεντρομόλου επιτάχυνσης όταν t = 2s.

4 26. Η θέση υλικού σημείου περιγράφεται από τις πολικές συντεταγμένες r = a(1 + sinbt) και θ = ce dt (όπου a = 4 m, b = 1 s 1, c = 2 rad, d = 1 s 1 ). Να υπολογιστούν οι ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου όταν t = 2 s. 27. Μηχανισμός (Σχήμα 7) περιστρέφεται γύρω από το σταθερό σημείο O, με σταθερό ρυθμό θ = 3 rad/s και εντός του μηχανισμού υπάρχει υλικό σημείο, A που μετακινείται. Να υπολογιστούν οι ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του υλικού σημείου A, όταν θ = 2π rad. Η τροχιά του υλικού σημείου, A περιγράφεται από την εξίσωση r = b+cθ, (b > 0, c > 0), όπου η θ μετριέται σε rad (b = 5 cm, c = 1 π cm). 28. Η τροχιά υλικού σημείου είναι της μορφής r = aθ, όπου a = 0.4 m. Η γωνιακή ταχύτητα θ είναι ίση με 3 rad/s. Η γωνιακή επιτάχυνση θ είναι ίση με 8 rad/s 2 (Σχήμα 8). Να βρεθούν οι ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου όταν θ = π 3 rad. 29. Υλικό σημείο, P, κινείται σε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των x (Σχήμα 9). Η ευθεία βρίσκεται σε απόσταση, d, από τον άξονα των x. Η γωνιακή ταχύτητα, ω, του υλικού σημείου είναι σταθερή (ω = dθ/dt = σταθερή). Ζητούνται οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του σε πολικές συντεταγμένες. 30. Υλικό σημείο διαγράφει την τροχιά r = a(1 cosθ), όπου a = 25 m (Σχήμα 10). Η γωνιακή ταχύτητα του υλικού σημείου είναι θ = 2 rad/s και η γωνιακή του επιτάχυνση θ = 0.2 rad/s 2. Να υπολογιστούν το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της επιτάχυνσης όταν θ = 120 0. 31. Υλικό σημείο, A, κινείται στο χώρο. Η απόσταση της προβολής του υλικού σημείου στο επίπεδο Oxy από την αρχή των αξόνων είναι ίση με r και παραμένει σταθερή (Σχήμα 11). Η συνιστώσα z της τροχιάς του υλικού σημείου είναι ίση με z = asinbθ, όπου a = 3 m και b = 4. Αν η γωνία θ είναι της μορφής θ = ct, όπου c = 0.5 rad/s να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου. 32. Υλικό σημείο, A, κινείται στο χώρο. Η απόσταση της προβολής του υλικού σημείου στο επίπεδο Oxy από την αρχή των αξόνων είναι ίση με r και ο ρυθμός μεταβολής ṙ της παραμένει σταθερός (Σχήμα 12). Η συνιστώσα z της τροχιάς του υλικού σημείου είναι ίση με z = bt 2, όπου b = 4 m/s 2 και θ = ct, όπου c = 0.5 rad/s. Να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου όταν t = 3 s και r = 3 m. 33. Υλικό σημείο με διάνυσμα θέσης R κινείται πάνω σε κυλινδρική επιφάνεια της οποίας ο άξονας συμπίπτει με τον άξονα z. Η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με το επίπεδο Oxy δίνει κύκλο ακτίνας r (Σχήμα 13). Το υλικό σημείο κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας, u, και η τροχιά του ορίζεται από τις εξισώσεις: r = 1.5 m και z = hθ, όπου h = 2 m. Να 2π υπολογιστούν: (α) Ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας, θ και (β) το μέτρο της επιτάχυνσης. 34. Να υπολογιστεί η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης στη τροχιά υλικού σημείου με τη βοήθεια των κυλινδρικών συντεταγμένων. 35. Αεροπλάνο κινείται με ταχύτητα 180 km/h ανατολικά, ευθύγραμμα και σε σταθερό ύψος από την επιφάνεια της γης. Κάθε προπέλα του αεροπλάνου έχει διάμετρο 12m και περιστρέ-

5 φεται με 1000 στροφές το λεπτό στη φορά των δεικτών του ρολογιού όπως φαίνεται από το πίσω μέρος του αεροσκάφους. Να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου, A, που βρίσκεται στην άκρη της προπέλας στη νότια θέση (Σχήμα 14) σε κυλινδρικές και καρτεσιανές συντεταγμένες. Οι ασκήσεις πρέπει να επιστραφούν μέχρι την Παρασκευή 27 Απριλίου στις 5μμ.

Σχήμα 1: Σχήμα άσκησης 6 Σχήμα 2: Σχήμα άσκησης 8 Σχήμα 3: Σχήμα άσκησης 15 Σχήμα 4: Σχήμα άσκησης 16

7 Σχήμα 5: Σχήμα άσκησης 20 Σχήμα 6: Σχήμα άσκησης 21 Σχήμα 7: Σχήμα άσκησης 27 Σχήμα 8: Σχήμα άσκησης 28

8 Σχήμα 9: Σχήμα άσκησης 29 Σχήμα 10: Σχήμα άσκησης 30 Σχήμα 11: Σχήμα άσκησης 31 Σχήμα 12: Σχήμα άσκησης 32

9 Σχήμα 13: Σχήμα άσκησης 33 Σχήμα 14: Σχήμα άσκησης 35