Επιστημονικός και Εκπαιδευτικός Σχεδιασμός: Άρης Μαυρομμάτης Αποστόλης Παπανικολάου Ένα συναρπαστικό ταξίδι, στα θεμέλια της επιστημονικής σκέψης και αναζήτησης, στην Αισθητική της Τέχνης και στη Λογική των Μαθηματικών W. Kandinsky Στο εκπαιδευτικό πρόγραμμα «Επιστήμη Τέχνη και Μαθηματικά» 2018-19, πραγματοποιείται μια διαδρομή στα θεμέλια της επιστημονικής σκέψης, μια πορεία αναζήτησης της διασύνδεσης Επιστήμης, Τέχνης και Μαθηματικών, μέσα από δραστηριότητες που προκύπτουν από την αλληλεπίδραση με διαδραστικά και παραστατικά εκθέματα εκλαΐκευσης και κατανόησης της επιστημονικής σκέψης καθώς και επιλεγμένα έργα Τέχνης από τα σημαντικότερα εικαστικά ρεύματα. Παράλληλα αναπτύσσονται δραστηριότητες, οι οποίες μπορούν κάλλιστα να αποτελέσουν θεματικές επιλογές για διαθεματικές προσεγγίσεις και δημιουργικές εργασίες, στα πλαίσια του αναλυτικού προγράμματος του Λυκείου.
Πρόγραμμα Λυκείου Το πρόγραμμα «Επιστήμη, Τέχνη και Μαθημα τικά» για το λύκειο, αποτελείται από δύο διδακτικά μέρη, το πρώτο εκ των οποίων είναι κοινό για τους μαθητ ές όλων των τάξεων, ενώ το δεύτε ρο είναι κατάλληλα προσαρμοσμένο στις γνωστικές δυνατότητ ες κά θε τάξ ης. Στο τ έλος, οι μα θητ ές καλούνται να συμπληρώσουν ένα έντυπο αξιολόγη σης. Μέρος Α : Επίσκεψη των δύο εκθεσιακών χώρων του μουσείου διάρκεια: 45 λεπτά Περιήγηση στους χώρους των αλληλεπιδραστικών και εικαστικών εκθεμάτων, υπό την διακριτική καθοδήγηση ειδικά εκπαιδευμένου καθηγητή με σκοπό τη εκμαίευση γόνιμων προβληματισμών και διαλόγου. Μέρος Β : Παρουσίαση ειδικού θέματος στις αίθουσες διαλόγου και αλληλεπίδρασης διάρκεια: 50 λεπτά Δραστηριότητες και διάλογος που επικεντρώνεται σε μία συγκεκριμένη θεματική ενότητα που προκύπτει από επιλεγμένο αλληλεπιδραστικό έκθεμα ή έργο τέχνης, καθώς και πολυμεσικό υλικό. Ανατροφοδότηση - Αξιολόγηση διάρκεια: 10 λεπτά Συμπλήρωση εντύπου αξιολόγησης με ανώνυμη και ελεύθερη καταγραφή παρατηρήσεων και εντυπώσεων για το πρόγραμμα. *Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή των προτεινόμενων θεματικών ενοτήτων για κάθε τάξη, από τις οποίες μπορούν να επιλέξουν οι εκπαιδευτικοί. W. Kandinsky Σκοπός του εκπαιδευτικού προγράμματος «Επιστήμη, Τέχνη και Μαθηματικά» είναι να αναπτύξε ι τη διερευ νητική σκέψη των μαθητών, σε ένα περιβάλλον ελεύθερης αναζήτησης και άτυπης μά - θησης. Το πρόγραμμα λειτουργεί παράλληλα με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών, στην κατεύθυνση της κοινά επιθυ - μητής από όλους τους ερευ - νητές τη ς Διδακτική ς, «διαθεματικότητας», διασυνδέοντας τα Μαθηματικά με την Επιστήμη, τις Τέχνες και τη Φιλοσοφία. 2
I. Το διασημότερο Θεώρημα στα Μαθηματικά και την Τέχνη. II. Από τις Πυθαγόρειες αρμονίες στην συγκερασμένη κλίμακα (Μουσική και Μαθηματικά). III. Το άπειρο & το όριο στην Τέχνη & τα IV. Οι κωνικές τομές από την αρχαιότητα στην Αναγέννηση. V. Ο ρόλος των Μαθηματικών στις Παραμορφώσεις και Αναμορφώσεις στις εικαστικές Τέχνες. VI. Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και η έκφρασή τους στην Τέχνη. VII. Τα Μαθηματικά στην Φύση και την Τέχνη. Σαπωνοειδείς επιφάνειες, χρυσή τομή, πλακοστρώσεις και η τέχνη της κυψέλης. VIII. Οφθαλμαπάτες στην Τέχνη και Μαθηματική Αλήθεια. Julia Fractal IX. Ο θαυμαστός κόσμος των fractals στα Μαθηματικά και την Τέχνη. X. Αιτιοκρατία και τυχαιότητα XI.Το δυαδικό αλφάβητο του Η/Υ. XII. Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων-Μηχανισμοί και γρανάζια. (Νέα ενότητα 2018-19) Η δραστηριότητα αυτή είναι κατάλληλη για μαθητές Α, Β & Γ Λυκείου 3
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Στόχος της ενότητας αυτής, είναι η κατανόηση της Πυθαγόρειας σχέσης στο ορθογώνιο τρίγωνο αφενός ως σχέσης εμβαδών και αφετέρου ως κριτηρίου καθετότητας. Επίσης μέσα από μια ανασκόπηση της ιστορικής διαδρομής της πυθαγόρειας σχέσης, να κατανοήσουν την έννοια «Θεώρημα» όπως αυτή Piet Mondrian Η εμφάνιση των ευθειών γραμμών στα έργα των κυβιστών είναι εκείνη που ενστάλαξε πίστη στη γεωμετρία, στην πραγματικότητα όμως δεν υπάρχει ίχνος γεωμετρίας. Οι ευθείες αυτές γραμμές ανακλούν το ουσιώδες, την a priori οπτική αντίληψη του ανθρώπου, θα βρεθούν ουσιαστικά, σε όλα τα πλαστικά έργα τέχνης, από τη στιγμή που οι καλλιτέχνες έπαψαν να μιμούνται. Daniel Henri Kahnweiler προκύπτει από την έννοια της «Απόδειξης» και να διατυπώσουν και αποδείξουν πλέον ορθά το διασημότερο θεώρημα, δηλαδή «το Πυθαγόρειο Θεώρημα». Η πρώτη δραστηριότητα είναι η εμπειρική διαπίστωση της σχέσης των εμβαδών των τετραγώνων που περιβάλλουν το ορθογώνιο τρίγωνο με τη συμπλήρωση πάζλ διαβαθμισμένης δυσκολίας. Κατόπιν εκμαιεύεται η ανάγκη της καθολικής απόδειξης και γίνεται η απόδειξη των Στοιχείων του Ευκλείδη. Στη συνέχεια και ανάλογα με την τάξη τους οδηγούνται στην ανακάλυψη της αρρητότητας της διαγωνίου και 4
της πλευράς τετραγώνου με τον τρόπο που την διαπίστωσαν οι Πυθαγόρειοι. Το επόμενο βήμα είναι η εκμαίευση της αντίστροφης σχέσης ως κριτηρίου καθετότητας. Γίνεται σύνδεση με το ιστορικό πλαίσιο και την Πυθαγόρεια φιλοσοφία περί λόγων αριθμών και αρμονίας του σύμπαντος η οποία τέθηκε σε δοκιμασία ακριβώς από την ανακάλυψη της αρρητότητας. Συζητείται η φιλοσοφική και καλλιτεχνική σημασία της έννοιας της καθετότητας. ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Piet Mondrian Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης των εννοιών της καθετότητας και της πυθαγόρειας σχέσης ως κριτηρίου καθετότητας για τα παιδιά του Λυκείου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων των συγκεκριμένων εννοιών. βιβλιογραφία που είναι σχετική με τις συγκεκριμένες έννοιες. αρθρογραφία που είναι σχετική με τις συγκεκριμένες έννοιες. o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 5
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Στόχος της ενότητας αυτής είναι οι μαθητές να αναπτύξουν μαθηματικές και παράλληλα μουσικές δεξιότητες μέσα από μουσικά παιχνίδια, πειραματισμό με μουσικά όργανα και ακρόαση μουσικών θεμάτων. Οι μαθητές παρακινούνται να πειραματιστούν με τον ήχο, τη μουσική και τα συναισθήματα που αυτή δημιουργεί. Μέσα από δραστηριότητες, μουσικά παραδείγματα και κατάλληλα επιλεγμένο οπτικοακου- στικό υλικό: [ Georges Braque η αφαιρετικότερη των τεχνών είναι η Μουσική και η αφαιρετικότερη των επιστημών τα Ο άνθρωπος γεννιέται έχοντας και τα δυο μέσα του. Levi Strauss o Ανακαλύπτουν τη συμμετρία και την κανονικότητα που δημιουργεί μουσικούς ήχους, σε αντίθεση με την ασυμμετρία του θορύβου. o Κατανοούν την ημιτονοειδή μορφή των απλών μουσικών ήχων με τη βοήθεια αλληλεπιδραστικού εκθέματος. o Ανακαλύπτουν την έννοια του ρυθμού και την οργάνωση του χρόνου στη μουσική, ενώ παράλληλα αναζητούν μαθηματικές αναλογίες στα ρυθμικά μοτίβα που καλούνται να δημιουργήσουν ή να αναπαράγουν μέσα από ομαδικά παιχνίδια με κρουστά. o Πειραματίζονται με το μονόχορδο του Πυθαγόρα και μέσα από τη διαφωνία ή τη συμφωνία των μουσικών συνηχήσεων που δημιουργούν, οδηγούνται στην αναζήτηση των μαθηματικών σχέσεων που διέπουν την αρμονία. o Κατασκευάζουν τη μείζονα κλίμακα και εξασκούνται στην αναγνώριση των μουσικών διαστημάτων από τα οποία αποτελείται. o Μέσα από παιχνίδια ρόλων φτιάχνουν τα δικά τους μουσικά κομμάτια συνδέοντας ρυθμούς με μελωδίες και παρατηρούν τις ακουστικές εντυπώσεις των δημιουργιών τους. 6
ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης του φυσικού φαινομένου του ήχου και της σχέσης του με τη μουσική και τα Μαθηματικά για τα παιδιά του Λυκείου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου. βιβλιογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο αρθρογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 7
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Μερικές από τις κύριες συνιστώσες της κοινής αντίληψης για το άπειρο είναι η ιδέα του ατελεύτητου, του απεριόριστου και του ασύλληπτου, ενώ παραμένει ερωτηματικό το άπειρο του χρόνου και του χώρου. Στόχος της θεματικής αυτής ενότητας είναι η ανάδειξη της πορείας της ανθρώπινης σκέψης στην προσέγγιση της ιδέας του απείρου καθώς και του ορίου ως νοητικού εργαλείου τιθάσευσης του απείρου. Πώς οι καλλιτέχνες απεικονίζουν το άπειρο; Πώς το χειρίζονται οι μαθηματικοί; Με έναυσμα επιλεγμένα έργα τέχνης και κατάλληλα σχεδιασμένη προβολή, οι μαθητές: Το παραπάνω σχέδιο παρουσιάζει μια κανονικότητα που συνίσταται από στοιχεία τα οποία διαρκώς ελαττώνονται κατά το ήμισυ καθώς μετακινούνται προς το κέντρο. M. C. Escher o Καλούνται να καταγράψουν τις αρχικές προϋπάρχουσες αντιλήψεις τους για το άπειρο και το όριο, με λέξεις και εικόνες που αυτοί θεωρούν ότι προσιδιάζουν σε αυτές τις έννοιες, και συγκεντρώνουν μια σειρά από καταστάσεις και φαινόμενα του κόσμου που θεωρούν ότι είναι άπειρα. o Αναζητούν την ετυμολογία της λέξης άπειρο και όριο. o Αναζητούν τις ιδέες του απείρου, του ορίου και του απειροστού σε πίνακες του M.C. Escher. Σε μια ομάδα πινάκων του ο Escher σμικρύνει την ίδια μορφή μέχρι τα όρια των υλικών δυνατοτήτων της γραφίδας του. +Άραγε σε νοητικό επίπεδο ποιο είναι το όριο της σμίκρυνσης μια ποσότητας; Πόσο μικρότερη μπορεί να γίνει μια μικρή ποσότητα; Τι είναι το απειροστό και ποια η σχέση με το παράδοξο του Ζήνωνα; o Παρακινούνται βιωματικά να χρησιμοποιήσουν την 1-1 αντιστοίχηση με το σύνολο των φυσικών αριθμών για την ταξινόμηση των διάφορων απειροσυνόλων. 8
o Διαπιστώνουν τις παράδοξες ισοπληθικότητες του συνόλου των φυσικών o Εισάγονται στα διαγώνια επιχειρήματα του Cantor και γνωρίζουν την ισοδυναμία του συνόλου των ρητών με το σύνολο των φυσικών, καθώς και το αδύνατο της αντίστοιχης ισοδυναμίας με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. o Μέσω του παραδόξου του «δρομέα» του Ζήνωνος, εισάγονται στην ιδέα του ορίου και του απειροστού, μυούμενοι ουσιαστικά στις έννοιες της σύγκλισης ακολουθίας και σειράς. ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης του φυσικού φαινομένου του ήχου και της σχέσης του με τη μουσική και τα Μαθηματικά για τα παιδιά του Λυκείου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου. βιβλιογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο αρθρογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 9
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Στόχος της ενότητας αυτής είναι να έρθουν οι μαθητές σε επαφή με τις τέσσερις γεωμετρικές καμπύλες τον κύκλο, την έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή. Να γνωρίσουν τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζονται, καθώς επίσης και τον λόγο για τον οποίο ονομάστηκαν με τα συγκεκριμένα ονόματα. Να προβληματιστούν γιατί όταν ένας πλανήτης ή κομήτης ή οποιοδήποτε άλλο σώμα διαγράφει τροχιά στο που ακολουθεί θα είναι μια από αυτές τις κομψές γεωμετρικές καμπύλες. Να γνωρίσουν τη σχέση τους με την φιλοσοφία και το ρόλο τους στην αστρονομία. Να ακολουθήσουν την ιστορική πορεία τους μέσα στο χρόνο, από τους Πυθαγόρειους στον Ευκλείδη, στον Απολλώνιο και τον Dandelin. Να αναζητήσουν την σχέση τους με την τέχνη. Brunelleschi Κάθε πλανήτης ή κομήτης ή οποιοδήποτε άλλο σώμα που διαγράφει ένα τόξο στο διάστημα υπό την επίδραση της βαρύτητας, η τροχιά που θα ακολουθεί, ανήκει σε μια πολύ ειδική ομάδα μαθηματικών καμπυλών. Κύκλος, Έλλειψη, Παραβολή, Υπερβολή. Πιο συγκεκριμένα οι μαθητές: o Μέσα από αλληλεπιδραστικά εκθέματα ανακαλύπτουν την σχέση μιας κωνικής επιφάνειας με ένα τέμνον επίπεδο και κατασκευάζουν τις κωνικές τομές. o Παρατηρούν αυτές τις γεωμετρικές καμπύλες, τις ταξινομούν και ανακαλύπτουν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά κάθε μιας από αυτές. o Ανακαλύπτουν την καθολική ιδιότητα που διέπει την έλλειψη, την παραβολή και την υπερβολή. o Διατυπώνουν τις ιδιότητες αυτές στα πλαίσια της αναλυτικής γεωμετρίας. o Ανακαλύπτουν τη σχέση τους με τη φυσική και την αστρονομία. 10
o Γνωρίζουν τον τρόπο με τον οποίο οι κωνικές τομές συνδέθηκαν με τη φιλοσοφία και την τέχνη. ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης του φυσικού φαινομένου του ήχου και της σχέσης του με τη μουσική και τα Μαθηματικά για τα παιδιά του Λυκείου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου. βιβλιογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο αρθρογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 11
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Περί τον 16ο αιώνα οι αρχές και οι Τεχνικές της προοπτικής απεικόνισης εφαρμόσθηκαν κατά τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτουν εικόνες έντεχνα και έντονα αλλοιωμένες, παρασύροντας και εξαπατώντας τη οπτική αντίληψη. Οι εικόνες που προέκυψαν ονομάσθηκαν αναμορφωτικές εικόνες (anamorphoses) και είτε είχαν χαρακτήρα προοπτικών παιχνιδιών είτε είχαν κάποιο χαρακτήρα μεταφοράς πολιτικών ή πνευματικών μηνυμάτων. Ενδεικτικά αναφέρουμε τους Πρεσβευτές του Hans Holbein (1533). Το έντονα παραμορφωμένο κρανίο που βρίσκεται στα πόδια των πρεσβευτών, είναι φτιαγμένο με τη λογική ενός κρυπτογραφικού κώδικα, του οποίου πρέπει να γνωρίζουμε τα κώδικά στοιχεία ώστε να τον αποκρυπτογραφήσουμε.. Στόχος της ενότητας αυτής είναι να γνωρίσουν οι μαθητές ότι η αναμόρφωση στην τέχνη της Ζωγραφικής - με την έννοια της τροποποίησηςαναφέρεται πρωτίστως στην σκόπιμη επίπεδη παραμόρφωση μιας εικόνας που πραγματοποιείται πάνω σε επίπεδους καθρέπτες, κατά τέτοιο τρόπο, ώστε όταν την βλέπουν κατά μέτωπο να μην είναι αναγνωρίσιμη. Μόνο αν την δουν υπό ορισμένη γωνία παίρνει την κανονική της μορφή. Επίσης μπορούν να δουν αναμορφωμένες εικόνες στις επιφάνειες καμπυλόγραμμων κατόπτρων, όπως για παράδειγμα κυλινδρικών και κωνικών, όπου τα παραμορφωμένα πρότυπα τους βρίσκονται σε επίπεδες επιφάνειες. Να αναζητήσουν την σχέση ανάμεσα στην παραμορφωμένη εικόνα και την αντίστοιχη αναμορφωμένη της και να διαπιστώσουν ότι οι σχέσεις που τις συνδέουν είναι μαθηματικές. Να αναζητήσουν 12
τον ιστορικό και κοινωνικό ρόλο των παραμορφώσεων αναμορφώσεων. Πιο συγκεκριμένα οι μαθητές: o Μέσα από αλληλεπιδραστικά εκθέματα παρατηρούν την αναμόρφωση παραμορφωμένων εικόνων. o Παρατηρούν παραμορφωμένες εικόνες και προσπαθούν να ανακαλύψουν τόσο τις αναμορφωμένες εικόνες, όσο και τον τρόπο που θα μπορούσαν αυτές να αναμορφωθούν. o Παρατηρούν διάφορα είδη αναμορφώσεων και προσπαθούν να ανακαλύψουν τον τρόπο με τον οποίο έχουν επιτευχθεί αυτές οι αναμορφώσεις. o Ανακαλύπτουν τις μαθητικές σχέσεις σε κάθε είδος κατοπτρικής παραμόρφωσης- αναμόρφωσης. o Δημιουργούν τις δικές τους παραμορφωτικές εικόνες. o Γνωρίζουν τον τρόπο με τον οποίο η τέχνη των παραμορφώσεων συνδέθηκε με τη φιλοσοφία, την κοινωνία και την τέχνη. ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης του φυσικού φαινομένου του ήχου και της σχέσης του με τη μουσική και τα Μαθηματικά για τα παιδιά του Λυκείου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου. βιβλιογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο αρθρογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 13
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Λευκές γραμμές διασταυρώνονται και διαιρούν η μια την άλλη σε τμήματα με το κάθε ένα να ισούται με το μήκος ενός ψαριού. Χαράζουν τις διαδρομές κατά μήκος των οποίων προχωρούν τα ψάρια, από το απειροελάχιστο προς το μέγιστο και πάλι προς το απειροελάχιστο. M.C. Escher M.C. Escher Στόχος της ενότητας αυτής είναι η εισαγωγή των μαθητών στην ποικιλία των διαφόρων γεωμετρικών θεωριών, θεωρώντας την Ευκλείδεια εκδοχή ως μια ειδική περίπτωση. Οι μαθητές με βιωματικό τρόπο εισάγονται στους κανόνες διαφορετικών, Μη-Ευκλείδειων, γεωμετρικών κόσμων με αφορμή το υπερβολικό μοντέλο του Poincaré στους πίνακες του M.C. Escher αλλά και το προβολικό μοντέλο που πηγάζει από την γραμμική προοπτική των ζωγράφων της Αναγέννησης. Ανακαλύπτουν την ουσία της αξιωματικής μεθόδου και την έννοια της απόδειξης εκεί που η αλήθεια αντιβαίνει στη διαίσθηση. Ποια είναι τελικά η γεωμετρία που διέπει το σύμπαν; Μέσα από ομαδικές - βιωματικές δραστηριότητες, εικαστικά έργα και κατάλληλα σχεδιασμένη προβολή οι μαθητές: o Αναζητούν την ελάχιστη διαδρομή που συνδέει δυο σημεία της υδρογείου, ώστε να προβληματιστούν με την έννοια της ευθείας στην ελλειπτική γεωμετρία και να κατανοήσουν τη γεωδαιτική γραμμή της σφαιρικής γεωμετρίας. o Κατανοούν την τοπικότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη σφαιρική επιφάνεια και διαπιστώνουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στην επιφάνεια μιας σφαίρας υπερβαίνει τις 180 μοίρες. o Εξοικειώνονται με το ρόλο του κανόνα και του διαβήτη στην Ευκλείδεια Γεωμετρική κατασκευή, μέσα από απλά παραδείγματα και παιχνίδια. 14
o Χωρίζονται σε ομάδες Ευκλείδειων και Μη-Ευκλείδειων Γεωμετρών, και επιχειρούν καθοδηγούμενοι να αποδείξουν πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου. o Κατανοούν το διαφοροποιητικό ρόλο του 5 ου αιτήματος του Ευκλείδη. o Παρακινούνται να προσεγγίσουν την κάθε μαθηματική θεωρία ως ένα παιχνίδι με απλούς κανόνες, όπως το σκάκι. o Ταξιδεύουν στους νόμους του σύμπαντος του M.C. Escher καλούμενοι να πλακοστρώσουν το Ευκλείδειο και το Υπερβολικό επίπεδο με σχήματα και σχέδια. ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης του φυσικού φαινομένου του ήχου και της σχέσης του με τη μουσική και τα Μαθηματικά για τα παιδιά του Λυκείου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου. βιβλιογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο αρθρογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 15
Jean-Baptiste-Simeon Chardin Η μαγεία των σχημάτων που δημιουργούνται από τις μεμβράνες σαπουνιού έχει κινήσει το ενδιαφέρον πολλών μαθηματικών, αυτά τα φυσικά αντικείμενα μας δείχνουν το οικονομικότερο σχήμα μιας επιφάνειας με δεδομένο το σύνορο ή το περίγραμμα. Είναι οι επιφάνειες ελαχίστου εμβαδού. ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Η έννοια της βελτιστοποίησης με την έννοια της εύρεσης των ακρότατων τιμών που μπορεί να πάρει μια συνάρτηση είναι ιδιαίτερα σημαντική. Αποτελεί μαθηματικό υπόβαθρο ερμηνείας και ελέγχου πολλών φαινομένων και χρησιμοποιείται στη λύση πολλών προβλημάτων. Ο Βέλγος φυσικός Joseph Plateau ανακάλυψε το 1861 ότι οι μεμβράνες που δημιουργούνται όταν μια συρμάτινη κλειστή καμπύλη βυθιστεί σε σαπωνοειδές διάλυμα, καταλαμβάνουν την ελάχιστη δυνατή επιφάνεια. Η συμπεριφορά αυτή των μεμβρανών προέρχεται από το γεγονός ότι προσπαθούν να ελαχιστοποιήσουν τη δυναμική τους ενέργεια. Επειδή όμως αυτή είναι ανάλογη του εμβαδού τους παίρνουν το σχήμα με το μικρότερο δυνατό εμβαδόν μεταξύ όλων όσων έχουν το ίδιο περίγραμμα. Οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη και αν σχηματίσουμε με ένα σύρμα και την εμβαπτίσουμε στο σαπωνοειδές διάλυμα θα σχηματισθεί πάντα μια επιφάνεια. Το άκρως ενδιαφέρον είναι ότι κάποια από τα γεωμετρικά σχήματα που προκύπτουν έχουν άμεση σχέση με το σχήμα της κερήθρας, με τη βέλτιστη τοποθέτηση κυκλικών δίσκων στο επίπεδο και σφαιρών στο χώρο, καθώς και με τις κανονικές πλακοστρώσεις του επιπέδου αλλά και του χώρου. H δομή της κατασκευής ενός κογχυλιού, η σχέση ανάμεσα στο πλήθος των δεξιόστροφων και αριστερόστροφων σπειρών του ηλίανθου και του κουκουναριού, η συμμετρία μιας πεταλούδας και μιας μαργαρίτας, η μοριακή δομή ενός ορυκτού, η χαρακτηριστική ομορφιά των νιφάδων του χιονιού, το ιδιότυπο σχήμα μιας φτέρης, ο τρόπος με τον οποίο αναπτύσσονται τα κλαδιά ενός δένδρου, η χαρακτηριστική αναλογία στα μέρη του ανθρώπινου 16
σώματος, είναι δημιουργήματα της Φύσης και έγιναν απ αυτήν με τρόπο σοφό και μελετημένο. Πίσω από όλη αυτή τη δημιουργία κρύβονται νόμοι, που όπως έλεγε ο Γαλιλαίος είναι γραμμένοι στο μεγάλο βιβλίο της Φύσης και που τα γράμματα στις σελίδες του είναι σχήματα και αριθμοί. Στόχος αυτής της θεματικής ενότητας είναι ο προβληματισμός των μαθητών στα Μαθηματικά αυτά της Φύσης και της Τέχνης, στον ορισμό της μαθηματικής έννοιας του λόγου και της αναλογίας, καθώς και τις φιλοσοφικές προεκτάσεις της. o Οι μαθητές πειραματίζονται και προβληματίζονται προσπαθώντας να εξηγήσουν τα διάφορα σχήματα που προκύπτουν από τη βύθιση κατάλληλα επιλεγμένων κατασκευών σε σαπωνοειδές διάλυμα. o Το άκρως ενδιαφέρον είναι ότι κάποια από τα γεωμετρικά σχήματα που προκύπτουν έχουν άμεση σχέση με το σχήμα της κερήθρας, με τη βέλτιστη τοποθέτηση κυκλικών δίσκων στο επίπεδο και σφαιρών στο χώρο, καθώς και με τις κανονικές πλακοστρώσεις του επιπέδου αλλά και του χώρου. ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης της έννοιας της βελτιστοποίησης, για τα παιδιά του Γυμνασίου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων της συγκεκριμένης έννοιας. βιβλιογραφία που είναι σχετική με τη συγκεκριμένη έννοια. αρθρογραφία που είναι σχετική με τη συγκεκριμένη έννοια. o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 17
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Στόχος της ενότητας αυτής είναι η δημιουργία αμφισβήτησης στην εμπιστοσύνη προς τις αισθήσεις (κυρίως στην όραση) και συνειδητοποίησης της ανάγκης να χρησιμοποιηθεί η λογική - μαθηματική σκέψη. Καλούνται οι μαθητές να παίξουν με ειδικά κατασκευασμένα αλληλεπιδραστικά εκθέματα, καθώς επίσης να παρατηρήσουν εικαστικά έργα που εμπεριέχουν οφθαλμαπάτες και αμφισημίες, που τους οδηγούν σε αβεβαιότητες και αντιφάσεις, η άρση των οποίων γεννά την ανάγκη της αναζήτησης ενός κόσμου, που να διαθέτει ακλόνητες βασικές αρχές και μια στερεή μέθοδο εξαγωγής συμπερασμάτων. Ο κόσμος αυτός είναι ο κόσμος των Μαθηματικών. M.C. Escher Στο κατώτερο αριστερό πρώτο πλάνο βρίσκεται ένα κομμάτι χαρτιού στο οποίο είναι σχεδιασμένες οι ακμές ενός κύβου. Δυο μικροί κύκλοι σημαδεύουν τα σημεία όπου οι ακμές τέμνουν η μια την άλλη. Ποια ακμή έρχεται μπροστά και ποια πίσω; Παράλληλα με τις οφθαλμαπάτες (οπτικά παράδοξα) οι μαθητές γνωρίζουν τα πιο φημισμένα και ιστορικά λογικά και συνολοθεωρητικά παράδοξα. (Παράδοξο του Ζήνωνος, του Επιμενίδη, κλπ) και τον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζονται από τη λογική και φιλοσοφία των μαθηματικών. Πιο συγκεκριμένα οι μαθητές: o Παίζουν με εκθέματα τα οποία δημιουργούν οφθαλμαπάτες, αντιλαμβανόμενοι στην πράξη τον σημαντικό ρόλο της θέσης του σημείου όρασης. o Παρατηρούν επιλεγμένους ζωγραφικούς πίνακες οι οποίοι εμπεριέχουν αμφισημίες και οφθαλμαπάτες και συζητούν τις παρατηρήσεις τους. o Ανακαλύπτουν το ρόλο της ψευδαίσθησης και της αμφισημίας στα έργα του V. Vasarely, που οφείλεται στην αξονομετρική κυρίως προβολή, σε μια προσπάθεια 18
παρακίνησης των θεατών να αποκτήσουν ενεργή συμμετοχή απέναντι στα έργα της op-art. o Κατανοούν τον ουσιαστικό ρόλο της λογικής των μαθηματικών, ως νοητικό εργαλείο, για την άρση των αντιφάσεων που δημιουργούν οι αμφίσημες εικόνες. o Ανακαλύπτουν τα παιχνίδια των διαστάσεων μέσα από αδύνατα σχήματα των μαθηματικών, όπως το τρίγωνο του Penrose, και της τέχνης του M.C. Escher. ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ M.C. Escher Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης του φυσικού φαινομένου του ήχου και της σχέσης του με τη μουσική και τα Μαθηματικά για τα παιδιά του Λυκείου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου. βιβλιογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο αρθρογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 19
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Στόχος της ενότητας είναι η εξερεύνηση του κόσμου των fractals μέσα από την αναζήτηση της δομής και της αισθητικής επιλεγμένων φυσικών αντικειμένων και των νόμων που διέπουν τη γεωμετρία της φύσης. Η απλότητα των γεωμετρικών σχημάτων αντιτάσσεται στην πολυπλοκότητα του φυσικού κόσμου και της μοντέρνας τέχνης καθώς ο άνθρωπος κάνει ένα ακόμη βήμα για την αποκρυπτογράφηση των μυστικών του σύμπαντος. Μέσα από το διάλογο, κατάλληλα σχεδιασμένη προβολή και ομαδικές δραστηριότητες οι μαθητές: Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι και o φλοιός των δένδρων δεν είναι λείος, ούτε η αστραπή δεν ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή. The fractal geometry of nature Benoit Mandelbrot o Aαναζητούν την προέλευση της πανανθρώπινης και έμφυτης αντίληψης της αισθητικής μέσα από τα φυσικά και κοινωνικά πρότυπα. o Περιηγούνται με τη βοήθεια ειδικού λογισμικού και αντίστοιχα βίντεο σε γνωστά fractals όπως το Mandelbrot και το τρίγωνο του Sierpinski. o Εξοικειώνονται με την ιδέα της αυτοομοιότητας μέσα από ομαδικά παιχνίδια. o Κατασκευάζουν τα δικά τους fractal μέσα από επαναληπτικές αλγοριθμικές διαδικασίες, τις οποίες καλούνται να κωδικοποιήσουν με ένα απλό αλφάβητο. o Εισάγονται στην έννοια της κλασματικής διάστασης και μετρούν την κλασματική διάσταση του fractal του Sierpinski με απλές μεθόδους. o Μαθαίνουν να αναγνωρίζουν αυτοόμοια μοτίβα στη φύση και στα έργα του M. C. Escher και αναζητούν τη σύνδεση τεχνικής και αποτελέσματος στους πίνακες του J. Pollock. 20
ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης του φυσικού φαινομένου του ήχου και της σχέσης του με τη μουσική και τα Μαθηματικά για τα παιδιά του Λυκείου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων του συγκεκριμένου φυσικού φαινομένου. βιβλιογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο αρθρογραφία που είναι σχετική με το συγκεκριμένο o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 21
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Ποια η διαφορά του τυχαίου φαινομένου από το μη τυχαίο; Στην περίπτωση του τυχαίου υπάρχουν μαθηματικοί νόμοι που το ελέγχουν; Το 16ο αιώνα γεννήθηκε η ιδέα ότι τα Μαθηματικά θα μπορούσαν να συμβάλλουν προς την κατεύθυνση αυτή. Ο λογισμός των πιθανοτήτων που εδώ και έναν αιώνα γνωρίζει μια άνευ προηγουμένου ανάπτυξη, συμβάλλει στην επίλυση προβλημάτων που απασχολούν τη Φυσική, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Κοινωνιολογία κλπ. Αποτελεί δε, ένα από τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται ιδίως όταν επιδιώκεται η κατασκευή μοντέλων για πολύπλοκα και απρόβλεπτα γεγονότα. Είναι αξιοσημείωτο ότι μια επιστήμη που ξεκίνησε από τη μελέτη των τυχερών παιχνιδιών έμελλε να προβιβαστεί κάποτε στην τάξη των πιο σημαντικών θεμάτων της ανθρώπινης γνώσης. P. S. Laplace Οι μαθητές εδώ έχουν τη δυνατότητα, μέσα από απλά πειράματα και παιχνίδια, να κατανοήσουν και να υπολογίσουν την πιθανότητα εμφάνισης ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος. o Στόχος της ενότητας αυτής είναι τα παιδιά: o Να κατανοήσουν το διαχωρισμό μεταξύ τυχαίων και αιτιοκρατικών φαινομένων. o Να κατανοήσουν την έννοια της πιθανότητας, ως το μέτρο που μετρά, αυτό που εμπειρικά αντιλαμβανόμαστε ως «Τύχη». o Να κατανοήσουν έννοιες όπως: πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος, ενδεχόμενο, ανακαλύπτοντας τον ρόλο του συνόλου, ως την θεμελιώδη έννοια πάνω στην οποία οικοδομούνται τα μαθηματικά εργαλεία, με τα οποία μελετάμε την έννοια της πιθανότητας. 22
o Τέλος μέσα από μια ιστορική διαδρομή να παρατηρήσουν το πώς τέθηκε αναπτύχθηκε και διαμορφώθηκε τελικά η έννοια της πιθανότητας, αλλά και το πώς ενέπνευσε διάφορα ρεύματα Τέχνης. ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ o o o o o Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης της γεωμετρικής έννοιας της πιθανότητας, για τα παιδιά του Γυμνασίου. Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων της συγκεκριμένης έννοιας. Η γνωριμία του με ελληνική και ξενόγλωσση βιβλιογραφία που είναι σχετική με τη συγκεκριμένη έννοια. Η γνωριμία του με ελληνική και ξενόγλωσση αρθρογραφία που είναι σχετική με τη συγκεκριμένη έννοια. Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 23
ΓΙΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ Στόχος της συγκεκριμένης ενότητας είναι να κατανοήσουν οι μαθητές μέσω κατάλληλου αλληλεπιδραστικού εκθέματος τη σχέση μεταξύ δυαδικού και δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. V. Vasarely Η τέχνη του Vasarely στην περίπτωση των ασπρόμαυρων έργων του, διακρίνεται για την αμφισημία της, που είναι αποτέλεσμα της συνεχούς αλλά μάταιης προσπάθειας του ματιού να κάνει σαφείς διαχωρισμούς ανάμεσα σε δυο καταστάσεις. Γίνεται ιστορική σύνδεση με την Λογική που θεμελίωσε ο μεγάλος φιλόσοφος Αριστοτέλης. Βασικό ζήτημα της Αριστοτελικής λογικής είναι ο χαρακτηρισμός μιας λογικής πρότασης ή ενός λογικού συλλογισμού ως Αληθούς (Α) ή Ψευδούς (Ψ). Οι δύο αυτοί χαρακτηρισμοί είναι το θεμέλιο της «δίτιμης λογικής», που σε συνδυασμό με το δυαδικό σύστημα αρίθμησης των μαθηματικών και τις δύο βασικές καταστάσεις «διέρχεται και δεν διέρχεται ρεύμα» των κυκλωμάτων του ηλεκτρονικού υπολογιστή αποτελούν τη βάση της επιστήμης της Πληροφορικής. Γίνεται επίσης σύνδεση με το πλαστικό αλφάβητο του Vasarely και τα εικαστικά ψηφία του αλλά και την ευρύτερη έννοια και αναγκαιότητα ενός αλφαβήτου για τη διαμόρφωση μιας γλώσσας επικοινωνίας. 24
ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ο στόχος αυτής της θεματικής ενότητας για τον εκπαιδευτικό είναι: o Η εμπειρία του με έναν άλλο τρόπο διδακτικής προσέγγισης, του δυαδικού συστήματος για τα παιδιά του Γυμνασίου. o Η γνωριμία του με σύγχρονα εκπαιδευτικά υλικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία διδακτικών προσεγγίσεων σχετικών με το δυαδικό σύστημα, αλλά και το πώς αυτή η αντίληψη της δυαδικότητας εκφράζεται στην Τέχνη. βιβλιογραφία που είναι σχετική με τη διδασκαλία του δυαδικού συστήματος. αρθρογραφία που είναι σχετική με τη διδασκαλία του δυαδικού συστήματος. o Ο διάλογος με τον εκπαιδευτικό του προγράμματος που ανέπτυξε την συγκεκριμένη δραστηριότητα. 25
Οι μηχανισμοί με γρανάζια (οδοντωτούς τροχούς) εμφανίζονται κυρίως στη διάρκεια της Ελληνιστικής περιόδου από το 300 π. Χ. και μετά. Οι μηχανισμοί αυτοί είναι γνωστοί ως «μηχανισμοί με γρανάζια ακριβείας» ή «μαθηματικά συστήματα οδοντωτών τροχών». Κλασικό παράδειγμα τέτοιου μηχανισμού είναι ο «Οδοντωτός Μηχανισμός των Αντικυθήρων». Ο μηχανισμός αυτός μπορεί να θεωρηθεί ως ημερολογιακό υπολογιστικό μηχάνημα του Ήλιου και της Σελήνης. Η πιο εντυπωσιακή όμως πλευρά του μηχανισμού είναι το ότι περιέχει το πολύ περίπλοκο σύστημα ενός διαφορικού γραναζιού που δέχεται δυο διαφορετικές περιστροφές. Ο εκπαιδευτικός στόχος αυτής της δραστηριότητας είναι μέσα από αλληλεπιδραστικά εκθέματα και κατασκευές, με τα οποία ασχολούνται τα παιδιά, να γνωρίσουν αυτά: α) την πρωτογενή αναγκαιότητα των γραναζιών β) τον τρόπο μετάδοσης της κίνησης μέσω γραναζιών διαφορετικού τύπου γ) τη γεωμετρική κατασκευή ενός γραναζιού δ) τις μαθηματικές σχέσεις που εμπειρικά υλοποιούνται μεταξύ των σχέσεων των γραναζιών ε) τον τρόπο με τον οποίο γρανάζια διαφορετικών μεγεθών και μορφών μετατρέπουν ην αρχική κίνηση ζ) τον μαθηματικό τρόπο με τον οποίο ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων προσομοίωνε και προέβλεπε με τη βοήθεια των γραναζιών του τις θέσεις της Σελήνης, του Ήλιου και των πλανητών σε διαφορετικές χρονικές περιόδους η) την ιστορία του Μηχανισμού των Αντικυθήρων και τους σημαντικούς επιστημονικούς κλάδους της εποχής εκείνης, που τελικά μας οδήγησαν στη δημιουργία του σύγχρονου Δυτικού πολιτισμού. 26
Συνοπτικός πίνακας Ακολουθεί συνοπτικός πίνακας με τις θεματικές ενότητες για το λύκειο και τις τάξεις στις οποίες αντιστοιχούν. Η ταξινόμηση που ακολουθεί δεν είναι υποχρεωτική καθώς, κατόπιν συνεννόησης με τους εκπαιδευτικούς, κάποια θεματική ενότητα μπορεί να παρουσιασθεί σε μαθητές διαφορετικών τάξεων από τις προτεινόμενες, ενώ μπορεί να επιλεγεί και ένας συνδυασμός τους. Θεματικές Ενότητες Α Β Γ I. Το διασημότερο Θεώρημα στα Μαθηματικά και την Τέχνη. II. Από τις Πυθαγόρειες αρμονίες στην συγκερασμένη κλίμακα (Μουσική και Μαθηματικά). III. Το άπειρο & το όριο στην Τέχνη & τα IV. Οι κωνικές τομές από την αρχαιότητα στην Αναγέννηση. V. Ο ρόλος των Μαθηματικών στις Παραμορφώσεις και Αναμορφώσεις στις Εικαστικές Τέχνες. VI. Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και η έκφρασή τους στην Τέχνη. VII. Τα Μαθηματικά στην Φύση και την Τέχνη. Σαπωνοειδείς επιφάνειες, χρυσή τομή, πλακοστρώσεις και η τέχνη της κυψέλης. VIII. Οφθαλμαπάτες στην Τέχνη και Μαθηματική Αλήθεια. IX. Ο θαυμαστός κόσμος των fractals στα Μαθηματικά και την Τέχνη. X. Αιτιοκρατία και τυχαιότητα. XI. Το δυαδικό αλφάβητο του Η/Υ. XII. Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων Μηχανισμοί και γρανάζια. (Νέα ενότητα 2018-19). 27