Μηχανική, Κυματική και Θερμοδυναμική ΦΥΣ

Μηχανική, Κυματική και Θερμοδυναμική ΦΥΣ 131 Διδάσκων: Τζιχάντ Μούσα e-mail: jehad.mousa@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2844 Γραφείο: B244 ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημιούπολη Διδασκαλία: Τρίτη-Παρασκευή 13:30 15:00, αίθουσα: 109 ΧΩΔ01 Τετάρτη 10:00-11:00, αίθουσα: 109 ΧΩΔ01 Επιπλέον Φροντιστήρια: Τετάρτη 16:00-17:00, αίθουσα: B210 ΧΩΔ02 Γραφείο: Τετάρτη 11:00-13:00 web-page: http://www2.ucy.ac.cy/~mjehad01/phy131_2019.html 1

Βιβλιογραφία Physics for Scientists and Engineers - R.A. Serway (απόδοση στα Ελληνικά από Λ.Κ. Ρεσβάνη). ή Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Μηχανική - Ταλαντώσεις και Μηχανικά Κύματα Θερμοδυναμική - Σχετικότητα. Επιμέλεια: Χαράλαμπος Βάρβογλης Physics I & I - Halliday & Resnick (Μέρος Α) (Ελληνικά) "Ηλεκτρομαγνητισμός, Σύγχρονη Φυσική, Σχετικότητα" Πανεπιστημιακή Φυσική - Young & Freedman (Ελληνικά ) 2

Βαθμολογία Η βαθμολογία θα βασιστεί στα ακόλουθα: 15 % mini-exams (10 λεπτά) 30% : ενδιάμεση Η εξέταση θα γίνει το Σάββατο 26 Οκτωβρίου 2019, ώρα 10:00 12:00 55 % τελική εξέταση Οι εξετάσεις (πρόοδοι και τελική) είναι χωρίς σημειώσεις και βιβλία αλλά σας δίνεται τυπολόγιο. Κατανόηση εννοιών και όχι αποστήθιση τύπων Τα mini-exams θα είναι σύντομα προβλήματα που θα απαιτούν απάντηση είτε με μορφή επιλογής από διάφορες απαντήσεις (multiple choice) ή με κάποιους σύντομους υπολογισμούς. 3

Περιεχόμενα Μονάδες μέτρησης, συστήματα συντεταγμένων. Κίνηση σε μια και περισσότερες διαστάσεις ταχύτητα, επιτάχυνση, συστήματα αναφοράς. Δυνάμεις. Νόμοι του Νεύτωνα Έργο, μηχανική ενέργεια. Ορμή, κέντρο μάζας Ροπή δυνάμεων, στροφορμή, ροπή αδράνειας Ταλαντώσεις Παγκόσμια βαρυτική έλξη και νόμοι του Kepler Εξίσωση κυμάτων, εγκάρσια και διαμήκη κύματα. Φασική και ομαδική ταχύτητα Θερμοδυναμική: θερμότητα και ο Πρώτος και Δεύτερος Νόμος. Θερμικές Μηχανές. Ψυγεία. Εντροπία Ακτινοβολούσες κοιλότητες, Νόμος ακτινοβολίας του Plank φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. 4

Θεµελιώδης επιστήµη Φυσική Ασχολείται µε τις βασικές αρχές του σύµπαντος. Αποτελεί τη βάση γι άλλες επιστήµες. Οι βασικές αρχές της είναι απλές. Οι τοµείς της µηχανικής και του ηλεκτροµαγνητισµού είναι βασικοί για όλους τους υπόλοιπους κλάδους της κλασικής και της σύγχρονης φυσικής. Κλασική φυσική Αναπτύχθηκε πριν από το 1900. Σε αυτή τη θεµατική ενότητα θα ασχοληθούµε µε την κλασική µηχανική. Είναι γνωστή και ως νευτώνεια µηχανική ή απλώς µηχανική. Σύγχρονη φυσική 1900 µέχρι σήµερα, 5

Στόχοι της φυσικής Παρατήρηση: το σημαντικό πρώτο βήμα για τη θεμελίωση επιστημονικής θεωρίας; Απαιτεί φαντασία ώστε να αναγνωρίζουμε τι είναι σημαντικό Θεωρίες: αναπτύσσονται για να εξηγούν τις παρατηρήσεις; κάνουν προβλέψεις Η παρατήρηση μας λέει εάν η πρόβλεψη είναι ακριβής, και ο κύκλος συνεχίζεται. Καμιά θεωρία δεν μπορεί να επιβεβαιωθεί πλήρως, αλλά αντιθέτως μπορεί να αποδειχτεί ότι είναι λανθασμένη. Πώς γίνεται αποδεχτή μια νέα θεωρία; Οι προβλέψεις της συμφωνούν καλύτερα με τα δεδομένα Εξηγεί περισσότερα φαινόμενα Π.χ.: Ο Αριστοτέλης πίστευε ότι όλα τα σώματα που τίθενται σε κίνηση τελικώς θα «σταματήσουν». Ο Γαλιλαίος συνειδητοποίησε ότι η κίνηση ενός σώματος θα «σταματήσει» μόνο όταν ασκηθεί πάνω του κάποια δύναμη. 6

Μετρήσεις Χρησιµοποιούνται για την περιγραφή των φυσικών φαινοµένων. Κάθε µέτρηση συνδέεται µε ένα φυσικό µέγεθος. Πρέπει να ορίζονται µε βάση κάποιο πρότυπο. Χαρακτηριστικά ενός προτύπου µέτρησης Να είναι άµεσα διαθέσιµο. Να έχει κάποια ιδιότητα που να µπορεί να µετρηθεί µε αξιοπιστία. Πρέπει να δίνει τα ίδια αποτελέσµατα όταν χρησιµοποιείται από διαφορετικούς ανθρώπους σε διαφορετικά µέρη. Δεν µπορεί να µεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου. 7

Πρότυπα µέτρησης για τα θεµελιώδη µεγέθη Προτυποποιηµένα συστήµατα Ορίζονται από κάποια αρχή, συνήθως ένα κυβερνητικό όργανο Διεθνές σύστηµα (Systéme International, SI), Ορίστηκε το 1960 από µια διεθνή επιτροπή. Το κύριο σύστηµα που χρησιµοποιείται:. Μέγεθος Μήκος Μάζα Χρόνος Θερµοκρασία Ηλεκτρικό ρεύµα Φωτοβολία Ποσότητα ύλης Μονάδα µέτρησης στο SI µέτρο χιλιόγραµµο δευτερόλεπτο kelvin ampere candela mole 8

Κλασσική/Νευτώνια Μηχανική c Ταχύτητα του φωτός c/10 Ρελατιβιστική QM Ρελατιβιστικοί πύραυλοι Ρελατιβιστική κοσμολογία Κβαντική Μηχανική QM Κλασσική Μηχανική Κοσμολογία 10-15 m πρωτόνιο 10-10 m άτομο 10 20 m Απόσταση 9

Μοντέλα της ύλης Ορισµένοι Έλληνες φιλόσοφοι πίστευαν ότι η ύλη αποτελείται από άτοµα. Καµία άλλη δοµή. Ο J.J. Thomson (1897) ανακάλυψε τα έχουν εσωτερική δοµή. Ο Rutherford (1911) ανακάλυψε ότι οποίος περιβάλλεται από ηλεκτρόνια. Σήμερα: Τα 6 quarks Άνω (up), κάτω (down), παράξενο (strange), γοητευτικό (charm), χαµηλό (bottom) και υψηλό (top), και 6 λεπτόνια Το σωματίδιο Higgs aνακαλύφθηκε το 2012 στον επιταχυντή LHC (συγκρούσεις p - p ) στο CERN από τις πειραματικές ομάδες CMS και ATLAS Η μάζα του: m higgs ~ 125.5 GeV ηλεκτρόνια και απέδειξε ότι τα άτοµα υπάρχει ένας κεντρικός πυρήνας ο 10

Διαστατική ανάλυση Μια τεχνική η οποία µας επιτρέπει να ελέγξουµε αν µια εξίσωση έχει τη σωστή µορφή ή µας βοηθάει να αποδείξουµε έναν µαθηµατικό τύπο. Μπορείτε να χειριστείτε τις διαστάσεις (µήκος, µάζα, χρόνος, συνδυασµοί) ως αλγεβρικά µεγέθη. Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµός, διαίρεση Τα δύο σκέλη της εξίσωσης πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Μια εξίσωση είναι σωστή µόνο αν οι διαστάσεις και στα δύο σκέλη της είναι ίδιες. Σα κανόνας, μπορεί να χρειαστεί να γράψουμε ένα γενικό γινόμενο των δεδομένων ποσοτήτων υψωμένες σε τυχαίους εκθέτες (π.χ. m a, l b, g c ) και μετά να γράψουμε τις μονάδες αυτού του γινομένου σα συνάρτηση των εκθετών a, b, c. 11

Παράδειγμα βρείτε τους εκθέτες στη σχέση x = α m t n Πρέπει να έχετε µήκη και στα δύο σκέλη Η επιτάχυνση έχει διαστάσεις L/T 2 Ο χρόνος έχει διαστάσεις T [L] 1 = L m m=1 T 2m [T]n n-2m = 0 m=1 n = 2 Η ανάλυση δίνει x = αt 2 12

Παράδειγμα Ποια είναι η συχνότητα του εκκρεμούς; ω=2πν=2π/τ θ l g Οι διαστασιακές ποσότητες που δίνονται: (α) η μάζα m = [M] (β) το μήκος l = [L] (γ) η επιτάχυνση g = [L/T 2 ] m Χρειαζόμαστε μια σχέση που να έχει διάσταση 1/χρόνου ή 1/Τ Γράφουμε: Αντικαθιστώντας τις μονάδες m a l b g c = t 1 M a L b L T 2 c = T 1 a = 0 b + c = 0 2c = 1 a = 0 b = 1/2 c = 1/2 Άρα η συχνότητα του εκκρεμούς είναι ω = f θ g l Σταθερά αναλογίας 13

Παράδειγμα Στηριζόµενοι σε διαστασιακή ανάλυση να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας (µε µια σταθερά αναλογίας) ενός τεχνητού δορυφόρου µάζας m, που κινείται σε τροχιά ακριβώς πάνω από την επιφάνεια της γης. Θεωρήστε ότι η ακτίνα της γης είναι R και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g (m/s 2 ). Έχουµε την εξίσωση: υ = m a g b R C v R Αντικαθιστούµε τις µονάδες: [L] = [M] a [T] [L]b [L] [L]c 2b [T] = [M] a [L] [T] [T] 2b b +c a = 0 Το σύστηµα εξισώσεων είναι: b + c =1 2b =1 a=0 c =1/2 b =1/2 Εποµένως η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ= K gr Οπου Κ είναι σταθερά αναλογίας και για το πρόβληµα αυτό είναι Κ=1 14

Εξέταση οριακών συνθηκών Πολλές φορές η διαίσθησή σας (για οριακές περιπτώσεις) μπορεί να σας βοηθήσει να δείτε αν η απάντηση σε κάποιο πρόβλημα είναι η σωστή έστω και αν δεν μπορείτε να εξετάσετε την γενική περίπτωση: Έστω ότι έχουμε την ελαστική σύγκρουση δύο μαζών m και Μ σε 1-Δ. Η m αρχικά κινείται με ταχύτητα V ενώ η Μ είναι ακίνητη. Θα δούμε αργότερα ότι οι ταχύτητες των μαζών μετά τη σύγκρουση δίνονται από: V m = m M m + M V και V M = Προσέξετε ότι η απάντηση είναι της μορφής: Οριακές συνθήκες: m=m V m = 0 και V M = V 2m m + M V V f m M m V m = V V M = V Γνωστή περίπτωση από μπιλιάρδο V m M 1 m M + 1 2 m M m M + 1 M V M =0 m<<m V m V και V M 0 Γνωστή περίπτωση τοίχου (Μ>>m) m>>m V m V και V M 2V Απρόσμενο αποτέλεσμα!!?? 15

Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε την κίνηση σε μία διάσταση. Ευθύγραμμη κίνηση Η κίνηση ενός σώματος είναι η συνεχής αλλαγή της θέσης του. Μεταφορική Παράδειγμα: Ένα αυτοκίνητο που κινείται στον δρόμο. Περιστροφική Παράδειγμα: Η περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. Ταλάντωση Παράδειγμα: Η παλινδρομική κίνηση ενός εκκρεμούς. 16

Μοντέλο σωματιδίου Θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο του σωματιδίου. Το σωματίδιο είναι ένα αδιάστατο σώμα, δηλαδή ένα σώμα που έχει πεπερασμένη μάζα αλλά απειροστό μέγεθος. Θέση Η θέση ενός σώματος είναι το σημείο που βρίσκεται σε σχέση με κάποιο επιλεγμένο σημείο αναφοράς. Θεωρούμε το σημείο ως αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων. Μας ενδιαφέρει μόνο η μεταφορική κίνηση του αυτοκινήτου, οπότε το μοντελοποιούμε ως σωματίδιο. 17

Γράφημα θέσης-χρόνου Η κίνηση του σωματιδίου (αυτοκινήτου) φαίνεται στο γράφημα θέσης-χρόνου. Η ομαλή καμπύλη είναι μια εικασία για το τι συνέβη στα διαστήματα μεταξύ των σημείων των δεδομένων. Στον πίνακα δίνονται τα πραγματικά δεδομένα που συλλέχθηκαν κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώματος (αυτοκινήτου). Ορίζουμε ότι η θετική φορά είναι προς τα δεξιά. 18

Μετατόπιση Η μετατόπιση ορίζεται ως η μεταβολή της θέσης κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος. Συμβολίζεται με Δx x f x i Οι μονάδες μέτρησης στο SI είναι τα μέτρα (m). Η Δx μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Η μετατόπιση διαφέρει από την απόσταση. Η απόσταση είναι το μήκος της τροχιάς που ακολουθεί ένα σωματίδιο. Υποθέστε ότι ένας παίκτης ξεκινάει από το ένα άκρο, διατρέχει όλο το γήπεδο μέχρι το άλλο άκρο και μετά επιστρέφει εκεί από όπου ξεκίνησε. Η απόσταση είναι διπλάσια από το μήκος του γηπέδου. Η απόσταση είναι πάντα θετική. Η μετατόπιση είναι ίση με μηδέν. Δx x f x i = 0 επειδή x f = x i 19

Διανυσματικά και βαθμωτά μεγέθη Για να ορίσουμε πλήρως ένα διανυσματικό μέγεθος, πρέπει να ορίσουμε το μέτρο (μέγεθος ή αριθμητική τιμή) και την κατεύθυνσή του (δηλαδή τη διεύθυνση και τη φορά του). Στο κεφάλαιο αυτό, για να δηλώσουμε τη φορά ενός διανύσματος κατά μήκος διεύθυνσής του θα χρησιμοποιούμε τα πρόσημα (+) και ( ). Τα βαθμωτά μεγέθη έχουν μόνο αριθμητική τιμή. της Η μέση ταχύτητα: είναι ο ρυθμός της μετατόπισης. v x,μέση = Δx Δt Η μέση αριθμητική ταχύτητα είναι βαθμωτό μέγεθος. Έχει τις ίδιες μονάδες μέτρησης με την ταχύτητα Ορίζεται ως η συνολική απόσταση/συνολικό χρόνο: v μέση = d Δt Η μέση ταχύτητα και η μέση αριθμητική ταχύτητα δεν παρέχουν πληροφορίες για τις λεπτομέρειες της διαδρομής. Δεν έχει κατεύθυνση και εκφράζεται πάντα ως θετικός αριθμός. 20

Παράδειγμα Μετατόπιση και Μέση ταχύτητα Ένας κομήτης πλησιάζει τον ήλιο. Την στιγμή t 1 βρίσκεται στη θέση x 1 = 3.0 10 12 m ενώ ένα χρόνο μετά βρίσκεται στη θέση x 2 = 2.1 10 12 m. Να βρεθεί η μετατόπιση και η μέση διανυσματική ταχύτητα του κομήτη. Η μετατόπιση του κομήτη είναι: Η μέση διανυσματική ταχύτητα του κομήτη είναι: Δx = x 2 x 1 = 2.1 10 12 3.0 10 12 = 0.9 10 12 m υ = Δx Δt = x 2 x 1 3.16 10 7 sec = 9.0 1011 m 3.16 10 7 sec = 2.85 10 4 m/s = 28.5km/s 1 έτος = 365 ημέρες, 1 ημέρα = 24 ώρες, 1 ώρα = 60 λεπτά, 1 λεπτό = 60 sec, 1 έτος = 365 x 24 x 60 x 60 = 3.16 x 10 7 sec Τόσο η μετατόπιση όσο και η μέση διανυσματική ταχύτητα του κομήτη είναι αρνητικές μια και ο κομήτης κινείται προς μικρότερες τιμές του x 21

Παράδειγμα Μετατόπιση και Μέση ταχύτητα Στο αγώνισμα των 100m, καλύπτετε την απόσταση των 50m με μέση διανυσματική ταχύτητα 10m/s και τα επόμενα 50m με μέση διανυσματική ταχύτητα 8m/s. Ποια η μέση διανυσματική ταχύτητά σας στο αγώνισμα αυτό; Η ολική μετατόπιση είναι: Δx = x 2 x 1 = 100m Χρειάζεται να βρούμε τον ολικό χρόνο κίνησης t ολ : είναι ο χρόνος Δt 1 για τα πρώτα 50m και ο Δt 2 για τα τελευταία 50m: Δt ολ = Δt 1 + Δt 2 Για να βρούμε τον χρόνο Δt 1 και Δt 2 χρησιμοποιούμε τον ορισμό της μέσης διανυσματικής ταχύτητας: υ = Δ x Δ x Δt = Δt υ Αντικαθιστώντας την ταχύτητα για τα πρώτα 50m και αυτή για τα τελευταία 50m έχουμε: Δt 1 = Δ x 1 υ 1 = 50m 10m/s O ολικός χρόνος κίνησης είναι: Δt 1 = 5sec και αντίστοιχα: Δt 2 = Δ x 2 υ 2 Δt ολ = 5 + 6.25 = 11.25 sec H μέση διανυσματική ταχύτητα για το αγώνισμα αυτό ήταν: = 50m 8m/s = 6.25 sec υ = Δ x Δt = 100 11.25 υ = 8.89m/sec 22

Διαφορικός λογισμός Έστω y = f(x) μια συναρτησιακή σχέση της μεταβλητής y ως προς την μεταβλητή x: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d H παράγωγος του y ως προς το χ ορίζεται ως το όριο των κλίσεων των χορδών που φέρονται μεταξύ 2 σημείων στην γραφική παράσταση του y ως προς το x καθώς το x τείνει στο μηδέν dy y y( x x) y( x) lim lim dx x x x 0 x 0 x 1 x 0 y 2 y 1 Δx x 2 Δy Η παράγωγος του αθροίσματος 2 συναρτήσεων είναι d dx f(x) = d dx g(x) + h(x) = d dx g(x) + d dx h(x) Η παράγωγος του γινομένου 2 συναρτήσεων είναι d dx f(x) = d dx g(x)h(x) = h dg dx + g dh dx Πηλίκο δύο συναρτήσεων? d dx g(x) h(x) = h dg dx g dh dx h 2 23

Διαφορικός λογισμός Αν y = f(x) και x είναι συνάρτηση μιας άλλης μεταβλητής z τότε dy dx = dz dy dx dz Η δεύτερη παράγωγος της y ως προς x ορίζεται τυπολόγιο d dx axn = nax n 1 d 2 y dx 2 = d dx dy dx d dx sin a x = a cos a x d dx cos a x = a sin a x d ax ( e ) ae dx ax d dx ln( ax) a x 24

Στιγμιαία ταχύτητα Το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το χρονικό διάστημα τείνει να γίνει απειροστά μικρό, ή καθώς το χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν. Η στιγμιαία ταχύτητα δείχνει τι συμβαίνει σε κάθε χρονική στιγμή. Η στιγμιαία ταχύτητα είναι η κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης x-t. Η πράσινη ευθεία Καθώς το Δt παίρνει μικρότερες τιμές, οι γαλάζιες ευθείες προσεγγίζουν την πράσινη ευθεία. Η κλίση ενός γραφήματος φυσικών δεδομένων αναπαριστά τον λόγο της μεταβολής του μεγέθους που αναπαρίσταται στον κατακόρυφο άξονα προς τη μεταβολή του μεγέθους που αναπαρίσταται στον οριζόντιο άξονα. Η κλίση έχει μονάδες. Εκτός αν και οι δύο άξονες έχουν τις ίδιες μονάδες. 25

Στιγμιαία ταχύτητα Εξισώσεις Η γενική εξίσωση για τη στιγμιαία ταχύτητα είναι: Η στιγμιαία ταχύτητα μπορεί να είναι θετική, αρνητική, ή μηδενική. Η στιγμιαία αριθμητική ταχύτητα (instantaneous speed) είναι το μέτρο του διανύσματος της στιγμιαίας ταχύτητας. Η στιγμιαία αριθμητική ταχύτητα δεν έχει κατεύθυνση. Δ x v = lim Δt 0 Δt Σωματίδιο με σταθερή ταχύτητα Γράφημα Το γράφημα αναπαριστά την κίνηση ενός σωματιδίου με σταθερή ταχύτητα. Η κλίση του γραφήματος είναι ίση με την τιμή της σταθερής ταχύτητας. Η τομή με τον άξονα y (η τεταγμένη) είναι το x i. = d x dt 26

Παράδειγμα Μία μηχανή τύπου jet κινείται πάνω σε πειραματικές ράγες (άξονας x). Θα υποθέσουμε ότι η μηχανή είναι σημείο. Η θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου δίδεται από την εξίσωση x = At 2 + B, όπου A = 2.10 m/s 2 και B = 2.80 m. (α) Προσδιορίστε τη μετατόπιση της μηχανής για το χρονικό διάστημα μεταξύ t 1 = 3.00 s και t 2 = 5.00 s. (β) Προσδιορίστε τη μέση ταχύτητα. (γ) Προσδιορίστε τη στιγμιαία ταχύτητα στο σημείο t = 500 s. x 1 = At 2 1 + B = 2.10 m s 2 x 2 = At 2 2 + B = 2.10 m s 2 3.00s 2 + 2.80 m = 21.7m 5.00s 2 + 2.80 m = 55.3m α Δx = x 2 x 1 = 55.3m 21.7m = 33.6m (β) Μέση Ταχύτητα: Δv = v = Δx = x 2 x 1 Δt t 2 t 1 = 33.6m = 16.8 m/s 5s 3s (γ) Στιγμιαία Ταχύτητα στο P 2 dx d 2 v At B 2At dt dt v P m s s 2 ( 2) 2(2.10 / )(5.00 ) 21.0 m s 27

Μέση επιτάχυνση Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. Η μέση τιμή της μεταβολής από t i t f a = Δv(t) Δt = v(t + Δt) v(t) (t + Δt) t = v(t + Δt) v(t) Δt Στιγμιαία επιτάχυνση Η στιγμιαία επιτάχυνση είναι το όριο της μέσης επιτάχυνσης καθώς το Δt τείνει στο 0. Όταν Δt 0 a t = lim Δt 0 v t + Δt v t Δt = dv t dt με μονάδες: [ L] 2 = m/ s2 T [ ] Η επιτάχυνση ισούται με την κλίση του γραφήματος ταχύτητας-χρόνου. Η κλίση της πράσινης ευθείας είναι η στιγμιαία επιτάχυνση. Η κλίση της μπλε ευθείας είναι η μέση επιτάχυνση. 28

Σύγκριση γραφημάτων Με δεδομένο το γράφημα μετατόπισης- χρόνου (α) Βρίσκουμε το γράφημα ταχύτηταςχρόνου μετρώντας την κλίση του γραφήματος θέσης-χρόνου σε κάθε χρονική στιγμή. Βρίσκουμε το γράφημα επιτάχυνσηςχρόνου μετρώντας την κλίση του γραφήματος ταχύτητας-χρόνου σε κάθε χρονική στιγμή. Όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος έχουν την ίδια κατεύθυνση, το επιταχύνει. Όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος έχουν αντίθετη κατεύθυνση, το επιβραδύνει. σώμα σώμα 29

Παράδειγμα Η θέση ενός σώματος συναρτήσει του χρόνου δίνεται από την εξίσωση x = C t 3 όπου C μια σταθερά με διαστάσεις m/sec 3. Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος συναρτήσει του χρόνου. Η ταχύτητα του σώματος βρίσκεται εφαρμόζοντας τον ορισμό της στιγμιαίας ταχύτητας: υ = dx dt = d dt Ct3 υ = 3Ct 2 Η επιτάχυνση του σώματος βρίσκεται από: a = d2 x dt 2 = d dt dx dt = dυ dt a = d dt 3Ct2 = 6Ct Διαστασιακά οι 2 εξισώσεις είναι σωστές εφόσον: υ = C t 2 = m sec a C t sec 3 2 m sec 3 sec2 = m sec m sec 30

Οι εικόνες του αυτοκινήτου ισαπέχουν. Το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή θετική ταχύτητα. Η επιτάχυνση είναι μηδενική. Οι εικόνες του αυτοκινήτου απομακρύνονται μεταξύ τους με το πέρασμα του χρόνου. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν την ίδια κατεύθυνση. Η επιτάχυνση είναι σταθερή (τα μοβ βέλη έχουν σταθερό μήκος). Η ταχύτητα αυξάνεται (το μήκος των κόκκινων βελών αυξάνεται). Αυτό υποδηλώνει ότι η επιτάχυνση και η ταχύτητα είναι θετικές. 31

Οι εικόνες του αυτοκινήτου πλησιάζουν μεταξύ τους με το πέρασμα του χρόνου. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Η επιτάχυνση είναι σταθερή (τα μοβ βέλη έχουν σταθερό μήκος). Η ταχύτητα μειώνεται (το μήκος των κόκκινων βελών μειώνεται). Η ταχύτητα είναι θετική ενώ η επιτάχυνση είναι αρνητική. 32

Καμπύλη μετατόπισης-χρόνου Η κλίση της καμπύλης ισούται με την ταχύτητα. Η καμπύλη γραμμή δείχνει ότι η ταχύτητα μεταβάλλεται. Άρα, υπάρχει επιτάχυνση. Καμπύλη ταχύτητας-χρόνου Η κλίση δίνει την επιτάχυνση. Η ευθεία υποδεικνύει ότι η επιτάχυνση σταθερή. είναι Καμπύλη επιτάχυνσης-χρόνου Η μηδενική κλίση δείχνει ότι η επιτάχυνση είναι σταθερή. 33

Ολοκληρωτικός λογισμός Θεωρούμε την ολοκλήρωση ως το αντίστροφο της διαφόρισης: dy f x dy f x dx dx Μπορούμε να βρούμε την y(x) αθροίζοντας για όλες τις τιμές του x. Αυτή η αντίστροφη πράξη γράφεται y x = f(x)dx Το ολοκλήρωμα ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα επειδή η τιμή του εξαρτάται από τη τιμή της σταθεράς c. To αόριστο ολοκλήρωμα ορίζεται ως: I x = f x dx Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται ολοκληρωτέα συνάρτηση: f(x) = di(x) dx Για μια συνεχή συνάρτηση το ολοκλήρωμα μπορεί να περιγραφεί σα το εμβαδό που ορίζεται από την καμπύλη της f(x) και του άξονα x, μεταξύ 2 ορισμένων τιμών x 1 και x 2 Οριμένο ολοκλήρωμα 34

Ολοκληρωτικός λογισμός Ένα από τα πιο χρήσιμα ολοκληρώματα που συναντιούνται είναι: x n dx = xn+1 n + 1 + c π.χ. για μιά συνάρτηση f(x) = 3ax 2 + b η παραπάνω ολοκλήρωση δίνει y x = Διαφόριση του δεξιού μέλους δίνει f(x) = x n. Aν τα όρια της ολοκλήρωσης είναι γνωστά τότε το ολοκλήρωμα δίνει: Μερικοί τρόποι ολοκληρώσεως Ολοκλήρωση κατά παράγοντες: 3ax 2 + b dx = ax 3 + bx + c x n x n+1 x 2 dx = = x 2 n+1 n+1 x 1 n + 1 x1 n + 1 udv = uv vdu Για παράδειγμα: I(x) = x 2 e x dx = x 2 d(e x ) = x 2 e x 2 e x xdx + c 1 u Επαναλαμβάνοντας στο δεύτερο όρο έχουμε v 2 e x xdx = 2e x x + 2 e x dx = 2e x x + 2e x + c 2 I x = x 2 e x 2e x x + 2e x + c 3 35

α(t) α Αν ξέρουμε την επιτάχυνση α, μπορούμε να βρούμε από τις προηγούμενες εξισώσεις την v και την x τη στιγμή t Πώς? Χρησιμοποιώντας την έννοια του ολοκληρώματος Γραφικά πρώτα n Χωρίζουμε το χρονικό διάστημα σε πολλά ισόχρονα διαστήματα Δt n. Ξέρουμε ότι v v = t t n n n n n Εμβαδό!! t i Δt n t f Αθροίζοντας όλα τα εμβαδά απο t i t f έχουμε: v = t n n Στο όριο n, δηλαδή Δt n 0 η μεταβολή της ταχύτητας δίνεται από το εμβαδό της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη επιτάχυνσης - χρόνου n v lim n tn n n Στιγμιαία και όχι μέση τιμή α 36

Αν είναι γνωστή η καμπύλη επιτάχυνσης χρόνου, η μεταβολή της ταχύτητας βρίσκεται από το εμβαδό της επιφάνειας. To παραπάνω ορισμένο ολοκλήρωμα γράφεται lim a n Δt n = n n t i t fa t dt Γνωρίζοντας τη συνάρτηση α(t) μπορούμε υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα για τυχαία χρονική στιγμή t. a t = dv t dt v a t dt d t Επομένως σε μια χρονική στιγμή t η ταχύτητα είναι t t a t v v i t i t a t dt = v i v t = v tdv = vt v i t i t a t dt + v t i Αν t i = 0 συνήθως γράφουμε v(t i ) = v 0 v t = 0 t a t dt + v 0 37

Κατά τον ίδιο τρόπο γνωρίζοντας την ταχύτητα μπορούμε να βρούμε την μετατόπιση v( t) = dx dt Δύο εξισώσεις κίνησης ανάλογα με το πρόβλημα που δίνεται v t t a t dt v (Α) 0 t 0 0 t t dt dx x x x v 0 xi t 0 0 x t x t dt (Β) Αν v(t) είναι σταθερή π.χ. v = v 0 0 0 i x t x t i x t x0 (Β) x t x v t dt 0 v x t x v t 38

Κίνηση σε μία διάσταση - Ανακεφαλαίωση Διάνυσμα θέσης τροχιάς: Μετατόπιση: Χρονικό διάστημα Μέση ταχύτητα r = xiˆ r r ˆ f ri x f xi i t t t v= r x iˆ t t f (για >1-διαστάσεις: i Προσοχή r xiˆ yj ˆ zkˆ v = d at διαδρομή Βαθμωτό μέγεθος Στιγμιαία ταχύτητα Μέση επιτάχυνση Στιγμιαία επιτάχυνση r dr dx v= lim i ˆ t 0 t dt dt v( t) v( t t) v( t) a t t a t t t t d t v v v lim t 0 t dt παράγωγος Δύο εξισώσεις κίνησης ανάλογα με το πρόβλημα που δίνεται t a t dt v0 v t 0 (Α) x x v( ) 0 t dt 0 t (Β) 39

Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση, α(t) =σταθ. Από την εξίσωση κίνησης Αντικαθιστώντας στην 1 2 x x0 at v0t 2 2 t t 0 v= a t dt v 0 t v 0 t v x x t dt t t t x x at dt x at dt v dt 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v= at v 1 Λύνοντας ως προς t στην εξίσωση (1) και αντικαθιστώντας στην (2): 2a x x 0 = v 2 v 0 2 (3) Λύνοντας ως προς α (επιτάχυνση) στην (1) και αντικαθιστώντας στην (2) 1 x x0 v v 0 t 2 4 40

Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση 2 σώματα Ένα αυτοκίνητο που κινείται με ταχύτητα 25m/s αρχίζει καταδιώκεται από ένα τροχονόμο ο οποίος ξεκινά από την κατάσταση ηρεμίας και επιταχύνει με ρυθμό 5m/s 2 την στιγμή που περνά μπροστά από το τροχονόμο. (α) Μετά από πόσο χρόνο το τροχονόμο φθάνει το αυτοκίνητο; (β) Ποια η ταχύτητα του τροχονόμου όταν φθάνει το αυτοκίνητο; (γ) Ποια η ταχύτητα του τροχονόμου όταν βρίσκεται 25m πίσω από το αυτοκίνητο; Γράφουμε τις εξισώσεις θέσης των 2 αυτοκινήτων συναρτήσει του χρόνου. Τη στιγμή που το τροχονόμο φθάνει το αυτοκίνητο οι θέσεις τους είναι ίδιες ενώ ο χρόνος κίνησης είναι ίδιος x Παράδειγμα a t a x τ = υ 0 τ t + 1 2 a τt 2 = 1 2 at2 υ a t = 1 2 a τt 2 t = 2 υ a = 2 25m/s a τ 5m/s 2 = 10s Τη στιγμή αυτή η ταχύτητα του τροχονόμου είναι: υ τ = a τ t = 5m/s 2 10s = 50m/s Η ταχύτητα του τροχονόμου όταν βρίσκεται 25m πίσω από το αυτοκίνητο είναι: υ τ = a τ t 1 Πρέπει να βρούμε τη χρονική στιγμή t 1 που η διαφορά θέσης, x α x τ των δυο αυτοκινήτων είναι 25m: Δx = x a x τ = υ a t 1 1 2 a τt 1 2 = 25 t 1 2 10t 1 + 10 = 0 t 1,2 = 10 ± 100 40 2 t1 5 15 8.87s 1 44.4 m/ s Οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: t1 5 15 1.13s 1 5.65 m/ s 41

θέση, m Παράδειγμα Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση 2 σώματα Οι δυο λύσεις που βρίσκουμε στο τελευταίο ερώτημα είναι αποδεκτές. Τα δυο αυτοκίνητα έχουν απόσταση 25m δυό φορές κατά τη διάρκεια της κίνησής τους: Στην αρχή της καταδίωξης και λίγο πριν το τροχονόμο φθάσει το αυτοκίνητο. Σε κάθε χρονική στιγμή, t, η απόσταση μεταξύ των δυο αυτοκινήτων είναι: 1 2 x s xa x at a t 2 H απόσταση αυτή είναι μέγιστη όταν: d dt s = 0 d dt υ at 1 2 a τt 2 = 0 υ a a τ t = 0 t = υ a = 5s a τ Σε ίσα χρονικά διαστήματα πριν και μετά το χρόνο των 5sec, η απόσταση των αυτοκινήτων είναι ίση όπως στην περίπτωση των 25m της άσκησης. Η χρονική στιγμή t 1 = 8.87sec είναι Δt = 8.87 5.0 = 3.87s από την χρονική στιγμή της μέγιστης απόστασης όπως και η χρονική στιγμή t 1 = 1.13s (Δt = 5 1.13 = 3.87s). Αυτό φαίνεται και από το γράφημα της θέσης των δυο αυτοκινήτων συναρτήσει του χρόνου. Η απόσταση ξεκινά από το 0, φθάνει σε μια μέγιστη τιμή και κατόπιν ελαττώνεται. 42

Παράδειγμα Πως διαβάζουμε γραφικές παραστάσεις. Στη γραφική παράσταση φαίνεται η ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου για δύο αυτοκίνητα που επιταχύνουν μεταξύ 0 και 100 km/h μέσα σε 10.0 s. Συγκρίνετε (α) τη μέση επιτάχυνση (β) τη στιγμιαία επιτάχυνση και (γ) τη συνολική απόσταση που διήνυσαν τα αυτοκίνητα. (α) Η μέση επιτάχυνση είναι η ίδια μιας και στον ίδιο χρόνο τα δύο αυτοκίνητα έχουν την ίδια μεταβολή στην ταχύτητά του. (β) Κοιτάμε την κλίση της καμπύλης. Στους πρώτους χρόνου το Α επιταχύνει περισσότερο αλλά προς το τέλος το Β επιταχύνει περισσότερο. (γ) Η απόσταση μπορεί να χαρακτηριστεί ως το εμβαδόν της καμπύλης. Βλέπουμε ότι η καμπύλη για το Α έχει μεγαλύτερο εμβαδόν (περιοχή κάτω από την καμπύλη). Διαφορετικά βλέπουμε ότι το Α έχει πάντα μεγαλύτερη ταχύτητα από το Β. 43

Παράδειγμα Ένα τρένο κινείται μεταξύ 2 σταθμών. Επειδή η απόσταση μεταξύ των δυο σταθμών είναι μόλις 1km, το τρένο ποτέ δεν αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του. Ο μηχανικός ελαχιστοποιεί το χρόνο κίνησης μεταξύ των 2 σταθμών επιταχύνοντας αρχικά με ρυθμό α 1 = 0.100 m/s 2 για χρόνο t 1 και κατόπιν επιβραδύνει με επιτάχυνση α 2 = -0.500 m/s 2 για χρόνο t 2. Να βρεθεί ο συνολικός χρόνος κίνησης t και ο χρόνος t 1 Έστω ότι το τρένο καλύπτει απόσταση x 1 με α 1 και χρόνο t 1 και απόσταση x 2 με α 2 και χρόνο t 2. (Α Β) επιταχυνόμενη κίνηση A B C x 1 x 2 v f = v 0 + a 1 t 1 v f = a 1 t 1 (1) x 1 = x 0 + v 0 t 1 + 1 2 a 1t 1 2 x 1 = 1 2 a 1t 1 2 (2) d (Β C) επιβράδυνση v f = v i a 2 t 2 v i = v f = a 1 t 1 0 = a 1 t 1 a 2 t 2 t 2 = a 1 a 2 t 1 (3) x 2 = x c + v i t 2 1 2 a 2t 2 2 Από το (1) Από το (3) x 2 = a 1 t 1 a 1 a 2 t 1 1 2 a 2 x 2 = a 1 t 1 t 2 1 2 a 2t 2 2 a 1 a 2 t 1 2 x 2 = 1 2 a 1 2 a 2 t 1 2 a 1 2 a 2 t 1 2 (4) Αλλά d = x 1 + x 2 (5) Από το (2), (4) d = 1 2 a 1t 2 1 + 1 t 1 = 2 Από το (3) t 2 = 25.8 sec t ολ = t 1 + t 2 = 154.9 sec 2d a 1 + a 1 2 a 2 t 1 = 129.1 sec 44