Εργασία στο μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία στο μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο:

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ Το παρακάτω σχέδιο μαθήματος απευθύνεται στη κατάκτηση από τους μαθητές Ε Δημοτικού του γνωστικού αντικειμένου της Στατιστικής, και συγκεκριμένα του μέσου όρου. Στο σχολικό εγχειρίδιο το συγκεκριμένο θέμα εντοπίζεται στην 3 η ενότητα και στο 21 ο κεφάλαιο. Το σχέδιο δεν μπορεί να υλοποιηθεί μόνο σε ένα 2ωρο καθώς περιλαμβάνει αρκετές δραστηριότητες (και εκτενή περιγραφή των κριτηρίων επιλογής τους) ώστε να κατανοηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο η έννοια αυτή παράλληλα με την καλλιέργεια αρκετών δεξιοτήτων. Κύριος διδακτικός σκοπός του μαθήματος : Οι μαθητές και οι μαθήτριες να μπορούν να λύνουν προβλήματα της καθημερινής ζωής όπου χρειάζεται να βρουν τον μέσο όρο των δεδομένων. Στόχοι Διδασκαλίας: Σ1 : Να είναι ικανοί να κατανοούν την αναγκαιότητα της εύρεσης και της χρήσης του μέσου όρου όταν το πλήθος των μετρήσεων είναι πολύ μεγάλο. Σ2: Να κατανοήσουν οι μαθητές και οι μαθήτριες την αξία του μέσου όρου σε σχέση με τη διατύπωση των υποθέσεων, αλλά και ότι ο ίδιος βοηθάει στην σύγκριση και την πρόβλεψη. Σ3: Να κατανοήσουν ότι ο μέσος όρος ορίζεται ως το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος αριθμών με το πλήθος αυτών. Σ4: Να κατανοήσουν ότι ο μέσος όρος δεν αποτελεί πάντοτε και σε κάθε περίπτωση σωστό κριτήριο για τα δεδομένα που έχουμε. Προαπαιτούμενες γνώσεις: Προκειμένου η διδασκαλία να στεφθεί με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη επιτυχία, απαιτείται να προϋπάρχουν στους μαθητές και τις μαθήτριες κάποιες γνώσεις, έτσι ώστε αυτοί να είναι ικανοί να ακολουθούν με μια συνέπεια τη ροή του μαθήματος. Οι γνώσεις που απαιτείται να προϋπάρχουν από την πλευρά των μαθητών όσον αφορά τη συγκεκριμένη ενότητα είναι οι ίδιοι να μπορούν να αναγνωρίζουν και να αποκωδικοποιούν, με κάποια ευκολία, γραφήματα και πίνακες δεδομένων, να μπορούν να χρησιμοποιούν τους νοερούς υπολογισμούς για μια γρήγορη εκτίμηση, αφού κάποιες υποθέσεις προηγούνται της ακριβής προσέγγισης των δεδομένων και να μπορούν να διαιρούν φυσικούς ή δεκαδικούς με φυσικούς.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Ερώτημα 1: ( ΒΙΩΝΟΝΤΑΣ ΤΟ ΓΝΩΣΤΟ) Επέλεξα την ακόλουθη δραστηριότητα διότι βασίζεται στις καθημερινές εμπειρίες των μαθητών και παράλληλα θα με βοηθήσει να οικοδομήσω τη νέα γνώση στις προϋπάρχουσες γνώσεις. Αποτελεί μια δραστηριότητα χαμηλού επιπέδου αλλά σε αυτό το αρχικό στάδιο μας διευκολύνει να αναδείξουμε αργότερα τη σπουδαιότητα εύρεσης του μέσου όρου. Η δραστηριότητα ερώτημα είναι το εξής: Έχουμε δύο ομάδες παιδιών. Στην ομάδα Άλφα ανήκουν 7 παιδιά και το καθένα έχει 5, ενώ στην ομάδα Βήτα ανήκουν 10 παιδιά και το καθένα έχει 4. Ποια ομάδα έχει τα περισσότερα ευρώ; Σε ποια ομάδα τα παιδιά είναι πιο πλούσια; Με τις απαντήσεις που θα δώσουν οι μαθητές στα παραπάνω 2 ερωτήματα θα διαπιστώσουν ότι παρά το γεγονός ότι μια ομάδα μπορεί να έχει περισσότερα ευρώ, πιο πλούσια είναι τα παιδιά της άλλης ομάδας διότι το κάθε παιδί χωριστά έχει περισσότερα χρήματα. Ερώτημα 2: (ΒΙΩΝΟΝΤΑΣ ΤΟ ΝΕΟ)- Απευθύνεται στους στόχους Σ1,Σ2,Σ3 Επιλέγω να συνεχίσω στην ίδια δραστηριότητα ώστε να υπάρχει ένα κοινό σενάριο, μια κοινή ιστορία, τουλάχιστον στην αρχή της διδασκαλίας, ώστε οι μαθητές να ακολουθήσουν ένα συλλογισμό όπου βήμα- βήμα θα τους οδηγήσει από αυτά τα οποία γνωρίζουν(όπως αυτά στο βιώνοντας το γνωστό) σε νέα γνωστικά αντικείμενα και συγκεκριμένα στο μέσο όρο. Η ακόλουθη είναι μια ανακαλυπτική δραστηριότητα καθώς μέσω αυτής, οι μαθητές οδηγούνται στο να ανακαλύψουν μόνοι τους τον αλγόριθμο του μέσου όρου καθώς επίσης και στο να κατανοήσουν το λόγο της δημιουργίας της συγκεκριμένης έννοιας από τους μαθηματικούς. Συνεχίζοντας, ως δεύτερο ερώτημα, λοιπόν, θέτω το εξής: Τώρα έχουμε δύο νέες ομάδες παιδιών. Ποια ομάδα έχει τα περισσότερα ευρώ; Σε ποια ομάδα τα παιδιά είναι πιο πλούσια; Απάντησε σύμφωνα με τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα: ΑΛΦΑ ΟΜΑΔΑ ΒΗΤΑ ΟΜΑΔΑ Παιδί 1 5 Παιδί 1 3 Παιδί 2 6 Παιδί 2 4 Παιδί 3 10 Παιδί 3 3 Παιδί 4 5 Παιδί 4 3 Παιδί 5 2 Παιδί 5 7 Παιδί 6 3 Παιδί 6 1 Παιδί 7 4 Παιδί 7 10 Παιδί 8 5

Σ αυτήν την περίπτωση η συζήτηση ξεκινάει από τις ομοιότητες και τις διαφορές ανάμεσα στα δυο προβλήματα. Στόχος είναι να κατανοήσουν τα παιδιά πως στο δεύτερο πρόβλημα το δεύτερο ερώτημα είναι δυσκολότερο να απαντηθεί, επειδή δεν έχουν όλα τα παιδιά τα ίδια χρήματα. Επιχειρώ, δηλαδή, να ωθήσω τα παιδιά να σκεφτούν πως για να γίνει εφικτή η σύγκριση πρέπει να μοιράσουμε εκ νέου τα λεφτά στα παιδιά της κάθε ομάδας, ώστε όλα να έχουν τα ίδια χρήματα. Τότε θα καταστεί εύκολη. Αυτή τη δουλειά εξάλλου κάνει και ο μέσος όρος. Θα διατυπώσω τις εξής ερωτήσεις με την παρακάτω σειρά για να καθοδηγήσω τους μαθητές: v Τι θέλετε να συγκρίνετε; v Ποιες ομοιότητες και ποιες διαφορές παρατηρείτε ανάμεσα στα δύο προβλήματα; v Ποιο από τα δύο ερωτήματα του δεύτερου προβλήματος σας δυσκολεύει; Για ποιον λόγο; v Τι θα μπορούσες να κάνεις για να διευκολύνεις τη σύγκριση; v Με ποιον ή ποιους τρόπους θα μπορούσες να μοιράσεις τα χρήματα στα παιδιά της κάθε ομάδας, ώστε όλα να έχουν τα ίδια λεφτά; Τώρα, αν τα παιδιά γνωρίζουν καλά την έννοια της διαίρεσης μπορούν πολύ εύκολα να λύσουν το παραπάνω πρόβλημα, να βρουν δηλαδή πόσα λεφτά θα έχει το κάθε παιδί σε κάθε ομάδα, αν όλα τα παιδιά έχουν τα ίδια χρήματα. Επειδή συνήθως δε συμβαίνει αυτό, θα συνέχιζα με την εξής πρακτική. Έστω για την Άλφα Ομάδα: θα τους παρουσίαζα το παρακάτω σχέδιο και θα τους ζητούσα το εξής:

v Μετακινείστε έτσι τα ευρώ ώστε κάθε παιδί να έχει ίσο αριθμό ευρώ με τα άλλα παιδιά.(δηλαδή δημιουργείστε ίσους - σε ύψος - «πύργους» ευρώ) Παιδί 1 Παιδί2 Παιδί 3 Παιδί 4 Παιδί 5 Παιδί 6 Παιδί 7 Μοιράζοντας τα ευρώ σε κάθε παιδί όπως ζητήθηκε, οι μαθητές στην ουσία έχουν μετατρέψει το δεύτερο πρόβλημα και του έδωσαν τη μορφή που είχε το πρώτο πρόβλημα προκειμένου να το λύσουν, αφού φυσικά ακολουθήσουν την ίδια διαδικασία και για τα παιδιά της Βήτα Ομάδας. Με αυτό τον τρόπο θα μπορέσουν να απαντήσουν στα αρχικά ερωτήματα σύγκρισης. Τέλος, θέτω το εξής ερώτημα: v Θα μπορούσα με τον παραπάνω τρόπο να συγκρίνω ποιας ομάδας τα παιδιά είναι πιο πλούσια αν είχα μεγαλύτερα νούμερα όπως αυτά του παρακάτω πίνακα; Αν όχι, βρες ένα γρήγορο τρόπο για να βρίσκεις τον αριθμό που αντιπροσωπεύει τα δεδομένα μιας ομάδας μέσο όρο, εμπλέκοντας τις τέσσερις πράξεις. ΑΛΦΑ ΟΜΑΔΑ ΒΗΤΑ ΟΜΑΔΑ Παιδί 1 120 Παιδί 1 583 Παιδί 2 266 Παιδί 2 244 Παιδί 3 510 Παιδί 3 453 Παιδί 4 325 Παιδί 4 963 Παιδί 5 802 Παιδί 5 847 Παιδί 6 853 Παιδί 6 241 Παιδί 7 754 Παιδί 7 510 Παιδί 8 245

Φυσικά, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να αντιστοιχίσουν τις πράξεις με ενέργειες πάνω στα χρήματα. Έτσι, η πρόσθεση όλων των τιμών αντιστοιχεί στην ένωση όλων των χρημάτων σε μια μεγάλη ομάδα, ενώ η διαίρεση ουσιαστικά είναι ο χωρισμός της μεγάλης ομάδας σε ίσους «πύργους» χρημάτων. Επέλεξα αυτό το ερώτημα διότι έτσι θα συνειδητοποιήσουν ότι δεν είναι εφικτό να χρησιμοποιούν την παραπάνω λογική του μοιράσματος στις περιπτώσεις που έχουμε μεγάλους αριθμούς και φυσικά δεν θα έχουμε πάντα μαζί μας τόσα κέρματα! Ως αποτέλεσμα, οι μαθητές καταλήγουν μόνοι τους στον αλγόριθμο του μέσου όρου (αφού εμείς αναφέρουμε άτυπα τον όρο <<μέσος όρος>>) και τη συνειδητοποίηση της χρησιμότητας της ύπαρξής του. Ερώτημα 3: (ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΟΝΟΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ)- Απευθύνεται στους στόχους Σ1,Σ2,Σ3 Αφού θα σημειώσουμε στο πίνακα όλες τις πιθανές στρατηγικές που θα προτείνουν οι μαθητές μου στο παραπάνω ερώτημα, θα κυκλώσω τον αριθμό που αντιστοιχεί στο μέσο όρο και ήταν η απάντηση που έδωσαν από μόνοι τους οι μαθητές στα παραπάνω ερωτήματα και θα ρωτήσω το εξής: v Τι συμπεραίνετε, λοιπόν, ότι είναι ο μέσος όρος και που πιστεύετε ότι χρησιμοποιείται; Όλη η τάξη θα ακούσει τις απαντήσεις σχετικά με το τι είναι και πού χρησιμεύει ο μέσος όρος και επειδή οι απαντήσεις ενδέχεται να είναι ασαφείς ή μη ολοκληρωμένες σε κάποιες περιπτώσεις, θα τους παρουσιάσω τα ακόλουθα ώστε όλοι οι μαθητές να αποκτήσουν μια ολοκληρωμένη γνώση πάνω στο θέμα: Ο αριθμός που βρήκατε στα παραπάνω ερωτήματα με σκοπό να μπορείτε να συγκρίνετε σε ποια ομάδα τα παιδιά είναι πιο πλούσια, στα μαθηματικά ονομάζεται ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ. Ο ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ είναι πολύ χρήσιμος σε διάφορες περιπτώσεις: v Όπως διαπιστώσατε μόνοι σας, μπορεί να αντιπροσωπεύσει μια ομάδα μετρήσεων (π.χ τα χρήματα που έχει «περίπου» κάθε παιδί σε μια ομάδα), v διευκολύνει τη σύγκριση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες ομάδες και v επιτρέπει τη πρόβλεψη μιας μέτρησης.

Έπειτα θα θέσω στους μαθητές το εξής ερώτημα: v Περιγράψτε μου τη στρατηγική που χρησιμοποιήσατε στο παραπάνω πρόβλημα όταν σας ζητήθηκε να βρείτε ένα γρήγορο τρόπο λύσης που να εμπλέκει κάποιες από τις τέσσερις πράξεις. Οι μαθητές θα μου περιγράψουν ουσιαστικά τον αλγόριθμο του μέσου όρου, δηλαδή ότι αρχικά προσθέτουμε μια σειρά από μετρήσεις που αφορούν στο ίδιο θέμα και έπειτα διαιρούμε το άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων. Η δασκάλα, επιβεβαιώνοντας τα όσα είπαν και διαπίστωσαν οι μαθητές μόνοι τους θα γράψει στο πίνακα το τύπο υπολογισμού του μέσου όρου, κωδικοποιώντας τα λόγια των μαθητών:!"ή!"#!"#$%ώ! Δραστηριότητα 2: (ΑΜΕΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ)- Απευθύνεται στους στόχους Σ1 και Σ3 Προκειμένου οι μαθητές να εξασκηθούν στη νέα γνώση και να μπορέσουν να αναπτύξουν μια οικειότητα με το νέο γνωστικό αντικείμενο, τη λειτουργία και το τύπο υπολογισμού του, ώστε να μπορέσουν αργότερα να εμβαθύνουν και να ασχοληθούν με δραστηριότητες υψηλότερου γνωστικού επιπέδου, επιλέγω στη παρούσα φάση να χρησιμοποιήσω μικρά προβλήματα υπολογισμού του μέσου όρου σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής ώστε να διατηρείται και το ενδιαφέρον των μαθητών. Η δραστηριότητα είναι η εξής: Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: v Ένας σταθμός της Εθνικής Μετεωρολογικής Υπηρεσίας κατέγραψε σε μια μέρα τις θερμοκρασίες 17,5 ο C, 24,3 ο C, 30,7 ο C και 27,5 ο C. Ποια είναι η μέση θερμοκρασία της ημέρας αυτής; v Το πρώτο εξάμηνο του 2003 οι γεννήσεις στη χώρα μας ήταν 66.116 και οι θάνατοι 47.012. Ποια ήταν η μέση μηνιαία αύξηση του πληθυσμού της χώρας για το διάστημα αυτό; v Η μητέρα ζύγιζε το μωρό μια φορά το μήνα. Σε 5 μήνες το βάρος του μωρού αυξήθηκε κατά 3,5 κιλά. Πόση είναι η μέση μηνιαία αύξηση του βάρους του μωρού; v Η Βενετία παίρνοντας τη βαθμολογία του Α' τριμήνου λυπήθηκε γιατί εκτίμησε ότι η βαθμολογία της ήταν χαμηλότερη από αυτήν του Α' τριμήνου

της περσινής χρονιάς. Παρατήρησε τους βαθμούς της. Εκτίμησε σωστά; Γιατί; Βαθμοί 2007: Γλώσσα: 8, Μαθηματικά 9, Ιστορία: 10, Φυσική: 8, Γεωγραφία: 10, Θρησκευτικά:10, Αγωγή: 10, Μουσική: 10, Τεχνικά: 10, Αγγλικά: 8 Βαθμοί 2008: Γλώσσα: 9, Μαθηματικά: 9, Ιστορία: 9, Φυσική: 9, Γεωγραφία:9, Θρησκευτικά: 10, Αγωγή: 9, Μουσική: 9, Τεχνικά: 10, Αγγλικά: 10 Δραστηριότητα 3: (ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ)- Απευθύνεται στους στόχους Σ2, Σ3 και Σ4 Σε αυτό το στάδιο επέλεξα να βάλω μια δραστηριότητα η οποία να περιλαμβάνει τρία βασικά σημεία που προωθούν τους μαθητές στη λειτουργική ανάλυση σχετικά με το μέσο όρο. Αρχικά, θέλησα να συνδέσω τη νέα γνώση με προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών όσον αφορά τη στατιστική σύμφωνα με το νέο πρόγραμμα σπουδών(2011)(ερώτημα β). Συγκεκριμένα, χρησιμοποίησα τη σύνδεση του μέσου όρου με τις γνώσεις τους στους διάφορους τρόπους αναπαράστασης των δεδομένων και στον υπολογισμό της επικρατούσας τιμής και της διαμέσου, που μαζί με το μέσο όρο αποτελούν τα μέτρα θέσης. (Οι μαθητές σύμφωνα με το νέο πρόγραμμα σπουδών που προτείνεται, έχουν διδαχθεί τα υπόλοιπα μέτρα θέσης σε προηγούμενες τάξεις.) Έπειτα, αποφάσισα για μια ακόμα φορά να ωθήσω τους μαθητές να συνειδητοποιήσουν τη λειτουργία, το ρόλο αλλά και τους περιορισμούς του γνωστικού αντικειμένου που πρέπει να κατακτήσουν(ερώτημα γ) και τέλος να αναλύσουν συλλογισμούς και λύσεις καταλήγοντας με επιχειρήματα στη καταλληλότερη μέθοδο( ερώτημα α). Ακολουθεί η υψηλού επιπέδου δραστηριότητα: Το Υπουργείο Παιδείας αποφάσισε να δωρίσει βιβλία στους μαθητές που πηγαίνουν στην Ε τάξη σε 8 σχολεία μιας πόλης. Ο Υπουργός πρότεινε να δώσουν τον ίδιο αριθμό βιβλίων σε όλα τα σχολεία, για αυτό και βασίστηκε στο μέσο όρο των μαθητών που είναι 15. α)ξέρουμε ότι τρία από τα σχολεία είχαν 5,8 και 11 μαθητές αντίστοιχα. Εκτιμείστε με ακρίβεια πόσους μαθητές θα μπορούσε να έχει κάθε ένα από τα υπόλοιπα σχολεία ώστε να διατηρείται ο μέσος όρος 15. Να παρακολουθήσετε στο πίνακα όλες τις στρατηγικές των συμμαθητών σας και να αναλύσετε το συλλογισμό τους.

(Οι μαθητές στο σημείο αυτό μπορεί να παρουσιάσουν διάφορους αριθμούς και στρατηγικές εύρεσής τους όπως π.χ. 5,8,11,25,22,29,15,15 γιατί 5+25=30, 8+22=30, 11+19= 30. Δηλαδή, να αναλύσουν το συλλογισμό και να συμπεράνουν ότι για κάθε ζευγάρι αριθμών το άθροισμα θα πρέπει να είναι 30 ή το άθροισμα 3 αριθμών να είναι 45, ή μπορώ να πάρω οποιουσδήποτε αριθμούς θέλω που να έχουν άθροισμα 120). Στο σημείο αυτό, έπειτα από κάθε απάντηση ενός μαθητή θα θέτω το εξής ερώτημα για να φανεί ο συλλογισμός: v Πώς σκέφτηκες; Ποιος είναι ο συλλογισμός σου; β)έστω ότι οι μαθητές στα σχολεία είναι 5,8,11,25,22,19,15 και 15. Οργανώστε τα δεδομένα σε πίνακα και έπειτα αναπαραστήστε τα με όποιο τρόπο επιθυμείτε. Έπειτα, υπολογίστε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο των δεδομένων και συζητείστε τι πληροφορίες μπορούμε να αντλήσουμε από το καθένα. γ)τέλος, θεωρείτε ότι το κριτήριο του μέσου όρου με το οποίο μοιράστηκαν τα βιβλία ήταν το κατάλληλο; Αν όχι, πότε πιστεύετε ότι δεν αποτελεί κατάλληλο κριτήριο για τα δεδομένα μας; Δραστηριότητα 4: (ΚΡΙΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ)- Απευθύνεται στο στόχο Σ2 Αναμφίβολα, είναι πλέον αποδεκτό ότι τα λάθη και οι παρανοήσεις στα μαθηματικά δεν αποτελούν εμπόδιο στη μάθηση, αλλά μια εξαιρετική αφορμή για εμβάθυνση στο γνωστικό αντικείμενο που διδάσκουμε. Σύμφωνα με έρευνες, οι μαθητές δυσκολεύονται και αρκετές φορές απαντούν εσφαλμένα όταν ρωτώνται ποια είναι η αναμενόμενη αξία της παρατήρησης μιας τυχαίας μεταβλητής για την οποία η μέση τιμή του πληθυσμού είναι γνωστή. Για αυτό το λόγο, επιλέγω τη συγκεκριμένη (υψηλού επιπέδου) δραστηριότητα που παρά το γεγονός ότι οι μαθητές μπορεί να δυσκολευτούν, θα αποτελέσει εξαιρετική αφορμή ώστε να συνειδητοποιήσουν ακόμα καλύτερα το ρόλο και τη λειτουργία του μέσου όρου. Θέτω λοιπόν το εξής πρόβλημα: Γνωρίζεις ότι ο μέσος όρος της προφορικής βαθμολογίας όλων των μαθητών σε ένα μεγάλο δημοτικό σχολείο είναι 400. Διαλέγεις στη τύχη 5 μαθητές του σχολείου. Οι 4 από αυτούς τους μαθητές έχουν τις ακόλουθες προφορικές βαθμολογίες: 380, 400, 600, 400. Ποια νομίζεις ότι είναι η προφορική βαθμολογία του πέμπτου μαθητή; Για καθοδήγηση των μαθητών θα μπορούσα αν χρειαζόταν να θέσω και τις εξής ερωτήσεις:

v Τι θέλεις να προβλέψεις; v Με ποιο τρόπο η πρόβλεψή σου θα είναι ακριβής; v Πώς σκέφτηκες; Η «σωστή» απάντηση είναι το 400, ο μέσος όρος δηλαδή. Οι μαθητές ενδεχομένως να σκεφτούν ότι θα ήταν καλύτερο να υπολογίσουν τη βαθμολογία του τελευταίου μαθητή υπολογίζοντας τον αριθμό που θα «έκανε» το μέσο όρο των 5 βαθμολογιών 5 = 400, Άρα χ= 220). Ο αριθμός 220 είναι μια εκτίμηση αλλά όταν ζητάμε μια εκτίμηση- πρόβλεψη αναζητούμε την τιμή εκείνη που βρίσκεται πλησιέστερα στην πραγματική τιμή. Προκειμένου, λοιπόν, να την εντοπίζουμε λέμε την τιμή που αντιστοιχεί στο μέσο όρο ώστε να αποφύγουμε μεγάλες αποκλίσεις. Έτσι, οι μαθητές θα συνειδητοποιήσουν τη χρησιμότητα του μέσου όρου σε περιπτώσεις που χρειάζεται να προβλέψουμε και να κάνουμε εκτιμήσεις. Δραστηριότητα 5: (ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ)- Απευθύνεται στους στόχους Σ1 και Σ2 Η καλλιέργεια της δημιουργικής σκέψης είναι ένας από τους κυρίαρχους στόχους του σύγχρονου σχολείου(παράλληλα με την καλλιέργεια της κριτικής σκέψης). Υπάρχουν ποικίλες πρακτικές για να επιτύχουμε τον παραπάνω στόχο, τις οποίες επιλέγουμε και προσαρμόζουμε ανάλογα με το γνωστικό αντικείμενο που διδάσκουμε κάθε φορά. Στην προκειμένη περίπτωση, λοιπόν, επέλεξα την ακόλουθη δραστηριότητα στην οποία ενσωμάτωσα τον καταιγισμό ιδεών, μια πρακτική που εφαρμόζεται για ομαδική λύση προβλημάτων και τονίζει τη ποσότητα των ιδεών, γιατί υποστηρίζει πως η ποσότητα «τρέφει» τη ποιότητα (ερώτημα γ). Η κριτική ασκείται αφού συγκεντρωθούν οι δυνατές ιδέες και χρειάζεται η επιλογή της καταλληλότερης. Παράλληλα, για να καταστεί η δραστηριότητα δημιουργική επέλεξα να βάλω τους μαθητές στο ρόλο μικρών ερευνητών για να ελκύσει το ενδιαφέρον τους και στα επιμέρους ερωτήματα εντάσσω τη χρήση εκ μέρους των μαθητών ποικίλων γραφικών αναπαραστάσεων που ήδη γνωρίζουν (ερώτημα β) καθώς και την παραλλαγή των δεδομένων στο τελευταίο ερώτημα. Η Δραστηριότητα είναι η ακόλουθη: ΜΙΚΚΡΡΟΙ Ι ΕΕΡΡΕΕΥΥΝΗΤΤΕΕΣΣ Η τάξη σου αποφασίζει να διεξάγει μια έρευνα για τις ώρες ξεκούρασης και τις ώρες παιχνιδιού που έχετε όλοι οι μαθητές μέσα σε αυτή τη τάξη. α)συλλέξτε τα δεδομένα χωριστά για τις ώρες ξεκούρασης και χωριστά για τις ώρες παιχνιδιού και οργανώστε τα (θα εξυπηρετούσε η οργάνωση σε πίνακα). Γιατί αποφάσισες να οργανώσεις τα δεδομένα σου με αυτό τον τρόπο;

β)αναπαραστήστε τα δεδομένα με τουλάχιστον 3 διαφορετικούς τρόπους (θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε ραβδόγραμμα, σημειόγραμμα, εικονόγραμμα ή οποιοδήποτε άλλο τρόπο αναπαράστασης δεδομένων έχετε διδαχθεί). γ)συγκρίνετε κατά μέσο όρο τις ώρες ξεκούρασης με τις ώρες παιχνιδιού που έχετε. Δουλέψτε ομαδικά καταγράφοντας τις ιδέες όλων των μαθητών σχετικά με το πώς θα γίνει η σύγκριση και στο τέλος επιλέξτε τη καταλληλότερη μέθοδο. δ)αν ο μέσος όρος των ωρών ξεκούρασης των αγοριών ήταν ίσος με τον μέσο όρο ωρών ξεκούρασης των κοριτσιών, τι θα άλλαζε στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις; Δραστηριότητα 6: (ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ)- Απευθύνεται στους στόχους Σ1, Σ2, Σ3 και Σ4 Επιλέγω να οργανώσω και να διαθέτω ακόμα μία δραστηριότητα την οποία ονομάζω εναλλακτική και η οποία θα μπορούσε να φανεί χρήσιμη είτε για χρήση στη θέση των δραστηριοτήτων που προαναφέραμε είτε ως εργασία στο σπίτι για εξοικειωθούν οι μαθητές με το γνωστικό αντικείμενο και να χρησιμοποιηθεί και από το δάσκαλο ως μέσο τελικής αξιολόγησης. Η δραστηριότητα που ακολουθεί περιλαμβάνει ερωτήματα που μοιάζουν με αυτά με τα οποία ασχολήθηκαν οι μαθητές στην σχολική αίθουσα αλλά και ερωτήματα που βασίζονται σε συχνές παρανοήσεις των μαθητών πάνω στο θέμα του μέσου όρου. Να διευκρινίσουμε ότι η δραστηριότητα περιλαμβάνει ερωτήματα υψηλού γνωστικού επιπέδου αφού αποτελεί το μέσο της τελικής αξιολόγησης και οι μαθητές έχουν ασχοληθεί με το γνωστικό αντικείμενο του μέσου όρου στις προηγούμενες δραστηριότητες. Έτσι, αυτή η δραστηριότητα που ακολουθεί προσπαθούμε να είναι πιο σύνθετη. Σε ένα ασανσέρ υπάρχουν 10 άτομα, 4 γυναίκες και 6 άντρες. Το μέσο βάρος των γυναικών είναι 75 κιλά και το μέσο βάρος των αντρών είναι 85 κιλά. α)ποιος είναι ο μέσος όρος του βάρους των δέκα ατόμων που βρίσκονται μέσα στο ασανσέρ; Πώς σκέφτηκες; (το συγκεκριμένο ερώτημα αποτελεί μια <<παρανόηση>> εκ μέρους των μαθητών- ακόμα και φοιτητών- οι οποίοι! ) β)αν βγουν από το ασανσέρ 2 γυναίκες, τότε ο μέσος όρος του βάρος των γυναικών μέσα στο ασανσέρ γίνεται 90. Ποιος είναι ο μέσος όρος του βάρους των 2 γυναικών που βγήκαν;

γ)ποια μπορεί να είναι τα βάρη των υπόλοιπων 5 αντρών ώστε ο μέσος όρος του βάρους τους να είναι 85; Συμπλήρωσε τα υπόλοιπα βάρη: 80,.,.,.,.,. δ)ο μέσος όρος από το βάρος των τριών γυναικών είναι 80. Ποιο πρέπει να είναι το βάρος της τέταρτης γυναίκας για να έχουμε μέσο όρο 75; ε)το ασανσέρ ξαφνικά χάλασε! Μέσα σε ένα κουτί ασφαλείας υπήρχαν μπουκάλια με νερό. Ένας κύριος είπε ότι για μοιραστούν ισάξια τα μπουκάλια πρέπει να βασιστούν στο μέσο όρο. Συμφωνείτε ότι σε αυτή τη περίπτωση ο μέσος όρος αποτελεί σωστό κριτήριο; Αιτιολογείστε την απάντησή σας και να λάβετε υπόψη σας ότι όσο αυξάνεται το βάρος ο οργανισμός χρειάζεται περισσότερο νερό. Αξιολόγηση: Αρχικά, πραγματοποιείται διαγνωστική αξιολόγηση μέσω του ερωτήματος 1 της δραστηριότητας 1 (Βιώνοντας το γνωστό). Ακολουθεί διαμορφωτική αξιολόγηση μέσω όλων των άλλων δραστηριοτήτων εκτός της εναλλακτικής, η οποία αξιολόγηση είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς αποτελεί μια ανατροφοδοτική διαδικασία για το σχεδιασμό της διδασκαλίας αφού ο δάσκαλος μπορεί να στηριχτεί στα αποτελέσματά της ώστε να αντιληφθεί αν πρέπει να αλλάξει κάτι στη δραστηριότητα ή να συνεχίσει την υλοποίησή της για να επιτευχθούν οι στόχοι της. Τέλος, μέσω της εναλλακτικής δραστηριότητας(η οποία μπορεί να δοθεί και ως εργασία για το σπίτι) πραγματοποιούμε τελική αξιολόγηση ώστε να λάβουμε πληροφορίες σχετικά με το αν εκπληρώθηκαν οι στόχοι που είχαμε εξ αρχής θέσει. Βιβλιογραφία: Παραθέτω ορισμένες ενδεικτικές ηλεκτρονικές πηγές που χρησιμοποίησα και συμβουλεύτηκα ώστε να πραγματοποιήσω το παραπάνω σχεδιασμό: v http://nrich.maths.org/6345 v http://www.mathsisfun.com/mean.html v http://www.ugr.es/~batanero/articulos/errors.pdf v www.daskalosk.gr v http://users.sch.gr/theoarvani v http://imerologiodaskalou.blogspot.gr/2011/01/blog- post.html