Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες, προς τις πράξεις που θα εκτελούνται τελευταίες) 1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις 2. Δυνάμεις 3. Πολλαπλασιασμοί/(Διαιρέσεις) 4. Προσθέσεις/(Αφαιρέσεις) Παρατήρηση: Στο επίπεδο του λυκείου πρέπει να αναγνωρίσουμε οτι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι το ίδιο. Δηλαδη οτι μία αφαίρεση ισοδυναμεί με την πρόσθεση του αντίθετου: a b = a + ( b) Έτσι απο εδώ και πέρα θα γνωρίζουμε πως η αφαίρεση είναι κι αυτή ένα είδος πρόσθεσης.το ίδιο συμβαίνει και με τη διαίρεση: a b = a1 b Με προϋπόθεση οτι ξέρετε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό με τη γενική έννοια θα πρέπει να καταλαβένετε τα παρακάτω παραδείγματα στα οποία χρησιμοποιώ τις παρενθέσεις για να δειξω ποιές πράξεις πρέπει να προηγηθούν: 1.1.1 Παραδείγματα: 5 + 3 5 = 5 + (3 5) = 5 + 15 = 20 7 2 + 3 7 = (7 2 ) + (3 7) = 49 + 21 = 70 5 2 3 5 1 = 5 ((2 3 ) 5) 1 = 5 (8 5) 1 = 5 40 1 = 36 (5 7) 3 (5 1) = ( 2) 3 4 = ( 8) 4 = 32 1

2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Στη φυσική, πολλές φορές έχουμε έναν τύπο και ζήτάμε να υπολογίσουμε κάποιο άλλο μέγεθος εκτός από αυτό ως προς το οποίο είναι λυμένος ο τύπος. Χρειάζεται λοιπόν να μάθουμε πως θα λύνουμε τύπους (ή ισοδύναμμα εξισώσεις). Αν και στο επίπεδο του λυκείου αυτά θεωρούνται ήδη γνωστά, θα κάνουμε μια σύντομη και σίγουρα όχι λεπτομερή από μαθηματική άποψη εισαγωγή σε αυτό το θέμα. Ο λόγος είναι πως πολλοί μαθητές φτάνουν στο λύκειο χωρίς να έχουν μάθει να λύνουν εξισώσεις και αυτό τους κάνει αδύνατο να παρακολουθήσουν το μάθημα της φυσικής. Εδώ θα προσπαθήσουμε να μάθουμε επίλυση των απλών εξισώσεων φυσικής της Α λυκείου. Η διαδικασία είναι πολύ απλή. Ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα όσες φορές χρειαστεί: 1. Εντοπίζουμε τον όρο που έχει τη χαμηλότερη προτεραιότητα πράξεων με τον όρο που θέλουμε να αφήσουμε μόνο του. 2. Βρίσκουμε ποιά πράξη έχει ο όρος αυτός με το όρο ως προς τον οποίο λύνουμε 3. Κάνουμε την αντίθετη πράξη με τον όρο αυτό σε ολόκληρα τα δύο μελη της εξίσωσης. Παρατήρηση: Ο τρόπος που περιγράψαμε λύνει όλες σχεδόν τις εξισώσεις που χρειαζόμαστε στη φυσική Α λυκείου αλλά είναι απλά ένα πρώτο βήμα. Θα τον βελτιώσουμε παρακάτω. 2.1 Παραδείγματα: Έστω οτι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση y = αx + β ως προς x Στο πρώτο βήμα βρίσκουμε τον όρο με τη χαμηλότερη προτεραιότητα... ο όρος αυτός είναι το β που προστείθεται...κάνουμε λοιπόν την αντίθετη πράξη: αφαιρούμε το β και από τα δύο μέλη της εξίσωσης: y β = αx + β β y β = αx Έπειτα το τελευταίο που πρέπει να "διώξουμε" είναι το α. Αυτό πολλαπλασιάζεται με το x... Δηλαδή θα κάνουμε διαίρεση με α: y β α = αx α x = y β α 2

2.1.1 Άλλα παραδείγματα x x 0 = u(t t 0 ) ως προς u: Eδώ παρατηρομε οτι ο "άγνωστος" μας πολλαπλασιάζεται με όλο το t t 0. Δηλαδή δε μπορούμε να διώξουμε πρώτα το t 0. Πρέπει να το διώξουμε όλο μαζί διαιρώντας και τα δύο μέλη με t t 0 : x x 0 = u(t t 0 ) x x 0 t t 0 = u(t t 0) t t 0 u = x x 0 t t 0 u = u 0 + αt ως προς t: Πρώτα διώχνουμε το u 0 που έχει πρόσθεση με τον όρο μας (Ο όρος μας είναι προς το παρον το γινόμενο αt το οποίο προηγείται σαν πράξη): u = u 0 + αt u u 0 = u 0 + αt u 0 u u 0 = αt Τώρα μπορούμε να διώξουμε και το α διαιρώντας με αυτό: u u 0 = αt u u 0 α = αt α t = u u 0 α 3

3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μία δευτεροβάθμια εξίσωση έχει τη γενική μορφή: αx 2 + βx + γ = 0 Μία τέτοια εξίσωση μετασχηματίζεται μέσω των παρακάτω τύπων: = β 2 4αγ x 1, x 2 = β ± 2α στην α(x x 1 )(x x 2 ) = 0, η οποία έχει τις λύσεις: x = x 1 και x = x 2. 3.1 Παράδειγμα: Να βρεθεί το t για το οποίο ισχύει: 3t 2 15t + 12 = 0 Όπως βλέπουμε η παραπάνω εξίσωση περιέχει ένα τριώνυμο ως προς t. Ακολουθώντας τις παραπάνω σχέσεις για α = 3 β = 15 γ = 12 έχουμε: = ( 15) 2 4 3 12 = 255 144 = 81 και t 1, t 2 = 15 ± 81 2 3 Δηλαδή: t 1 = 4 και t 2 = 1. = 15 ± 9 6 Παρατήρηση: Στην πραγματικότητα η σχέση μας μετασχηματίστηκε ως εξής: 3t 2 15t + 12 = 0 3 (t 4) (t 1) = 0 Η οποία έχει λύσεις τις λύσεις που πήραμε παραπάνω. 4

4 ΜΟΝΑΔΕΣ ΣΤΟ S.I. Τα επτά θεμελιώδη μεγέθη και οι αντίστοιχες μονάδες τους στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Φυσικό Μέγεθος Μονάδα στο S.I. Σύμβολο Μονάδας Μήκος Μέτρο m Χρόνος Δευτερόλεπτο s Μάζα Χιλιόγραμμο (Κιλό) Kg Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος Ampere A Ποσότητα ύλης mol mol Θερμοκρασία Βαθμός Kelvin K Ένταση φωτεινής πηγής Candela Cd 5 ΠΡΟΘΕΜΑΤΑ ΜΟΝΑΔΩΝ Τα προθέματα των μονάδων φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Όνομα Σύμβολο Αξία Tera T 10 12 Giga G 10 9 Mega M 10 6 Kilo K 10 3 - - 10 0 = 1 deci d 10 1 centi c 10 2 mili m 10 3 mikro μ 10 6 nano n 10 9 pico p 10 12 6 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ α 0 = 1 α β α γ = α (β+γ) α β α γ = α(β γ) (α β ) γ = α (β γ) 1 α β = α β 5

7 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ Σε αυτή την παράγραφο, θα παρουσιάσουμε μέσα από παραδείγματα ένα τρόπο για να μετατρέπουμε από τη μία μονάδα στην άλλη. Ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε, δεν είναι ο ευκολότερος δυνατός... είναι όμως ένας γενικός τρόπος και μπορούμε να τον εφαρμόσουμε πάντα. Επίσης, ο τρόπος αυτός είναι μια καλή εξάσκηση επίλυσης εξισώσεων και συνιστώ στους αδύνατους κυρίως μαθητές να επιμείνουν και να εξασκηθούν σε αυτό τον τρόπο ώστε να κάνουν επ' ευκαιρίας και λίγη εξάσκηση στην επίλυση εξισώσεων. 7.0.1 Να μετατραπούν τα 8 Km σε m. Λύση Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, κάθε ένα από τα προθέματα των μονάδων, αντιστοιχεί σε έναν αριθμό. Εδώ έχουμε το Kilo. Το Kilo αντιστοιχεί στον αριθμό 10 3. Έτσι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το πρόθεμα αυτό με τον αντίστοιχο αριθμό. Έχουμε δηλαδή: 8Km = 8 10 3 m 7.0.2 Να μετατραπούν τα 64 g σε Kg. Λύση Εδώ δε μπορούμε απλώς να αντικαταστήσουμε το πρόθεμα με τον αριθμό στον οποίο αντιστοιχεί. Ξεκινάμε από μια μονάδα χωρίς πρόθεμα και θέλουμε να καταλήξουμε σε μια μονάδα που έχει πρόθεμα. Η λογική, είναι όμοια με αυτήν της επίλυσης εξισώσεων. Έτσι θα ξεκινήσουμε από αυτό που ξέρουμε: 1Kg = 10 3 g Επειδή όμως θέλουμε να μετατρέψουμε τα g σε Kg και όχι το αντίστροφο πρέπει να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση ως προς g. Έχουμε λοιπόν: 1Kg 10 3 = 103 g 10 3 Δηλαδή: 1g = 10 3 Kg (1) Τώρα αρκεί να αντικαταστήσουμε το g με το ίσο του από την εξίσωση (1): 64g = 64 10 3 Kg 6

7.0.3 Να μετατραπούν τα 6 Kg σε μg. Λύση Αυτή τη μετατροπή θα την κάνουμε σε δύο στάδια. Αρχικά θα μετατρέψουμε τα Kg σε g και έπειτα τα g σε μg. Έχουμε λοιπόν: 6Kg = 6 10 3 g (2) Τώρα θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο του προηγούμενου παραδείγματος για να μετατρέψουμε τα g σε μg: 1µg = 10 6 g 1µg 10 6 = 10 6 g 10 6 1g = 10 6 µg (3) Τέλος θα αντικαταστήσουμε το g από την εξίσωση (3) στην εξίσωση (2): 6Kg = 6 10 3 g = 6 10 3 10 6 µg = 6 10 9 µg 7.0.4 Να μετατραπούν τα 72 Km/h σε m/s. Λύση Εδώ έχουμε να μετατρέψουμε μία σύνθετη μονάδα. Η λογική που θα ακολουθήσουμε είναι ακριβώς η ίδια μόνο που χρειάζεται να μετατρέψουμε και τα Km σε m και την h σε s. 72Km/h = 72Km 1h = 72 103 m 1h = 72 103 m 60min = 72 103 m 60 60s = 72 103 m 36 10 2 s 72Km/h = 2 10m/s = 20m/s Στην παραπάνω μετατροπή, έχουμε χρησιμοποιήσει οτι μία ώρα είναι 60 λεπτά (1h = 60min) και ενα λεπτό είναι 60 δευτερόλεπτα (1min = 60s). 7

7.0.5 Να μετατραπούν τα 94Kg m 2 σε μg mm 2 Λύση Άλλη μία σύνθετη μονάδα. Εδώ, πρέπει να μετατρέψουμε τα Kg σε μg και τα m 2 σε mm 2. Έτσι, έχουμε: 94Kg m 2 = 94Kg 1m 2 = 94 10 3 g 1m 2 (4) Όμως: 1µg = 10 6 g Άρα: 1µg 10 6 = 10 6 g 10 6 Δηλαδή: 1g = 10 6 µg (5) Επίσης: 1mm = 10 3 m Άρα: 1mm 10 3 = 10 3 m 10 3 Δηλαδή: 1m = 10 3 mm (6) Είμαστε ήδη αρκετά κοντά στο ζητούμενο: Να μετατρέψουμε το m 2 σε mm 2... Αρκεί να υψόσουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της εξίσωσης (6) (1m) 2 = (10 3 mm) 2 1m 2 = 10 6 mm 2 (7) Tέλος, αντικαθιστούμε το m 2 από την εξίσωση (7) στηυ εξίσωση (4) και το g από την (5) στην (4) και έχουμε: 94Kg m 2 = 94 10 3 g 10 6 mm 2 = 94 10 3 10 6 µg 10 6 mm 2 = 94 10 15 µg mm 2 8

7.0.6 Να μετατραπούν τα 43Kg/m 3 σε mg/cm 3 Λύση 43Kg/m 3 = 43Kg 1m 3 = 43 103 g 1m 3 (8) 'Ομως: 1mg = 10 3 g 1mg 10 3 = 10 3 g 10 3 1g = 10 3 mg (9) καί: 1cm = 10 2 m 1cm 10 2 = 10 2 m 10 2 1m = 10 2 cm Άρα: (1m) 3 = (10 2 cm) 3 1m 3 = 10 6 cm 3 (10) Οπότε η (8) γίνεται μέσω των (9) και (10): 43Kg/m 3 = 43 103 g 1m 3 = 43 103 10 3 mg 10 6 cm 3 = 43 106 mg 10 6 cm 3 = 43mg/cm 3 Αυτό σημαίνει πως οι μονάδες Kg/ms και mg/cm 3 είναι ισοδύναμες. 9

8 ΓΡΗΓΟΡΕΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ Στην προηγούμενη ενότητα, μάθαμε πως να κάνουμε μετατροπές μονάδων. Απο την αρχή, είπαμε πως δεν είναι ο πιό ευκολος τρόπος αλλά είναι ο πιό γενικός και λύνει όλα τα προβλήματα μετατροπής μονάδων. Σε αυτή την ενότητα, θα δούμε έναν πιό γρήγορο αλλά λιγότερο γενικό τρόπο μετατροπής μονάδων. Ο καινούριος αυτός τρόπος, στιρίζεται στο γεγονός πως όλα τα προθέματα μονάδων που γνωρίσαμε στην αντίστοιχη ενώτητα, ισοδυναμούν με μια δύναμη του 10. Έται μπορούμε να χρησιμοποιούμε το πινακάκι (που αφορά τη μονάδα μέτρο) και τον παρακάτω τύπο για να μετασχηματίζουμε τις μονάδες: Σύμβολο Αξία Εκθέτης Tm 10 12 12 Gm 10 9 9 Mm 10 6 6 Km 10 3 3 m 10 0 0 dm 10 1-1 cm 10 2-2 mm 10 3-3 μm 10 6-6 nm 10 9-9 pm 10 12-12 Αρχική μονάδα = 10 (α β) Τελική μονάδα (όπου α ο εκθέτης της αρχικής μονάδας και β ο εκθέτης της τελικής μονάδας) Παραδείγματα: 1cm = 10 ( 2 3) Km = 10 5 Km 1Km = 10 3 ( 3) mm = 10 6 mm 1m = 10 0 ( 2) cm = 10 2 cm 10

9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9.1 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί σε ορθογώνιο τρίγωνο Έστω οτι έχουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που φαίνεται παρακάτω: B γ α A θ β Γ Για τη γωνία θ του παραπάνω τριγώνου θα πρέπει να ξέρουμε τους εξής τρείς τριγωνομετρικούς αριθμούς: Το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη της θ. Οι ορισμοί των παραπάνω τριγωνομετρικών αριθμών είναι: ημθ = συνθ = εφθ = απέναντυ κάθετη υποτείνουσα = α γ προσκείμενη κάθετη υποτείνουσα = β γ απέναντυ κάθετη προσκείμενη κάθετη = α β 9.2 Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες Στην προηγούμενη ενότητα ορίσαμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς με βάση ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Στα ορθογώνια τρίγωνα όμως, ισχύει το πυθαγώρειο θεώρημα: γ 2 = α 2 + β 2 Διαιρώντας την παραπάνω σχέση με γ 2 έχουμε: γ 2 γ 2 = α2 + β 2 γ 2 1 = α2 γ 2 + β2 γ 2 1 = (α γ )2 + ( β 2 γ ) ημ 2 θ + συν 2 θ = 1 Επίσης, από τη σχέση: εφθ = α, διαιρώντας τον αριθμητή και τον β παρανομαστή του δεύτερου μέλους με γ, έχουμε: εφθ = α γ β γ εφθ = ημθ συνθ 11

9.3 Γνωστοί τριγωνομετρικοί αριθμοί Πολλοί καθηγητές, επιμένουν οι μαθητές τους να γνωρίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς κάποιων γωνιών. Σε αυτή την ενότητα, θα μάθουμε να κατασκευάζουμε με εύκολο τρόπο το πινακάκι με τους αριθμούς αυτούς που θα μας χρειαστούν. Το πρώτο που πρέπει να θυμόμαστε, είναι πως συμπεριφέρονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί όταν αυξάνεται η γωνία. (Προσοχή: Στα πλαίσια αυτού του βιβλίου, η γωνία ανήκει στο διάστημα [0, 90 ]) Ας φανταστούμε το ορθογώνιο τρίγωνο του προηγούμενου σχήματος. Θέλουμε να δούμε πώς συμπεριφέρεται το ημθ και το συνθ όταν η γωνία θ αυξάνεται. Ο εύκολος τρόπος, είναι να κρατήσουμε σταθερή την υποτείνουσα. Αυτό μπορεί να γίνει, αν το σημείο Β κινηθεί πάνω σε κυκλικό τμήμα με κέντρο το Α. Έτσι, το ΑΒ=γ θα παραμείνει σταθερό. Σχεδιάζουμε λοιπόν τα παρακάτω σχήμα, στο οποίο έχει αυξηθεί η γωνία θ χωρίς να μεταβληθεί η υποτείνουσα γ: B γ α θ A β Γ Παρατηρούμε, οτί ενώ η υποτείνουσα γ παραμένει σταθερή, η απέναντυ κάθετη πλευρά α αυξάνεται ενώ η προσκείμενη κάθετη β μειώνεται. Έτσι, από τους τύπους:ημθ = α γ και συνθ = β γ, καταλαβαίνουμε οτι όσο αυξάνεται η γωνία θ (στο διάστημα [0, 90 ]), το ημθ θα πρέπει να αυξάνεται ενώ το συνθ θα μειώνεται. Παρατηρούμε επίσης, οτι όσο η γωνία θ μειώνεται, η απέναντυ κάθετη πλευρά τείνει να μηδενιστεί. Αυτό σημαίνει πως το ημ0 θα πρέπει να είναι μηδεν. Είμαστε έτοιμοι λοιπόν να κατασκευάσουμε το παρακάτω πινακάκι στο οποίο εχουμε βάλει τους πιο ευκολους αριθμούς που μπορούμε να φανταστούμε: θ 0 30 45 60 90 ημθ 0 1 2 3 4 συνθ 4 3 2 1 0 Προσοχή: Το παραπάνω πινακάκι δεν ειναι έτοιμο και δεν πρέπει να χρησιμοποιείται. 12

Το τελευταίο βήμα, είναι να βάλουμε όλους τους παραπάνω αριθμούς μέσα σε τετραγωνική ρίζα και να διαιρέσουμε δια δύο. Έχουμε λοιπόν: θ 0 30 45 60 90 ημθ 0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 συνθ 4/2 3/2 2/2 1/2 0/2 Το πινακάκι μας είναι πλέον έτοιμο και μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε... Θα ήταν όμως καλύτερα να το απλοποιήσουμε λίγο ακόμα κάνοντας τις πράξεις που γίνονται ευκολα: θ 0 30 45 60 90 ημθ 0 1/2 2/2 3/2 1 συνθ 1 3/2 2/2 1/2 0 10 ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε όταν έχουμε να διαβάσουμε μιά γραφική παράσταση είναι να κοιτάξουμε τί μέγεθος παριστάνεται σε κάθε έναν από τους άξονες της γραφικής μας παράστασης. Έστω πχ οτι το παρακάτω διάγραμμα παριστάνει τη θέση ενός αντικειμένου που κινείται πάνω σε έναν άξονα x σε συνάρτηση με το χρόνο ( x=f(t) ). x(m) Ο άξονας t μας δείχνει λοιπόν χρονικές στιγμές ενώ ο άξονας x μας δείχνει θέση: A 5 6 t(s) Το σημείο Α λοιπόν μας δείχνει πως το κινητό μας πέρασε τη χρονική στιγμή t=6s από τη θέση x=5m. Προσοχή: Κοιτάξτε προσεκτικά στο παρακάτω διάγραμμα και βρείτε τί σημαίνουν τα σημεία Α και Β. 13

x(m) 5 A 0 B 7 t(s) Με λίγη προσοχή, αντιλαμβανόμαστε πως η πληροφορία που μας δίνει το σημείο Α είναι οτι το κινητό μας τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x=5m. Ομοίως το σημείο Β μας πληροφορεί οτι το κινητό μας τη χρονική στιγμή t=7s βρίσκεται στη θέση x=0. Προσοχή: Άν διαβάσατε ανάποδα τα παραπάνω σημεία, προσπαθήστε να κάνετε την παρακάτω άσκηση: Ξεκινήστε να φαντάζεστε ένα σημείο Γ να μετακινείται από το Α στο Β... δείτε τί κάνει το ο χρόνος (t) (από πού μέχρι πού πηγαίνει) και τι κάνει η θέση x... Με λίγη προσπάθεια θα διαπιστώσετε πως το διάγραμμα παριστάνει ένα κινητό του οποίου η θέση μειώνεται με την πάροδο του χρόνου (όσο αυτός μεγαλώνει). Προσπαθήστε να διαβάσετε το διάγραμμα και αντίστροφα (Από το Β στο Α). Θα διαπιστώσετε οτι έχουμε το αντίστροφο φαινόμενο. 11 ΜΕΤΑΒΟΛΗ Στο πρώτο μόλις κεφάλαιο, θα συναντήσουμε το σύμβολο Δ. Το σύμβολο αυτό είναι ένας τελεστής (όπως λέμε στα μαθηματικά) και θα το συναντάμε πάντα μπροστά από ένα άλλο σύμβολο π.χ.: Δt... αυτό σημαίνει t τελικό t αρχικό και είναι η μεταβολή του χρόνου. Όπου λοιπόν συναντάμε το σύμβολο Δ, θα ξέρουμε πως αυτό σημαίνει τελική αρχική τιμή του μεγέθους που ακολουθεί το Δ και θα ονομάζεται μεταβολή του μεγέθους αυτού. Θα γνωρίσουμε παρακάτω τη μετατόπιση που είναι η μεταβολή της θέσης x = x τελικό x αρχικό. 14

12 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ H λέξη ρυθμός από μόνη της περιέχει την έννοια του χρόνου. Μας δείχνει δηλαδή πάντα πόσο γρήγορα (ή απότομα) γίνεται κάτι. Έτσι η φράση ρυθμός μεταβολής παραπέμπει στο πόσο γρήγορα μεταβάλλεται ένα μέγεθος. Αυτό ακριβώς είναι ο ρυθμός μεταβολής. Έστω οτι έχουμε ένα μέγεθος Μ, το οποίο μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: M M 2 M 1 B A θ t 1 t 2 t Παρατηρούμε ότι από τη στιγμή t 1 εώς τη στιγμή t 2 το μέγεθος Μ μεταβλήθηκε κατά M 2 M 1. Έτσι, αν προσπαθήσουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής του μεγέθους Μ με βάση αυτά τα σημεία του διαγράμματος, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: M t Αυτός ο τύπος εκφράζει αναλογία ως προς τη μεταβολή του μεγέθους και αντίστροφη αναλογία ως προς τη μεταβολή του χρόνου. Δηλαδή, όταν κρατήσουμε σταθερό το t, όσο αυξάνεται η μεταβολή του μεγέθους M, τόσο αυξάνεται και ο ρυθμός μεταβολής. Ενώ αντίθετα, για μια συγκεκριμένη μεταβολή M όσο μικρότερο είναι το χρονικό διάστημα t τόσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός μεταβολής του M. Παρατηρούμε όμως οτι αυτός ο ρυθμός μεταβολής, αφορά δυο διαφορετικές τιμές του χρόνου... Δεν αναφέρεται σε μία και μόνο χρονική στιγμή...το M είναι λοιπόν στην πραγματικότητα ο t μέσος ρυθμός μεταβολής για το χρονικό διάστημα (t 1, t 2 ) και μπορούμε να πούμε ότι M = M 2 M 1 = εφθ. t t 2 t 1 15

Για να καταλάβουμε τί είναι ο ρυθμός μεταβολής που αναφέρεται σε μία μόνο χρονική στιγμή, πρέπει να φανταστούμε το Δt να μικραίνει πλησιάζοντας τη ζητούμενη χρονική στιγμή. πχ το t 1. Αυτό μπορεί να γίνει αν πλησιάζουμε συνεχώς το σημείο Β προς το σημείο Α. Στο τέλος θα καταλήξουν να συμπέσουν και από μέσα τους να περνάει η εφαπτόμενη ευθεία στην καμπύλη στο σημείο Α όπως βλέπουμε στο σχήμα: M M 2 B M M 1 A θ M 1 A θ t 1 t 2 t t 1 t Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής (ή απλά ο ρυθμός μεταβολής) τη χρονική στιγμή t 1 γράφεται dm dt και ισχύει: dm dt = εφθ'. Καταλαβαίνουμε λοιπόν οτι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής, είναι η κλίση του διαγράμματος του ζητούμενου μεγέθους στο διάγραμμά του σε συνάρτηση με το χρόνο. 16