Διεθνές Πανεπιστήμιο Ελλάδας Τμήμα Επιστήμης Τεχνολογίας Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας * 6 Δεκεμβρίου 2020 1 Στατική των ρευστών Νόμος του Pascal: Η πίεση σε ένα σημείο ενός στατικού ή ομοιόμορφα κινούμενου ρευστού είναι ίση προς όλες τις κατευθύνσεις. Η υδροστατική εξίσωση δίνεται από την σχέση p = γh. (1) Άνωση ονομάζεται η κατακόρυφη συνισταμένη των επιμέρους πιέσεων που α- σκούνται από το ρεσυτό πάνω στο σώμα. Την άνωση μπορούμε να την υπολογίσουμε από την αρχή του Αρχιμήδη που λέει ότι η δύναμη της άνωσης είναι ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίσθηκε. Η άνωση δίνεται από την σχέση: A = ρ f V b g, (2) όπου ρ f η πυκνότητα του ρευστού, V b ο όγκος του σώματος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. * email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com 1
2 Σφάλματα μετρήσεων Σε κάθε μέτρηση μπορεί να επιδράσουν μια σειρά από παράγοντες που να μας οδηγούν σε διαφορετική τιμή μέτρησης. Αν δεν υπήρχαν αυτοί οι παράγοντες τότε η μέτρηση ενός μεγέθους θα έδινε μια μοναδική τιμή X η οποία θα ήταν η πραγματική τιμή της μέτρησης μας. Στην πράξη όμως μετράμε μια τιμή x η οποία προσεγγίζει την πραγματική τιμή X. Η διαφορά μεταξύ της μετρούμενης τιμής της φυσικής μας ποσότητας και της πραγματικής τιμής της ονομάζεται σφάλμα ή αβεβαιότητα μέτρησης. Το σφάλμα της μέτρησης δίνεται από την διαφορά μεταξύ της μετρούμενης και της πραγματικής τιμής ɛ = x X, (3) και μπορεί να πάρει θετική ή αρνητική τιμή. Η πραγματική τιμή μιας μέτρησης είναι άγνωστη, εκτός αν μετράμε μια ποσότητα που είναι με σαφήνεια από τα πριν ορισμένη όπως για παράδειγμα η ταχύτητα του φωτός στο κενό ή η πυκνότητα του απεσταγμένου νερού, οπότε κάθε μέτρηση που κάνουμε πρέπει να αποτελείται από δύο μέρη: την βέλτιστη εκτίμηση του φυσικού μεγέθους και την εκτίμηση του σφάλματος. Τα σφάλματα των μετρήσεων μπορεί να είναι δύο τύπων: α) συστηματικά και β) τυχαία σφάλματα. Τα συστηματικά σφάλματα είναι αυτά στα οποία η τιμή του παραμένει σταθερή από μέτρηση σε μέτρηση και προκαλούν συστηματική μεταβολή στο τελική μας μέτρηση. Αυτά τα σφάλματα μπορούμε να τα απαλείψουμε με κατάλληλη διόρθωση των μετρήσεων μας. Τα συστηματικά σφάλματα οφείλονται σε μια σειρά από παράγοντες όπως: ˆ Ατέλειες στην κατασκευή. Για παράδειγμα αν θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος με ένα όργανο μέτρησης του 1m το οποίο είναι χωρισμένο σε 100 υποδιαιρέσεις που όμως, χωρίς να γνωρίζουμε, αντιστοιχούν στην πραγματικότητα σε 99cm. Εδώ σε κάθε μέτρηση θα έχουμε ένα σταθερό (συστηματικό) σφάλμα 1cm το οποίο για την συνολική μέτρηση του αντικειμένου μας θα δίνει ένα σφάλμα που είναι ανάλογο με το μήκος του μετρούμενου αντικειμένου (για παράδειγμα αν το αντικείμενο είναι 2
2m το σφάλμα μας θα είναι 2cm αν είναι 10m το σφάλμα μας θα είναι 10cm. Τέτοια σφάλματα μπορούμε να αντιμετωπίσουμε κάνοντας διορθώσεις όπως πολλαπλασιάζοντας τη μέτρηση μας με έναν παράγοντα 100 99 ο οποίος διορθώνει την μέτρηση μας στο επίπεδο του 1m. Τέτοια ήδη σφάλματος δεν μπορούν να ανακαλυφθούν μόνο μέσα από τις μετρήσεις των φυσικών μεγεθών αλλά χρειάζεται η συστηματική μέτρηση των ίδιων των οργάνων ώστε να βεβαιωνόμαστε για την ορθότητα των μετρήσεων τους. ˆ Σφάλματα στη μέθοδο μέτρησης. Για παράδειγμα αν θέλουμε να μετρήσουμε μια πολύ μικρή ή μια πολύ μεγάλη ηλεκτρική αντίσταση τότε η μέτρηση τους μέσω των βολτόμετρων ή των αμπερόμετρων δίνει λανθασμένες μετρήσεις αφού η μέτρηση μας επηρεάζεται από την εσωτερική αντίσταση του οργάνου μας. Τα σφάλματα κατά την μέτρηση είναι δύσκολα στον εντοπισμό και εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες όπως η τάξη και η φύση του μετρούμενου μεγέθους όπως επίσης και το επιτρεπόμενο σφάλμα που μπορούμε να έχουμε στην μέτρηση μας. ˆ Σε εξωτερικούς παράγοντες (σε παράγοντες που προέρχονται από το περιβάλλον της μέτρησης). Για παράδειγμα στην διάταξη μέτρησης της πίεσης η οποία προκαλεί μια διαφορά ύψους x των δύο στηλών ενός μανόμετρού και η οποία μετριέται πάνω σε έναν χάρακα (όπως στο παράδειγμα της διάλεξης 1) η αλλαγή του υψόμετρου στο οποίο γίνεται η μέτρηση αλλάζει την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας και δημιουργεί ένα συστηματικό σφάλμα στην μέτρηση μας. Για την αντιμετώπιση τέτοιων σφαλμάτων χρειάζεται να λαμβάνουμε υπόψη τις συνθήκες του περιβάλλοντος, να βλέπουμε ποιες επιδρούν στη μέτρηση μας και να κάνουμε τις αναγκαίες διορθώσεις. ˆ Στον παρατηρητή. Για παράδειγμα στην διάρκεια της μέτρησης του χρόνου με ένα ηλεκτρονικό χρονόμετρο η παρατηρητής μπορεί να καθυστερήσει ή να βιαστεί στο πάτημα του κουμπιού του χρονόμετρου και άρα η μέτρηση της διάρκειας που θέλουμε να μετρήσουμε να έχει σφάλμα. Τα τυχαία σφάλματα είναι εκείνα που προκαλούν εμφανή διασπορά που 3
δεν έχει συστηματικό χαρακτήρα και προκαλούν μεταβολή στο τελικό αποτέλεσμα της μέτρησης με τυχαίο τρόπο και με διαφορετική απόλυτη τιμή σε κάθε μέτρηση. Τα τυχαία σφάλματα μπορούν να οφείλονται σε: ˆ Στην ευαισθησία των οργάνων μέτρησης. Για παράδειγμα αν το όργανο μέτρησης μας έχει διακριτική ικανότητα της τάξης του 0.01 και υπάρχει στη διάρκεια της μέτρησης θόρυβος ή παρεμβολές μικρότερες του 0.01 τότε η μετρούμενη τιμή θα έχει μια τυχαία αυξομείωση κατά ±0.01. ˆ Στον παρατηρητή λόγω διαφόρων τυχαίων παραγόντων. ˆ Στην αστάθεια των εξωτερικών παραγόντων. Για παράδειγμα σε πειράματα μεγάλης χρονικής διάρκειας τυχόν αλλαγές στο περιβάλλον μπορούν να οδηγήσουν σε μεγάλη διασπορά των μετρήσεων. Τα επικίνδυνα σφάλματα είναι τα συστηματικά αφού αυτά δεν μπορούν να εντοπιστούν μέσω των μετρήσεων λόγω ότι επαναλαμβάνονται σταθερά. Από την άλλη τα τυχαία σφάλματα οδηγούν σε σημαντική διασπορά των μετρήσεων και άρα φαίνεται ότι υπάρχει πρόβλημα σε αυτές. Προφανώς κατά τη διάρκεια μιας μέτρησης θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τα σφάλματα και άρα διακρίνουμε τα τυχαία από τα συστηματικά σφάλματα, περιορίζουμε τα τυχαία σφάλματα και λαμβάνουμε τα αναγκαία μέτρα ώστε να απαλείψουμε τα συστηματικά σφάλματα από τις μετρήσεις μας. Η στατιστική επεξεργασία μας δίνει τρόπους αντιμετώπισης των τυχαίων σφαλμάτων. 3 Στατιστική και θεωρία σφαλμάτων Με βάση την στατιστική γνωρίζουμε ότι η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων μικραίνει όσο αυξάνει το πλήθος των μετρήσεων. Άρα αν είχαμε άπειρο πλήθος μετρήσεων τότε θα ξέραμε με ακρίβεια την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Στην πραγματικότητα όμως δεν μπορούμε να έχουμε άπειρο πλήθος μετρούμενων μετρήσεων με συνέπεια να μην μπορούμε να προσδιορίσουμε με ἱδανική 4
ακρίβεια την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας αλλά να προσδιορίζουμε την καλύτερη (πιθανότερη) τιμή της ποσότητας που μετράμε. Η καλύτερη ποσότητα δίνεται από την μέση τιμή των μετρήσεων μας. Με βάση την στατιστική για άπειρο πλήθος μετρήσεων η μέση τιμή των μετρήσεων ταυτίζεται με την πραγματική τιμή της μέτρησης μας. Αν x i είναι μία μέτρηση τότε το σφάλμα της δίνεται από την σχέση ɛ i = x i X. (4) Τυπική απόκλιση ή τυπικό σφάλμα n μετρήσεων ονομάζεται η μέση τετραγωνική τιμή του ɛ για το σύνολο n των μετρήσεων, συμβολίζεται με σ και δίνεται από την σχέση σ = ɛ 2 = 1 n όπου ɛ i = x i X. Ο μέσος όρος των μετρήσεων δίνεται από την σχέση n ɛ 2, (5) x = 1 n (x 1 + x 2 +... + x n ) = 1 n N x n (6) Το σφάλμα στον μέσο όρο δίνεται από την σχέση E = x X, (7) ενώ το τυπικό σφάλμα ή η τυπική απόκλιση στον μέσο όρο δίνεται από την σχέση σ m = 1 n n Ei 2. (8) Ισχύει ότι σ m = σ n. (9) Στην πράξη παίρνουμε ένα αριθμό n μετρήσεων από όπου βρίσκουμε τον 5
μέσο όρο x και υπολογίζουμε το σφάλμα με την βοήθεια της τυπικής απόκλισης στον μέσο όρο σ m. Μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση στο μέσο από τις γνωστές μετρήσεις μας. Ορίζουμε ως απόκλιση d τη διαφορά κάθε μέτρησης από τον μέσο όρο d = x i x. (10) Η μέση τετραγωνική τιμή των αποκλίσεων συμβολίζεται με το s, είναι γνωστή ως η τυπική απόκλιση του δείγματος μετρήσεων (ή δειγματική διασπορά ή διακύμανση) και δίνεται από την σχέση s 2 = 1 n (d2 1 + d 2 2 +... + d 2 n) = 1 n n d 2 i. (11) Αποδεικνύεται στην Στατιστική ότι η άγνωστη ποσότητα σ προσεγγίζεται ι- κανοποιητικά από την γνωστή ποσότητα s αν διαιρέσουμε το δεύτερο όρο της (11) με την ποσότητα (n 1), δηλαδή s 2 = 1 n 1 (d2 1 + d 2 2 +... + d 2 n) = Από τα παραπάνω έχουμε ότι σ m = 1 (n 1) n d 2 i. (12) s n = d2 i n n(n 1). (13) Για τη καλύτερη εποπτεία και σύγκριση των σφαλμάτων μας χρησιμοποιούμε την έννοια της επί τοις εκατό σφάλματος που δίνεται από την σχέση π = σ m x 100%. (14) 4 Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Οταν κάνουμε μία μέτρηση παίρνουμε ζευγάρια τιμών (x, y) στα οποία έχουμε την είσοδο x και την έξοδο y. Τα δεδομένα αυτά συνήθως τα αποθηκεύουμε 6
σε πίνακες και ο καλύτερος τρόπος για να τα παρουσιάσουμε είναι γραφικά κάνοντας δηλαδή την γραφική παράσταση των (x, y) (δες σχήμα 4). Σχήμα 1: Με βάση τα δεδομένα που έχουμε η γραφική παράσταση μπορεί να γίνει με διάφορες κλίμακες (π.χ. εκατοστόμετρο, λογαριθμικό, ημιλογαριθμικό κλπ...). Οι πρώτες πληροφορίες που μας δίνει το διάγραμμα είναι: ˆ Η συμπεριφορά του συστήματος που μελετάμε. ˆ Την γενική μαθηματική σχέση που συνδέει τα μεγέθη. ˆ Τις πειραματικές μετρήσεις που έχουν σημαντική απόκλιση από τις υ- πόλοιπες. Για να μπορέσουμε να προσεγγίσουμε την μαθηματική σχέση που συνδέει τις ποσότητες μεταξύ τους προσπαθούμε να φτιάξουμε την καλύτερη γραμμή μεταξύ των σημείων. Η πιο απλή γραμμή είναι μια ευθεία που περνά όσο πιο κοντά γίενται από όλα τα σημεία. Η γραμμή που προσεγγίζει την συμπεριφορά του συστήματος μπορεί να έχει και άλλη μορφή πέρα από ευθεία γραμμή (π.χ. καμπύλη). Οι πιο συνηθισμένες εξισώσεις καμπυλών που συνδέουν τα δεδομένα μεταξύ τους είναι: ˆ y = a 0 + a 1 x, 7
ˆ y = Cx n, ˆ y = D kx, ˆ y = D10 kx, όπου τα a 0, a 1, C, D και k είναι οι σταθερές (παράμετροι) του πειράματος μας και τα x, y οι μεταβλητές. 4.1 Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων Η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων είναι ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού της μορφής P (x) = ax + b. (15) Με βάση την θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων μπορούμε να βρούμε τις σταθερές a, b του πρωτοβάθμιου πολυωνύμου ελαχιστοποιώντας το άθροισμα S = n i=0 [y i ax i b] 2. Τα a, b δίνονται από τις σχέσεις: όπου a = s 0u 1 s 1 u 0, s 0 s 2 s 2 1 b = s 2u 0 s 1 u 1, (16) s 0 s 2 s 2 1 s 0 = n, s 1 = x i, s 2 = x 2 i, u 0 = y i, u 1 = x i y i. (17) Η τυπική απόκλιση των a, b δίνεται από τις σχέσεις: s0 σ a = s y, s 0 s 2 s 2 1 s2 σ b = s y, (18) s 0 s 2 s 2 1 8
όπου [yi (ax i + b)] 2 s y = s 0 2 (19) 4.2 Εφαρμογή σε καμπύλες γραμμές Στην περίπτωση που η βελτιστη γραμμή δίνεται από ένα πολυώνυμο της μορφής: P (x) = y = Cx n, (20) όπου n θετικός ή αρνητικός αριθμός εκτός από μηδέν και η μονάδα C είναι μια σταθερή ποσότητα, τότε παίρνουμε τον λογάριθμο της (20) από όπου έχουμε: log y = log C + n log x (21) όπου αν θέσουμε Y = log y, a 0 = log C, a 1 = n, X = log x, (22) έχουμε Y = a 0 + a 1 X, (23) που είναι της μορφής της ευθείας γραμμής (15) και μπορούμε να δουλέψουμε ακριβώς όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Στην περιπτωση που το πολυώνυμο μας είναι της μορφής P (x) = y = Ce n, (24) παίρνουμε τον νεπέριο λογάριθμο (ln) της εξίσωσης (28) από όπου έχουμε: ln y = ln C + nx (25) όπου αν θέσουμε Y = ln y, a 0 = ln C, a 1 = n, X = x, (26) 9
έχουμε Y = a 0 + a 1 X, (27) που είναι και αυτό της μορφής της ευθείας γραμμής (15) και μπορούμε να δουλέψουμε ακριβώς όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Αντίστοιχα για την μορφή P (x) = y = C10 n, (28) παίρνουμε τον λογάριθμο (log 10 ) και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. 5 Ασκήσεις 1. Υπολογίστε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος για τις παρακάτω μετρήσεις 5, 4, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4. 2. Βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος 3. Κάντε την γραφική παράσταση και βρείτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για τις παρακάτω μετρήσεις της κίνησης ενός κινούμενου σώματος: Χρόνος (min) Ταχύτητα (km/min) 0.1 1.2 0.2 2.6 0.5 7.2 0.8 10.0 1.0 12.6 10
4. Να βρείτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων για τις παρακάτω τιμές μέτρησης της τάσης ενός θερμοηλεκτρικού στοιχείου συναρτήσει της θερμοκρασίας 5. Βρείτε έναν τύπο της μορφής P (x) = Ae Mx για τα παρακάτω δεδομένα 6. Αν η εξέλιξη ενός φαινομένου ακολουθεί έναν νόμο της μορφής y(t) = ke at2 +bt, να βρεθούν οι τιμές των σταθερών k, a, b για τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα 11