Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης χολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη - - - - - - - - Διπλωματική Εργασία Αντωνιάδης Παναγιώτης Δημήτριος ΑΕΜ 0568 Ιανουάριος 006

Υπεύθυνος καθηγητής Γ. Βουγιατζής 3

4

Περιεχόμενα. Εισαγωγή...7. Το ύστημα Γη ελήνη...9. Παραδοχές...9. υστήματα υντεταγμένων...9.α Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων...9.β Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων....γ Βαθμοί Ελευθερίας....δ Μετασχηματισμοί υντεταγμένων...3.3 Εξισώσεις Κίνησης...4.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες...4.3β Εξισώσεις Κίνησης το Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων...5.3γ Εξισώσεις Κίνησης το Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων...6 3. Ποιοτική Ανάλυση... 9 3. Το Ολοκλήρωμα Jacobi...9 3. Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας...0 3.3 ημεία Ισορροπίας...4 3.4 Η Τομή Poincare...7 3.4α Τι Είναι Η Τομή Poincare...7 3.4β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών...7 3.4γ Οι Τομές Poincare το ύστημα Γη ελήνη...30 3.5 Περιοδικές Τροχιές Υψηλών Ενεργειών...37 3.5α Τρόπος Εύρεσης Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής...37 3.5β Αποτελέσματα...38 4. Τροχιές Από Την Γη τη ελήνη...4 5. Προσέγγιση τη ελήνη...53 5. Η Μεταβατική Ταχύτητα...53 5. Παραδείγματα Προσεγγίσεων...56 Παράρτημα...63 Παράρτημα...65 Παράρτημα 3...69 Βιβλιογραφία...73

6

. Εισαγωγή Όπως είναι γνωστό, βασικός παράγοντας που καθορίζει τη δυσκολία στη μελέτη ενός συστήματος αλληλεπιδρώντων σωμάτων, είναι ο αριθμός των σωμάτων που το συνιστούν. Μέχρι σήμερα, αναλυτική λύση έχει βρεθεί για το πρόβλημα δύο αλληλεπιδρώντων, με αμοιβαίες βαρυντικές δυνάμεις, σωμάτων που είναι και το απλούστερο ενώ το πρόβλημα των τριών σωμάτων, που εδώ και αιώνες κεντρίζει το ενδιαφέρoν μεγάλων μαθηματικών και φυσικών, έχει λυθεί μόνον αριθμητικά. Το θέμα της εργασίας αυτής είναι μία απλοποιημένη μορφή του προβλήματος των τριών σωμάτων, που στη διεθνή βιβλιογραφία είναι γνωστό ως Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων. Γίνεται δε εφαρμογή του προβλήματος στο σύστημα Γη ελήνη. την απλουστευμένη αυτή περίπτωση το τρίτο σώμα, η κίνηση του οποίου μελετάται, θεωρείται ότι έχει αμελητέα μάζα σε σχέση με αυτή των άλλων δύο έτσι, ενώ κινείται στο πεδίο τους δεν επηρεάζει την κίνησή τους. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη μελέτη του συστήματος, τα δύο σώματα θα έχουν καθορισμένες τροχιές (που υπαγορεύονται από την μεταξύ τους αλληλεπίδραση), ενώ η κίνηση του τρίτου θα δίνεται από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης του r r r δεύτερου νόμου του Νεύτωνα m γ = F + F (όπου F r και F r οι δυνάμεις που δέχεται το 3 ο σώμα από το ο και το ο αντίστοιχα). Παρά όμως την εισαγωγή της παραδοχής αυτής και αρκετών άλλων που καθιστούν το πρόβλημα αρκετά απλό, η λύση των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης του τρίτου σώματος συνεχίζει να δίνεται αριθμητικά. ε πολλές περιπτώσεις παρουσιάζεται ευαίσθητη εξάρτηση της εξέλιξης των τροχιών από τις αρχικές συνθήκες και εμφανίζεται χάος. Όλα αυτά θα αναπτυχθούν στο κεφάλαιο 3 όπου και γίνεται η ποιοτική μελέτη του προβλήματος για το σύστημα Γης ελήνης. Προηγουμένως όμως, στο κεφάλαιο γίνεται λεπτομερής περιγραφή του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο πεδίο Γης ελήνης ορίζονται το αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή του, όπως και οι μετασχηματισμοί από το ένα σύστημα στο άλλο. Τέλος δίνονται και οι εξισώσεις της κίνησης σύμφωνα με τις οποίες εξελίσσονται οι τροχιές του τρίτου σώματος. Η εισαγωγή στο κεφάλαιο 3 γίνεται με τον ορισμό του ολοκληρώματος Jacobi και την περιγραφή της χρησιμότητάς του στη μελέτη του προβλήματος. Κάνοντας χρήση του ολοκληρώματος αυτού κατασκευάζονται οι ισοδυναμικές καμπύλες του συστήματος για αντιπροσωπευτικές ενέργειες και με τη βοήθεια αυτών βρίσκονται οι περιοχές στις οποίες μπορεί να κινείται το σώμα. τη συνέχεια γίνεται μελέτη των σημείων ισορροπίας, τα οποία έχουν καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση των ισοδυναμικών καμπύλων στις διάφορες ενεργειακές περιοχές. την παράγραφο 3.4 ορίζεται η τομή Poincare έτσι όπως χρησιμοποιείται για την επεξεργασία του προβλήματος και για

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χαρακτηριστικές ενέργειες κατασκευάζονται οι τομές Poincare του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο σύστημα Γη ελήνη. Παράλληλα, γίνεται ποιοτική μελέτη των τομών περιγράφεται, δηλαδή, το είδος των τροχιών που αναμένεται στις αντίστοιχες ενέργειες, σε συνάρτηση με τις αρχικές τους συνθήκες. Τέλος, η παράγραφος 3.5 αφιερώνεται σε μία οικογένεια περιοδικών τροχιών που βρέθηκε κατά την κατασκευή των τομών Poincare για υψηλές ενέργειες. το κεφάλαιο 4 γίνεται λεπτομερής ανάλυση τροχιών με αντιπροσωπευτικές ενέργειες. Οι τροχιές αυτές εκκινούν από την γειτονιά της Γης και η πλειοψηφία τους πλησιάζει σε πολύ μικρές αποστάσεις από τη ελήνη έμφαση δίνεται στους χρόνους που το σώμα προσεγγίζει τη ελήνη από τη στιγμή που θα ξεκινήσει την τροχιά του και στην ελάχιστη απόσταση που θα επιτύχει κατά την προσέγγιση. Παρατίθενται δε σχήματα με απεικονίσεις των τροχιών και στα δύο συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επεξεργασία του προβλήματος. Τέλος, οι προσεγγίσεις στη ελήνη αποτελούν αντικείμενο του 5 ου κεφαλαίου. τόχος της ανάλυσης που γίνεται είναι να τεθεί το τρίτο σώμα σε περιστροφική τροχιά γύρω από τη ελήνη τη στιγμή που θα απαιτείται η ελάχιστη δυνατή μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητάς του. Δίνονται σχήματα με την τροχιά του σώματος πριν και μετά την μεταβολή της ταχύτητάς του, όπως και αναλυτικοί πίνακες με τα αποτελέσματα της επεξεργασίας για κάθε χρονική στιγμή της προσέγγισης. 8

. Το ύστημα Γη ελήνη. Παραδοχές Από το σημείο αυτό και έπειτα, όλη η ανάλυση που ακολουθεί αφορά την κίνηση σώματος στο πεδίο του συστήματος Γης ελήνης. Για τη μελέτη του συστήματος αυτού, εισάγονται δύο παραδοχές. Θα θεωρηθεί, λοιπόν, ότι το σύστημα είναι απομονωμένο. Αυτό σημαίνει ότι δεν λαμβάνονται υπόψη οι αλληλεπιδράσεις, των τριών σωμάτων, με το υπόλοιπο ηλιακό σύστημα (ήλιος και πλανήτες), όπως επίσης αγνοούνται και οι σαφώς ασθενέστερες αλληλεπιδράσεις με τους γειτονικούς γαλαξίες. Η δεύτερη παραδοχή αφορά την κίνηση της ελήνης γύρω από τη Γη. Ενώ λοιπόν είναι γνωστό ότι η κίνηση αυτή είναι σχεδόν ελλειπτική, για τη λύση του προβλήματος θεωρείται ότι Γη και ελήνη περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους σε κυκλικές τροχιές και με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.. υστήματα υντεταγμένων Βασικό ρόλο, στη διευκόλυνση της επεξεργασίας και της κατανόησης ενός φυσικού προβλήματος, έχει η επιλογή του κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Θεωρώντας το σύστημα των σωμάτων απομονωμένο, αδρανειακό σύστημα αναφοράς θα θεωρείται το ακίνητο ως προς το κέντρο μάζας των σωμάτων. Το δε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς θα έχει κέντρο το κέντρο μάζας των σωμάτων και άξονα τετμημένων, τον περιστρεφόμενο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, άξονα που συνδέει τη Γη και τη ελήνη..α Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων ε αυτό το σύστημα συντεταγμένων η Γη και η ελήνη κινούνται και επομένως η απεικόνιση της τροχιάς του τρίτου σώματος δεν βοηθάει στην κατανόηση της σχετικής του θέσης με τα δύο άλλα. Παρά το γεγονός αυτό όμως, επειδή η Γη κινείται πολύ κοντά στο κέντρο βάρους, οι ταχύτητες του τρίτου σώματος, ως προς το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, είναι πολύ κοντά σε αυτές που θα μετρούσε ένας παρατηρητής της επιφάνεια της Γης (που όμως δεν ακολουθεί την ιδιοπεριστροφή της). το σχήμα.α φαίνεται η τροχιά ενός σώματος έτσι όπως αυτή αναπαρίσταται στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων. Η μπλε χρώματος

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη κουκκίδα κοντά στην αρχή των αξόνων δείχνει τη θέση της Γης, ενώ η μαύρη κουκκίδα τη θέση της ελήνης. χήμα. t = 5.d t =.34d 0.8 0.6 0.4 0.4 0.3 0. 0. 0. 0.75.5.5.75.α.β 0. 0.4 0.6 0.8 0.6 t =.6d 0.4 0.3 0. 0. 0. 0.4 0.6 0.8.γ το χρονικό διάστημα για το οποίο έχει σχεδιαστεί η τροχιά το σώμα περνά σε πολύ μικρή απόσταση από τη ελήνη. Αυτό όμως δε γίνεται αντιληπτό γιατί συνέβη σε μία χρονική στιγμή που η ελήνη δεν ήταν στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Πιο συγκεκριμένα, η τροχιά που έχει σχεδιαστεί είναι διάρκειας 5. ημερών, ενώ το σώμα είχε ελάχιστη απόσταση από την ελήνη. 34 ημέρες περίπου από την εκκίνηση της τροχιάς του. Προφανώς, σε μία απεικόνιση της τροχιάς από την στιγμή της εκκίνησης μέχρι και. 34 ημέρες μετά, η κουκκίδα της ελήνης θα είναι πολύ κοντά στην γραμμή της τροχιάς (σχήμα.β) αλλά μόνο με την συγκεκριμένη απεικόνιση φαίνεται ότι το σώμα πέρασε κοντά από τη ελήνη. Παρερμηνεία της τροχιάς μπορεί επίσης να γίνει και σε μία περίπτωση σαν αυτή του σχήματος.γ, στο οποίο η τροχιά του σώματος τέμνει τη ελήνη και κάποιος μπορεί να θεωρήσει ότι το σώμα προσκρούει σε αυτή. Τη χρονική στιγμή όμως που απεικονίζεται στο σχήμα (. 6 ημέρες μετά την εκκίνηση του σώματος), η ελήνη βρίσκεται σε μία θέση από την οποία έχει ήδη περάσει το σώμα και επομένως δε συμβαίνει σύγκρουση. 0

Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη.β Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Όλες αυτές οι δυσκολίες στην κατανόηση μιας τροχιάς μπορούν να ξεπεραστούν με την προβολή της στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Όπως ήδη αναφέρθηκε, αυτό το σύστημα συντεταγμένων «ακολουθεί» την περιστροφική με σταθερή γωνιακή ταχύτητα κίνηση της Γης και της ελήνης γύρω από το κέντρο μάζας τους με αποτέλεσμα οι περιστρεφόμενες συντεταγμένες τους να παραμένουν πάντα σταθερές. Αυτό βοηθάει κυρίως στην άμεση εποπτεία των αποστάσεων από τις οποίες έχει διέλθει το σώμα σε σχέση με τη ελήνη. Όσον αφορά τις αποστάσεις από την Γη, και αυτές γίνονται άμεσα αντιληπτές, αλλά η διαφορά από το αδρανειακό σύστημα δεν είναι τόσο μεγάλη, αφού και εκεί η Γη παραμένει πολύ κοντά στο κέντρο μάζας και επομένως είναι σχεδόν ακίνητη. το σχήμα. φαίνεται η τροχιά του σχήματος. όπως αυτή αναπαρίσταται στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. χήμα. t = 5.d 0. 0.4 0.6 0.8..4 - - -0.75 - -.5 Παρά το γεγονός ότι έχει σχεδιαστεί η εξέλιξη της τροχιάς μέχρι και 5. ημέρες μετά την εκκίνησή της, φαίνεται ότι το σώμα, μέσα στο χρονικό διάστημα αυτό, πλησίασε κάποια στιγμή αρκετά κοντά στη ελήνη. Όσο μεγάλο και να είναι, λοιπόν, το διάστημα για το οποίο σχεδιάζεται μία τροχιά στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων, δεν χάνεται η πληροφορία μιας ενδεχόμενης προσέγγισης στη ελήνη που συνέβη εντός του διαστήματος αυτού.

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη.γ Βαθμοί Ελευθερίας Πέρα από την εποπτική διευκόλυνση που προσφέρει το περιστροφικό σύστημα συντεταγμένων, ο λόγος για τον οποίο ορίζεται είναι για να μειώσει τις παραμέτρους του συστήματος των τριών σωμάτων. χήμα.3 Αρχικά, στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων (βλ. σχήμα.3) χρειάζονται τρία ζεύγη συντεταγμένων για την πλήρη περιγραφή του συστήματος το ( ξ, η Γ Γ ) για τη Γη, το ( ξ, η ) για τη ελήνη και το ( ξ, η ) για το τρίτο σώμα. Η Γη και η ελήνη όμως, περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, και επομένως εισάγονται δύο σκληρόνομοι δεσμοί που περιγράφονται από τις εξισώσεις ξ η Γ Γ = r Γ = r Γ cosωt sinωt ή ξ η = r = r cosωt sinωt (.) και οι παράμετροι του συστήματος μειώνονται σε τέσσερις. Ένας ακόμη δεσμός είναι αυτός που περιγράφεται στην δεύτερη παραδοχή της παραγράφου., ο ω = σταθ. Τέλος, η απόσταση Γης ελήνης είναι γνωστή (τέταρτος δεσμός) επομένως, ένα από τα δύο ζεύγη εξισώσεων (.) μαζί με τις εξισώσεις m m Γ Γ ξ η Γ Γ + m + m ξ η = = ( m Γ + m ) ξ Κ ( m Γ + m ) ηκ (.) θα δίνει τις συντεταγμένες της Γης και της ελήνης. Δηλαδή, οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος μειώνονται στους δύο και αυτό που απομένει είναι η επιλογή των γενικευμένων συντεταγμένων που θα ξ, η για το περιγράφουν τη θέση του τρίτου σώματος. Αυτές θα είναι οι ( ) αδρανειακό ή οι ( x, y) για το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Η

Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη διαφορά είναι ότι στην περίπτωση του αδρανειακού συστήματος συντεταγμένων, πέρα της θέσης του τρίτου σώματος θα πρέπει να δίνονται και οι θέσεις της Γης και της ελήνης οι οποίες, παρόλο που είναι γνωστές, θα μεταβάλλονται αντίθετα, στο περιστρεφόμενο σύστημα θα παραμένουν σταθερές: x y Γ Γ = r Γ = 0 και x y = r = 0 όπως φαίνεται και στο σχήμα.4. χήμα.4.δ Μετασχηματισμοί υντεταγμένων Πριν γίνει η περιγραφή των εξισώσεων κίνησης στα δύο συστήματα συντεταγμένων, κρίνεται χρήσιμο να δοθούν οι μετασχηματισμοί θέσης και ταχύτητας από το ένα σύστημα στο άλλο για να υπάρχει η δυνατότητα να λύνεται και να σχεδιάζεται η ίδια τροχιά και στις δύο περιπτώσεις. Από το σχήμα.3 προκύπτει ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων θέσης για τη μετάβαση από το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων στο αδρανειακό: ξ = cosωt x sinωt y η = sinωt x + cosωt y (.3) Παραγωγίζοντας τις σχέσεις αυτές ως προς το χρόνο, και λαμβάνοντας υπόψη ότι ω = σταθ, προκύπτει ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων: ξ& = η& = ( x& y ω) cosωt ( y& + x ω) sinωt ( y& + x ω) cosωt ( y ω x& ) sinωt (.4) 3

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη Από το σχήμα.3 προκύπτει και ο αντίστροφος του μετασχηματισμού που περιγράφεται από τις σχέσεις (.3), αυτός δηλαδή που χρησιμοποιείται για την μετάπτωση από το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων στο περιστρεφόμενο: x = cosωt ξ + sinωt η y = sinωt ξ + cosωt η Με την παραγώγιση των σχέσεων (.5) και για αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων: x& = y& = ( ξ& + η ω) cosωt ( ξ ω η& ) sinωt ( η& ξ ω) cosωt ( ξ& + η ω) sinωt (.5) θ & = ω = σταθ, προκύπτει ο (.6) Όπως, όμως θα αναφερθεί και στην παράγραφο.3α για τις κανονικοποιημένες συντεταγμένες, στη λύση και την επεξεργασία του προβλήματος θα θεωρηθούν κατάλληλες μονάδες ώστε να είναι ω = και επομένως τα ζεύγη εξισώσεων (.4) και (.6) γίνονται αντίστοιχα ξ& = η& = ( x& y) cost ( y& + x) sint ( y& + x) cost ( y x& ) sint (.7) και x& = y& = ( ξ& + η) cost ( ξ η& ) sint ( η& ξ) cost ( ξ& + η) sint (.8).3 Εξισώσεις Κίνησης.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες ε αυτό το σημείο γίνεται μία σύντομη περιγραφή του συστήματος Γης ελήνης με αριθμούς. ήμερα, είναι γνωστό ότι η διάμετρος της Γης είναι 7 756.3 km, ενώ η μάζα της είναι 5.977 0 g. Για τη ελήνη είναι γνωστό ότι 5 έχει διάμετρο 3476 km και μάζα 7.35 0 g ( 0.03 M Γ ) η τροχιά της γύρω από τη Γη γίνεται σε ακτίνα 384400 km και έχει περίοδο 7.3d. Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζουν μεταξύ τους διαφορές πολλών τάξεων μεγέθους και επομένως εάν εισαχθούν σαν δεδομένα για τις ίδιες εξισώσεις σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή, θα φέρουν αποτελέσματα με αρκετά σημαντικά 4

Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη σφάλματα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούνται κανονικοποιημένες μονάδες μήκους, μάζας και χρόνου στις εξισώσεις κίνησης. Κανονικοποιημένη μονάδα μήκους ορίζεται ως η απόσταση Γης ελήνης ( 384400 km ). Όσον αφορά τις μάζες, κανονικοποιημένη μονάδα ορίζεται το άθροισμα των μαζών της Γης και της ελήνης. μ + μ (.9) Γ = Τέλος, για τον ορισμό της κανονικοποιημένης μονάδας χρόνου, θεωρείται ότι για την παγκόσμια σταθερά έλξης ισχύει G = (.0) και επομένως η σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος Γης ελήνης γύρω από το κέντρο βάρους ισούται με τη μονάδα θ & = ω =. Αυτό έχει σαν άμεση συνέπεια την αντιστοίχηση της περιόδου περιστροφής της ελήνης 7.3d σε τόξο π. Τελικά, η κανονικοποιημένη μονάδα χρόνου προκύπτει να είναι 4.348d.3β Εξισώσεις Κίνησης το Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων Ξεκινώντας από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση του τρίτου σώματος στο πεδίο της Γης και της ελήνης, θα είναι: r r r m γ = F + F (.) Όπου F r η δύναμη που δέχεται από τη Γη και F r η δύναμη που δέχεται από τη ελήνη. Δηλαδή, r m m ) m m v F = και (.) Γ Γ G r = G r 3 r r r F m m ) m m r = G r = G (.3) r 3 r r Όπου r ) ) = και (.4) r = (.5) Τελικά ( ξ ξ Γ ) i + ( η ηγ ) j ) ) ( ξ ξ ) i + ( η η ) j 5

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη r m v m r (.6) r r Γ (.) γ = G r G r 3 3 Για τις κανονικοποιημένες μάζες της Γης και της ελήνης μ μ Γ και μ θα ισχύει: m m = = 0.0505 (.7) m + m m = Γ Γ ( + 0.03) και επομένως ( ) μ = μ 0.987849.9 Γ = (.8) Αναλύοντας την (.6) στις συνιστώσες της, λαμβάνοντας υπόψη την (.0) και εισάγοντας τις μάζες μ Γ και μ, προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης του τρίτου σώματος στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων: & ξ Γ ξ ξ ξ ξ = μ Γ + μ 3 3 r r & ξ Γ ξ ξ ξ ξ = 0.987849 + 0.0505 (.9) 3 3 r r ηγ η η η & η& = μ Γ + μ 3 3 r r ηγ η η η & η = 0.987849 + 0.0505 (.0) 3 3 r r Όπου, τα ( ξ, ) και (, ) η Γ Γ ξ η δεν είναι σταθερά, αλλά δίνονται από την λύση του συστήματος των σχέσεων (.), (.) και με αντικατάσταση των κανονικοποιημένων μαζών από τις (.7) και (.8): ξ Γ η Γ ξ η = 0.0505 cost (.) = 0.0505 sint (.) = 0.987849 cost (.3) = 0.987849 sint (.4).3γ Εξισώσεις Κίνησης το Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Μετασχηματίζοντας τις σχέσεις (.9) και (.0) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. x + μ x μ Γ & x = μ Γ + μ + y + x 3 3 R R & (.5) 6

Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη μ μ Γ & y = + y x + y 3 3 R R & (.6) Όπου τώρα τα R και R δίνονται από τις σχέσεις R R = = ( x x ) + ( y y ) Γ ( x x ) + ( y y ) Γ και (.7) Οι δε συντεταγμένες της Γης και της ελήνη στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων θα είναι σταθερές και ίσες με ( x Γ, y Γ ) ( 0.0505,0) ( x, y ) ( 0.987849,0) = (.8) = (.9) 7

8 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη

3. Ποιοτική Ανάλυση 3. Το Ολοκλήρωμα Jacobi Έχοντας περιγράψει τις εξισώσεις κίνησης του προβλήματος, επόμενος στόχος είναι να βρεθούν τα όρια της κίνησης για διάφορες ενέργειες αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια του ολοκληρώματος Jacobi. Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του τρίτου σώματος που δίνονται από τις διαφορικές εξισώσεις (.5) και (.6), μπορούν να γραφούν και σαν μερικές παράγωγοι μίας βαθμωτής συνάρτησης U: U & x y& = x (3.) U & y + x& = y (3.) Όπου η U δίνεται από τη σχέση ( x + y ) μ μ U + Γ = + (3.3) R R Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (3.) επί x& και τη σχέση (3.) επί y& και προσθέτοντας, προκύπτει η σχέση U U du x & && x + y& && y = x& + y& = (3.4) x y dt η οποία μετά από ολοκλήρωση γίνεται x& + y& = U C (3.5) όπου C η σταθερά ολοκλήρωσης. Η (3.5) μέσω της (3.3) δίνει C μ μ ( x& + y& ) Γ = x + y + + R R (3.6) την προσπάθεια να έρθει ο όρος με τις γενικευμένες ταχύτητες σε μία μορφή που να μοιάζει με κινητική ενέργεια, πολλαπλασιάζεται η σταθερά C επί :

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη μ Γ μ ( x + y & ) + ( x + y ) C J C = & = R R (3.7) Η παράσταση αυτή έχει σταθερή τιμή κατά μήκος μιας τροχιάς και ονομάζεται ολοκλήρωμα Jacobi. Το ολοκλήρωμα αυτό, όπως είναι γραμμένο στη σχέση (3.7) έχει τη μορφή C J = T + V, όπου V το υποθετικό δυναμικό, ( x y ) μ μ = + R R (3.8) Γ V + επομένως, μπορεί να αποκαλείται και ολοκλήρωμα ενέργειας. 3. Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας Όπως στις μονοδιάστατες κινήσεις χρησιμοποιείται το ολοκλήρωμα της ενέργειας για να βρεθούν τα όρια της κίνησης, έτσι και εδώ θα χρησιμοποιηθεί η σχέση (3.7): μ μ & J R R (3.9) Γ ( 3.7) ( x + y& ) = C + + + ( x + y ) 0 Η σχέση αυτή ορίζει τις επιτρεπτές περιοχές κίνησης. Θεωρώντας την ισότητα με το μηδέν και δίνοντας στη σταθερά C J διάφορες τιμές, προκύπτουν καμπύλες που δείχνουν τις περιοχές στις οποίες μπορεί να κινηθεί το τρίτο σώμα με την ανάλογη ενέργεια. Οι καμπύλες αυτές ονομάζονται ισοδυναμικές καμπύλες μηδενικής ταχύτητας. το σχήμα 3. φαίνεται η ισοδυναμική καμπύλη για C J =. 63343 και μία τροχιά με αντίστοιχη ενέργεια η οποία περιορίζεται από τα όρια που θέτει η καμπύλη. Γίνεται δε σαφές ότι το τρίτο σώμα δεν πρόκειται να φτάσει ποτέ αρκετά κοντά στη ελήνη ώστε να επηρεάζεται κατά κύριο λόγο από το πεδίο της. Η χρησιμότητα των ισοδυναμικών καμπύλων είναι προφανής και γι αυτό στο σχήμα 3. δίνονται οι διάφορες μορφές που παίρνουν με τη μεταβολή του C J. το σχήμα 3.α έχει σχεδιαστεί η ισοδυναμική καμπύλη του σχήματος 3. που είναι αντιπροσωπευτική μορφή για χαμηλές ενέργειες. Η αμέσως επόμενη, ενεργειακά, οικογένεια ισοδυναμικών καμπύλων έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 3.β αυτές οι ενέργειες είναι οι χαμηλότερες για τις οποίες υπάρχει η δυνατότητα μετάβασης από τη Γη στη ελήνη, αλλά δεν είναι αρκετές για τη διαφυγή από το σύστημα Γης ελήνης. το επόμενο ενεργειακό στάδιο οι ισοδυναμικές καμπύλες παίρνουν τη μορφή του σχήματος 3.γ και το τρίτο σώμα έχει τη δυνατότητα να μεταβεί από τη Γη στη ελήνη, αλλά και να διαφύγει από το πεδίο τους μόνον όμως από την 0

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση χήμα 3. C J =.63343 πλευρά της ελήνης. Τέλος, στην ενεργειακή κατάσταση που περιγράφεται από τις καμπύλες του σχήματος 3.δ το σώμα έχει τη δυνατότητα να διαφύγει από το πεδίο Γης ελήνης και από την πλευρά της Γης όπως φαίνεται και από το σχήμα, όμως, υπάρχουν δύο περιοχές στις οποίες το σώμα δεν μπορεί να κινηθεί. Προφανώς οι περιοχές αυτές όσο αυξάνεται η ενέργεια μικραίνουν και όταν η σταθερά C J πάρει την τιμή C J = -.4939985438 εξαφανίζονται από την ενέργεια που αντιστοιχεί σε αυτή την τιμή της σταθεράς Jacobi και για υψηλότερες ενέργειες, το σώμα μπορεί να κινείται οπουδήποτε στο χώρο. Οι τιμές C J = -.5060735567, C J = -.586080083 και C J = -.594703866 είναι αυτές στις οποίες γίνεται η αλλαγή της μορφής των ισοδυναμικών καμπύλων και τα αντίστοιχα σχέδια φαίνονται στο σχήμα 3.3. Τα σημεία που τονίζονται με πράσινο χρώμα (στο ίδιο σχήμα) είναι αυτά στα οποία ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες κατά την αλλαγή της μορφής τους και αποτελούν τα σημεία ισορροπίας της κίνησης για τα οποία γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Για να υπάρχει εποπτεία της συνεχής μεταβολής των ισοδυναμικών καμπύλων συναρτήσει του C, κατασκευάζεται το τρισδιάστατο σχήμα 3.4. J

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χήμα 3. C J =.63343 C J =. 589 3.α 3.β C J =.56 C J =. 505 3.γ 3. δ Το δεύτερο μέλος της σχέσης (3.9) πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση επιτρέπεται εκεί που τα επίπεδα σταθερής C J έχουν μεγαλύτερη τιμή από αυτή της γραφικής παράστασης του σχήματος 3.4. την ουσία, η τομή ενός επιπέδου σταθερής C J με τη γραφική παράσταση δίνει μία ισοδυναμική καμπύλη που θα έχει μία από τις μορφές που παρατέθηκαν στο σχήμα 3..

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση χήμα 3.3.5 - -.5 - -.5 - - -.5 - χήμα 3.4 3

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη 3.3 ημεία Ισορροπίας Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης σε ένα πεδίο είναι τα σημεία ισορροπίας. Η θέση των σημείων αυτών για το υπό μελέτη πρόβλημα φαίνεται στο σχήμα 3.3 με πράσινες τονισμένες τελείες, ενώ η ονομασία τους προκύπτει από τη σειρά με την οποία ανοίγουν σε αυτά οι ισοδυναμικές καμπύλες. Έτσι, καθώς αυξάνεται η ενέργεια του τρίτου σώματος, οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν όταν C J = -.594703866 στο σημείο L που βρίσκεται μεταξύ Γης ελήνης αυτή είναι η χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση για την οποία το σώμα μπορεί να μεταβεί από τη Γη στη ελήνη. Το L σημείο ισορροπίας βρίσκεται πάνω στον άξονα Γης ελήνης και από την εξωτερική πλευρά της ελήνης στο σημείο αυτό ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες όταν C J = -.586080083. Για C J = -.5060735567 οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν στο σημείο L3 που βρίσκεται πάνω στον άξονα των ξ και από την εξωτερική πλευρά της Γης. Τα σημεία L4 και L5 είναι αυτά στα οποία εξαφανίζονται οι απαγορευμένες περιοχές του σχήματος 3.δ όταν C J = -.4939985438. Οι θέσεις των σημείων ισορροπίας, όπως φαίνεται και από το σχήμα 3.3, είναι σταθερές στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων ακολουθούν, δηλαδή, την περιστροφή της ελήνης γύρω από τη Γη. Προκύπτουν δε από το μηδενισμό των μερικών παραγώγων της συνάρτησης υποθετικού δυναμικού (βλ. σχέση (3.8)), λύνοντας, δηλαδή, το σύστημα εξισώσεων V = 0 x V = 0 y (3.0α) (3.0β) Οι συντεταγμένες των πέντε σημείων ισορροπίας με ακρίβεια μέχρι και 6 ου δεκαδικού * στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων είναι οι ακόλουθες: Για το L ( x, y ) ( 0.83695,0) Για το L ( x, y ) (.5568,0) Για το L3 ( x 3, y3 ) (.00506,0) Για το L4 ( x 4, y 4 ) ( 0.487849, 0.86605) Για το L5 (, y ) ( 0.487849,0.86605) = (3.α) = (3.β) = (3.γ) = (3.δ) 5 = (3.ε) x 5 Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι θέσεις των L4 και L5 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα των ξ, και είναι τέτοιες ώστε να σχηματίζονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα με τη Γη και τη ελήνη. Είναι επίσης οι θέσεις που φιλοξενούν τα ευσταθή σημεία ισορροπίας του συστήματος τα υπόλοιπα L, L και L3 σημεία ισορροπίας είναι ασταθή. * Ο τρόπος εύρεσης των σ.ι. αλλά και μεγαλύτερη ακρίβεια δίνονται στο παράρτημα 4

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση Μία απλή μελέτη της ευστάθειας μπορεί να γίνει αφήνοντας το τρίτο σώμα σε περιοχές κοντά στις θέσεις ισορροπίας με μηδενική ταχύτητα και καταγράφοντας την τροχιά του. Για τα ευσταθή L4 και L5, ακόμα και για αρκετά μεγάλες αποστάσεις από την ακριβή θέση ισορροπίας το σώμα θα κινείται στην ίδια περιοχή όπως και στο σχήμα 3.5. την περίπτωση αυτή, το τρίτο σώμα έχει τοποθετηθεί σε απόσταση 307.33 km από το L4 με μηδενική ταχύτητα ακόμα και 7 μέρες μετά (τόσος είναι ο χρόνος της τροχιάς του σχήματος) κινείται στην ίδια περιοχή. Αντίθετα, για τα ασταθή L, L και L3 με όσο μεγαλύτερη ακρίβεια τοποθετηθεί το σώμα στη θέση ισορροπίας, για τόσο μεγαλύτερο διάστημα θα παραμείνει σε εκείνη την περιοχή. το σχήμα 3.6 φαίνεται η τροχιά ενός σώματος που τοποθετήθηκε σε απόσταση 8.34 m από το L με μηδενική σχετική ταχύτητα. Για τις πρώτες 6. μέρες το σώμα παραμένει σε πολύ μικρές αποστάσεις από το L (σχήμα 3.6α). Μέσα στις 43.5 πρώτες μέρες διαγράφει την τροχιά του σχήματος 3.6β, ενώ στις 87 πρώτες μέρες έχει ξεφύγει τελείως από την περιοχή που αρχικά τοποθετήθηκε διαγράφοντας την τροχιά του σχήματος 3.6γ. Εάν το σώμα είχε τοποθετηθεί σε απόσταση 39 m από το L, μετατοπισμένο κατά την ίδια διεύθυνση, θα είχε αρχίσει να διαφεύγει από την περιοχή αυτή ήδη μετά τις πρώτες.7 μέρες. 5

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χήμα 3.5-0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8 - - -0.75 - χήμα 3.6 0.4 0. - - 0.75.5.5 3.6α -0. -0.4 0.4 0. - - 0.75.5.5 3.6β -0. -0.4 0.75 - -.5 3.6γ - - -0.75-6

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση 3.4 Η Τομή Poincare 3.4α Τι Είναι Η Τομή Poincare Έχοντας ολοκληρώσει την έρευνα γύρω από τη δυναμική του τρίτου σώματος στο πεδίο Γης ελήνης, από το σημείο αυτό και έπειτα βασικό θέμα είναι η περιγραφή τροχιών. την περίπτωση που δεν ενδιαφέρει τόσο η παρακολούθηση της τροχιάς κάθε χρονική στιγμή όσο η ποιοτική της μελέτη, ένας τρόπος απεικόνισης είναι οι τομές Poincare για τις οποίες γίνεται λόγος σε αυτή την παράγραφο. Θεωρώντας κινήσεις που αντιστοιχούν σε μία σταθερή τιμή του ολοκληρώματος Jacobi κινήσεις δηλαδή, σταθερής ενέργειας και επιλέγοντας επιπλέον την συνθήκη y = 0, κατασκευάζεται μία διδιάστατη επιφάνεια που ονομάζεται επιφάνεια τομής. Από την σχέση (3.7) φαίνεται ότι κάθε σημείο της επιφάνειας αυτής προσδιορίζει πλήρως την κατάσταση του συστήματος, αφού τα x, x& προσδιορίζονται σαν συντεταγμένες του σημείου, το C είναι σταθερό και y = 0. Τέλος, θα είναι: J μ Γ μ ( 3.7) y& = C + + + ( x + y ) y& = ± C J J μ + R R Γ μ + R R + x x& x& και η αβεβαιότητα στο πρόσημο του y&, μπορεί να ξεπεραστεί κατασκευάζοντας την επιφάνεια τομής με σημεία για τα οποία είναι π.χ. y & < 0. Η επιφάνεια τομής ονομάζεται και τομή Poincare και βοηθάει πολύ στον ποιοτικό διαχωρισμό των τροχιών σε τρεις βασικές κατηγορίες για τις οποίες γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Μία ακόμα αρκετά σημαντική προσφορά των τομών Poincare είναι ότι βοηθούν στην εκτίμηση των αποστάσεων από τις οποίες διέρχεται το τρίτο σώμα σε σχέση με τη Γη και τη ελήνη. Αυτό, τις καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμες για τη μελέτη των τροχιών που γίνεται στο επόμενο κεφάλαιο καθώς ενδιαφέρουν κυρίως τροχιές που περνούν κοντά από τη Γη αλλά και τη ελήνη. 3.4β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών Όπως έγινε σαφές στην παράγραφο 3.4α, κάθε σημείο της τομής Poincare καθορίζει πλήρως το σύστημα και επομένως αντιστοιχεί σε μία και μόνο τροχιά του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε τιμή ενέργειας (δηλαδή για κάθε τιμή του ολοκληρώματος Jacobi) μπορεί να κατασκευαστεί μία επιφάνεια 7

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη τομής με πλήθος αντιπροσωπευτικών τροχιών η οποία παρέχει πλήρη εποπτεία της δυναμικής του συστήματος. Για να γίνεται όμως αντιληπτή η συμπεριφορά μιας τροχιάς από την απεικόνισή της στην τομή Poincare, στο σημείο αυτό παρατίθενται τα χαρακτηριστικά των τριών βασικών κατηγοριών τροχιών όπως αυτά παρουσιάζονται στις επιφάνειες τομής. Έτσι, μία τροχιά που στην τομή Poincare απεικονίζεται ως ένας πεπερασμένος αριθμός k για παράδειγμα σημείων θα είναι περιοδική, με περίοδο k. Μία τροχιά που στην τομή Poincare αποτελείται από άπειρα σημεία τα οποία για t σχηματίζουν κλειστή καμπύλη, θα αποκαλείται ημιπεριοδική τροχιά η δε κλειστή καμπύλη ονομάζεται αναλλοίωτος κύκλος. Τέλος, τροχιές που απεικονίζονται με άτακτα διασκορπισμένα σημεία, ονομάζονται χαοτικές τροχιές. Οι τροχιές αυτού του είδους έχουν απρόβλεπτη συμπεριφορά με το πέρασμα του χρόνου και εμφανίζουν εξαιρετική ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Τ χήμα 3.7 Τ Τ3 Τ Τ3 Τ Τ Το σχήμα 3.7 δείχνει την τομή Poincare του συστήματος για 6 C J. =, ενώ οι δείκτες που έχουν τοποθετηθεί υποδεικνύουν τη θέση των σημείων που απεικονίζουν τις τροχιές τ, τ και τ3. ύμφωνα με την παραπάνω περιγραφή, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η τ τροχιά είναι περιοδική, η τ ημιπεριοδική και 8

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση η τ3 χαοτική. Για τις τρεις αυτές τροχιές κατασκευάζεται το σχήμα 3.8 στο οποίο φαίνεται η 30 ημερών εξέλιξή τους στο αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Τροχιά Αδρανειακό χήμα 3.8 ύστημα υντεταγμένων Περιστρεφόμενο 0.75 0.8 0.6 0.4 0. Τ -0.8-0.6-0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8 - -0.75 - - 0.75-0. -0.4 - -0.6-0.75-0.8-0.75 0.8 0.6 0.4 0. Τ -0.8-0.6-0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8 - -0.75 - - 0.75-0. -0.4 - -0.6-0.75-0.8-0.75 0.8 0.6 0.4 0. Τ3-0.8-0.6-0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8 - -0.75 - - 0.75-0. -0.4 - -0.6-0.75-0.8-9

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη 3.4γ Οι Τομές Poincare το ύστημα Γη ελήνη Όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 3., η περιοχή κίνησης αλλά και το είδος των τροχιών του τρίτου σώματος εξαρτώνται από την ενέργειά του. Για αυτό τον λόγο, εξετάζονται παρακάτω οι τομές Poincare για τις χαρακτηριστικές περιοχές τιμών του ολοκληρώματος C J. τα διαγράμματα αυτά, η Γη βρίσκεται στην θέση x 0, ενώ η ελήνη στην x η μιλλιμετρέ περιοχή είναι αυτή στην οποία δεν έχει την δυνατότητα να εισέλθει το σώμα λόγω της ενέργειάς του. Επίσης υπενθυμίζεται ότι στις αρχικές συνθήκες που χρησιμοποιούνται παρακάτω, η y& συνιστώσα είναι αρνητική. Αρχικά παρατίθεται στο σχήμα 3.9 η τομή Poincare για C J =. 9. Η ενέργεια αυτή είναι αρκετά χαμηλή και πρακτικά δεν υπάρχουν χαοτικές τροχιές. χήμα 3.9 C J =.9 Παρατηρώντας την επιφάνεια τομής εύκολα μπορεί κανείς να χωρίσει τις τροχιές σε τέσσερις κατηγορίες, με βάση την περιοχή στην οποία εμφανίζονται τα σημεία που την απεικονίζουν. Έτσι προκύπτουν οι τροχιές που δίνουν σημεία αριστερά της Γης, στις οποίες το τρίτο σώμα κινείται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής της ελήνης και οι οποίες αποκαλούνται direct (σχήμα 3.0α). Αντίστροφα τώρα, στις τροχιές που δίνουν σημεία δεξιά 30