ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Ο νόμος του Gauss Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας (1) Υπολογισμός την ηλεκτρικής ροής μέσα από μια επιφάνεια. Χρήση του νόμου του Gauss για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου συνεχών κατανομών φορτίου υψηλής συμμετρίας (φορτισμένη γραμμή, δίσκος, σφαίρα. κ.λ.π.). 4
Ηλεκτρική ροή Η ηλεκτρική ροή ορίζεται ως το γινόμενο του μέτρου E του ηλεκτρικού πεδίου επί το εμβαδόν A της επιφάνειας που είναι κάθετη στις γραμμές του πεδίου. Φ Ε =Ε x A Μονάδες ηλεκτρικής ροής: Nm2 C Η ηλεκτρική ροή είναι ανάλογη του πλήθους των γραμμών του ηλεκτρικού πεδίου που διαπερνούν την επιφάνεια Α. Εικόνα 1: Ηλεκτρική Ροή. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT«Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 5
Η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια τυχαία επιφάνεια υπό γωνία Οι γραμμές του πεδίου μπορεί να σχηματίζουν γωνία θ με την κάθετο στην επιφάνεια. Σε αυτή την περίπτωση, η ηλεκτρική ροή γράφεται: Φ Ε =Ε x Α x cosθ. Εικόνα 2: Ηλεκτρική Ροή υπό γωνία. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 6
Ηλεκτρική ροή Κατανόηση της εξίσωσης Η ηλεκτρική ροή έχει μέγιστη τιμή όταν η επιφάνεια είναι κάθετη στο πεδίο. θ = 0. Η ηλεκτρική ροή έχει μηδενική τιμή όταν η επιφάνεια είναι παράλληλη στο πεδίο. θ = 90. 7
Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (1/3) Το γινόμενο AB cosθ (των μέτρων δύο διανυσμάτων επί το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας) το οποίο συναντάμε συχνά στην επιστήμη, το συμβολίζουμε με Α Β και το ονομάζουμε εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο των δύο διανυσμάτων: Α Β = AB cosθ. Εικόνα 3: Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 8
Εσωτερικό γινόμενο δύο Στο εσωτερικό γινόμενο ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. διανυσμάτων (2/3) Στο εσωτερικό γινόμενο ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. 9
Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (3/3) Όταν τα διανύσματα είναι εκφρασμένα σε μορφή συνιστωσών: A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k το εσωτερικό τους γινόμενο γράφεται: A B = A x B x + A y B y + A z B z (γιατί;) Επομένως, A Α = Α x 2 + Α y 2 + Α z 2 = A 2 10
Η ροή σαν εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (1/2) Αν αντικαταστήσουμε στην εξίσωση Φ E = EA cos θ της ηλεκτρικής ροής, παίρνουμε Φ Ε = E A όπου A είναι ένα κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια με μέτρο όσο και το εμβαδόν A της επιφάνειας. Προσοχή: Η σχέση Φ E = EA cos θ ή Φ Ε = E A ισχύει μόνο για ομογενές πεδίο, δηλαδή, για πεδίο έχει την ίδια τιμή παντού σε όλα τα σημεία της επιφάνειας. Όταν το πεδίο είναι ανομοιογενές ;;; 11
Η ροή σαν εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (2/2) Εικόνα 4: Η ροή σαν εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 12
Ηλεκτρική ροή Γενικά Στην πιο γενική περίπτωση, όταν η επιφάνεια δεν είναι επίπεδη ή το πεδίο δεν είναι ομογενές, εξετάζουμε ένα στοιχειώδες τμήμα της επιφάνειας εμβαδού ΔΑ i. Η ροή μέσα από το ΔΑ i είναι ΔΦ Ε = E i ΔΑ i cosθ i = E i ΔA i Αθροίζοντας σε όλη την επιφάνεια, βρίσκουμε την ολική ροή Φ Ε = i E i ΔA i Εικόνα 5: Ηλεκτρική ροή. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 13
Ηλεκτρική ροή Γενικά: Από το άθροισμα στο ολοκλήρωμα (1/2) Παίρνοντας το όριο, όπου το ΔA γίνεται απειροστά μικρό, da, έχουμε το γενικό ορισμό της ηλεκτρικής ροής ενός τυχαίου πεδίου (ομογενούς ή μη) που διέρχεται μέσα από μια τυχαία επιφάνεια. 14
Ηλεκτρική ροή Γενικά: Από το άθροισμα στο ολοκλήρωμα (2/2) Εικόνα 6: Ηλεκτρική ροή Γενικά: Από το άθροισμα στο ολοκλήρωμα. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 15
Παράδειγμα Η2.1 Ροή που διέρχεται από κύβο (1/2) Θεωρήστε ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε σε έναν κενό χώρο, προσανατολισμένο προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x. Στο πεδίο εισάγεται ένας κύβος με μήκος ακμής l και τον προσανατολισμό που φαίνεται στην εικόνα βρείτε τη συνολική ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια του κύβου. Εικόνα 7: Ροή που διέρχεται από κύβο. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 16
ΛΥΣΗ. Παράδειγμα Η2.1 Ροή που διέρχεται από κύβο (2/2) Οι γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου διέρχονται κάθετα από δύο έδρες του κύβου και είναι παράλληλες στις άλλες τέσσερις. Για την έδρα 1, Ε = E l 2. Για την έδρα 2, Ε = E l 2. Για τις υπόλοιπες έδρες, Ε = 0. Επομένως, Ε,συν = E l 2 + E l 2 = 0. 17
1777 1855. Karl Friedrich Gauss Συνεισέφερε στους παρακάτω τομείς: Ηλεκτρομαγνητισμό, Θεωρία αριθμών, Στατιστική, Μη ευκλείδεια γεωμετρία, Μηχανική των τροχιών των κομητών. Ήταν ένας από τους ιδρυτές της Γερμανικής Ένωσης Μαγνητισμού Γ.Ε.Μ.. (Η Γ.Ε.Μ. μελετά το μαγνητικό πεδίο της Γης). Εικόνα 8:Karl Friedrich Gauss. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 18
Ο νόμος του Gauss Ο νόμος του Gauss εκφράζει τη γενική σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου που αυτή περιέχει. Η κλειστή επιφάνεια συχνά λέγεται και επιφάνεια Gauss. Η μαθηματική μορφή του νόμου του Gauss είναι: όπου q εντός είναι το συνολικό φορτίο εντός της επιφάνειας και Ε το ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σημείο της επιφάνειας. 19
Σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορτίου (1/6) Μια μονωτική συμπαγής σφαίρα ακτίνας είναι έχει ομοιόμορφη χωρική πυκνότητα φορτίου και φέρει συνολικό θετικό φορτίο Q. Υπολογίστε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο εκτός της σφαίρας. Εικόνα 9: Σφαιρικά συμμετρική κατανομή. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 20
Σφαιρικά συμμετρική κατανομή Λύση: φορτίου (2/6) Επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss μια σφαίρα με r > α (Εικόνα 9). Θεωρούμε ένα στοιχειώδες τμήμα της da. 21
Σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορτίου (3/6) Βρείτε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο που βρίσκεται εντός της σφαίρας. ΛΥΣΗ. Επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss μια σφαίρα, με r < α. Έχουμε q εντός < Q. q εντός = ρ (4/3πr 3 ) (γιατί ;). 22
Σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορτίου (4/6) Εικόνα 10: Σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορτίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 23
Σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορτίου (5/6) Στο εσωτερικό της σφαίρας, το E μεταβάλλεται γραμμικά συναρτήσει του r. Καθώς η ακτίνα r 0, το πεδίο E 0. Στο εξωτερικό της σφαίρας το πεδίο είναι το ίδιο με εκείνο ενός σημειακού φορτίου που βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας. Εικόνα 11. Σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορτίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 24
Σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορτίου (6/6) Στο εσωτερικό της σφαίρας, το E μεταβάλλεται γραμμικά συναρτήσει του r. Καθώς η ακτίνα r 0, το πεδίο E 0. Στο εξωτερικό της σφαίρας το πεδίο είναι το ίδιο με εκείνο ενός σημειακού φορτίου που βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας. Εικόνα 12. Σφαιρικά συμμετρική κατανομή φορτίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 25
Κυλινδρικά συμμετρική κατανομή φορτίου (1/2) Βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο σε απόσταση r από ένα θετικά φορτισμένο ευθύγραμμο αγωγό απείρου μήκους και σταθερής γραμμικής πυκνότητας φορτίου. Εικόνα 13. Κυλινδρικά συμμετρική κατανομή φορτίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 26
Λύση: Κυλινδρικά συμμετρική κατανομή φορτίου (2/2) Επιλέγουμε μια κυλινδρική επιφάνεια Gauss με ακτίνα r και μήκος l (Εικόνα 13). Στο καμπύλο τμήμα της επιφάνειας, το πεδίο έχει σταθερό μέτρο και είναι κάθετο στην επιφάνεια σε κάθε σημείο της. Υπολογίζουμε το πεδίο χρησιμοποιώντας τον νόμο του Gauss. 27
Παράδειγμα Η2.4 - Φορτισμένο Βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί ένα θετικά φορτισμένο επίπεδο απείρων διαστάσεων με ομοιόμορφη επιφανειακή πυκνότητα φορτίου. επίπεδο (1/3) Εικόνα 14. Φορτισμένο επίπεδο. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 28
Παράδειγμα Η2.4 - Φορτισμένο ΛΥΣΗ. επίπεδο (2/3) Το πεδίο E πρέπει να είναι κάθετο στο επίπεδο και να έχει το ίδιο μέτρο σε όλα τα σημεία που ισαπέχουν από το επίπεδο. Επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss έναν μικρό κύλινδρο με δύο βάσεις εμβαδού Α και άξονα κάθετο στο φορτισμένο επίπεδο. Επειδή το πεδίο E είναι παράλληλο στην καμπύλη επιφάνεια του κυλίνδρου, το εμβαδόν αυτής της επιφάνειας δεν λαμβάνεται υπόψη στο επιφανειακό ολοκλήρωμα. Η ροή που διέρχεται από κάθε βάση του κυλίνδρου είναι EA οπότε η συνολική ροή είναι 2EA. 29
Παράδειγμα Η2.4 - Φορτισμένο επίπεδο (3/3) Το φορτίο του επιπέδου που περιέχεται μέσα στον κύλινδρο είναι A. Εφαρμόζουμε τον νόμο του Gauss. Παρατηρήστε ότι το πεδίο δεν εξαρτάται από την απόσταση r από την πλάκα, επομένως, το πεδίο είναι παντού ομογενές. Εικόνα 15. Φορτισμένο επίπεδο. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 30
Οι ιδιότητες αγωγού σε ηλεκτροστατική ισορροπία (1/2) Όταν δεν υπάρχει κίνηση φορτίου σε έναν αγωγό, τότε λέμε ότι ο αγωγός είναι σε ηλεκτροστατική ισορροπία. Ένας αγωγός που βρίσκεται σε ηλεκτροστατική ισορροπία έχει τις παρακάτω ιδιότητες: Το ηλεκτρικό πεδίο είναι ίσο με μηδέν σε κάθε σημείο του εσωτερικού του αγωγού, είτε ο αγωγός είναι συμπαγής είτε κοίλος. Αν ο αγωγός είναι μονωμένος και φέρει φορτίο, τότε αυτό βρίσκεται στην επιφάνειά του. 31
Οι ιδιότητες αγωγού σε ηλεκτροστατική ισορροπία (2/2) Το ηλεκτρικό πεδίο σε ένα σημείο που βρίσκεται ακριβώς έξω από έναν φορτισμένο αγωγό είναι κάθετο στην επιφάνεια του αγωγού και έχει μέτρο /є o, όπου είναι η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στο συγκεκριμένο σημείο. Σε έναν αγωγό με ακανόνιστο σχήμα, η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της σε θέσεις όπου η ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειας είναι ελάχιστη. 32
Στο εσωτερικό ενός αγωγού δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο (1/2) Θεωρούμε μια αγώγιμη πλάκα σε ένα εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο. Πριν από την εφαρμογή του εξωτερικού πεδίου, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια είναι κατανεμημένα ομοιόμορφα σε ολόκληρο τον αγωγό. Όταν εφαρμοστεί το εξωτερικό πεδίο, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια ανακατανέμονται (στη εικόνα δίπλα, μαζεύονται στην αριστερή πλευρά) μέχρι το μέτρο του πεδίου του πεδίου που δημιουργούν να είναι ίσο και αντίθετο με το μέτρο του εξωτερικού πεδίου. Στο εσωτερικό του αγωγού, το συνολικό πεδίο είναι ίσο με μηδέν. Η ανακατανομή γίνεται μέσα σε 10 16 s και μπορεί να θεωρηθεί ακαριαία. 33
Στο εσωτερικό ενός αγωγού δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο (2/2) Εικόνα 16. Έλλειψη ηλεκτρικού πεδίο στο εσωτερικό αγωγού. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 34
Το φορτίο βρίσκεται στην επιφάνεια του αγωγού (1/3) Επιλέγουμε μια επιφάνεια Gauss που βρίσκεται στο εσωτερικό του αγωγού, αλλά κοντά στην πραγματική επιφάνεια. Το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του αγωγού είναι ίσο με μηδέν (ιδιότητα 1). Η συνολική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια Gauss είναι ίση με μηδέν. Εφόσον μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η επιφάνεια Gauss βρίσκεται οσοδήποτε κοντά στην πραγματική επιφάνεια, συνεπάγεται ότι στο εσωτερικό της επιφάνειας δεν μπορεί να υπάρχει φορτίο. 35
Το φορτίο βρίσκεται στην επιφάνεια του αγωγού (2/3) Εικόνα 18: Το φορτίο βρίσκεται στην επιφάνεια του αγωγού. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 36
Το φορτίο βρίσκεται στην επιφάνεια του αγωγού (3/3) Εφόσον λοιπόν δεν μπορεί να υπάρχει φορτίο στο εσωτερικό της επιφάνειας, το όποιο συνολικό φορτίο φέρει ο αγωγός πρέπει να βρίσκεται επάνω στην επιφάνειά του. Ο νόμος του Gauss δεν επισημαίνει πώς κατανέμεται αυτό το φορτίο, αλλά μόνο ότι πρέπει να βρίσκεται στην επιφάνεια του αγωγού. 37
Το μέτρο και η κατεύθυνση του πεδίου (1/2) Επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss έναν κύλινδρο. Το πεδίο E πρέπει να είναι κάθετο στην επιφάνεια. Αν είχε συνιστώσα παράλληλη προς την επιφάνεια, τότε τα φορτία στην επιφάνεια θα δέχονταν μια δύναμη, θα επιταχύνονταν επί της επιφάνειας και, επομένως, δεν θα βρίσκονταν σε ισορροπία. Η συνολική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια Gauss είναι ίση με εκείνη που διέρχεται μόνο από την επίπεδη βάση που βρίσκεται εκτός του αγωγού δηλαδή είναι ΕΑ. Το φορτίο της επιφάνειας του αγωγού που κόβει η επιφάνεια Gauss είνα Α. Εφαρμόζοντας το νόμο του Gauss, έχουμε: 38
Το μέτρο και η κατεύθυνση του πεδίου (2/2) Εικόνα 19: Το μέτρο και η κατεύθυνση του πεδίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 39
Παράδειγμα Η2.7. Σφαίρα μέσα σε σφαιρικό κέλυφος (1/6) Μια συμπαγής μονωτική σφαίρα ακτίνας φέρει θετικό συνολικό φορτίο Q κατανεμημένο ομοιόμορφα στον όγκο της. Ένα αγώγιμο σφαιρικό κέλυφος εσωτερικής ακτίνας b και εξωτερικής ακτίνας c είναι ομόκεντρο με τη συμπαγή σφαίρα και φέρει συνολικό φορτίο 2Q. Χρησιμοποιήστε το νόμο του Gauss για να βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο στις περιοχές (1), (2), (3) και (4), καθώς και την κατανομή φορτίου στο κέλυφος όταν ολόκληρο το σύστημα είναι σε ηλεκτροστατική ισορροπία. 40
Παράδειγμα Η2.7. Σφαίρα μέσα σε Ανάλυση. σφαιρικό κέλυφος (2/6) Στην περιοχή (2), σχεδιάζουμε μια σφαιρική επιφάνεια Gauss ακτίνας r, όπου α < r < b. Το φορτίο του αγώγιμου κελύφους δημιουργεί μηδενικό πεδίο στην περιοχή r < b, οπότε στο εσωτερικό του κελύφους (περιοχές (1) και (2)) υπάρχει μόνο το πεδίο που δημιουργεί η συμπαγής μονωτική ομοιόμορφα φορτισμένη σφαίρα. Εικόνα 20: Σφαίρα μέσα σε σφαιρικό κέλυφος. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 41
Παράδειγμα Η2.7 - Σφαίρα μέσα σε σφαιρικό κέλυφος (3/6) Ανάλυση (συνέχεια): Έχουμε (από το πρόβλημα της συμπαγούς ομοιόμορφα φορτισμένης σφαίρας) στις περιοχές (1) και (2): Q Ε 1 = k e a3 r, για r< α Q Ε 2 = k e, για α < r < β r 2 Στην περιοχή (3) το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν επειδή το σφαιρικό κέλυφος είναι αγωγός σε ισορροπία, επομένως: Ε 3 =0, για b < r < c 42
Παράδειγμα Η2.7 - Σφαίρα μέσα σε σφαιρικό κέλυφος (4/6) Στην περιοχή (4), δημιουργούμε μια σφαιρική επιφάνεια Gauss. Η επιφάνεια αυτή περιέχει συνολικό φορτίο q εντός = Q + (-2Q) = -Q, επομένως: E 4 = k e Q r 2 Εικόνα 21: Παράδειγμα Η 2.7. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 43
Παράδειγμα Η2.7 - Σφαίρα μέσα σε σφαιρικό κέλυφος (5/6) Τέλος, για να βρούμε την κατανομή φορτίου στο κέλυφος, δημιουργούμε μια σφαιρική επιφάνεια Gauss εντός του κελύφους με b < r < c. Σημειώνουμε ότι το q εντός είναι μηδέν επειδή E 3 = 0. Απ αυτό βρίσκουμε το φορτίο q εσωτερικό στην εσωτερική επιφάνεια του κελύφους: q εντός = q σφαίρας q εσωτερικό. q εσωτερικό = q εντός q σφαίρας = 0 Q = Q. 44
Παράδειγμα Η2.7 - Σφαίρα μέσα σε Ολοκλήρωση. σφαιρικό κέλυφος (6/6) Ελέγξτε το συνολικό φορτίο. Σκεφτείτε άλλους πιθανούς συνδυασμούς. Τι θα συνέβαινε αν η σφαίρα ήταν αγώγιμη αντί για μονωτική; Τέλος του κεφαλαίου. 45
Τέλος Ενότητας
Βιβλιογραφία Raymond A. Serway, John W. Jewett, «ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ: ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΗ, ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ», 8η Έκδοση Αμερικανική/ 2013, ΙSBN: 978-960- 461-509-4, Εκδ. ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ ΕΠΕ. Young D. Hugh, «Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Β, Ηλεκτρομαγνητισμός-Οπτική-Σύγχρονη Φυσική», 1η εκδ./1994, ΙSBN: 978-960-02-1088-0, Εκδ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. Knight D. Randall, «ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ: Τόμος ΙΙ - ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ, ΚΎΜΑΤΑ, ΟΠΤΙΚΉ, ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΌΣ», 1η έκδ./2010, ΙSBN: 978-960-319-306-7, Εκδ. Σ.ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΕ. 47
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Πουλάκης Νικόλαος. «Ηλεκτρομαγητισμός». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 49
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 50
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT, «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 51