----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ο 10.1 Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση 10.2 Η εφαρµογή της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης 10.3 Παράδειγµα 1ο εφαρµογής της Π. Γ.Π. 10.4 ιερεύνηση των µεταβλητών που συµµετέχουν στην ΠΓΠ 10.5 Μελέτη της κανονικότητας της εξαρτηµένηςµεταβλητής 10.6 Σχέση σύνδεσης των µεταβλητών που συµµετέχουν 10.7 Κατασκευή του µοντέλου Π Γ Π 10.8 Επιλογές και ρυθµίσεις της ΠΓΠ στο SPSS 10.9 Ερµηνεία αποτελεσµάτων 10.10 Εισαγωγή κατηγορικών ανεξάρτητων µεταβλητών 10.11 Παράδειγµα 2o εφαρµογής της Πολλ.Γρ.Παλινδρόµησης 30 Death rate per 1000 people 20 10 Observed Linear Logarithmic 0 40 50 60 70 80 Inverse Average male life expectancy

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 1------------ 10.1 Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάµε το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δύο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Παράδειγµα τέτοιας σχέσης έχουµε στη µελέτη του ύψους και του βάρους µιας οµάδας ανθρώπων, του εισοδήµατος και της κατανάλωσης εργαζοµένων σε µία εταιρεία κ. λ. π. Το πρόβληµα που θέλουµε να λύσουµε είναι να αποφασίσουµε αν υπάρχει σχέση σύνδεσης µεταξύ των εξεταζόµενων µεταβλητών και στη συνέχεια να προσδιορίσουµε τη σχέση αυτή µε βάση ορισµένες παρατηρήσεις. Ενας από του κύριους λόγους που η µελέτη αυτή είναι σηµαντική,, είναι ότι τα αποτελέσµατά της χρησιµοποιούνται συχνά για προβλέψεις Είναι προφανές ότι συχνά, ιδιωτικές Εταιρείες ή κρατικές µονάδες χρειάζεται να προβλέψουν µεταβλητές όπως η ζήτηση, τα επιτόκια, ο πληθωρισµός, οι τιµές πρώτων υλών, το εργατικό κόστος κ. λ. π. Σκοπός της Πολλαπλής Παλινδρόµησης είναι η κατασκευή ενός µοντέλου που να περιγράφει ικανοποιητικά τη σχέση µεταξύ µιας εξαρτηµένης συνεχούς µεταβλητής Υ και µίας ή περισσότερων συνεχών ανεξάρτητων µεταβλητών X 1,X 2,, X p, Αν η σχέση της εξαρτηµένης µεταβλητής είναι γραµµική συνάρτηση των παραµέτρων (ανεξάρτητων µεταβλητών) τότε η περιγραφή της σχέσης αυτής γίνεται βάση ενός γραµµικού µοντέλου. Η σχέση σύνδεση της εξαρτηµένης µεταβλητής µε τα ανεξάρτητα µεγέθη θα Είναι γενικά της µορφής: γ =b 0 + b 1 X 1 +b 2 X 2 +... + b 3 X 3 Συνήθως η ανεξάρτητη ή οι ανεξάρτητες µεταβλητές δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων, αλλά πρέπει να επιλεγούν οι καταλληλότερες από ένα σύνολο µεταβλητών που έχουµε στην διάθεσή µας. Με την τεχνική της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης (ΠΓΠ) βρίσκουµε ένα τέτοιο µοντέλο ή διαπιστώνουµε ότι δεν υπάρχει κανένα ικανοποιητικό. Η διαδικασία δηµιουργίας µιας µαθηµατικής εξίσωσης για την περιγραφή ενός φαινοµένου µπορεί να είναι ιδιαίτερα περίπλοκη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για την κατασκευή του µοντέλου απαιτείται κάποια γνώση της φύσης της σχέσης µεταξύ των µεταβλητών.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 2------------ Με την διαδικασία προσδιορισµού του µοντέλου της Γραµµικής Παλινδρόµησης προσπαθούµε περιγράψουµε µε τον βέλτιστο τρόπο την πληροφορία που µας δίνουν τα δεδοµένα µας. Στην πραγµατικότητα όµως, κανένα µοντέλο, και κατά συνέπεια κανένα γραµµικό µοντέλο, δεν µπορεί ναι περιγράψει το σύνολο των πληροφοριών του εξεταζόµενου σετ δεδοµένων. Όσο καλά προσαρµοσµένη και να είναι η γραµµή της πολλαπλής παλινδρόµησης στα δεδοµένα, πάντα θα υπάρχει ένα µέρος της πληροφορίας που θα εξακολουθεί ναι µην ερµηνεύεται µέσω του µοντέλου. Ο παράγοντας που δεν ερµηνεύεται από το γραµµικό µοντέλο ονοµάζεται λάθος της παλινδρόµησης και βέλτιστα δεν κρύβει µέσα του καµία συστηµατική σχέση. Λαµβάνοντας υπόψη µας και τον παράγοντα λάθος το µοντέλο της ΠΓΠ παίρνει την µορφή: γ =b 0 + b 1 X 1 +b 2 X 2 +... + b p X 3 +e όπου: e ο παράγοντας λάθους. Πριν την Εφαρµογή της τεχνικής της ΠΓΠ πρέπει ναι διερευνήσουµε αναλυτικά το σετ δεδοµένων στο οποίο θα εφαρµοστεί η τεχνική, ναι κατανοήσουµε το είδος της εξαρτηµένης και των ανεξάρτητων µεταβλητών, ναι διερευνήσουµε την ποιότητα των δεδοµένων, την ύπαρξη ελλειπουσών τιµών και συναφή θέµατα κατανόηση των δεδοµένων. Η ΠΓΠ δεν µπορεί ναι εφαρµοστεί σε οποιοδήποτε δεδοµένα. Από τα πρώτα βήµατα περιγραφής της τεχνικής αναφέρθηκε ότι µελετά την σχέση µεταξύ µίας εξαρτηµένης συνεχούς µεταβλητής και µίας ή περισσότερων επίσης συνεχών ανεξάρτητων µεταβλητών. Πρώτος περιορισµός, λοιπόν, για την εφαρµογή της τεχνικής είναι το είδος των µεταβλητών του εξεταζόµενου σετ δεδοµένων. Αναλυτικότερα για την εφαρµογή της ΠΓΠ πρέπει ναι ισχύουν σι παρακάτω υποθέσεις: Η εξαρτηµένη µεταβλητή πρέπει ναι είναι συνεχής (ποσοτικής, Scale και να ακολουθεί την Κανονική Κατανοµή µε σταθερή διακύµανση. Οι ανεξάρτητες µεταβλητές µπορούν να είναι είτε συνεχείς, είτε κατηγορικές. Στην περίπτωση κατηγορικών µεταβλητών αυτές εισάγονται στο µοντέλο µε µορφή ψευδοµεταβλητών ( για τις οποίες θα µιλήσουµε αναλυτικότερα παρακάτω. Η κάθε ανεξάρτητη µεταβλητή πρέπει να συνδέεται γραµµικά µε την εξαρτηµένη µεταβλητή. Οι ανεξάρτητες µεταβλητές πρέπει ναι είναι ισχυρά συσχετισµένες µε την εξαρτηµένη µεταβλητή ενώ µεταξύ τους πρέπει ναι µην εµφανίζουν ισχυρή συσχέτιση.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 3------------ Τα λάθη πρέπει ναι είναι τυχαία µε σταθερή διακύµανση. Οι υποθέσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω είναι απαραίτητο να εξεταστούν πριν και µετά την εφαρµογή της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης και της Κατασκευή της µαθηµατικής σχέσης που την εκφράζει. Η µη ικανοποίηση κάποιων υποθέσεων κάνει την τεχνική λιγότερο αξιόπιστη και τα αποτελέσµατα αµφισβητήσιµα. 10.2 Η εφαρµογή της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης Πρέπει να κατανοήσουµε την φύση του προβλήµατος και να διαπιστώσουµε αν τα αποτελέσµατα της τεχνικής αυτής δίνουν απάντηση στα ερωτήµατα που αφορούν την ανάλυση. Αν ενδιαφερόµαστε να διαπιστώσουµε στατιστικά σηµαντικές σχέσεις πολλών ανεξάρτητων µεγεθών και να προσδιορίσουµε ακριβών τον τρόπο µε τον οποίο αυτά συνδέονται µε το εξαρτηµένο µέγεθος της ανάλυσης τότε η τεχνική είναι ενδεικτική. Επίσης, αν ενδιαφερόµαστε να προσδιορίσουµε της σχέση σύνδεσης των ανεξάρτητων µεταβλητών µε το εξαρτηµένο µέγεθος και να χρησιµοποιήσουµε την σχέση αυτή για προβλέψεις µπορούµε να εφαρµόσουµε την τεχνική της ΠΓΓ µε πολύ καλά αποτελέσµατα. Για παράδειγµα, σε κάποιο θέµα σχεδιασµού διαιτολογίου η ΠΓΠ θα µπορούσε να βοηθήσει σε ερωτήµατα της µορφής: Ποιοι συνδιασµοί τροφών παράγουν µεγαλύτερες ποσότητες χοληστερόλης ; ή Πώς µπορώ να προβλέψω την ποσότητα χοληστερόλης που θα παραχθεί στο αίµα από τη εφαρµογή κάποιας δίαιτας ; Πρέπει να διερευνήσουµε το είδος των δεδοµένων που έχουµε στη διάθεσή µας ή που µπορούµε να συλλέξουµε για να απαντήσουµε στα ερευνητικά ερωτήµατά µας. Για την εφαρµογή της ΠΓΠ θα πρέπει η εξαρτηµένη µεταβλητή να είναι ποσοτική (συνεχής) και οι ανεξάρτητες µεταβλητές να είναι συνεχείς ή κατηγορικές. Πρέπει να επιλέξουµε εκείνες τις ανεξάρτητες µεταβλητές που συνδέονται νοηµατικά µε την επεξήγηση του εξαρτηµένου µεγέθους. Τις περισσότερες φορές δεν συµµετέχει ολόκληρο το σετ των δεδοµένων στην µελέτη της γραµµικής παλινδρόµησης. Μετά την διερεύνηση των παραπάνω σκέψεων, και εφόσον έχουµε καταλήξει στο συµπέρασµα ότι η ΠΓΠ είναι η τεχνική που εξυπηρετεί την ανάλυση, θα πρέπει να

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 4------------ διερευνήσουµε σε βάθος την ικανοποίηση των υποθέσεων για την εφαρµογή της τεχνικής. Αρχικά, πρέπει να µελετήσουµε την εξαρτηµένη µεταβλητή ως προς την Κατανοµή που ακολουθεί. Η εξαρτηµένης µεταβλητής πρέπει να ακολουθεί την κανονική Κατανοµή και η διακύµανσή της να είναι σταθερή. Στη συγκεκριµένη περίπτωση η µεταβλητή χοληστερόλη πρέπει να κατανέµεται κανονικά. Σε ένα επόµενο βήµα πρέπει να µελετήσουµε την σχέση της κάθε ανεξάρτητης µεταβλητής µε το εξαρτηµένο µέγεθος. τους. Η κάθε ανεξάρτητη µεταβλητή θα πρέπει να συνδέεται ισχυρά µε την εξαρτηµένη µεταβλητή και η σχέση αυτή θα πρέπει να είναι γραµµική. Η µεταβλητή χοληστερόλη θα πρέπει έχει έντονη γραµµική σχέση µε κάθε ανεξάρτητη µεταβλητή. Ακολουθεί η µελέτη της σχέσης των ανεξάρτητων µεταβλητών µεταξύ Οι ανεξάρτητες µεταβλητές πρέπει να µην είναι συσχετισµένες µεταξύ τους. Οταν οι ανεξάρτητες µεταβλητές είναι ασυσχέτιστες µεταφέρουν διαφορετικές πληροφορίες ως προς την Κίνηση των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής και εποµένως όλες µαζί περιγράφουν µεγαλύτερο µέρος της πληροφορίας της Υ. Στην βέλτιστη περίπτωση θα θέλαµε: ισχυρή συσχέτιση της χοληστερόλης µε κάθε µία από τις ανεξάρτητες µεταβλητές που αναφέρθηκαν παραπάνω και πολύ µικρή συσχέτιση των ανεξάρτητων µεταβλητών µεταξύ τους. Μετά τον έλεγχο των υποθέσεων και την µελέτη των σχέσεων των δεδοµένων εφαρµόζουµε την τεχνική της ΠΓΠ, κατασκευάζουµε, δηλαδή, το µοντέλο εκείνο που περιγράφει µαθηµατικά τις κρυφές σχέσεις των δεδοµένων. Το µοντέλο, που τελικά παράγεται, αποτελεί γενίκευση της πληροφορίας του δείγµατος, µία περιγραφή του τρόπου κίνησης και της σύνδεσης των δεδοµένων. Οι σχέσεις, όµως, περιγράφονται από το µοντέλο δεν είναι δυνατόν να διερευνηθούν µε την παρατήρηση απλά της βάσης δεδοµένων. Για την εφαρµογή της τεχνικής, µετά τον έλεγχο των υποθέσεων, πρέπει να ορίσουµε το εξαρτηµένο µέγεθος και τις ανεξάρτητες µεταβλητές που θα βρίσκονται στο δεξί µέρος της µαθηµατικής συνάρτησης.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 5------------ Μετά τον µαθηµατικό προσδιορισµό του µοντέλου, παρατηρούµε ακριβώς τις σχέσεις σύνδεσης των στατιστικά σηµαντικών ανεξάρτητων µεταβλητών µε το εξαρτηµένο µέγεθος. Μπορούµε, δηλαδή, να βγάλουµε συµπεράσµατα για τον τρόπο σύνδεσης των ανεξάρτητων µεταβλητών µε την εξαρτηµένη µεταβλητή και για την στατιστική σηµαντικότητα της σχέσης σύνδεσης. Μπορούµε να συµπεράνουµε αν, για παράδειγµα, η αύξηση της τιµής της µεταβλητής «ΑΛΚΟΟΛ» αυξάνει ή µειώνει την τιµή της χοληστερόλη. Μετά την Παραγωγή του µοντέλου της παλινδρόµησης, πρέπει να ελέγχουµε την συµπεριφορά των καταλοίπων, δηλαδή των λαθών της µεθόδου. Από το µοντέλο που παράγεται µέσω της παλινδρόµησης προσδιορίζεται µία τιµή πρόβλεψης για την εξαρτηµένη µεταβλητή. Η διαφορά την πραγµατικής τιµής της εξαρτηµένης µεταβλητής από την τιµή που αυτή παίρνει µέσω της πρόβλεψης ονοµάζονται σφάλµα ή κατάλοιπο της εξίσωσης παλινδρόµησης. Οπως ήδη αναφέρθηκε, τα σφάλµατα πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανοµή και να έχουν σταθερή διακύµανση. Επιπλέον, πρέπει να είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Η µελέτη αυτής της υπόθεσης είναι η µοναδική που πραγµατοποιείται µετά την κατασκευή του µοντέλου της παλινδρόµησης. Η τυχαιότητα των καταλοίπων είναι εκείνη που επιβεβαιώνει ότι δεν υπάρχει κάποιος συστηµατικός παράγοντας που να συµµετέχει στον τρόπο κίνησης της εξαρτηµένης µεταβλητής και δεν συµµετάσχει στην ανάλυση σαν ανεξάρτητη µεταβλητή. 10.3 Παράδειγµα 1o εφαρµογής της Πολλ.Γρ.Παλινδρόµησης Εστω ότι ενδιαφερόµαστε να προβλέψουµε το είκτη σωµατικού λίπους από τις σωµατοµετρικές µετρήσεις. Για να δοθεί απάντηση στη παραπάνω σκέφη, θα πρέπει το εξαρτηµένο µέγεθος του lipos είκτης σωµατικού λίπους να εξετασθεί βάση ενός συνόλου ανεξάρτητων µεταβλητών. Οι µεταβλητές αυτές είναι η derma Πάχος δέρµατος miros Περιφέρεια µηρού bratso Περιφέρεια µπράτσου

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 6------------ Η εξαρτηµένη µεταβλητή αφορά ένα καθαρό αριθµό ενώ οι ανεξάρτητες µεταβλητές µετριώνται σε εκατοστα. Βασικό πλεονέκτηµα της παλινδρόµησης είναι ότι, µπορεί να ελέγχει την στατιστική σηµαντικότητα τις σύνδεσης µεταβλητών που δεν έχουν ενιαία κλίµακα µέτρησης. 10.4 ιερεύνηση των µεταβλητών που συµµετέχουν στην ΠΓΠ Ε ΟΜΕΝΑ ας υποθέσουµε ότι έχουµε τις παρακάτω µετρήσεις. πάχος δέρµατος περιφέρεια µηρού περιφέρεια µπράτσου 19.5 43.1 29.1 11.9 24.7 49.8 28.2 22.8 30.7 51.9 37.0 18.7 29.8 54.3 31.1 20.1 19.1 42.2 30.9 12.9 25.6 53.9 23.7 21.7 31.4 58.5 27.6 27.1 27.9 52.1 30.6 25.4 22.1 49.9 23.2 21.3 25.5 53.5 24.8 19.3 31.1 56.6 30.0 25.4 30.4 56.7 28.3 27.2 18.7 46.5 23.0 11.7 19.7 44.2 28.6 17.8 14.6 42.7 21.3 12.8 29.5 54.4 30.1 23.9 27.7 55.3 25.7 22.6 30.2 58.6 24.6 25.4 22.7 48.2 27.1 14.8 25.2 51.0 27.5 21.1 δείκτης σωµατικού λίπους Ιδανικά πριν την εφαρµογή της παλινδρόµησης θα πρέπει να έχουµε εξοικειωθεί µε το σετ των δεδοµένων που συµµετέχει στη ανάλυση.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 7------------ Στις περισσότερες περιπτώσεις αυτό έχει γίνει σε προηγούµενα βήµατα γιατί η εφαρµογή της παλινδρόµησης δεν είναι σχεδόν ποτέ το πρώτο βήµα της ανάλυσης. Σε περίπτωση που ο χρήστης δεν είναι εξοικειωµένος µε τις µεταβλητές που συµµετέχουν στην ανάλυση ο καλύτερος τρόπος περιγραφής των ποσοτικών δεδοµένων είναι ο υπολογισµός των περιγραφικών στατιστικών µέτρων τους. Για τον υπολογισµό των περιγραφικών στατιστικών µέτρων µέσω του από τη διαδροµή Analyze-Descriptive Statistics επιλέγουµε τις µεταβλητές του ενδιαφέροντός µας. Στην συγκεκριµένη περίπτωση τις προαναφερόµενες µεταβλητές τα περιγραφικά στατιστικά µέτρα των µεταβλητών που συµµετέχουν στην ανάλυση φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Descriptive Statistics Descriptive Statistics Descriptive Statistics N Minimum Maximum Mean Std. Deviation derma Πάχος δέρµατος 40 14,60 31,40 25,3625 4,88219 miros Περιφέρεια µηρού 40 42,20 58,60 51,5375 4,98530 bratso Περιφέρεια µπράτσου lipos είκτης σωµατικού λίπους Valid N (listwise) 40 40 21,30 37,00 26,9850 3,41246 40 11,70 56,80 25,9650 13,76075 Από τον πίνακα παρατηρούµε ότι δεν υπάρχουν missing values στο αρχείο των δεδοµένων για καµία µεταβλητή. ενώ Ο µέσος όρος δείχνει το επίπεδο τιµών στο οποίο κυµαίνονται τα δεδοµένα, o η ελάχιστη τιµή, o η µέγιστη τιµή και o η τυπική απόκλιση περιγράφουν τον τρόπο εξάπλωσης των δεδοµένων γύρω από τον µέσο όρο.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 8------------ 10.5 Μελέτη της κανονικότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής Μετά την αρχική κατανόηση των δεδοµένων, διαδικασία που δεν αποτελεί θέµα των σηµειώσεων αυτών, ελέγχουµε την κατανοµή της Εξαρτηµένης µεταβλητής. Η κανονικότητα ενός εξεταζόµενου µεγέθους µπορεί να απεικονιστεί γραφικά µέσω του Ιστογράµµατος και να επιβεβαιωθεί στατιστικά µέσω του µη παραµετρικού ελέγχου Kolmogorov-Smirnof Ιστόγραµµα µελέτης της κανονικότητας 20 10 0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 15,0 25,0 35,0 45,0 55,0 Std. Dev = 9,23 Mean = 22,4 N = 40,00 lipos είκτης σωµατικού λίπους Από το ιστόγραµµα παίρνουµε µια πρώτη, αλλά σαφή εικόνα, για την κατανοµή των δεδοµένων. Στο Ιστόγραµµα των στερεών καταλοίπων παρατηρούµε ότι η κατανοµή µάλλον δεν είναι κανονική και ότι εµφανίζονται ακραίες τιµές στην τιµή 55. Επίσης παρατηρούµε ότι η κατανοµή των δεδοµένων έχει µεγάλη δεξιά ουρά. Αυτό που υποθέτουµε από το Ιστόγραµµα το επιβεβαιώνουµε στατιστικά µέσω του µη παραµετρικού ελέγχου Kolmogorov-Smirnof. Βάση του ελέγχου αυτού µπορούµε να δεχθούµε ή να απορρίψουµε την αρχική υπόθεση ότι η κατανοµή είναι κανονική. Από την τιµή του sig. στον πίνακα που ακολουθεί απορρίπτουµε ή όχι την αρχική υπόθεση. Αν η τιµή του sig. είναι µεγαλύτερη του 0,05 η κατανοµή είναι κανονική. Στο παράδειγµά µας φαίνεται ότι η Κατανοµή του δείκτη σηµατικού λίπους (lipos) δεν είναι Κανονική.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 9------------ One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test lipos είκτης σωµατικού λίπους N 40 Normal Parameters Mean 22,4150 Std. 9,23168 Deviation Most Extreme Differences Absolute,252 Positive,252 Negative -,123 Kolmogorov-Smirnov Z 1,595 Asymp. Sig. (2-tailed),012 a Test distribution is Normal. b Calculated from data. Σηµ. H Κατανοµή του lipos. δεν είναι Κανονική επειδή sig=0,012<0,05. Ο έλεγχος της υπόθεσης της κανονικότητας µπορεί να οδηγήσει ή στην αποδοχή ή στην απόρριψή της.στην περίπτωση αποδοχής της υπόθεσης της κανονικότητας προχωράµε στον έλεγχο των επόµενων υποθέσεων. Αν η υπόθεση δεν γίνεται αποδεκτή τότε πρέπει να τροποποιήσουµε τα δεδοµένα µας έτσι ώστε να ακολουθούν την κανονική κατανοµή. Η τροποποίηση δεν είναι, φυσικά, πάντα δυνατή. Για να υπάρχει δυνατότητα τροποποίησης θα πρέπει αυτή να προσδιορίζεται από κάποια µαθηµατική σχέση. Οι πιο συνηθισµένες τροποποιήσεις είναι: Ο υπολογισµός του Τετραγώνου, της ρίζας ή του λογαρίθµου της εξαρτηµένης µεταβλητής. Σε περίπτωση που η τροποποίηση δεν είναι δυνατή τότε τα αποτελέσµατα της τεχνικής είναι απλά ενδεικτικά. Η εφαρµογή της τεχνικής σε µη κανονικά δεδοµένα είναι πολλές φορές η µοναδική επιλογή γιατί δεν υπάρχει µη παραµετρική τεχνική που να υποστηρίζει σχέσεις ανάλογες µε αυτές της παλινδρόµησης. Ο έλεγχος της κανονικότητας είναι απαραίτητος για να γνωρίζει ο ερευνητής την εγκυρότητα της µεθόδου.στο συγκεκριµένο παράδειγµα, τα δεδοµένα της εξαρτηµένης µεταβλητής τείνουν να ακολουθούν την κανονική κατανοµή αν λογαριθµιστούν. Κατασκευάζουµε, λοιπόν, µια νέα µεταβλητή µε στοιχεία τους λογάριθµους των αρχικών τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής και ελέγχουµε αν τα τροποποιηµένα δεδοµένα είναι κανονικά. Μία άλλη εναλλακτική αντιµετώπιση της µη κανονικής κατανοµής της εξαρτηµένης µεταβλητής µπορεί να ήταν η αφαίρεση από την ανάλυση των ακραίων τιµών που φαίνονται σαν δεξιά ουρά στο ιστόγραµµα. Βασιζόµενος στο επιχείρηµα ότι µικρός αριθµός τιµών επιδρά σηµαντικά στην απόρριψη ή µη της υπόθεσης της κανονικότητας, κάποιος άλλος ερευνητής

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 10------------ ίσως να δεχόταν την συµµετοχή της Μεταβλητής, στην πρωτογενή µορφή της χωρίς να προχωρήσει σε επιπλέον τροποποιήσεις. Από το ιστόγραµµα της κατανοµής των λογαριθµισµένων δεδοµένων παίρνουµε µια πρώτη οπτική εικόνα της κανονικότητας του εξεταζόµενου µεγέθους και από το έλεγχο Kolmogorov-Smirnov (επόµενη σελίδα)απορρίπτουµε ή όχι την υπόθεση ότι η κατανοµή των δεδοµένων µοιάζει µε αυτή της κανονικής. Ιστόγραµµα Λογαριθµησµένων Τιµών 12 10 8 6 4 2 Std. Dev =,34 Mean = 3,05 0 N = 40,00 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 2,63 2,88 3,13 3,38 3,63 3,88 N_LIPOS One Sample Kolmogorov-Smirnov Test N_LIPOS N 40 Normal Parameters Mean 3,0471 Std. Deviation,34348 Most Extreme Differences Absolute,178 Positive,178 Negative -,112 Kolmogorov-Smirnov Z 1,126 Asymp. Sig. (2-tailed),159 a.test distribution is Normal b.calculated From Data. Οπως είδη έχει αναφερθεί, η αρχική υπόθεση του ελέγχου Kolmogorov-Smirnov είναι ότι τα εξεταζόµενα δεδοµένα ακολουθούν µια κατανοµή που οµοιάζει µε αυτή της κανονικής. Απορρίπτουµε την αρχική υπόθεση του ελέγχου όταν η τιµή του επιπέδου στατιστικής σηµαντικότητα (που συνήθως είναι 0.05) είναι µεγαλύτερη από την τιµή του µεγέθους sig.(p-value) Εδώ δεν απορρίπτουµε την υπόθεση της κανονικότητας, γιατί η τιµή του sig. Είναι πολύ µεγαλύτερη από το 0.05.(είναι 0,159)

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 11------------ 10.6 Σχέση σύνδεσης των µεταβλητών που συµµετέχουν στην ανάλυση Σε ένα επόµενο βήµα πρέπει να ελέγξουµε αν σι ανεξάρτητες µεταβλητές που θα χρησιµοποιηθούν για την επεξήγηση της συµπεριφοράς της εξαρτηµένης µεταβλητής συνδέονται γραµµικά µε το εξαρτηµένο µέγεθος. Την ύπαρξη ή όχι µιας τέτοιας σχέσης ι γραφικά σε διαγράµµατα 5ε και επιβεβαιώνεται στατιστικά µέσω των πινάκων συσχετίσεων. Σε ένα πολλαπλά διάγραµµα σηµείων ( scatter plot) µπορούµε να δούµε ταυτόχρονα την γραφική απεικόνιση των σχέσεων των ανεξάρτητων µεταβλητών µε την εξαρτηµένη. Στο διάγραµµα παρατηρούµε ότι η καλύτερη γραµµική σχέση είναι αυτή των µεταβλητών Derma (Πάχος δέρµατος) και miros (Περιφέρεια µηρού). Η σχέση της εξαρτηµένης µεταβλητής N_lipos ( είκτης σωµατικού λίπους) µε τις ανεξάρτητες µεταβλητές θα έπρεπε στην βέλτιστή περίπτωση να είναι µια ευθεία γραµµή. Ωστόσο, αυτό είναι πολύ δύσκολο να συµβεί σε πραγµατικά δεδοµένα. Εκείνο που µας ενδιαφέρει, κύρια, είναι η διερεύνηση ύπαρξης κάποιας άλλης κίνησης π.χ. περιοδικής. Γραφική απεικόνηση σχέσεων derma Πάχος δέρµατος miros Περιφέρεια µηρ bratso Περιφέρεια µπ N_LIPOS Με την µέθοδο της γραµµικής παλινδρόµησης προσπαθούµε να περιγράφουµε την κίνηση της εξαρτηµένης µεταβλητής, βάση των τιµών κάποιων επεξηγηµατικών (ανεξάρτητων) µεταβλητών. Για το λόγο αυτό θέλουµε η κάθε ανεξάρτητη µεταβλητή να είναι ισχυρά συσχετισµένη µε την εξαρτηµένη.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 12------------ Οσο µεγαλύτερη είναι η συσχέτιση τόσο µεγαλύτερο µέρος πληροφοριών της εξαρτηµένης µεταβλητής εξηγεί η ανεξάρτητη. Ωστόσο, όταν οι ανεξάρτητες µεταβλητές είναι περισσότερες από µία είναι σκόπιµο, οι ανεξάρτητες µεταβλητές, µεταξύ τους να µην είναι ισχυρά συσχετισµένες. Οταν οι ανεξάρτητες µεταβλητές είναι συσχετισµένες επεξηγούν το ίδιο µέρος της διακύµανσης της εξαρτηµένης µεταβλητής. Η συµµετοχή δύο ανεξάρτητων συσχετισµένων µεταβλητών αυξάνει στην ουσία το λάθος του µοντέλου. Για τον λόγο αυτό είναι δόκιµο, πριν την εφαρµογή της γραµµικής παλινδρόµησης να εξετάζονται οι συσχετίσεις των µεταβλητών µεταξύ τους. Η µελέτη των συσχετίσεων γίνεται µέσω των πινάκων συσχετίσεων. Στους πίνακες αυτούς απεικονίζεται η τιµή του δείκτη που περιγράφει την συσχέτιση καθώς και την τιµή του ενός ελέγχου σηµαντικότητας για την τιµή του συντελεστή αυτού. Correlations ** Από τον πίνακα συσχετίσεων παρατηρούµε ότι από τις ανεξάρτητες µεταβλητές η µεταβλητή miros Περιφέρεια µηρού είναι ισχυρότερα συσχετισµένη µε τα lipos είκτης σωµατικού λίπους. Από τον πίνακα Correlation παρατηρούµε επίσης, ότι οι ανεξάρτητες µεταβλητές bratso και derma και miros και derma είναι πολύ ισχυρά συσχετισµένες µεταξύ τους. Μετά τον έλεγχο την συσχετίσεων είναι στην ευχέρεια του αναλυτή να αποφασίσει αν θα χρησιµοποιήσει όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές για την κατασκευή του µοντέλου ή αν θα επιλέξει κάποιες από αυτές.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 13------------ 10.7 Κατασκευή του µοντέλου Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης Μετά τον έλεγχο της κανονικότητας της εξαρτηµένης µεταβλητής και την διερεύνηση των σχέσεων που συνδέουν τις µεταβλητές που θα συµµετέχουν στην ανάλυση µπορούµε να εφαρµόσουµε την τεχνική της γραµµικής παλινδρόµησης. Μπορούµε, δηλαδή, να εντοπίσουµε τις στατιστικά σηµαντικές µεταβλητές για το εξαρτηµένο µέγεθος και να προσδιορίσουµε το µοντέλο που περιγράφει τον τρόπο σύνδεσης των µεταβλητών. Από την διαδροµή Analyuze Regression Linear Regression ενεργοποιούµε το πλαίσιο διαλόγου µέσα στο οποίο θα ορίσουµε τις µεταβλητές που συµµετέχουν στην παλινδρόµηση. Στο παράδειγµά µας θα ορίσουµε ως εξαρτηµένη µεταβλητή την n_lipos και σαν ανεξάρτητα µεγέθη όλες τις µεταβλητές που αναφέραµε στην αρχή του παραδείγµατος. Εκτός από τις µεταβλητές που θα συµµετέχουν στην διαδικασία κατασκευής του µοντέλου θα πρέπει να προσδιορίσουµε και τον αλγόριθµο που θα χρησιµοποιήσει η παλινδρόµηση για την κατασκευή του µοντέλου. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι κατασκευής του µοντέλου της παλινδρόµησης. Η κάθε διαδικασία κατασκευής του µοντέλου ακολουθεί την δική της λογική και σχεδόν ποτέ δεν καταλήγουν στον ίδιο αποτέλεσµα. Οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται συχνότερα είναι η Enter, η Forward, η Backward και η Stepwise. Η µέθοδος Enter χρησιµοποιεί στο µοντέλο της παλινδρόµησης όλες τις προτεινόµενες από τον αναλυτή µεταβλητές. Για την χρήση της τεχνικής αυτής ο χρήστης θα πρέπει να έχει αποκλείσει από την ανάλυση τις ανεξάρτητες µεταβλητές που συνδέονται ισχυρά µεταξύ τους.

Η µέθοδος Forward ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 14------------ Κάνει έναν στατιστικό έλεγχο σηµαντικότητας της µεταβλητής αυτής και ο έλεγχος για την σηµαντικότητα του µοντέλου. Εντοπίζει µεταξύ των ανεξάρτητων µεταβλητών εκείνη που συνδέεται ισχυρότερα µε την εξαρτηµένη µεταβλητή. ένα συνολικό έλεγχο του µοντέλου. Σε ένα επόµενο βήµα επιλέγει την µεταβλητή εκείνη µε την αµέσως υψηλότερη συσχέτιση µε την εξαρτηµένη και την χαµηλότερη συσχέτιση µε την ανεξάρτητη µεταβλητή που συµµετέχει ήδη στο µοντέλο. Ακολουθούν οι έλεγχοι για την στατιστική σηµαντικότητα των µεταβλητών Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται µέχρι να µην υπάρχει άλλη στατιστικά σηµαντική µεταβλητή ως προς την εξαρτηµένη ή όταν οι πληροφορίες των υπόλοιπων ανεξάρτητων µεταβλητών έχουν ήδη περιγραφεί στο µοντέλο µέσω άλλων ανεξάρτητων µεταβλητών. Η µέθοδος Βackward ακολουθεί τον αντίθετο ακριβώς δρόµο από την Forward. Στο πρώτο βήµα του αλγορίθµου εισάγονται όλες οι µεταβλητές στο µοντέλο και σε κάθε διαδοχικό βήµα αφαιρείται η µεταβλητή που θεωρείται λιγότερο σηµαντική για την εξαρτηµένη. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται τόσες φορές όσες είναι απαραίτητες για να συµµετάσχουν στο µοντέλο, τελικά, µόνο στατιστικά σηµαντικές µεταβλητές, ισχυρά συσχετισµένες µε την εξαρτηµένη µεταβλητή και ασυσχέτιστες µεταξύ τους. Τέλος, η Stepwise είναι η δηµοφιλέστερη µέθοδος και αποτελεί συνδυασµό της Forward, και της Backward. Οι διαφορετικοί αλγόριθµοι κατασκευής µοντέλων παλινδρόµησης οδηγούν σε διαφορετικά µοντέλα. Αυτό συµβαίνει γιατί η παλινδρόµηση είναι µια πολυπαραγοντική µέθοδος κατά την οποία η προσθήκη ή η αφαίρεση µιας µεταβλητής µπορεί να αυξοµειώσει τις τιµές των συντελεστών συσχέτισης. Εκτός από τον ορισµό των µεταβλητών και τον τρόπο εισαγωγής των µεταβλητών στο µοντέλο µπορούµε να ορίσουµε ένα πλήθος δεικτών καλής προσαρµογής του µοντέλου στα δεδοµένα, γραφηµάτων, ή συνοδευτικών πινάκων για την καλύτερη κατανόηση και ανάλυση των.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 15------------ 10.8 Επιλογές και ρυθµίσεις της ΠΓΠ στο SPSS Κατά την εφαρµογή της τεχνικής από τα πλαίσια διαλόγου του SPSS µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ένα πλήθος δεικτών που συνδέονται µε το εξεταζόµενο θέµα και να αντλήσουµε από αυτούς χρήσιµες πληροφορίες για τη στατιστική σηµαντικότητα του παραγόµενου µοντέλου, για την προσαρµογή του στα εξεταζόµενα δεδοµένα ή για την γενικότερη επιτυχία εφαρµογής της τεχνικής. τους «συντελεστές της παλινδρόµησης». Οι σηµαντικότερες από τις επιλογές αυτές Είναι: Συγκεκριµένα, από το βασικό πλαίσιο διαλόγου της τεχνικής µπορούµε επιλέγοντας το πλήκτρο Statistics να ενεργοποιήσουµε το διπλανό πλαίσιο διαλόγου από το οποίο ορίζουµε συµπληρω- µατικούς στατιστικούς δείκτες. Τα µέτρα που περικλείονται µέσα στο ίδιο Πλαίσιο αφορούν το ίδιο θέµα, π.χ. Estimates: Οι συντελεστές του µοντέλου της παλινδρόµησης και σχετικά µε αυτούς µέτρα όπως το τυπικό τους σφάλµα και ο δείκτης significant Confidence Interval:Ενα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για την εκτίµηση της τιµής των συντελεστών της παλινδρόµησης. Covariance Matrix: Πίνακας συνδιακύµανσης και συσχέτισης. Model fit: Στατισπικοί δείκτες όπως το Ρ, Ρ 2. ή ο προσαρµοσµένος συντελεστής Ρ 2. Από την επιλογή αυτή ορίζεται και η εµφάνιση του πίνακα της ΑΝΟVA ο οποίος Περιέχει τον βασικό έλεγχο για την στατιστική σηµαντικότητα ολόκληρου του µοντέλου. R squared change: Επιλογή που δίνει πληροφορίες για την αλλαγή της τιµής του Ρ 2. µε την προσθήκη ή την διαγραφή µίας ανεξάρτητης µεταβλητής. Desriptives: Εµφάνιση περιγραφικών στατιστικών µέτρων. Part and Partial correlation: του δείκτη αυτοσυσχέτισης µεταβλητών.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 16------------ Collinearity diagnostics: Παραγωγή ενός πλήθους στατιστικών µέτρων για την διάγνωση της συγραµµικότητας. Πρόκειται για το φαινόµενο κατά το οποίο η εξαρτηµένη µεταβλητή Είναι γραµµικός συνδυασµός µίας άλλης εξαρτηµένης µεταβλητής. Durbin- Watson :Στατιστικός έλεγχος για την σειριακής συσχέτισης των καταλοίπων. Με την επιλογή αυτή εµφανίζονται τα περιγραφικά στατιστικά µέτρα των καταλοίπων και των προβλεπόµενων από το µοντέλο τιµών. Casewise diagnostics: Πίνακας περιγραφής της συµπεριφοράς των ακραίων τιµών. Από το πλήκτρο Plot του βασικού πλαισίου διαλόγου της γραµµικής παλινδρόµησης ενεργοποιείται το παράθυρο εκείνο που επιτρέπει την δηµιουργία γραφηµάτων. Μέσα από αυτό το παράθυρο επιλογών µπορούµε να δηµιουργήσουµε: Ιστόγραµµα για τα κανονικοποιηµένα κατάλοιπα,

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 17------------ Normal probability plot: για τα κανονικοποιηµένα κατάλοιπα. Το διάγραµµα αυτό χρησιµοποιείται για έλεγχο της κανονικότητας των καταλοίπων. Produce all partial plots: για την παραγωγή scatterplots για κάθε µια τις ανεξάρτητες µε τα κατάλοιπα της εξαρτηµένης. Στις επιλογές Χ και Υ µπορούµε να επιλέξουµε από την λίστα αριστερά, όποιο ζευγάρι µεταβλητών θέλουµε προκειµένου να κατασκευάσουµε scatter plots Keyword dependnt *zpred *zresid *dresid *adjpred. *sresid Statistic dependent variable standardized predicted values standardized residuals deleted residuals adjusted predicted values studentized residuals *sdresid studentized deleted residuals Από το πλαίσιο διαλόγου που ενεργοποιείται µε το πλήκτρο Save µπορούµε να επιλέξουµε να µεγέθη εκείνα που θέλουµε να αποθηκευτούν µε µορφή µεταβλητών στο αρχείο των δεδοµένων του Οι σηµαντικότερες από τις επιλογές είναι Οι: Unstantarized Pridicted Values: για την αποθήκευση των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής, έτσι όπως αυτή υπολογίζεται από την εξίσωση της παλινδρόµησης. Stantarized Pridicted Values: για την αποθήκευση των κανονικοποιηµένων προβλεπόµενων τιµών. Adjusted: για την αποθήκευση των προβλεπόµενων τιµών για κάθε εγγραφή όταν αυτή έχει εξαιρεθεί από των υπολογισµό των συντελεστών της παλινδρόµησης. Unstantarized Residual για την αποθήκευση των καταλοίπων για κάθε εγγραφή. Stantarized Residual για αποθήκευση των κανονικοποιηµένων τιµών των καταλοίπων.παραγωγή µία από µεταβλητές. Mahalanobis: για αποθήκευση ενός µέτρου που εκφράζει την διαφορά την εγγραφής της εξαρτηµένης µεταβλητής από το µέσο όρο όλων των εγγραφών. Cook s: για την αποθήκευση του µέτρου που εκφράζει, για κάθε ξεχωριστή εγγραφή, πόσο θα αλλάξουν τα κατάλοιπα αν η εγγραφή αυτή αφαιρεθεί από τον υπολογισµό των συντελεστών της παλινδρόµησης.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 18------------ Από το πλήκτρο Options, τέλος, µπορούµε να ορίσουµε το Επίπεδο σηµαντικότητας για την αποδοχή ή όχι του µοντέλου της παλινδρόµησης. Επίσης, µπορούµε να αφαιρέσουµε τον σταθερό όρο από την εξίσωση της παλινδρόµησης. Η επιλογή Μissing Values επιτρέπει την επέµβαση στον τρόπο χρήσης των ελλειπουσών τιµών. 10.9 Ερµηνεία αποτελεσµάτων Στον πίνακα Variables Entered/Remove παρατηρούµε συνοπτικά την διαδικασία εισαγωγής των µεταβλητών στο µοντέλο. Η πρώτη µεταβλητή (και µοναδική) που συµµετείχε στο µοντέλο Είναι η miros(περιφέρεια Μηρού), Η διαδικασία κατασκευής του µοντέλου σταµατάει µετά την Εισαγωγή της πρώτης µεταβλητής. Σε κάθε βήµα εισαγωγής της µεταβλητής στο µοντέλο γίνεται ένας έλεγχος στατιστικής σηµαντικότητας για την εισαγωγή της µεταβλητής στην εξίσωση της παλινδρόµησης. Σε κάθε βήµα κατασκευής του µοντέλου ελέγχεται επίσης, η εισαγωγή κάποιας νέας µεταβλητής και η διατήρηση των µεταβλητών που ήδη συµµετέχουν σε αυτό. Συνοπτικά τα αποτελέσµατα των ελέγχων φαίνονται στον διπλανό πίνακα.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 19------------ Στον πίνακα Molel Summary απεικονίζονται µερικοί βασικοί δείκτες καλής προσαρµογής του µοντέλου. O δείκτης R Square είναι ένδειξη του ποσοστού της διακύµανσης της εξαρτηµένης µεταβλητής που επεξηγεί το µοντέλο. Στο τελευταίο στάδιο κατασκευής του το µοντέλο της γραµµικής παλινδρόµησης επεξηγεί το 81,7% της συνολικής διακύµανσης του δείγµατος. Τιµές του δείκτη κοντά στο ένα είναι ένδειξη ότι οι παράγοντες που συµµετέχουν στην διαδικασία κατασκευής του µοντέλου είναι ικανοποιητικοί για την περιγραφή της κίνησης της εξαρτηµένης µεταβλητής. Τιµές του δείκτη κοντά στο µηδέν είναι ένδειξη ότι οι προτεινόµενες ανεξάρτητες µεταβλητές δεν είναι ικανοποιητικές για την περιγραφή της εξαρτηµένης τιµής και εποµένως το µοντέλο της παλινδρόµησης δεν θα έπρεπε να χρησιµοποιηθεί για πρόβλεψη τιµών. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να επισηµάνουµε το συµπέρασµα για τις τιµές του δείκτη είναι συνάρτηση του εξεταζόµενου πειράµατος και τις φύσης των δεδοµένων. b Dependent Variable: N_LIPOS