Άσκηση 1. Πληθυσμός (Χ i1 )

Transcript

1 Άσκηση Μία αντιπροσωπεία πωλήσεως αυτοκινήτων διαθέτει καταστήματα σε 5 διαφορετικές πόλεις. Ο επόμενος πίνακας δίνει τις πωλήσεις Υ i του τελευταίου μήνα καθώς επίσης και τον πληθυσμό Χ i και το οικογενειακό μέσο ετήσιο εισόδημα Χ i (σε άδες δραχμές των κατοίκων κάθε πόλης. i Πωλήσεις (Υ i Πληθυσμός (Χ i Εισόδημα (Χ i Να γίνει το διάγραμμα διασποράς (scatterplt μεταξύ των Χ, Υ και Χ, Υ.. Να βρεθεί το καλύτερο γραμμικό μοντέλο (με βάση την αρχή ελαχίστων τετραγώνων για την πρόβλεψη των πωλήσεων. α. Με τη χρήση του πληθυσμού Χ, δηλ. Υ β + β Χ + ε β. Με τη χρήση του εισοδήματος Χ, δηλ. Υ β + β Χ + ε Ποια από τις δύο προβλέπουσες μεταβλητές (Χ ή Χ είναι καλύτερη; Μετονομάστε την σε Χ.. Να κάνετε μελέτη του μοντέλου Υ β + β Χ + ε. Συγκεκριμένα: α. Κάνετε τους ελέγχους σε ε.σ. α5% και α%: Η : β, Η : β, και Η : β, Η : β > Η : β, Η : β, και Η : β, Η : β > Η : β.5, Η : β.5, και Η : β.5, Η : β >.5 β. Δώστε δ.ε. με σ.ε. 95% και 99% για τα β, β. γ. Κάνετε το διάγραμμα διασποράς των δεδομένων (Χ,Υ μαζί με την προσαρμοσμένη ευθεία και τις ζώνες εμπιστοσύνης (για ατομική και μέση πρόβλεψη με σ.ε. 95% και 99%. δ. Πόσες πωλήσεις αναμένονται σε μία πόλη 5. χιλιάδων κατοίκων; (να γίνει σημειακή εκτίμηση και να δοθεί το δ.ε. με σ.ε. 95% και 99%. Να δοθεί επίσης το δ.ε. συντελεστού 95% για την ατομική πρόβλεψη. Ποιος είναι περίπου ο πληθυσμός μιας πόλης όπου τον τελευταίο μήνα πουλήθηκαν μονάδες; ε. Σε ποίο σημείο Χ βρίσκουμε το μικρότερο δ.ε. για την μέση πρόβλεψη και γιατί; ποιο είναι εδώ αυτό το δ.ε.; στ. Να κατασκευάσετε τον πίνακα ανάλυσης διασποράς (ΑNOVA και να κάνετε τον έλεγχο του μοντέλου μέσω του F-τεστ.

2 Απαντήσεις Αρχικά εισάγουμε τα δεδομένα στο SPSS και μετονομάζουμε τις στήλες σε Υ, Χ, Χ. Το διδιάστατο διάγραμμα διασποράς μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας: /Graphs/Scatter (simple, Define...Y, X ή Υ, Χ (use Labels,,..., apply changes t graph.. ή /Graphs/Interactive/Scatterplt (D, Define Y, X ή Υ, Χ, interact: Insert element(regressin Fit,Spikes, Chart manager (Regressin, Edit Predictin intervals Ανάλογα, το τριδιάστατο διάγραμμα διασποράς μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας: /Graphs/Scatter (3D, Define... Y, X, X, apply changes t graph.. ή /Graphs/Interactive/Scatterplt (3D, Define Y, X, Χ, περιστροφή. Ενεργοποιούμε τη διαδικασία /Analyze/Regressin/Linear, enter variables (Y,X, statistics (Estimates, cnf. Intervals, Mdel Fit ptins (Include cnstant α. Το μοντέλο Υ β + β Χ + ε Regressin Mdel Mdel Summary Adjusted Std. Errr f R R Square R Square the Estimate,995 a,99,99 6, a. Predictrs: (Cnstant, X Ο παραπάνω πίνακας περιέχει τις ποσότητες: R R Adj. R Std. Errr f Est. /( n R SST R SST R SST /( n s n β. Το μοντέλο Υ β + β Χ + ε Mdel Summary Mdel R R Square Adjusted R Square Std. Errr f the Estimate,639,49,363 49,5 a Predictrs: (Cnstant, X Επομένως, η Χ δίνει το μεγαλύτερο R και την μετονομάζουμε σε Χ.. α. Εκτελούμε παλινδρόμηση με τα Χ, Υ: Mdel Mdel Summary Adjusted Std. Errr f R R Square R Square the Estimate,995 a,99,99 6, a. Predictrs: (Cnstant, X

3 Mdel (Cnstant X a. Dependent Variable: Y Unstandardized Cefficients Cefficients a Standardi zed Cefficien ts 95% Cnfidence Interval fr B B Std. Errr Beta t Sig. Lwer Bund Upper Bund,79 3,77 6,5, 4,74 3,844,59,4,995 37,844,,499,559 Ο παραπάνω πίνακας περιέχει τις ποσότητες: B Std.Errr t Sig (p-value LB, UB β Y β βx X s β P ( T > T T ~ t ( β s + n ± s ( β tn ( a / T s( β S β S XY s ( s S β T s( P ( T > T T ~ tn ± s ( β tn ( a / Επειδή το p-value (Sig., απορρίπτουμε την Η : β έναντι της Η : β σε ε.σ..5 και.. Γενικά, για τον έλεγχο της Η : β ή β έναντι της Η : β > χρειαζόμαστε το αντίστοιχο p- value. Η περιοχή απόρριψης είναι της μορφής T > c οπότε το p-value θα είναι p value P T > T T ~ t ( n αν το Τ είναι θετικό, τότε (λόγω της συμμετρικότητας της κατανομής t p value P( T > T T ~ tn P( T > T T ~ tn Sig αν το Τ είναι αρνητικό, τότε p value P( T > T T ~ tn P( T > T T ~ tn Sig Αν είχαμε τον έλεγχο Η : β ή β έναντι της Η : β < τότε η περιοχή απόρριψης είναι της μορφής T < c οπότε αν το Τ είναι θετικό, p value P( T < T T ~ tn P( T > T T ~ tn Sig ενώ αν το Τ είναι αρνητικό, τότε p value P( T < T T ~ tn P( T > T T ~ tn Sig Για τον συγκεκριμένο τώρα έλεγχο της Η : β έναντι της Η : β > χρειαζόμαστε το p value P( T > T ~ tn P( T > T ~ tn Sig.. Άρα και σε αυτή την περίπτωση, απορρίπτουμε την Η : β έναντι της Η : β > σε ε.σ..5 και.. Αν είχαμε τον έλεγχο Η : β έναντι της Η : β < τότε p value P( T < T ~ tn P( T > T ~ tn. και άρα δεχόμαστε ότι β (ή ισοδύναμα β έναντι της β <. Ο έλεγχος Η : β.5, Η : β.5 (και Η : β.5, Η : β >.5 δεν γίνεται αυτόματα από το πακέτο. Για το λόγο αυτό θα πρέπει να μετασχηματίσουμε τα δεδομένα ώστε να καταλήξουμε σε έλεγχο της μορφής β. Συγκεκριμένα λαμβάνοντας β β. 5 προκύπτει το μοντέλο

4 β + β X + ε Y β + ( β +.5 X + ε Y. X β + β X + ε Y 5 Cefficients Unstandardized Cefficients Standardized Cefficients t Sig. Mdel B Std. Errr Beta (Cnstant,79 3,77 6,5, X,87E-,4,495,55,6 a Dependent Variable: Y και επειδή p-value.6 >.5 δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Η σε ε.σ..5. Για τον μονόπλευρο έλεγχο διατηρώντας το ίδιο ε.σ. παίρνουμε το μισό p-value (Η : β >.5 ή το μείον το μισό p-value (Η : β <.5. β. Τα δ.ε. 95% για τα β, β δίνονται απευθείας στον παραπάνω πίνακα. Για να κατασκευάσουμε δ.ε. 99%, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον παρακάτω τύπο: β tn (./, ±, t 3 (.5 Χρησιμοποιούμε την επιλογή /Transfrm/cmpute στον SPSS data editr πληκτρολογώντας σε μία νέα μεταβλητή για το άνω όριο, και idf.t(.995, idf.t(.995,3 για το κάτω όριο. Συγκεκριμένα παίρνουμε το (.4866,.578. γ. Το διάγραμμα διασποράς μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:. /Analyze/Regressin/Curve estimatin (define variables, include cnstant, linear mdel Στη συνέχεια επεξεργαζόμαστε το σχήμα που κατασκευάστηκε: Στον SPSS Chart Editr /Gallery/scatter/simple, Replace: Y: Observed, X: X /Chart/ptins/Fit line Ttal, Fit ptins Linear Regressin, Regressin Predictin lines (95% και 99% 3 Y Observed X Οι ζώνες εμπιστοσύνης είναι: η μία για την μέση πρόβλεψη στο Χ ο, E( Y β + βx,

5 y ( X X Y Y tn ( a / β + βx ± s + tn ( a / και η άλλη για την ατομική πρόβλεψη στο Χ ο, β + β + ε Y X ( X X Y Y tn ( a / β + βx ± s + + tn ( a / Οι τιμές των άκρων των διαστημάτων αυτών μπορούν να εξαχθούν στον SPSS data editr χρησιμοποιώντας την επιλογή Save στο μενού /Analyze/Regressin/linear. - Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε το γράφημα χρησιμοποιώντας: /Graphs/Interactive/Scatterplt (D, Define Y, X ή Υ, Χ, interact: Insert element(regressin Fit,Spikes, Chart manager (Regressin, Edit Predictin intervals 5 y x R-Square.99 Linear Regressin with 99.% Mean Predictin Interval and 99.% Individual Predictin Interval x Με δεξί click στο περιθώριο του (ανοιχτού σχήματος μπορούμε να κάνουμε διάφορες αλλαγές (π.χ. ChartLks... δ. Οι πωλήσεις που αναμένονται σε μία πόλη με 5 χιλ. κατοίκους θα είναι (εκτίμηση του Ε(Υ όταν Χ 5 Y β + βx όπου Χ 5, ενώ το αντίστοιχο δ.ε. θα είναι (για μέση πρόβλεψη ( X X Y Y tn ( a / β + βx ± s + tn ( a / Για να βρούμε τα παραπάνω στο SPSS, εισάγουμε μία 6 η παρατήρηση στον SPSS data editr πληκτρολογώντας στην 6 γραμμή της στήλης Χ το 5 (οι υπόλοιπες θέσεις στην 6 η γραμμή αφήνονται κενές. Στη συνέχεια εκτελούμε τη διαδικασία της παλινδρόμησης /Analyze/Regressin/Linear επιλέγοντας στο save τα Unstandardized predicted values ( Y β + βx, Predictin Intervals. Στην 6 η στήλη λαμβάνονται τα αποτελέσματα: Αναμενόμενες πωλήσεις: Δ.ε. 95% για την μέση πρόβλεψη: (5.5549, Δ.ε. 95% για την μέση πρόβλεψη: (4.348, 68,5996 Αν σε μία πόλη πουλήθηκαν μονάδες, ο πληθυσμός της εκτιμάται από το

6 Y,79 X,587 ε. Εφόσον το δ.ε. για τη μέση πρόβλεψη έχει τη μορφή ( X X Y Y tn ( a / β + βx ± s + tn ( a /, προφανώς θα έχει το μικρότερο εύρος όταν X X 4,733 (από Descriptive Statistics. Για να βρούμε το δ.ε. σε αυτή την περίπτωση ακολουθούμε τα παραπάνω βήματα (για το δ.ε. όταν Χ 5 αυτή τη φορά προσθέτοντας στην στήλη Χ την παρατήρηση 4,733. Στ. Ο πίνακας ANOVA δίνεται απευθείας κατά την επιλογή Regressin από το SPSS: Mdel Regressin Residual Ttal a. Predictrs: (Cnstant, X b. Dependent Variable: Y ANOVA b Sum f Squares df Meaquare F Sig. 5346, ,79 43,39, a 484, ,99 539,6 4 Ο παραπάνω πίνακας περιέχει τις ποσότητες: Mdel SS Df MS F Sig. Regressin SSR n i ( Y i Y MSR SSR MSR F MSE P( F > F F ~ F, n Residuals n i ( Y i Y i MSE n n Ttal SST n i ( Y i Y n Ο έλεγχος του μοντέλου μέσω του F-test μας οδηγεί στην απόρριψη της H : β διότι το αντίστοιχο p-value είναι ίσο με,.