A A N A B P Y T A 9 5 0 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Το σκοινί ως συνδετικό στοιχείο σε κινούμενα μέρη I= β I= β I = β Σχήμα : Το σύστημα και οι ετικές φορές μεταφορικής και στροφικής κίνησης Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται ένα σύστημα σε ακινησία, πιανά γιατί ασκούμε δυνάμεις για να το συγκρατήσουμε Στο κεκλιμένο επίπεδο ένα κυλινδροειδές σώμα () μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισαίνει Έχει μάζα, ακτίνα και ροπή αδράνειας I Στο κυλινδροειδές είναι τυλιγμένο ένα αβαρές μη-εκτατό σκοινί γύρω από το κυλινδρικό κέντρο του σώματος που έχει ακτίνα Το σκοινί μπορεί να τυλίγεται ή να ξετυλίγεται χωρίς να γλιστράει Το σκοινί περνάει πάνω από μία τροχαλία που το κέντρο της είναι στερεωμένο με ένα σύστημα υποστήριξης στην πάνω γωνία του κεκλιμένου επιπέδου Η τροχαλία αυτή έχει μάζα, ακτίνα και ροπή αδράνειας I και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές Τέλος, στην άλλη άκρη του σκοινιού βρίσκεται ένα κυλινδροειδές (), στην περιφέρεια του οποίου είναι τυλιγμένο το σκοινί Το κυλινδροειδές αυτό έχει μάζα, ακτίνα και ροπή αδράνειας I Το σκοινί μπορεί να τυλίγεται ή να ξετυλίγεται στην περιφέρεια του κυλινδροειδούς χωρίς να γλιστράει Επίσης, α υποέσουμε ότι το κομμάτι του σκοινιού που κρέμεται είναι κατακόρυφο Αυτή η υπόεση δεν μπορεί να ισχύει απολύτως αλλά μπορεί να προσεγγισεί με τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια όσο μακρύτερο είναι το κομμάτι του σκοινιού που κρέμεται Οι συντελεστές, και είναι κααροί αριμοί στο διάστημα 0, Τη χρονική στιγμή t 0 το σύστημα αφήνεται ελεύερο να κινηεί Να μελετηεί η κίνηση του κάε σώματος Η άσκηση αυτή προτάηκε από τον καηγητή κ Βασίλη Σουλιώτη Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0
Καορισμός των μεταβλητών έσης των σωμάτων και σχέσεις μεταξύ τους Έστω ότι το κυλινδροειδές σώμα () στρέφεται αριστερόστροφα κατά γωνία Επειδή κυλίεται χωρίς να ολισαίνει πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, η στροφή αυτή συνεπάγεται και μία μεταφορά του σώματος παράλληλα στο κεκλιμένο επίπεδο και προς τη ετική κατεύυνση Το κέντρο του σώματος μετατοπίζεται κατά: x Eξ() Eξ(), Eξ(3) Τέλος, το σκοινί ξετυλίγεται και ελευερώνεται μήκος l Σημειώστε ότι ισχύει l x Το μήκος του σκοινιού που είναι ελεύερο ανάμεσα στο σώμα () και την τροχαλία μεγάλωσε κατά x Ένα μέρος της αύξησης αυτής καλύφηκε από το κομμάτι του σκοινιού που ελευερώηκε από την περιστροφή του σώματος (), l, ενώ η υπόλοιπη αύξηση καλύφηκε από την περιστροφή της τροχαλίας Η περιστροφή της τροχαλίας επομένως πρέπει να έγινε αριστερόστροφα και κατά μία συγκεκριμένη γωνία, έτσι ώστε να φέρει σκοινί μήκους x l Δηλαδή, το σκοινί συνδέει την περιστροφή της τροχαλίας με την κύλιση χωρίς ολίσηση του κυλινδροειδούς () Η σχέση μεταξύ των δύο κινήσεων συνοψίζεται: Εξ(4) Εξ(5) Εξ(6), Θα προχωρήσουμε τώρα με τον κύλινδρο που κρέμεται Έστω ότι στρέφεται δεξιόστροφα κατά γωνία, και από τη στροφή αυτή ελευερώνεται σκοινί μήκους l Όμως, το κέντρο του κρεμάμενου κυλίνδρου δεν α κατέβει κατά το μήκος αυτό, γιατί η περιστροφή της τροχαλίας αφαίρεσε ένα μέρος του μήκους από το κρεμάμενο σκοινί, Κατ επέκταση το κέντρο του κρεμάμενου κυλίνδρου () α κατέβει κατά, x l, οπότε: x Εξ(7) Εξ(8), Εξ(9) Οι εξισώσεις Εξ(), Εξ(4) και Εξ(7) συνδέουν τις μεταφορικές και στροφικές κινήσεις των τριών σωμάτων και μειώνουν τις πέντε ελεύερες μεταβλητές x,,, x, που καορίζουν τη έση των σωμάτων σε μόνο ελεύερες μεταβλητές, μία για κάε μεταφερόμενο κυλινδροειδές Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0
Η δυναμική των κέντρων μάζας T I = β Στον κρεμάμενο κύλινδρο () ασκούνται δύο συγγραμμικές δυνάμεις: το βάρος και η δύναμη από το τεντωμένο σκοινί T Για το κέντρο μάζας του κυλίνδρου () ισχύει: T Εξ(0) Στο κυλινδροειδές () ασκούνται 4 δυνάμεις: το βάρος, η κάετη δύναμη από το επίπεδο N, η δύναμη από το τεντωμένο σκοινί T και η στατική τριβή T από την επιφάνεια του κεκλιμένου επιπέδου Δεδομένου ότι το σώμα κινείται μόνο παράλληλα στο κεκλιμένο επίπεδο, αναλύουμε σε άξονες (κατά τα συνήη) και έχουμε: T T Εξ() N N I= β T στ T T N I= β T Στην τροχαλία ασκούνται 4 δυνάμεις Το βάρος της, μία δύναμη από το σημείο στήριξής της και δύο δυνάμεις από το σκοινί Επειδή το σκοινί είναι αβρές κάε κομμάτι του τραβάει με αντίετες δυνάμεις στα δύο άκρα του Το κέντρο μάζας της τροχαλίας παραμένει ακίνητο, οπότε: N T T 0 Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0 3
Η δυναμική των στροφών Στον κρεμάμενο κύλινδρο () μόνον η δύναμη το κέντρο μάζας του: T δημιουργεί ροπή ως προς T I = β T Εξ(), Στο κυλινδροειδές () μόνο οι δυνάμεις T T δημιουργούν ροπές ως προς το κέντρο μάζας του: και N I= β T T T Εξ(3), N Στην τροχαλία μόνο οι δύο δυνάμεις από το σκοινί δημιουργούν ροπές ως προς το κέντρο της T I= β T T T Εξ(4) Οι 5 εξισώσεις Εξ(0), Εξ(), Εξ(), Εξ(3) και Εξ(4) περιέχουν τους 8 αγνώστους:, T, T,, T,,,, και Έχουμε όμως και τις 3 εξισώσεις Εξ(3), Εξ(6) και Εξ(9) που περιορίζουν γραμμικές και γωνιακές επιταχύνσεις μεταξύ τους Με άλλα λόγια έχουμε 8 εξισώσεις για 8 αγνώστους Θα λύσουμε το σύστημα Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0 4
Επίλυση του συστήματος εξισώσεων Έχουμε το παρακάτω αλγεβρικό σύστημα:, Εξ(9) Εξ(3), T Εξ(), Εξ(6), T Εξ(0) T T Εξ() T T Εξ(3), T T Εξ(4) Απαλείφουμε τα, και T από τις υπόλοιπες εξισώσεις, με τη βοήεια των Εξ(9), Εξ(3) και Εξ(): T, Εξ(4) Εξ(6),,, Εξ(0), T T Εξ() T T Εξ(3), Απαλείφουμε την T Εξ(6), από τις υπόλοιπες εξισώσεις με τη βοήεια της Εξ(4):,, Εξ(0),, T, T, Εξ() Εξ(3) Απαλείφουμε την από τις υπόλοιπες εξισώσεις με τη βοήεια της Εξ(6):,,, Εξ(0),,, T T Εξ(),,, Εξ(3) Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0 5
Φτάσαμε αισίως στις 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους Αναδιατάσσουμε τους όρους, ώστε να είναι εμφανέστερες οι εξαρτήσεις:,, Εξ(0),, T Εξ() 0,, T Εξ(3) Η Εξ() μπορεί να χρησιμοποιηεί για την απαλοιφή της από την Εξ(3): T,, Εξ(3) Έτσι καταλήξαμε σε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:,, Εξ(0),, Εξ(3) Η ορίζουσα των συντελεστών είναι: 0 D Οπότε έχουμε τη λύση:,, Η γωνιακή επιτάχυνση του κρεμάμενου κυλίνδρου είναι πάντα ετική, πράγμα που αναμέναμε Όμως το κυλινδροειδές () μπορεί να στρέφεται και με αντίετη φορά από αυτή που υποέσαμε ή ακόμη και να μη στρέφεται καόλου: Αν τότε περιστρέφεται αριστερόστροφα και κατεβαίνει Αν τότε περιστρέφεται δεξιόστροφα και ανεβαίνει Αν τότε δεν περιστρέφεται καόλου και ισορροπεί Η στατική τριβή υπολογίζεται από την Εξ(): T Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0 6
Τέλος, α έλαμε να εξετάσουμε σε ποια περίπτωση ο κρεμάμενος κύλινδρος ανεβαίνει ή ισορροπεί Δηλαδή, σε ποια περίπτωση η 0,, Επομένως, ο κρεμάμενος κύλινδρος α μπορούσε να ανεβαίνει ή να ισορροπεί όταν: Η σχέση αυτή μπορεί να προσδιορίσει την κατάλληλη κλίση του κεκλιμένου επιπέδου, αρκεί βέβαια να ισχύει: Με τόσες πολλές παραμέτρους, σίγουρα α μπορούμε να επιλέξουμε τιμές ώστε να ισχύει κάτι τέτοιο Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0 7
Επανάληψη της λύσης της άσκησης, με αντίετη περιτύλιξη του σκοινιού I= β I= β I = β Σχήμα : Το σύστημα και οι ετικές φορές μεταφορικής και στροφικής κίνησης Καορισμός των μεταβλητών έσης των σωμάτων και σχέσεις μεταξύ τους Έστω ότι το κυλινδροειδές σώμα () στρέφεται αριστερόστροφα κατά γωνία Επειδή κυλίεται χωρίς να ολισαίνει πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, η στροφή αυτή συνεπάγεται και μία μεταφορά του σώματος παράλληλα στο κεκλιμένο επίπεδο και προς τη ετική κατεύυνση Το κέντρο του σώματος μετατοπίζεται κατά: x Eξ() Eξ(), Τέλος, το σκοινί τυλίγεται και δεσμεύεται μήκος Eξ(3) l Το μήκος του σκοινιού που είναι ελεύερο ανάμεσα στο σώμα () και την τροχαλία μεγάλωσε κατά x, και επιπλέον από την περιστροφή του σώματος () δεσμεύτηκε σκοινί μήκους, l Το άροισμα των δύο αυτών μηκών καλύφηκε από την περιστροφή της τροχαλίας Η περιστροφή της τροχαλίας επομένως πρέπει να έγινε αριστερόστροφα και κατά μία συγκεκριμένη γωνία, έτσι ώστε να φέρει σκοινί μήκους x l Δηλαδή, το σκοινί συνδέει την περιστροφή της τροχαλίας με την κύλιση χωρίς ολίσηση του κυλινδροειδούς () Η σχέση μεταξύ των δύο κινήσεων συνοψίζεται: Εξ(4) Εξ(5) Εξ(6), Σημειώστε ότι εδώ, σε σχέση με την προηγούμενη άσκηση, Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0 8
Θα προχωρήσουμε τώρα με τον κύλινδρο που κρέμεται Έστω ότι στρέφεται δεξιόστροφα κατά γωνία, και από τη στροφή αυτή ελευερώνεται σκοινί μήκους l Όμως, το κέντρο του κρεμάμενου κυλίνδρου δεν α κατέβει κατά το μήκος αυτό, γιατί η περιστροφή της τροχαλίας αφαίρεσε ένα μέρος του μήκους από το κρεμάμενο σκοινί, Κατ επέκταση το κέντρο του κρεμάμενου κυλίνδρου () α κατέβει κατά, x l, οπότε: x Εξ(7) Εξ(8), Εξ(9) Οι εξισώσεις Εξ(), Εξ(4) και Εξ(7) συνδέουν τις μεταφορικές και στροφικές κινήσεις των τριών σωμάτων και μειώνουν τις πέντε ελεύερες μεταβλητές x,,, x, που καορίζουν τη έση των σωμάτων με μόνο ελεύερες μεταβλητές, μία για κάε μεταφερόμενο κυλινδροειδές Η δυναμική των κέντρων μάζας Το μέρος αυτό είναι πανομοιότυπο με εκείνο της προηγούμενης άσκησης Η δυναμική των στροφών Στο κυλινδροειδές () μόνο οι δυνάμεις T και T δημιουργούν ροπές ως προς το κέντρο μάζας του: N I= β T T T Εξ(3), Σε σχέση με την προηγούμενη άσκηση, έχουμε πάλι T στ Για τα άλλα σώματα οι εξισώσεις είναι πανομοιότυπες Επίλυση του συστήματος εξισώσεων Οι λύσεις για τη συγκεκριμένη περίπτωση παράγονται από τις λύσεις της προηγούμενης άσκησης με την αντικατάσταση Στέλιος Χατζηεοδωρίδης, Ιανουάριος 0 9