1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου : πό τα δεδοµένα προσδιορίζω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο.. Εµβαδόν όταν ξέρω την διάµετρο δ : Ε = π 3. Εµβαδόν κυκλικού δακτυλίου : Κυκλικός δακτύλιος ονοµάζεται η περιοχή µεταξύ δύο οµόκεντρων κύκλων. Το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου το βρίσκουµε αν από το εµβαδόν του µεγάλου κύκλου αφαιρέσουµε το εµβαδόν του µικρού δ
ΣΚΗΣΕΙΣ ν Ε το εµβαδόν, ρ η ακτίνα και L το µήκος ενός κύκλου, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Ε 0,156 8,6 50, 90,65 68 196,5 ρ 0, 3 1,5 10 5 L 1,56 18,8 5,1 78,5 6,8 157 Θεωρία 1 1 η στήλη : L = πρ οπότε 1,56 = 3,1ρ απ όπου ρ = 0, Ε = πρ =3,1 0, = 0,156 η στήλη : Ε = πρ άρα 8,6 = 3,1ρ, ρ = 8,6 3,1 = 9, ρ = 3 L = 3,1 3 = 18,8 3 η στήλη : Ε = πρ = 3,1 = 50, και L = 3,1 = 5,1 η στήλη : µοίως µε την 1 η βρίσκουµε ρ = 1,5 και Ε = 90,65 5 η στήλη: µοίως µε την η βρίσκουµε ρ = 00 =10 και L = 6,8 6 η στήλη : µοίως µε την 3 η βρίσκουµε Ε = 196,5 και L = 157 Συµπληρωµένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω. Σε µια πιτσαρία, µία πίτσα µε ακτίνα 7cm κοστίζει 7, ενώ µια πίτσα του ίδιου τύπου µε διάµετρο 8 cm κοστίζει 8,7. Ποια έχει ποιό συµφέρουσα τιµή ; Το εµβαδόν της πίτσας µε ακτίνα ρ = 7 cm είναι Ε 1 = 3,1 7 = 153,86 cm Το εµβαδόν της πίτσας µε διάµετρο 8 δηλαδή ακτίνας ρ = cm είναι Ε = 3,1 = = 50, cm Είναι Ε 1 > Ε άρα ποιό συµφέρουσα τιµή έχει η πρώτη πίτσα 3. ίνονται δύο οµόκεντροι κύκλοι ακτίνων ρ 1 = 8cm και ρ = 11cm. Να βρείτε την ακτίνα ενός τρίτου κύκλου του οποίου το εµβαδόν να είναι ίσο µε το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου των δύο πρώτων κύκλων Θεωρία 1- σχόλιο 3 Ε = 3,1 11 = 379,9 και Ε 1 = 3,1 8 = 00,96 11 Το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου είναι Ε = 379,9 00,96 = 178,98 cm 8 ν ρ είναι η ζητούµενη ακτίνα πρέπει 178,98 = 3,1ρ άρα ρ = 57 ρ = 57 cm
3. ν = cm, να βρείτε το εµβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται µεταξύ των δύο κύκλων του διπλανού σχήµατος. Ε µεγάλου κύκλου = 3,1 =1808,6 cm Ε µικρού κύκλου = 3,1 1 = 5,16 cm Ε ζητούµενο = Ε µεγάλου κύκλου Ε µικρού κύκλου = 1808,6 5,16 = 1356,8 cm 5. Στο διπλανό σχήµα, το ΒΓ είναι τετράγωνο πλευράς 8cm. Να βρείτε το εµβαδόν της περιοχής που είναι µεταξύ του τετραγώνου και των κύκλων. κάθε κύκλος όπως είναι φανερό έχει ακτίνα ρ = cm Το ζητούµενο εµβαδόν προκύπτει αν από το εµβαδόν του τετραγώνου αφαιρέσουµε το εµβαδόν των τεσσάρων κύκλων. Ε τετραγώνου = 8 = 6 cm και Ε κύκλου = 3,1 = 1,56 cm Ε ζητούµενο = 6 1,56 = 13,76cm. Γ Β 6. Με διαµέτρους τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου κατασκευάζουµε τρείς κύκλους. Να συγκρίνεται το άθροισµα των εµβαδών των κύκλων µε διαµέτρους τις κάθετες πλευρές µε το εµβαδόν του κύκλου µε διάµετρο την υποτείνουσα. Σχόλιο Έστω ΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα ΒΓ. πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε Β + Γ = ΒΓ ι κύκλοι µε διαµέτρους τις πλευρές Β, Γ και ΒΓ έχουν εµβαδόν Β Γ ΒΓ Ε Β = π, ΕΓ = π και Ε ΒΓ = π Β Γ πβ + πγ Ε Β + Ε Γ = π + π = = π( Β +Γ ) ΒΓ = = π = ΕΒΓ Εποµένως το εµβαδόν του κύκλου µε διάµετρο την υποτείνουσα ισούται µε το άθροισµα των εµβαδών των κύκλων µε διαµέτρους τις κάθετες πλευρές.
7. Ένα τετράγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλου µε εµβαδόν 50, cm. Να βρείτε το εµβαδόν του τετραγώνου. Β Ε κύκλου = 50, άρα 3,1ρ = 50,, ρ = 16, ρ = πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο Β έχουµε Β = Β + = + = 16 + 16 = 3 Συνεπώς Ε τετραγώνου = Β = 3 cm. Γ 8. ύο κύκλοι είναι οµόκεντροι και η ακτίνα του εξωτερικού κύκλου είναι 5. Να υπολογίσετε την ακτίνα του εσωτερικού κύκλου, αν γνωρίζετε ότι το εµβαδόν αυτού είναι ίσο µε το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου των δύο κύκλων ν ρ είναι η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου τότε το εµβαδόν αυτού είναι Ε = πρ Το εµβαδόν του κυκλικού δακτυλίου είναι ίσο µε Ε δακτ. = π(5 ) πρ Σχόλιο 3 πό την υπόθεση είναι π(5 ) πρ = πρ άρα 50π = πρ ρ = 5 ρ = 5 9. Ένας κύκλος έχει εµβαδόν αριθµητικά ίσο µε το µήκος του. Να υπολογίσετε την ακτίνα του. Ισχύει πρ = πρ άρα ρ = ρ ρ ρ = 0 ρ(ρ ) = 0 ρ = 0 η ρ = η τιµή ρ = 0 απορρίπτεται άρα ρ =
5 10. Στο διπλανό σχήµα το ΒΓ είναι τετράγωνο µε διαγώνιο 5 cm. Να βρείτε ρ α) την πλευρά του τετραγώνου β) το εµβαδόν του κύκλου ρ γ) το εµβαδόν της περιοχής που είναι µεταξύ του τετραγώνου και του κύκλου. α) Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. πό το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο ΒΓ έχουµε α + α = Γ άρα α = (5 ) α = 50 α = 5 α = 5 cm β) Η ακτίνα του κύκλου είναι φανερό ότι είναι ίση µε το µισό της πλευράς του τετραγώνου, εποµένως ρ = 5 =,5 cm Το εµβαδόν του κύκλου είναι ίσο µε Ε κυκλ = 3,1,5 = 19,65cm γ) Το εµβαδόν του τετραγώνου είναι Ε τ = 5 = 5 cm Η περιοχή µεταξύ του τετραγώνου και του κύκλου έχει εµβαδόν Ε = Ε τ Ε κυκλ.= 5 19,65 = 5,375cm 1 Τετράγωνο έχει περίµετρο 10cm και κύκλος έχει µήκος 10cm. Ποιό σχήµα έχει µεγαλύτερο εµβαδόν; Η πλευρά του τετραγώνου είναι α = 10 =,5 cm και το εµβαδόν του Ε τ =,5 = 6,5 cm Το µήκος του κύκλου είναι L = πρ οπότε 10 = 3,1 ρ ρ = 10 = 1,59 περίπου 6,8 Το εµβαδόν του κύκλου είναι Ε = 3,1 1,59 = 7,93 cm Προφανώς το εµβαδόν του κύκλου είναι µεγαλύτερο από το εµβαδόν του τετραγώνου.