Υπολογισμός παραμέτρων βαλλιστικού πυραύλου για πλήξη σταθερού στόχου σε συγκεκριμένο χρόνο

Υπολογισμός παραμέτρων βαλλιστικού πυραύλου για πλήξη σταθερού στόχου σε συγκεκριμένο χρόνο Διονύσης Στεφανάτος Ειδικός Επιστήμονας, Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων 1. Εισαγωγή Οι βαλλιστικοί πύραυλοι ανήκουν στην κατηγορία των μη καθοδηγούμενων (ή αλλιώς στρατηγικών) πυραύλων οι οποίοι ακολουθούν τους φυσικούς νόμους της κίνησης, διαγράφοντας μία βαλλιστική τροχιά υπό την επίδραση της βαρύτητας. Οι πύραυλοι αυτοί είναι αρκετά δύσκολο να αναχαιτιστούν και έχουν αξιοσημείωτη ακρίβεια για το μεγάλο βεληνεκές που καλύπτουν. Ανάλογα με το βεληνεκές τους, διακρίνονται στις ακόλουθες κατηγορίες: (1) μικρού βεληνεκούς, μέχρι 300 nm (ναυτικά μίλια) ή 556 km, π.χ. Pershing, Sergeant, και Hawk (2) μεσαίου βεληνεκούς, μέχρι 2500 nm (4632.4 km), π.χ. Thor, Jupiter, και Polaris/Poseidon/Trident (3) μεγάλου βεληνεκούς, πάνω από 2500 nm, π.χ. Minuteman I III, MX, και Titan. Οι βαλλιστικοί πύραυλοι πολύ μεγάλου (διηπειρωτικού) βεληνεκούς (πάνω από 5000 nm) ακολουθούν το σχεδιασμό ICBM (Intercontinental Ballistic Missile). Αυτοί οι πύραυλοι συνήθως αποθηκεύονται σε ειδικά σχεδιασμένους υπόγειους χώρους, ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αντίποινα σε περίπτωση αντίστοιχης επίθεσης από εχθρική χώρα. Μία τυπική τροχιά ενός βαλλιστικού πυραύλου αποτελείται από τρεις φάσεις: (1) προώθησης

(powered flight), κατά την οποία εφαρμόζεται ελεγχόμενη ώθηση στον πύραυλο για να βγει από την ατμόσφαιρα και να εισέλθει στην επόμενη φάση με την κατάλληλη ταχύτητα και γωνία πτήσης ώστε να πλήξει το στόχο (2) ελεύθερης πτήσης (free flight), όπου δεν εφαρμόζεται καμία ώθηση ή έλεγχος, απλά ο πύραυλος εκτελεί ελεύθερη πτώση (free fall) υπό την επίδραση του βαρυτικού πεδίου της Γης (3) επανεισόδου (reentry), κατά την οποία ο πύραυλος εισέρχεται ξανά στη γήινη ατμόσφαιρα (οπότε η κίνησή του επηρεάζεται από την ατμοσφαιρική τριβή) για να χτυπήσει τελικά το στόχο στην επιφάνεια της Γης. Οι τρεις φάσεις της τροχιάς απεικονίζονται στο παραπάνω σχήμα και επεξηγούνται με μεγαλύτερη λεπτομέρεια στην επόμενη παράγραφο. Οι βαλλιστικοί πύραυλοι διαθέτουν δύο εξαιρετικά σημαντικά πλεονεκτήματα. Πρώτον, η φάση της ελεύθερης πτήσης, που καταλαμβάνει το μεγαλύτερο μέρος της τροχιάς, τους προσδίδει πολύ μεγαλύτερο βεληνεκές από αυτό που θα αντιστοιχούσε στο μέγεθος τους (και άρα το καύσιμο που μπορούν να μεταφέρουν). Οι προωθούμενοι πύραυλοι αντίστοιχου βεληνεκούς, όπως οι πύραυλοι τύπου cruise, δεν χρησιμοποιούν μηχανές καυσίμου (αφού η απαιτούμενη ποσότητα θα έκανε τον πύραυλο μεγαλύτερο και πιο εύκολο στην ανίχνευση και την καταστροφή) αλλά τις πιο οικονομικές μηχανές jet. Το δεύτερο και καταλυτικό πλεονέκτημα των βαλλιστικών πυραύλων είναι ο μικρός χρόνος που χρειάζονται για να πλήξουν το στόχο. Ένας διηπειρωτικός πύραυλος τύπου ICBM μπορεί να χτυπήσει ένα στόχο οπουδήποτε εντός του βεληνεκούς του (εν δυνάμει μέχρι 10000 km), εντός μόνο 30 λεπτών. Με τελικές ταχύτητες άνω των 5000 m/s, οι βαλλιστικοί πύραυλοι είναι πολύ πιο δύσκολο να καταρριφθούν σε σχέση με τους πυραύλους cruise, εξαιτίας του πολύ μειωμένου διαθέσιμου χρόνου κατάρριψης. Γι αυτόν ακριβώς το λόγο, οι βαλλιστικοί πύραυλοι είναι από τα πλέον τρομακτικά διαθέσιμα όπλα, ενώ οι πύραυλοι cruise είναι πιο οικονομικοί, ευκίνητοι και ευπροσάρμοστοι. Στην τρίτη παράγραφο της παρούσας ενότητας παρουσιάζουμε έναν τρόπο υπολογισμού των παραμέτρων βαλλιστικού πυραύλου (του μέτρου της αρχικής ταχύτητας V και της γωνίας πτήσης γ στο παραπάνω σχήμα), με τις οποίες θα πρέπει αυτός να εισέλθει στη δεύτερη φάση της ελεύθερης πτήσης ώστε να πλήξει στόχο με σταθερές συντεταγμένες σε συγκεκριμένο χρόνο. Επισημαίνουμε ότι το περιεχόμενο των παραγράφων 1 και 2, καθώς και τα περισσότερα σχήματα, προέρχονται σε σημαντικό βαθμό από την αναφορά [1]. 2. Οι τρεις φάσεις της τροχιάς ενός βαλλιστικού πυραύλου 2.1. Προώθηση (powered flight) Αυτή η φάση διαρκεί από τη στιγμή της εκτόξευσης του πυραύλου μέχρι τη διακοπή της εφαρμοζόμενης ώθησης ή την εξάντληση του προωθητικού καυσίμου. Κατά τη διάρκεια αυτού του μέρους της πτήσης, η ισχυρότερη δύναμη που δρα στο βλήμα είναι η ώθηση που παρέχει η μηχανή του πυραύλου. Η επιτάχυνση του βλήματος υπό την επίδραση αυτής της ώθησης είναι συνήθως μεταξύ 1 1.5g (g = 9.80 m/s 2 ) κατά την εκκίνηση, ενώ αυξάνεται με τη μείωση της μάζας του πυραύλου λόγω κατανάλωσης του καυσίμου και απόρριψης των δεξαμενών, μέχρι την επίτευξη μίας τελικής τιμής στο εύρος 5 10g. Στο τέλος αυτής της φάσης, ο πύραυλος θα έχει φτάσει σε τέτοιο ύψος ώστε οι αεροδυναμικές δυνάμεις να μην επηρεάζουν την τροχιά. Ωστόσο, η ταχύτητα και η θέση του πυραύλου κατά τη διάρκεια της φάσης πρέπει να ελέγχονται για να περιοριστεί η αεροδυναμική επίδραση και το βλήμα να εισέλθει σε

κατάλληλη τροχιά ελεύθερης πτώσης (δεύτερη φάση) που θα το οδηγήσει στο στόχο. Η καθοδήγηση του πυραύλου λαμβάνει χώρα σε αυτήν τη φάση της τροχιάς (που είναι η πιο κρίσιμη), και γίνεται με τη βοήθεια ενός αδρανειακού συστήματος. Ένα αδρανειακό σύστημα καθοδήγησης περιλαμβάνει τρία βασικά στοιχεία: γυροσκόπια, μετρητές επιτάχυνσης και συσκευές μνήμης. Η αδρανειακή πλοήγηση είναι αυτόνομη, δηλαδή δε χρειάζεται κάποια εξωτερική πηγή ενέργειας ή ακτινοβολίας για να λειτουργήσει. Ενδείκνυται ιδιαίτερα για βαλλιστικούς πυραύλους, αφού δεν εκπέμπει ούτε λαμβάνει κάποιου είδους σήμα, επομένως δεν μπορεί να εξουδετερωθεί. Από τη στιγμή που ο πύραυλος θα εκτοξευτεί, η αδρανειακή καθοδήγηση δεν εξαρτάται από τον εξοπλισμό εδάφους. Δεν επηρεάζεται από τις καιρικές συνθήκες. Μπορεί να οδηγήσει με ακρίβεια τον πύραυλο στο στόχο, με όλες τις διορθώσεις εξαιτίας παραγόντων όπως ο άνεμος και οι ατμοσφαιρικές συνθήκες να λαμβάνουν χώρα αυτόματα κατά τη διάρκεια της πτήσης. Για όλους αυτούς τους λόγους, το αδρανειακό σύστημα θεωρείται σήμερα το καλύτερο σύστημα καθοδήγησης για χρήση εναντίον στάσιμου στόχου. Κατά τη διάρκεια αυτής της φάσης της πτήσης, το σύστημα υπολογίζει την τρέχουσα θέση, ταχύτητα και ύψος, και εφαρμόζει τις απαραίτητες αντισταθμίσεις, αλλάζοντας την κατεύθυνση της εφαρμοζόμενης ώθησης. Αυτές οι διορθώσεις ελαχιστοποιούν τα σφάλματα που εισάγονται στο σύστημα εξαιτίας της βαρύτητας, του μη σφαιρικού σχήματος της Γης, της δύναμης Coriolis και άλλων παραγόντων. 2.2. Ελεύθερη πτήση (free flight) Αυτή η φάση καταλαμβάνει το μεγαλύτερο μέρος της τροχιάς. Μετά τον τερματισμό της αρχικής φάσης προώθησης, ο πύραυλος βρίσκεται σε κατάσταση ελεύθερης πτώσης υπό την επίδραση μόνο της βαρύτητας. Η ατμόσφαιρα είναι σχεδόν ανύπαρκτη για πυραύλους με βεληνεκές της τάξης των 5000-6000 nm και η επίδρασή της μπορεί να αγνοηθεί. Επίσης, δεν εφαρμόζεται κανενός είδους έλεγχος καθοδήγησης, και η τροχιά καθορίζεται μόνο από τις αρχικές συνθήκες κατά την έναρξη της δεύτερης φάσης (που συμπίπτει με τον τερματισμό της φάσης προώθησης). Υπό αυτές τις συνθήκες, η τροχιά του πυραύλου κατά τη δεύτερη φάση είναι μία έλλειψη που ξεκινά από το σημείο διακοπής της ώθησης και έχει τη μία εστία στο κέντρο της Γης. Για να περνάει και από το σημείο όπου βρίσκεται ο στόχος, όπως είναι επιθυμητό, θα πρέπει η ταχύτητα και η γωνία πτήσης στην αρχή της δεύτερης φάσης να έχουν επιλεγεί κατάλληλα, και φυσικά το σύστημα πλοήγησης κατά την πρώτη φάση να έχει οδηγήσει τον πύραυλο σε αυτές τις συνθήκες. 2.3. Επανείσοδος (reentry) Καθώς ο πύραυλος προσεγγίζει το στόχο, εισέρχεται ξανά στην ατμόσφαιρα και η κίνησή του παύει να είναι απλή ελεύθερη πτώση. Η τρίτη φάση ξεκινά από το σημείο όπου η ατμοσφαιρική τριβή αρχίζει να επηρεάζει την κίνηση του πυραύλου και διαρκεί μέχρι την πρόσκρουση στο στόχο πάνω στη γήινη επιφάνεια. Ενώ η μετάβαση από τη φάση προώθησης στη φάση ελεύθερης πτήσης είναι άμεση (με τη διακοπή της ώθησης ή την εξάντληση του καυσίμου), η μετάβαση από τη φάση ελεύθερης πτώσης στη φάση επανεισόδου είναι βαθμιαία, καθώς ο πύραυλος διασχίζει την ατμόσφαιρα και συναντά αυξανόμενη πυκνότητα αέρα. Επισημαίνουμε ότι δεν υπάρχει αυστηρά καθορισμένο σημείο επανεισόδου. Η τροχιά κατά τη φάση αυτή καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από τις συνθήκες της πτήσης καθώς ο πύραυλος προσεγγίζει την

ενεργή ατμόσφαιρα της Γης. Η φάση επανεισόδου ξεκινά σ ένα ύψος περίπου 30 km, όπου η δυναμική πίεση αρχίζει να επιδρά σημαντικά στην κίνηση του πυραύλου, και συνήθως αντιμετωπίζεται σαν μια τελική διαταραχή στην τροχιά ελεύθερης πτώσης της προηγούμενης φάσης. Οι υψηλές επιταχύνσεις και οι υψηλοί ρυθμοί θέρμανσης που αναπτύσσονται κατά τη φάση αυτή, περιορίζουν τις επιτρεπτές τροχιές επανεισόδου και καθιστούν αναγκαία τη χρήση κατάλληλης καθοδήγησης του πυραύλου. 2.4. Ο διηπειρωτικός πύραυλος Minuteman-III Σαν ένα ρεαλιστικό παράδειγμα περιγράφουμε τον βαλλιστικό πύραυλο Minuteman-III, ο οποίος διαθέτει τα παραπάνω γενικά χαρακτηριστικά αλλά παρουσιάζει και κάποια επιπλέον. Το περιεχόμενο της παρούσας παραγράφου προέρχεται από την αναφορά [2]. Ο πύραυλος αυτός είναι ο μοναδικός ενεργός διηπειρωτικός πύραυλος εδάφους/εδάφους των Ηνωμένων Πολιτειών, και συμπληρώνει την πυρηνική τριάδα των Η.Π.Α. μαζί με τον Trident που εκτοξεύεται υποβρύχια και άλλα πυρηνικά όπλα που μεταφέρονται από μεγάλης εμβέλειας βομβαρδιστικά αεροπλάνα. Πήρε το όνομά του από τους ομώνυμους επίλεκτους άνδρες του επαναστατικού στρατού που πολέμησαν στον αγώνα της Αμερικανικής ανεξαρτησίας, κύριο χαρακτηριστικό των οποίων ήταν η ταχύτητα δράσης. Ανάλογα, ο πύραυλος μπορεί να εκτοξευτεί μερικά μόνο λεπτά μετά τη λήψη της αντίστοιχης εντολής. Ο Αμερικανικός στρατός διαθέτει σήμερα 450 Minuteman-III, οι οποίοι προβλέπεται να παραμείνουν σε υπηρεσία μέχρι τουλάχιστον το 2030. Οι πύραυλοι αυτοί αποθηκεύονται σε σιλό, υπόγειες κατακόρυφες κυλινδρικές δεξαμενές, από τις οποίες γίνεται και η εκτόξευσή τους. Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ενός Minuteman-III. Διακρίνονται καθαρά οι τρεις κινητήρες-δεξαμενές στερεού καυσίμου, καθένας από τους οποίους χρησιμοποιείται σε ένα στάδιο της φάσης προώθησης. Κατά τη φάση αυτή ο πύραυλος καθοδηγείται από γυροσκοπικό αδρανειακό σύστημα. Ο Minuteman-III δύναται να μεταφέρει μέχρι τρεις πυρηνικές κεφαλές (ισχύος 300-500 kilotons), με την καθεμιά από αυτές να μπορεί να χτυπήσει μια διαφορετική περιοχή. Ο συγκεκριμένος πύραυλος ήταν ο πρώτος που παρείχε αυτήν τη δυνατότητα (Multiple Independently Targetable Reentry Vehicles, MIRV). Μαζί με τις πυρηνικές κεφαλές,

έχει τη δυνατότητα να αναπτύσσει και αντίμετρα για προστασία κατά τη φάση επανεισόδου. Τα δύο αυτά επιπλέον χαρακτηριστικά είναι εφικτά χάρη σε έναν έξτρα κινητήρα υγρού καυσίμου που μπορεί να λειτουργήσει μετά τη φάση προώθησης και να κάνει μικροπροσαρμογές στην τροχιά. Η ακολουθία εκτόξευσης ενός πυραύλου Minuteman-III MIRV απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα και περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: (1) Ο πύραυλος εκτοξεύεται από το υπόγειο σιλό πυροδοτώντας τον κινητήρα A του πρώτου σταδίου (2) Περίπου 60 sec από την εκτόξευση, η πρώτη δεξαμενή απορρίπτεται και πυροδοτείται ο κινητήρας B του δεύτερου σταδίου. Το προστατευτικό κάλυμμα E του πυραύλου απορρίπτεται (3) Περίπου 120 sec από την εκτόξευση, πυροδοτείται ο κινητήρας C του τρίτου σταδίου ενώ ταυτόχρονα αποκολλιέται από τη δεύτερη δεξαμενή (4) Περίπου 180 sec από την εκτόξευση, το τρίτο στάδιο τερματίζεται και απορρίπτεται η αντίστοιχη δεξαμενή, οπότε ολοκληρώνεται η φάση προώθησης. Το όχημα D που απομένει (post-boost vehicle) ξεκινά την ελεύθερη πτήση (5) Το όχημα D, χρησιμοποιώντας τον έξτρα κινητήρα υγρού καυσίμου, κάνει τους απαραίτητους ελιγμούς και προετοιμάζεται για να αναπτύξει τις κάψουλες επανεισόδου (re-entry vehicles) (6) Οι κάψουλες αναπτύσσονται μαζί με παραπλανητικά ομοιώματα και αντίμετρα ραντάρ (7) Οι κάψουλες και τα αντίμετρα επανεισέρχονται στην ατμόσφαιρα με υψηλές ταχύτητες ενώ οπλίζονται καθ οδόν (8) Οι πυρηνικές κεφαλές εκρήγνυνται, είτε στον αέρα είτε στο έδαφος. 3. Υπολογισμός των παραμέτρων του πυραύλου 3.1. Χαρακτηριστικά ελλειπτικής τροχιάς ελεύθερης πτήσης Όπως επισημάνθηκε παραπάνω, η τροχιά του βαλλιστικού πυραύλου κατά τη δεύτερη φάση (ελεύθερη πτήση) είναι τμήμα μίας έλλειψης η οποία έχει τη Γη στη μία εστία. Εδώ

προσδιορίζουμε τα χαρακτηριστικά της ελλειπτικής τροχιάς ως συνάρτηση των παραμέτρων του πυραύλου, που είναι το μέτρο της αρχικής ταχύτητας V και η γωνιά πτήσης γ. Αρχικά εκφράζουμε τα χαρακτηριστικά της τροχιάς ως συνάρτηση των δύο σταθερών της κίνησης, που είναι η ενέργεια Ε και η στροφορμή L (και οι δύο ανά μονάδα μάζας του πυραύλου). Εν συνεχεία εκφράζουμε τις σταθερές αυτές ως συνάρτηση των παραμέτρων V και γ. Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι p r = 1 + e cos ν όπου r είναι η εκάστοτε απόσταση του πυραύλου από το κέντρο της Γης, ν είναι η γωνία ανάμεσα στο διάνυσμα θέσης και το περίγειο (το κοντινότερο προς το κέντρο της Γης σημείο της τροχιάς), p είναι το επονομαζόμενο semi-latus rectum, βλέπε το παραπάνω σχήμα, και e είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης. Αρχικά προσδιορίζουμε τα χαρακτηριστικά της τροχιάς p και e ως συνάρτηση των σταθερών της κίνησης Ε και L. Εφαρμόζοντας τις αρχές διατήρησης της ενέργειας και της στροφορμής ανάμεσα στο περίγειο και το απόγειο (το πιο απομακρυσμένο από τη Γη σημείο της τροχιάς) έχουμε E = u p 2 2 μ = u 2 a r p 2 μ r a και L = r p u p = r a u a όπου r p, u p και r a, u a είναι η θέση και η ταχύτητα του πυραύλου στο περίγειο και το απόγειο, αντίστοιχα, ενώ μ = GM είναι το γινόμενο της βαρυτικής σταθεράς και της γήινης μάζας. Από την εξίσωση της έλλειψης προκύπτει

r p = p 1 + e, r a = p 1 e αφού από το παραπάνω σχήμα φαίνεται ότι οι αντίστοιχες γωνίες είναι ν p = 0, ν a = π. Από την εξίσωση της στροφορμής βρίσκουμε u p = L, u r a = L p r a Χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις στην εξίσωση διατήρησης της ενέργειας βρίσκουμε p = L2 μ Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση καθώς και αυτές που δίνουν τα r p, u p στην εξίσωση της ενέργειας στο περίγειο, βρίσκουμε e 2 = 1 + 2EL2 μ 2 Προχωράμε τώρα στο να εκφράσουμε τα E, L ως συνάρτηση των V, γ. Από το σχήμα είναι φανερό ότι η συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στο διάνυσμα θέσης είναι V sin γ, οπότε η στροφορμή L στο αρχικό σημείο της ελεύθερης πτήσης, που απέχει απόσταση r = r i από το κέντρο της Γης (βλέπε το σχήμα στην παράγραφο 1), είναι L = r i V sin γ Στο ίδιο σημείο, η ενέργεια E μπορεί να εκφραστεί ως Ε = V2 2 μ r i Χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις στις παραπάνω εξισώσεις για τα p, e, βρίσκουμε p = r i λ sin 2 γ e 2 = λ 2 sin 2 γ 2λ sin 2 γ + 1 όπου λ = r iv 2 μ 3.2. Η εξίσωση πρόσκρουσης Σε αυτήν την παράγραφο εξάγουμε την εξίσωση πρόσκρουσης, που συνδέει τις αρχικές συνθήκες κατά την έναρξη της δεύτερης φάσης (αρχική απόσταση από το κέντρο της Γης r i, μέτρο ταχύτητας πυραύλου V, γωνία πτήσης γ) με τις συντεταγμένες του στόχου (απόσταση από το κέντρο της Γης r t, σχετική γωνία φ), που απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα. Από την εξίσωση της έλλειψης στο αρχικό σημείο και το στόχο έχουμε

p r i = 1 + e cos ν i p r t = 1 + e cos(ν i + φ) = p 1 + e cos ν i cos φ e sin ν i sin φ όπου ν i είναι η γωνία του αρχικού σημείου ως προς το περίγειο και φ η σχετική γωνία του στόχου ως προς το αρχικό σημείο (οπότε η γωνία του στόχου ως προς το περίγειο είναι ν i + φ). Χρησιμοποιώντας την πρώτη σχέση αλλά και τις εξισώσεις για τα p και e στο τέλος της προηγούμενης παραγράφου, βρίσκουμε e cos ν i = λ sin 2 γ 1 e sin ν i = λ sin γ cos γ Χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις στην παραπάνω εξίσωση για το r t βρίσκουμε τελικά την εξίσωση πρόσκρουσης r i 1 cos φ = r t λ sin 2 γ + sin(γ φ) sin γ όπου υπενθυμίζουμε ότι λ = r i V 2 /μ. 3.3. Προσδιορισμός του μέτρου της αρχικής ταχύτητας και της γωνίας πτήσης Από την εξίσωση πρόσκρουσης παρατηρούμε ότι για δεδομένο r i, υπάρχουν αρκετά ζεύγη παραμέτρων V, γ για τα οποία ο βαλλιστικός πύραυλος μπορεί να πλήξει στόχο με δεδομένες συντεταγμένες r t, φ. Αυτό φαίνεται πιο καθαρά αν λύσουμε την εξίσωση πρόσκρουσης ως προς την ταχύτητα V

V 2 = 2μ 1 cos φ r r i i r (1 cos 2γ) cos φ + cos(2γ φ) t όπου εδώ είναι φανερό ότι σε κάθε τιμή της γωνίας γ αντιστοιχεί και μία άλλη τιμή της ταχύτητας V. Ο προσδιορισμός των παραμέτρων αυτών με μοναδικό τρόπο προκύπτει από την απαίτηση να γίνεται η πλήξη του στόχου σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Ο χρόνος που απαιτείται ώστε ο βαλλιστικός πύραυλος, ξεκινώντας την ελεύθερη πτήση από σημείο r i με αρχική ταχύτητα μέτρου V και υπό γωνία γ, να χτυπήσει στόχο με συντεταγμένες r t, φ, μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως συνάρτηση όλων αυτών των παραμέτρων [1]. Επειδή όμως η έκφραση είναι αρκετά περιπλοκή, στο τέλος είμαστε υποχρεωμένοι να καταφύγουμε στην αριθμητική επίλυση της προκύπτουσας εξίσωσης και της παραπάνω εξίσωσης για την ταχύτητα, ώστε να βρούμε τις παραμέτρους V, γ που ικανοποιούν και τις δύο απαιτήσεις. Γι αυτόν τον λόγο, εδώ χρησιμοποιούμε απευθείας μία αριθμητική μέθοδο, αποφεύγοντας έτσι τον αναλυτικό υπολογισμό του χρόνου. Σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο, για κάθε τιμή της γωνίας γ στο διάστημα 0 < γ π/2 υπολογίζουμε την αντίστοιχη ταχύτητα V από την παραπάνω εξίσωση, Εν συνεχεία, προσομοιώνουμε αριθμητικά και για χρόνο T ίσο με την επιθυμητή διάρκεια της ελεύθερης πτήσης την εξίσωση του Νεύτωνα r = μ r r 3 με τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες. Συγκεκριμένα, θεωρούμε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το κέντρο της Γης και άξονα y την κατακόρυφο που περνάει από την αφετηρία της ελεύθερης πτήσης. Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να αναλυθεί στο ακόλουθο σύστημα πρωτοβάθμιων εξισώσεων x = u x y = u y x u x = μ (x 2 + y 2 ) 3/2 y u y = μ (x 2 + y 2 ) 3/2 με αρχικές συνθήκες x(0) = 0 y(0) = r i u x (0) = V sin γ u y (0) = V cos γ που είναι κατάλληλο για προσομοίωση. Ο προσδιορισμός των παραμέτρων V, γ ώστε ο πύραυλος να πλήττει το στόχο στον επιθυμητό χρόνο, γίνεται ως εξής. Σε κάθε προσομοίωση (και επομένως για κάθε γωνία γ) καταγράφουμε την τελική απόσταση από το κέντρο της Γης r(t) = x 2 (T) + y 2 (T). Η ζητούμενη γωνία γ είναι αυτή που αντιστοιχεί σε r(t) = r t, έτσι ώστε

στο τέλος της χρονικής διάρκειας Τ η τελική απόσταση του πυραύλου από το κέντρο της Γης να είναι ίση με αυτή του στόχου. Εφαρμόζουμε τη μέθοδο αυτή στο ακόλουθο παράδειγμα Παράδειγμα Βαλλιστικός πύραυλος ξεκινά την ελεύθερη πτήση σε ύψος h = 100 km (Kármán line) από την επιφάνεια της Γης, για να πλήξει στόχο στη γήινη επιφάνεια σε απόσταση R = 10000 km (μήκος τόξου μέγιστου κύκλου, βλέπε παραπάνω σχήμα). Προσδιορίζουμε την αρχική ταχύτητα V και τη γωνία πτήσης γ ώστε η πλήξη του στόχου να πραγματοποιηθεί ακριβώς σε χρόνο T = 30 min. Η αφετηρία απέχει από το κέντρο της Γης απόσταση r i = r e + h = 6378 + 100 = 6478 km όπου r e = 6378 km είναι η ακτίνα της Γης. Οι συντεταγμένες του στόχου είναι r t = r e = 6378 km φ = R r e = 1.5679 rad Στο παραπάνω σχήμα καταγράφουμε την κανονικοποιημένη τελική απόσταση r(t)/r e του πυραύλου από το κέντρο της Γης, όπως προκύπτει από την προσομοίωση, για κάθε τιμή της

γωνίας πτήσης γ. Βρίσκουμε ότι ο πύραυλος πλήττει το στόχο r(t) = r e για γ = 1.253 rad = 71.7916. Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάζουμε το μέτρο V της αρχικής ταχύτητας, κανονικοποιημένο ως προς την ταχύτητα αναφοράς V 0 = gr e = 7906 m/s, ως συνάρτηση της γωνίας γ, όπως προκύπτει από την αντίστοιχη εξίσωση στην αρχή της παραγράφου. Βρίσκουμε ότι η ταχύτητα που αντιστοιχεί στην παραπάνω γωνία είναι V = 0.9005V 0 = 7119 m/s. Αυτές είναι οι παράμετροι που πρέπει να έχει ο βαλλιστικός πύραυλος στο τέλος της προωθούμενης πτήσης, ώστε η ελεύθερη πτήση που θα ακολουθήσει να καταλήξει στο στόχο στον προκαθορισμένο χρόνο. Επισημαίνουμε ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα αγνοήσαμε τη φάση επανεισόδου, σε μια πρώτη προσέγγιση. Βιβλιογραφία [1] G.M Siouris, Missile Guidance and Control Systems, Springer-Verlag New York, 2004. [2] http://en.wikipedia.org/wiki/lgm-30_minuteman