ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοπός Πειραματικού Μέρους Στην 1η Εργαστηριακή Άσκηση θα πραγματοποιηθεί η εκτέλεση επαναλαμβανόμενων μετρήσεων μιας μεταβλητής σύμφωνα με τις οδηγίες του καθηγητή και ο υπολογισμός για κάθε περίπτωση, της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης και του διαστήματος εμπιστοσύνης της μέσης τιμής με δεδομένη πιθανότητα. 4
Περιεχόμενα Ενότητας Ζύγιση σε Αναλυτικό Ζυγό Πειραματική Διαδικασία Ζύγισης Επεξεργασία Μετρήσεων Zύγισης Μέτρηση pη Διαλύματος Πειραματική Διαδικασία Μέτρησης Ph Επεξεργασία Μετρήσεων ph Παράρτημα 5
Ζύγιση σε Αναλυτικό Ζυγό Ο αναλυτικός ζυγός (τύπου Metler) έχει ευαισθησία (Sensitivity) τέταρτου δεκαδικού ψηφίου του γραμμαρίου. Ο ζυγός για να μην επηρεάζεται η ζύγιση από ρεύματα αέρα, έχει παραθυράκια που ανοίγουν για να τοποθετήσουμε στον δίσκο το προς ζύγιση αντικείμενο, ενώ όταν μηδενίζουμε τον ζυγό ή πραγματοποιούμε την ζύγιση τα παραθυράκια πρέπει να είναι κλειστά. Όταν θέλουμε να ζυγίσουμε ένα αντικείμενο (π.χ. κέρμα) δεν αρκούμεθα σε μια μόνο ζύγιση, αλλά πραγματοποιούμε περισσότερες και υπολογίζουμε τον μέσο όρο των μετρήσεων. Με αυτό τον τρόπο περιορίζουμε την επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων (π.χ. Μικροδονήσεις, ρεύματα αέρα κ.λ.π.) στο αποτέλεσμα. 6
Πειραματική Διαδικασία Ζύγισης 1) Με κλειστά τα παραθυράκια του ζυγού, ενεργοποιούμε τον ζυγό και μηδενίζουμε την ένδειξη του ζυγού. ) Ανοίγουμε το πλευρικό παράθυρο και τοποθετούμε το προς ζύγιση αντικείμενο (π.χ. κέρμα) στον δίσκο του ζυγού. 3) Κλείνουμε το πλευρικό παράθυρο και περιμένουμε να σταθεροποιηθεί η ένδειξη του ζυγού. 4) Καταγράφουμε την ένδειξη και απενεργοποιούμε τον ζυγό. 5) Επαναλαμβάνομε την ίδια διαδικασία ν = 10 φορές, όπου ν το μέγεθος του δείγματος. Σημειώνουμε ότι ο χειρισμός του κέρματος γίνεται με την βοήθεια λαβίδας, ώστε το κέρμα να μην έρχεται σε επαφή με τα δάκτυλα, που μπορεί να αφήσουν στο κέρμα ίχνη ιδρώτα ή λίπους και έτσι να αλλοιωθεί το αποτέλεσμα της ζύγισης. 7
Επεξεργασία Μετρήσεων Zύγισης Υπολογίζονται η μέση τιμή (xν), η τυπική απόκλιση (Sν-1) και το διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής (με τη βοήθεια της κατανομής STUDENT), με πιθανότητα Ρ = 95%. Δίνεται από τον καθηγητή η αληθής τιμή Τ του αντικειμένου, οπότε υπολογίζεται και το απόλυτο σφάλμα του μέσου xν T. Για διευκόλυνση των υπολογισμών κατασκευάζουμε τον ακόλουθο πίνακα: ν x i (g) x ν x ν - x i (x ν - x i ) 1.. ν Σ (x ν - x i ) 8
Μέτρηση pη Διαλύματος Η πειραματική διάταξη αποτελείται από ένα ψηφιακό pημετρο με ευαισθησία εκατοστό του pη, και το ηλεκτρόδιό του. Για να επιτύχουμε ορθότητα στις μετρήσεις μας, δηλαδή για να εξαλείψουμε τυχόν συστηματικά σφάλματα, ακολουθούμε την διαδικασία της διακρίβωσης (Calibration): Ρυθμίζουμε το pημετρο αρχικά με ρυθμιστικό διάλυμα σταθερού pη= 7, κάνοντας τους κατάλληλους χειρισμούς. Ακολούθως, εάν πρόκειται να μετρήσουμε σε όξινη περιοχή, κάνουμε δεύτερη ρύθμιση με την βοήθεια όξινου ρυθμιστικού διαλύματος ορισμένου pη (π.χ. pη= 4). Εάν πρόκειται να μετρήσουμε σε βασική περιοχή, κάνουμε την δεύτερη ρύθμιση με την βοήθεια βασικού ρυθμιστικού διαλύματος ορισμένου pη (π.χ. pη= 11). 9
Πειραματική Διαδικασία Μέτρησης Ph - 1 1) Ξεπλένουμε το ηλεκτρόδιο του pημέτρου με απιονισμένο νερό που υπάρχει στον υδροβολέα και το σκουπίζουμε με καθαρό απορροφητικό χαρτί. ) Ενεργοποιούμε το pημετρο με τον επιλογέα στην θέση pη. 3) Βυθίζουμε το ηλεκτρόδιο στο δοχείο που περιέχει το διάλυμα το pη του οποίου θέλουμε να μετρήσουμε και περιμένουμε να σταθεροποιηθεί η ένδειξη του οργάνου. 10
Πειραματική Διαδικασία Μέτρησης Ph - 5) Καταγράφουμε την ένδειξη και απενεργοποιούμε το pημετρο. 6) Επαναλαμβάνομε την ίδια διαδικασία ν = 8 φορές, όπου ν το μέγεθος του δείγματος. Η επανάληψη της μέτρησης αρκετές φορές περιορίζει την επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων στο αποτέλεσμα. Σημειώνουμε ότι ο χειρισμός του ηλεκτροδίου πρέπει να γίνεται με προσοχή, ώστε να αποφευχθεί ο κίνδυνος καταστροφής του (θραύση). 11
Επεξεργασία Μετρήσεων ph Υπολογίζονται ( η μέση τιμή (x ν ), η τυπική απόκλιση (S ν-1 ) και το διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής (με την βοήθεια της κατανομής STUDENT), με πιθανότητα Ρ= 95%. Για διευκόλυνση των υπολογισμών κατασκευάζουμε τον ακόλουθο πίνακα: ν x i (ph) x ν x ν - x i (x ν - x i ) 1.. ν Σ (x ν - x i ) 1
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 13
Σχετική Συχνότητα Ορισμός: ν i f i = ------ (1.1) Σν i Η σχετική συχνότητα ταυτίζεται με τη μαθηματική πιθανότητα. Αν εκτελέσουμε ένα πείραμα τύχης ν φορές και το ενδεχόμενο Α εμφανισθεί ν i φορές, τότε η πιθανότητα Ρ(Α) να εμφανισθεί το ενδεχόμενο Α είναι : νi Ρ ( A ) = (1.) Πυκνότητα Διαλύματος 3Μ NaCl (gr/ml) ν Κεντρικές Τιμές x i Σχετική Συχνότητα ή Πιθανότητα f i 1,09-1,10 1,095 4:50 = 0,08 Πίνακας Κατανομής Σχετικών Συχνοτήτων ή Πιθανότητας: 1,10-1,11 1,105 6:50 = 0,1 1,11-1,1 1,115 13:50 = 0,6 1,1-1,13 1,15 15:50 = 0,30 1,13-1,14 1,135 7:50 = 0,14 1,14-1,15 1,145 5:50 = 0,10 Σ f i = Σν i /ν = 1 14
Στατιστικά Διαγράμματα 0 Ιστόγραμμα Συχνοτήτων ν i 15 10 5 0,0 0,40 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων f i 0,30 0,0 0,10 0,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκνότητα Διαλύματος Χ 15
Πολύγωνο Συχνοτήτων 0,4 Προκύπτει ενώνοντας τα μέσα της άνω πλευράς των ορθογωνίων 0,3 f i 0, 0,1 0,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκνότητα Διαλύματος Χ Το πλήθος των δεδομένων είναι αρκετά μεγάλο, το εύρος των τάξεων μπορεί να μικρύνει και η τεθλασμένη γραμμή της κατανομής συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων 16
Κατανομές Συχνοτήτων Στο πολύγωνο συχνοτήτων, όταν το πλήθος των δεδομένων είναι μεγάλο, το εύρος των κλάσεων (dx) μπορεί να μικρύνει. Εάν στον άξονα των Ψ μετράμε αντί για την σχετική συχνότητα f i το f i / dx, τότε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι (f i /dx).dx και το εμβαδόν όλων των παραλληλογράμμων είναι: Σ(f i / dx).dx = Σf i = 1 Επομένως και το εμβαδόν που περικλείεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον άξονα των Χ είναι ίσον με 1. Όταν το πλήθος των δεδομένων είναι μεγάλο (ν ), το πλήθος των κλάσεων μπορεί να μεγαλώσει και επομένως το εύρος των κλάσεων (dx) μπορεί να μικρύνει (dx 0) και το πολύγωνο συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή λείας καμπύλης, η οποία ονομάζεται Καμπύλη Συχνοτήτων. Το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης συχνοτήτων και του άξονα των Χ είναι ίσον με 1. f i / dx Χ 17
Κανονική Κατανομή ή Κατανομή του Gauss f ( x) = 1 e σ π 1 x µ σ (1.11) Όπου x : συνεχής μεταβλητή στο διάστημα (-,+ ) μ : μέση ή αληθινής τιμής x -μ : το μέγεθος της απόκλισης, δηλ. η διαφορά μεταξύ της τιμής x και της αληθινής τιμής μ σ : η τυπική απόκλιση e :,7183 η βάση των φυσικών λογαρίθμων π : 3,14 Μια κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ συμβολίζεται και σαν Ν(μ,σ). Η κατανομή των τυχαίων σφαλμάτων ακολουθεί το νόμο της κανονικής κατανομής του Gauss. 18
Kανονική Kατανομή κατά Gauss Κανονική Κατανομή 0,09 0,08 0,07 0,06 Συχνότητα 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 0-5 -0-15 -10-5 0 5 10 15 0 5 Δεδομένα μετρήσεων, x i - 0 + Ε=x-μ z = x µ σ 19
Xαρακτηριστικά Kανονικής Kατανομής - 1 1. Η μέση τιμή (μ) για άπειρο αριθμό μετρήσεων συμπίπτει με την αληθινή τιμή και αντιστοιχεί στη μέγιστη πιθανότητα.. Η τεταγμένη της μέγιστης τιμής είναι άξονας συμμετρίας της καμπύλης, η δε τυπική απόκλιση (σ) είναι η απόσταση των σημείων καμπής από τον άξονα συμμετρίας. 3. Λόγω της συμμετρίας της καμπύλης τα θετικά και τα αρνητικά σφάλματα είναι εξίσου πιθανά. 4. Η πιθανότητα των μεγάλων σφαλμάτων είναι μικρή, ενώ τα μικρά σφάλματα είναι πιο πιθανά. 0
Xαρακτηριστικά Kανονικής Kατανομής - 5. Το πλάτος της κανονικής καμπύλης κατανομής υποδηλώνει την ακρίβεια των μετρήσεων. Όσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια τόσο μικρότερο είναι το (σ) άρα και το άνοιγμα της καμπύλης. 6. Η αληθινή τιμή (μ) επηρεάζει την καμπύλη κατανομής από πλευράς θέσης, η δε τυπική απόκλιση (σ) από άποψη σχήματος. 7. Το εμβαδόν κάτω από την κανονική καμπύλη από - έως και + ισούται με τη μονάδα. 1
Eμβαδόν: Μαθηματική Επεξεργασία Kανονικής Kατανομής 1 e σ π 1 χ µ σ Πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή x να πάρει τιμή: P a x Εισαγωγή γραμμικού μετασχηματισμού: z = β β ( a x β ) = α 1 e σ π Οι μονάδες του z είναι καθαροί αριθμοί. Αν μία τυχαία μεταβλητή x ακολουθεί την κανονική κατανομή που έχει μέσο αριθμητικό μ και τυπική απόκλιση σ τότε η τυχαία μεταβλητή z ακολουθεί την κανονική κατανομή που έχει μέσο αριθμητικό 0 και τυπική απόκλιση 1. Αυτή η κατανομή λέγεται τυποποιημένη κανονική κατανομή και συμβολίζεται σαν Ν(0,1). dx = 1 1 χ µ σ dx (1.1) (1.13) x µ (1.14) σ
Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Αν μία τυχαία μεταβλητή x κατανέμεται κανονικά, τότε οι μέσοι όροι των δειγμάτων κατανέμονται x κανονικά με μέσο αριθμητικό ίσο με το μέσο αριθμητικό του πληθυσμού: µ = και µ διακύμανση ίση με τη διακύμανση του x πληθυσμού αφού διαιρεθεί με το μέγεθος του δείγματος: σ σ χ = (1.15) n Αυτό όμως δεν ισχύει όταν η κατανομή του πληθυσμού δεν είναι κανονική. Ανεξάρτητα όμως από τη μορφή της κατανομής του γεννήτορα πληθυσμού, αν το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο (ν>30), τότε η κατανομή των μέσων δειγμάτων τείνει να γίνει κανονική, όσο αυξάνει το μέγεθος του δείγματος με μέσο: µ = x µ σ χ = και τυπική απόκλιση (1.16) σ n Το θεώρημα αυτό ονομάζεται κεντρικό οριακό θεώρημα και ισχύει για συνεχείς και ασυνεχείς κατανομές. 3
Έστω οι τυχαίες μεταβλητές x 1,x,.x ν που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και κάθε μία κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1. Το άθροισμα των τετραγώνων τους x = x (1.17) δεν κατανέμεται όπως η κανονική κατανομή, αλλά ακολουθεί την κατανομή Χ (0 < x < + ). Αν από έναν κανονικό πληθυσμό πάρουμε ένα τυχαίο δείγμα x 1, x,.x ν τότε και το άθροισμα: ( x) x i σ ακολουθεί την κατανομή Χ, δηλαδή: αλλά επειδή, προκύπτει: όπου σ η διακύμανση του πληθυσμού. 1 + x +... + xν ( ) x = s ( ν 1) x i Κατανομή Χ = n x i i= 1 x ν x = ( x x) i σ ( v 1) ν = σ s (1.18) 4
Κατανομή t του Student Αν η τυχαία μεταβλητή z ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1 και Υ μία άλλη μεταβλητή, ανεξάρτητη της Χ, που ακολουθεί την κατανομή x με ν = n-1 βαθμούς ελευθερίας, τότε η τυχαία μεταβλητή: με t v = z Y v ακολουθεί την κατανομή t με ν βαθμούς ελευθερίας. Αν στην παραπάνω σχέση θέσουμε: z τότε θα έχουμε: x µ t v = s n < t < x µ σ n = ( n 1) και Υ = σ s (1.19) 5
Κανονική Κατανομή Χρήση: Όταν είναι γνωστή η σ του πληθυσμού α) Εύρεση κάτω ορίου για μεμονωμένες τιμές (x i ): x i ; = x i,min ; μ - z.σ, αν μ γνωστή (1.0) x i ; = x i,min ; - z.σ, αν μ άγνωστη (1.1) x ν β) Εύρεση κάτω ορίου για μέσους όρους ( x ν ): σ ; = ; = μ min ; μ - z, αν μ γνωστή (1.) xν Χρήσεις Κατανομών στον Έλεγχο Ποιότητας xν, min 1/ ν Αν μ άγνωστο, τότε στη σχέση (3) μ = x ν 6
Χρήση Κατανομής Χ Χρήση: Εύρεση ορίων για την τυπική απόκλιση Αν σ άγνωστο (S v-1 γνωστό από δείγμα πλήθους ν). Εύρεση άνω ορίου σ > σ max ; πάνω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το α% των υπολογιζόμενων S v-1 από ν-άδες δειγμάτων. σ max ; s = ν 1 Χ ν 1 ( α, (ν-1)) (1.3) Αν σ γνωστό. Εύρεση άνω ορίου S v-1 ; > S max ; πάνω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το α% των υπολογιζόμενων S v-1 από ν-άδες δειγμάτων. Χ ((1 α), (ν 1)) (1.4) sν 1 ; = smax ; = σ ν 1 7
Χρήση Πινάκων για την Κατανομή Χ Τα Χ (α, (ν-1)) ή Χ ((1-α), (ν-1)) είναι στατιστικοί δείκτες της κατανομής Χ. Η τιμή του Χ (α, (ν-1)) ή Χ ((1-α), (ν-1)) προκύπτει από τον πίνακα της κατανομής Χ, που είναι πίνακας διπλής εισόδου. Ο πίνακας αυτός έχει στην πρώτη στήλη τους βαθμούς ελευθερίας και στην πρώτη σειρά την αβεβαιότητα (α) %. Η τιμή του Χ (α, (ν-1)) προκύπτει από την διασταύρωση της στήλης με τιμή α% και της σειράς με (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Η τιμή του Χ ((1-α), (ν-1)) προκύπτει από την διασταύρωση της στήλης με τιμή 1-α και της σειράς με (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Προσοχή! Αν α = 5% ή α=0,05 τότε 1-α=0,95 ή 95%. Από τον πίνακα της Χ βρίσκω το Χ (95%, ν-1) και όχι το Χ (5%, ν-1). 8
Απόρριψη Πειραματικής Τιμής - 1 Όταν υπάρχουν διαθέσιμες λίγες πειραματικές τιμές (λιγότερες από δέκα) και κάποια από αυτές φαίνεται να είναι λάθος, γιατί απέχει πολύ από τον μέσο όρο των μετρήσεων, για να αποφασίσουμε αν θα δεχθούμε την τιμή αυτή ή θα την απορρίψουμε και θα προχωρήσουμε στην στατιστική επεξεργασία των υπόλοιπων πειραματικών τιμών, μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα αξιόπιστο κριτήριο, που είναι γνωστό σαν Q-test. Για την εφαρμογή του Q-test προσδιορίζουμε την τιμή του Q από την σχέση: Q = ύποπτη τιµ ή πλησιέστερη µεγαλύτερη τιµ ή µικρότερη τιµ ή τιµ ή (1.8) 9
Απόρριψη Πειραματικής Τιμής - Η τιμή που προκύπτει συγκρίνεται με την τιμή που δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα. Αν Q (πειραματική) > Q (πίνακα) η τιμή απορρίπτεται με πιθανότητα 90%. Αριθμός Μετρήσεων ν Τιμή Q Αριθμός Μετρήσεων ν Τιμή Q 3 0.94 7 0.51 4 0.76 8 0.47 5 0.64 9 0.44 6 0.56 10 0.41 Σημείωση: Το Q-test δεν εφαρμόζεται όταν έχουμε τρεις μετρήσεις εκ των οποίων οι δύο είναι ίδιες και η τρίτη διαφέρει. Στην περίπτωση αυτή το Q- test δείχνει ότι τρίτη τιμή δεν γίνεται δεκτή, γιατί Q (πειραματική) =1. Το αυτό ισχύει και για τέσσερις μετρήσεις όταν οι τρεις είναι ταυτόσημες κλπ. 30
Παραδείγματα Παράδειγμα 1: Μία συνεχή τυχαία μεταβλητή x ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο αριθμητικό 10 (μ=10) και τυπική απόκλιση (σ=). Να υπολογισθεί η πιθανότητα: (α) P(x <1), (β) P( 7 χ < 10 ), (γ) P(x>11). Λύση: x µ Θα χρησιμοποιήσουμε το γραμμικό μετασχηματισμό: z = σ και έχουμε: x µ 1 10 < = P( z < 1) σ α): P(x 1) = P Από τον πίνακα τυποποιημένης κατανομής βρίσκουμε ότι για z = ±1, Α = 0,687 και 1-Α = 0,3173 Επομένως: P(z<1) = Α + (1-Α)/ = 0,687+ 0,3173/ = 0,84135 ή Ρ = 84,135% 31
Παράδειγμα 1 β): P(7χ<10) = P x1 µ x µ x µ σ σ σ = P(-1,5 z 0) Από τον πίνακα τυποποιημένης κατανομής βρίσκουμε ότι για z = ±1,5 Α = 0,8664 Επομένως P(-1,5 z 0) = Α/ = 0,8664/ = 0,433 ή Ρ = 43,3% χ µ σ 11 10 = P γ): P(x>11) = P > = P(z 0,5) Από τον πίνακα τυποποιημένης κατανομής βρίσκουμε ότι για z = ±0,5 1-Α = 0,6171 Επομένως P = (1-Α)/ = 0,6171/ = 0,30855 ή Ρ = 30,855% 7 10 10 10 z 3
Παράδειγμα - 1 Έγινε προσδιορισμός νικελίου σε άγνωστο δείγμα τέσσερις φορές και έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα: X : 10,1 9,8 10, και 9,9 σε ppm. Να υπολογιστεί το διάστημα εμπιστoσύνης της μέσης τιμής (μ) με πιθανότητα 95%. Λύση: Ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση είναι: xi (xi - ) 10,1 (10,1-10) xi x = v 40,0 = 4 = 10,0 9,8 ( 9,8-10) 10, ( 10,-10) x 9,9 (9,9-10) xi = 40, 0 ( xi x) = 0, 10 33
s = ( x) xi v 1 Παράδειγμα - = 0.1 3 = 0,18 ppm Το διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκεται από τον τύπο (1.7) : S x 1 1/ - t ν (a/, (v-1)). ν μ xν + t (a/, (v-1)). ν S ν 1 1/ Όπου x = 10,0 ppm, S v-1 =0,18 ppm, v = 4, η πιθανότητα είναι 95% δηλ. ν Ρ=95% ή Ρ=0,95 και η αβεβαιότητα α=5% ή α=0,05 οπότε α/ =,5% ή α/ = 0,05. Οι βαθμοί ελευθερίας θα είναι ν-1 = 4-1 = 3. Από τον πίνακα κατανομής του student: t (a/,(v-1)) = t(0.05, 3) = 3,18 Οπότε: 9,71 < μ < 10,9 ν Αυτό σημαίνει ότι η πραγματική μέση τιμή μ βρίσκεται μεταξύ 9,71 και 10,9 με πιθανότητα 95%. 34
Παράδειγμα 3 Κυβικά δοκίμια σκυροδέματος ελέγχονται για αντοχή σε θλίψη. Σε ένα δείγμα 10 δοκιμίων (ν=10) βρίσκεται ο μέσος όρος = 30 ΜΡα, ενώ είναι γνωστή η τυπική απόκλιση σ= 3ΜΡα του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται το δείγμα. α): Να βρεθεί το όριο x i,min κάτω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των μεμονωμένων τιμών x i. β): Να βρεθεί το όριο x ν,min κάτω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των άπειρων μέσων όρων x ν που μπορεί να προκύψουν από άπειρες επαναλήψεις της δειγματοληψίας. γ): Να βρεθεί το όριο S max πάνω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των τυπικών αποκλίσεων S v-1 που μπορεί να υπολογισθούν από επαναλήψεις της δειγματοληψίας. 35
Λύση Παραδείγματος 3 α): Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή (σ= 30), θα χρησιμοποιήσω την κανονική κατανομή: Επειδή α= (1-Α)/ =0,05, προκύπτει Α= 0,9 και από πίνακα βρίσκω z= 1,645. Ισχύει ο τύπος (1.1): x i,min ; - z.σ= 30-1,645.3= 5,06 ΜΡα x ν β): Ισχύει ο τύπος (1.): σ x 3 ν,min xν - z 1/ = 30 1,645. = 8,44 ΜΡα ν 1/ 10 γ): Θα χρησιμοποιήσω την Χ Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή (σ = 30), ισχύει ο τύπος (1.4): s max = σ Χ ((1 α), (ν 1)) ν 1 Χ ( 95%, 9) 16,9 = σ = 3 = 4,11 ΜΡα ν 1 10 1 36
Παράδειγμα 4 Κυβικά δοκίμια σκυροδέματος ελέγχονται για αντοχή σε θλίψη. Σε ένα δείγμα 10 δοκιμίων (ν=10) βρίσκεται ο μέσος όρος x ν = 30 ΜΡα και η τυπική απόκλιση S v-1 =3 ΜΡα του δείγματος. α): Να βρεθεί το όριο x i,min κάτω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των μεμονωμένων τιμών x i. β): Να βρεθεί το όριο x ν,min κάτω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των άπειρων μέσων όρων x ν που μπορεί να προκύψουν από άπειρες επαναλήψεις της δειγματοληψίας. γ): Να βρεθεί το όριο σ max πάνω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των τυπικών αποκλίσεων S v-1 που μπορεί να υπολογισθούν από επαναλήψεις της δειγματοληψίας. 37
Λύση Παραδείγματος 4 α): Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) (σ) είναι άγνωστη, θα θα χρησιμοποιήσω χρησιμοποιήσω την κατανομή t του την student. κατανομή Ισχύει t του ο τύπος student. (1.5): Ισχύει ο τύπος (1.5): x i,min (a, (v-1)) v-1 - t (5%, 9). S v-1 = 30 1,833.3 = 4,50 ΜΡα i,min - t (a, (v-1)). S v-1 = - t (5%, 9). S v-1 = 30 1,833.3 = 4,50 ΜΡα x ν x ν β) Ισχύει ο τύπος (1.6): β): Ισχύει ο τύπος (1.6): - t (a, (v-1)). = 30 1,833. = 8,6 ΜΡα - t S (a, (v-1)). ν 1 3 x ν,min x ν = 30 1,833. = 8,6 ΜΡα 1/ 1/ ν 10 γ) Θα χρησιμοποιήσω την Χ γ): Επειδή Θα χρησιμοποιήσω η τυπική απόκλιση την του Χ πληθυσμού (σ) είναι άγνωστη, ισχύει ο τύπος (1.3): Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) είναι άγνωστη, ισχύει ο τύπος (1.3): σ max = = 4,93 ΜΡα = s ν 1 ν 1 ( α, (ν-1)) Χ (5%, 9) Χ ν 1 ν 1 9 = s 3 3, 33 38
Παράδειγμα 5 Κυβικά δοκίμια σκυροδέματος ελέγχονται για αντοχή σε θλίψη. Σε ένα δείγμα 10 δοκιμίων (ν=10) βρίσκεται ο μέσος όρος x ν = 30 ΜΡα και η τυπική απόκλιση S v-1 =3 ΜΡα του δείγματος. α): Να βρεθεί το ποσοστό (α) των μεμονωμένων τιμών (x i ) που αναμένεται να είναι μικρότερες από x i,min = 4,50 ΜΡα. β): Να βρεθεί το ποσοστό (α) των μέσων όρων x ν που μπορεί να προκύψουν από επαναλήψεις της δειγματοληψίας, που αναμένεται να είναι μικρότεροι από την τιμή x ν,min = 8,6 ΜΡα. γ): Να βρεθεί το ποσοστό (α) των τυπικών αποκλίσεων S v-1, που μπορεί να προκύψουν από επαναλήψεις της δειγματοληψίας, που αναμένεται να είναι μεγαλύτερες από την τιμή σ max = 4,93 ΜΡα. 39
Λύση Παραδείγματος 5 α) Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) είναι άγνωστη, θα χρησιμοποιήσω την κατανομή t του student. Ισχύει ο τύπος (1.5): x i,min x ν - t (a, (v-1)). S v-1 = 30 t (a, 9).3 = 4,50 ΜΡα από όπου προκύπτει t (a, 9) = 1,833 και από πίνακα βρίσκω α = 0,05 ή 5% β) Ισχύει ο τύπος (1.6): x ν,min x- t S (a, (v-1)). ν 1 3 ν = 30 t (a, 9). = 8,6 ΜΡα 1/ 1/ ν 10 από όπου προκύπτει t(a, 9) = 1,833 και από πίνακα βρίσκω α = 0,05 ή 5% γ) Θα χρησιμοποιήσω την Χ Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) είναι άγνωστη, ισχύει ο τύπος (1.3): = s ν 1 = 3 9) ( α, (ν-1)) ( α, 9) σ max ή 4,93 => (, = 3,33 και α= 5% Χ ν 1 10 1 Χ Χ α 40
Τέλος Ενότητας 41