Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

Transcript

1 =================================================================== ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ================================================================= ΘΕΜΑ Α Α. Α. Θεωρία σελ. 4 στο σχολικό βιβλίο. Θεωρία σελ στο σχολικό βιβλίο. Θεωρία, ορισμός σελ. 6 στο σχολικό βιβλίο. Α. Απόδειξη στη σελ. 5 στο σχολικό βιβλίο. Α4. α) Σωστό. β) Λάθος. γ) Σωστό. δ) Λάθος (Θα πρέπει πρώτα να έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά) ε) Σωστό. ================================================================== ΘΕΜΑ Β Β. Θα πρέπει να ισχύει η σχέση:, οπότε έχουμε: 0 P( B) 0 0 από όπου προκύπτει 6 6 και 0 0 που ισχύει για κάθε (αφού Δ<0) 6 6 Άρα το ευρύτερο διάστημα στο οποίο ανήκει το είναι [, ] Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος 05-06

2 Β. Αρχικά θα βρούμε τη μέγιστη τιμή του P(B). Έχουμε f ( ), 6 6 P(B)= f ( ), [, ] και η f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) 6, και επειδή: f ( ) 0 f γν. αύξουσα στο (, ] η f είναι : και άρα (αφού η f συνεχής) f ( ) 0 f γν. φθίνουσα στο [, ) f έχει μέγιστο στο ma P( B) f ( ). Τώρα, αν P( A) έχουμε: ( P( A)) P( A ) P( B) ( ) ( ) 0 P( A) και άρα ( P( A)) P( A ) P( B) P( B) P( B) Παρατήρηση: Η διατύπωση θα μπορούσε να είναι: Να βρεθεί η παραγματική τιμή του, ώστε να ορίζονται οι πιθανότητες P(A) και P(B). oς τρόπος: Αν P( A) (0 ) έχουμε: ( P( A)) P( A ) P( B) ( ) P B 4 P B 0 (Ι) Η σχέση (Ι) αποτελεί τριώνυμο ως προς που έχει τουλάχιστον μία ρίζα, δηλαδή πρέπει: 06 P( B) 08 6 P( B) Επομένως θα πρέπει να είναι 0. Για προκύπτει ότι PA, PB Β. Έχουμε διαδοχικά: P( A B) P( A) P( A B) 5 P( A B) P( A B) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο το Β είναι Γ= Β-Α και άρα: P( ) P( B A) P( B) P( A B) P( B A) Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος 05-06

3 Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α, Β είναι: ( A B) ( B A) και άρα: 5 P( ) P(( A B) ( B A)) P( A B) P( B A) ( ύ τα A B, B A είναι ασυμβίβαστα που μπορεί να προκύψει και από το διάγραμμα του Venn) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β είναι: A B ( A B) ( έ αποδειχθεί με τα διαγράμματα του Venn και ειναι σχετικά απλό) και άρα: P( E) P( A B ) P( A B) P( A B)() 7 P( A B) P( A) P( B) P( A B) ό () έ P(E)= P( A B ) ΘΕΜΑ Γ Γ. Το πλάτος c των κλάσεων είναι: θα έχουμε: R 0 c 4.Αν (,...5) είναι τα κέντρα των κλάσεων Επειδή πρόκειται για παρατηρήσεις (,...5) περιττού πλήθους θα έχουμε ότι: Το κάτω άκρο της ης c κλάσης θα είναι και άρα οι κλάσεις είναι: [58, 6) [6, 66) [66, 70) [70, 74) [74, 78) Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος 05-06

4 Γ. F 0,6 f f f 0,6 () f f f f4 f5 () Από τις () και () έχουμε: f4 f5 0, 4 Έχουμε: 0 ( f4 f5), αφού το κριτήριο προαγωγής ενός υπαλλήλου ( 70 ) πληρούν οι υπάλληλοι που ανήκουν στην 4 η και 5 η κλάση. Άρα, θα είναι: 0 ( f f ) 0 0, υπάλληλοι. 4 5 Γ. Σύμφωνα με τα προηγούμενα οι δύο πρώτες στήλες συμπληρώνονται άμεσα. Αναλύοντας τα δεδομένα θα έχουμε: 4 4 N4 4 N4 5 N4 4 0,8 4 0,8 () 5 N 5 5 F f f f f o o ( f f ) f f 0, (4) f f f 4 f4 5 f5 68,8 (5) Από τις σχέσεις () και () έχουμε f4 0, και από την σχέση () έχουμε f5 0, Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε f 0, Η σχέση (5) γίνεται 60 f 64 f 8,8 που με την (4) αποτελεί σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τις f, f 0,0 f και του οποίου η λύση είναι. f 0, 0 Σύμφωνα με τα παραπάνω ο πίνακας συμπληρωμένος φαίνεται ως ακολούθως: Κλάσεις [, ) Κέντρα κλάσεων f % [58, 6) ,0 0 [6, 66) ,0 0 [66, 70) ,0 60 [70,74) ,0 80 [74,78) ,0 00 F Γ4. Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

5 Το Ιστόγραμμα συχνοτήτων προκύπτει εύκολα και το πολύγωνο συχνοτήτων προκύπτει ενώνοντας με ευθύγραμμα τμήματα τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων που σχηματίζονται (λαμβάνοντας δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος, με συχνότητα 0). =================================================================== ΘΕΜΑ Δ Δ. Η μέση τιμή των 0 παρατηρήσεων είναι: 0 ( ) v (χρησιμοποιήθηκε ο τύπος: S = [α +(ν-)ω] του αθροίσματος διαδοχικών ν-όρων Α.Π.) Για την τυπική απόκλιση s έχουμε: Η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με f ( ), ( ) και το ζητούμενο όριο, μετά τις πράξεις, γίνεται : Δ. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) s lm lm lm α) Η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με f ( ), και ( ) f ( ) 0, f ( ) 0 (,) f ( ) 0 (, ) (, ) άρα η f είναι: Γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-,) Γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (, ) και (, ) f έχει τοπικό μέγιστο στο = το f ()= 6 ά έ ( 0,,,...) ί, 0,,,... β). Σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή του σχολικού βιβλίου (εφαρμογή σελ. 8-) η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση είναι αντίστοιχα: Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

6 και έτσι ο συντελεστής μεταβολής είναι: 0 s s s CV s 0 Για να είναι το δείγμα των ( 0,,,...) ομοιογενές θα πρέπει C. V 0 CV ή 0 0 ( 0) ά κ ή κ επειδή ζητάμε την ελάχιστη θετική ακέραια σταθερά θα είναι κ= 0 50 Δ. έχουμε: 0 και s. Επειδή η κατανομή των παρατηρήσεων της τ.μ Z είναι κανονική με μέση τιμή και τυπική απόκλιση και αντίστοιχα θα έχουμε ότι : Στο διάστημα : ( s, s ) (6,) βρίσκεται το 68% των παρατηρήσεων της Z Στο διάστημα: ( s, s ) (,5) βρίσκεται το 5% των παρατηρήσεων της Z Στο διάστημα: ( s, s ) (0,8) βρίσκεται το,7% των παρατηρήσεων της Z Και με βάση την καμπύλη της κανονικής κατανομής θα έχουμε: Για το ενδεχόμενο Α: Για το ενδεχόμενο Β: 68 (50 )% 6% βρίσκονται πάνω από,άρα P( A) 0, ( )% 8,5% βρίσκονται από 6-5, άρα P( B) 0,85 Για το ενδεχόμενο Γ: (0,5 0,5)% 0, 0% βρίσκονται πάνω από 8 ή κάτω από 0, άρα P( ) 0,00 Μαθηματικός Περιηγητής Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

7 Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος