Prof. dr. ing. ANTON HADAR Prof. dr. ing. CORNEL MARIN Conf. dr. ing. CRISTIAN PETRE As. drd. ing. ADRIAN VOICU METODE NUMERICE ÎN INGINERIE

Σχετικά έγγραφα
Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0.

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

x (s-a neglijat curentul de câmp faţă de cel de difuzie, tranzistor fără câmp intern) * ecuaţiile de continuitate (valabile pentru orice x şi t ):

9. UTILIZAREA TRANSFORMATELOR LAPLACE ŞI Z ÎN STUDIUL SEMNALELOR

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο

r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Jeux d inondation dans les graphes

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

CAPITOLUL IV SERII FOURIER

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

APROXIMARE ÎN SENSUL CELOR MAI MICI PĂTRATE

(2), ,. 1).

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Probabilităţi şi statistică. Nicoleta Breaz - coordonator Lucia Căbulea Ariana Pitea Gheorghe Zbăganu Rodica Tudorache

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation

Το άτομο του Υδρογόνου

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Network Neutrality Debate and ISP Inter-Relations: Traffi c Exchange, Revenue Sharing, and Disconnection Threat

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE)

Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:

CURS DE MATEMATICĂ rezumat

ot ll1) r/l1i~u (X) f (Gf) Fev) f:-;~ (v:v) 1 lý) æ (v / find bt(xi (t-i; i/r-(~ v) ta.jpj -- (J ~ Cf, = 0 1l 3 ( J) : o-'t5 : - q 1- eft-1

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;

P r s r r t. tr t. r P

ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

Some Geometric Properties of a Class of Univalent. Functions with Negative Coefficients Defined by. Hadamard Product with Fractional Calculus I

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

4. Metoda Keller Box Preliminarii

Assessment of otoacoustic emission probe fit at the workfloor

HONDA. Έτος κατασκευής

Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method



m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

!""#$%!& '% ("#% )'*+, &,!" &, ' %!'"!" &"#"-(5-1-,!&

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)

La naissance de la cohomologie des groupes

met la disposition du public, via de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

Richard Barrett. Hekabe - β contralto and ensemble. full score

Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires

Liceul de Informatică Spiru-Haret Suceava. Elev : Alexevici Cătălin. Profesor coordonator: Oanea Călin. referat.clopotel.ro 1

Original Lambda Lube-Free Roller Chain

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.


Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en)

Περικλέους Σταύρου Χαλκίδα Τ: & F: chalkida@diakrotima.gr W:

ITU-R P (2009/10)

Langages dédiés au développement de services de communications

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

10. Circuit Diagrams and PWB Layouts

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées

Das Pentagramma Mirificum von Gauß

934 Ν. 9<Π)/94. Ε.Ε. Παρ. 1(H) Αρ. 2863,43.94

7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx

cele mai ok referate

Ε.Ε. Παρ. I(II) Αρ. 3887,

ΛΙΓΕΣ ΣΚΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗ ΣΤΕΦΑΝΑΚΙ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΔΗΜΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ. Πόλη: ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ Ταχ. κώδικας: Χώρα: Ελλάδα ΕΛΛΑΔΑ-GR Σημείο(-α) επαφής: Τεχνική Υπηρεσία

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I

SONATA D 295X245. caza

ITU-R P (2012/02) &' (

E.E. Παρ. Ill (I) 429 Κ.Δ.Π. 150/83 Αρ. 1871,

Transcript:

Pro dr g ANTON HADAR Pro dr g CORNE ARIN Co dr g CRISTIAN PETRE A drd g ADRIAN VOICU ETODE NUERICE ÎN INGINERIE Polt Pr Buurşt

Drr CIP Blot Nţol Roâ Hdr Ato tod ur î gr 9 p - Uvrtr I r Corl II Ptr Crt III Vou Adr Blogr ISBN R ştţă: Pro dr g Cott ATANASIU Pro dr g Hor GHEORGHIU Tordtr oputrtă Corl ARIN

PREAŢĂ tod ur prt d dpll udtl d prgătr tudţlor d doul gr vâd op prtr prplor ş rlţlor d lul tt ur r tu tă l otruţ progrlor d lul prol utlt î prt d or gr ATHCAD ATAB ATHEATICA ANSYS NASTRAN COSOS t At prp ş rlţ d lul rră î prpl l oprţl d trpolr drvr ş tgrr ură pru ş l todl d rolvr uţlor tlor d uţ u uţlor drţl Et ştut ptul ă pr todl lt uout u pot rolv or tpur d prol dr l todlor ur tu tod ş odl d lul lt p lgr ş l tt todl ur prtt î otur u prtţ d tod grl d lul r opră o ort r gă d prol îtâlt î prt gră rulttl ur oţut d î grl protv dr optl u oluţ tă todl ur prtt î lurr prt rolvr uor prol lr r u proupt p tt ş gr d- lugul tpulu ul d t purtâd ul lor Î t t p I Nwto - 77 ord Eulr 77-78 IKG Gu 777-8 KG Jo 8-8 B Tlor 8-7 J grg 7-8 JJB ourr 78-8 ăror otruţ l doprr u dvoltr todlor ur d lul ot otărâtor Î ult prodă todl ur -u dvoltt ort ult î pl dtortă progrulu t d lul r pr rolvr uu uăr d î r d uţ u o vtă ş pr ort rdtă D rrt ptul ă î ult prodă tod ltlor t - pu o todă prtulră d rolvr uor t d uţ lr oţut pr plr uor prp vrţol d lul truturl tr ltr î ludlor t r - dvoltt ort ult grţ progrulu t d lul tod ltlor t oloşt lgort d rolvr tă u protvă tlor d uţ lr r ut prtţ ş î tă lurr: Gu Gu-Jord Col Gu-Sdl Jo Nwto Rpo t Cl ptol l lurăr uprd: todl protv d rolvr uţlor lgr trdt tod t ş protv d rolvr tlor d uţ lr tod protv d rolvr tlor d uţ lr

tod ur î gr tod d dtrr vlorlor ş vtorlor propr u tr tod l drţlor t tod d trpolr uţlor 7 tod d drvr 8 tod d tgrr ură 9 tod d rolvr uţlor drţl ordr tod dplărlor urr t dttă î prul râd prgătr tudţlor d pr d drul uvrtăţlor t ş prupu uoştţ d lă ttă lgră ş gotr ltă urr pot utlă î ş ăură ş grlor rtătorlor r olo lulul ur d pltă pr rolvr uor plţ d doul gr Autor pră tă lurr ă răpudă volor tul ş ptă or ugt orvţ u opltr r v d prt utltorlor î vdr îuătăţr u opltăr uor vtor dţ Buurşt rt Autor

7 CUPRINS CAPITOU I ETODE NUERICE DE REZOVARE A ECUAŢIIOR AGEBRICE tod îuătăţr trvlulu ţ tod ord t tod tgtlor d ordul I lu Nwto Nwto-Rpo tod tgtlor d ordul II lu Nwto 7 tod trtvă g 9 tod tgtlor d ordul I lu Nwto ptru trgr rădă dr-u uăr potv 7 tod tgtlor d ordul II lu Nwto ptru trgr rădă dr-u uăr potv CAPITOU II ETODE NUERICE DE REZOVARE A SISTEEOR DE ECUAŢII INIARE tod lăr uv Gu tod Gu î ul tlor d uţ u tr dă tră 7 tod lăr uv Gu-Jord tod lăr Col 7 tod trtvă Jo tod trtvă Gu-Sdl 7 tod ptru vrr trlor 7 tod Gu Col 7 tod Gu - Jord ptru vrr trlor 7 tod prtţoăr 8 CAPITOU III ETODE NUERICE DE REZOVARE A SISTEEOR DE ECUAŢII NEINIARE tod trţlor pl Jo tod trtvă Nwto-Rpo tod grdtulu u tod d r ptă CAPITOU IV ETODE DE DETERINARE A VAORIOR ŞI VECTORIOR PROPRII AI UNEI ATRICE Vlor ş vtor propr ptru o tr 7 tod Dlv 8 tod Krlov 7 tod vrrr 8 tod oţlor dtrţ 8 tod trpolăr u drţ t lu Nwto 8 7 tod trţ trl 87

8 tod ur î gr CAPITOU V ETODE NUERICE CU DIERENŢE INITE Drţ progrv 9 Drţ rgrv 98 Drţ trl Drvr u utorul drţlor t Drvr u utorul drţlor progrv Drvr u utorul drţlor rgrv 9 Drvr u utorul drţlor t trl CAPITOU VI ETODE NUERICE PENTRU INTERPOAREA UNCŢIIOR tod ur d trpolr pololă Itrpolr pololă grg 7 Itrpolr pololă u drţ t orul d trpolr Nwto u drţ t progrv orul d trpolr Nwto u drţ t rgrv orul d trpolr Strlg u drţ trl 9 Itrpolr pololă Nwto u drţ dvt Apror pr r ourr Apror uţlor pr rgr tod lor pătrt 7 Itrpolr u uţ pl 7 uţ pl d grdul I 7 7 uţ pl d grdul II 7 7 uţ pl d grdul III 8 CAPITOU VII ETODE NUERICE DE DERIVARE A UNCŢIIOR 7 Drvr olod prol d trpolr 7 Drvr olod polol d trpolr grg 7 Drvr olod polol d trpolr Grgor-Nwto u drţ t progrv 7 Drvr olod polol d trpolr Nwto u drţ t rgrv 7 Drvr u utorul pololor d trpolr u drţ trl Strlg 7 Drvr u utorul dvoltărlor î r Tlor 7 CAPITOU VIII ETODE NUERICE DE INTEGRARE A UNCŢIIOR 8 Cudrtur Nwto-Cot 7 8 orul trplor grltă 7 8 orul Spo grltă 7 8 Cudrtur Gu-gdr 7 8 Cudrtur Cîşv 8 8 orul d tgrr olod trpolr Rrdo 87 87 orul d tgrr Eulr-ur 89 88 orull d tgrr Gu-gdr grlt 9

9 CAPITOU IX ETODE DE REZOVARE A ECUAŢIIOR DIERENŢIAE ORDINARE 9 Euţ drţl ordr d ordul 97 9 tod dvoltăr î r Tlor 98 9 tod Eulr 9 tod Rug-Kutt 9 tod Rug-Kutt ptru rolvr uţlor drţl d ordul II 9 tod Ad 97 tod Ad-Bort CAPITOU X - ETODA DEPASĂRIOR Itrodur 7 Strutură d tp ră u ţu î trpt olttă l îtdr-opru 8 Strutură plă ortă d r rtult olttă l îtdr opru Strutură plă ortă d r drpt u odur rgd olttă d r î plul Strutură plă ortă d r u odur rgd olttă d r prpdulr p plul BIBIOGRAIE 9

tod ur î gr

ETODE NUERICE DE REZOVARE A ECUAŢIIOR AGEBRICE Î prt gră îtâl dor tuţ î r t ră rolvr uor uţ lgr polol u trdt u o gură vrlă l ăror oluţ u pot oţ p l ltă pr todl uout î lgră Ptru rolvr uor uţ olo tod ur d lul protv r prt lulul rădălor u o pr ută uu lul gr oşut o uţ lgră d or Codţ ră ş ută ptru t ă ă o gură oluţ î trvlul [ ] t uţ ă otuă trt ootoă ş ă prt o r d p trvlul [ ] d tru ă îdplă odţl: : [ ] R ă o uţ Roll otuă ş drvlă î trvlul [ ] u > u < < < > u > < Cl utlt tod ur protv ptru dtrr oluţlor u uţ lgr ut: tod îuătăţr trvlulu ţ tod ord t tod tgtlor d ordul I lu Nwto Nwto- Rpo tod tgtlor d ordul II lu Nwto tod trtvă ptru uţ d or g U prtulr d plr todlor lu Nwto îl ottu trgr rădă d ordul dtr-u uăr potv N tod îuătăţr trvlulu ţ Et plă tutvă todă ură ptru dtrr rădă u uţ lgr d or rădăă lă î trvlul Codţl r ptru put pl tă todă ut: ă o uţ otuă drvlă ş trt ootoă î trvlul [ ] uţ ă prt o vrţ d î trvlul [ ] dă <

tod ur î gr tod ă p urătorul lgort: lulă vlorl uţ î tr put: l ptl trvlulu ş l loul dtţ: ş vră l lulă d ou vlorl uţ ptru utrvlul ptru r uţ prtă vrţ d î tr put: l ptl trvlulu rptv l loul dtţ rptă lgortul pâă âd oţ o lug ptru ultul utrvl ă dât ror rută ptru lulul rădă: ε - Sut pol urătorl ptru ur prtt î tlul : Tlul C Rădă ξ - ξ - - ξ - ξ - - ξ Î gur t prtt grul u uţ orpud ulu ş po ulu prtt î tlul O g Aplţ olod tod ţ ă l rădă uţ lgr trdt: l u o ror ε< - u l t ştd ă tă rădăă lă î trvlul [ ] Rolvr: Ptru dtrr oluţ uţ dt plă lgortul prtt u oţâdu- vlorl d tlul

tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă Tlul Eror ε - 9 - -89 7-89 -97 7 7-97 -878 7 87-878 -89 87 87-89 7 7 87 7 87-89 77 7 78 8 87 7 7-89 9 77 9 9 87 77 7-89 -87 9 9 77 78 7-89 -79 9-97 78 78 7-79 - 9-98 78 7 7-9 78 79 7-78 79 79-78 798 79-7 78 78 798 - - 7 tod ţ t l ovrgtă Soluţ protvă uţ t ξ7 lultă u o ror ε < - după şpr pş tod ord t S odră o uţ otuă ş drvlă p trvlul [ ] tl îât îş odă ul dă t îdpltă odţ < ără lt grltt tod prupu ă uţ r o gură rădăă ξ î gur u < ş > B ξ O A g

tod ur î gr Î pră ă pot pro rădă uţ u puul d trţ u O drpt r tr pr putl A ş B d uţ: Putul d trţ l drpt u O oţ troduâd odţ î uţ S oţ: D gur rultă ă oul utrvl l rădă ξ t dor < Î otur lgortul rptă Prupu ă ultul utrvl ptru r uţ îş odă ul t - dă t îdpltă odţ: < Ţâd d rlţ pot r urător rlţ d rurţă tod ord u t: Aplţ olod tod ord ă dtr rădă uţ lgr: l u o ror ε < - u l t ştd ă lă î trvlul [ ] Rolvr Ptru lulul oluţ uţ plă rlţ d rurţă r odu l oţr vlorlor d tlul Tlul P - - Eror ε - - 97 - - 97 9 - - 97 99 79 - -7 97 79 79-7 - 97 9 79 7 - - 97 7 7 77 - - 97 8 77 78 - - 97 9 78 78 - -7 97 78 788-7 97 tod ord t l ovrgtă Soluţ protvă uţ lultă u o ror ε - î pş t: ξ78

tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă tod tgtlor d ordul I lu Nwto Nwto-Rpo tod tgtlor d ordul I lu Nwto t o todă prt lulul protv l oluţ u uţ lgr u utorul tgt l grul uţ î putul S odră uţ r îdplşt urătorl odţ: t otuă ş drvlă p trvlul [ ] îş ă ul: < t trt ootoă > u < ş grul u dt u put d lu p trvlul [ ]: Î t odţ uţ dt o gură rădăă î trvlul [ ] ş pot pl tod tgtlor d ordul I lu Nwto Pr dvoltr î r Tlor uţ î urul putulu oţ: 7!!! Rţâd dor pr do tr t dvoltăr oţ uţ u drpt r rprtă tgt l grul uţ î putul A ş u rultă ş d gur : 8 Dă î uţ 8 pu odţ oţ putul d trţ l tgt u O: 9 Pr dvoltr î r Tlor uţ î urul putulu ş rţr prlor do tr oţ tgt l grul lu î putul B r trtă O î putul g : B ' O A g

tod ur î gr Ţâd d rlţl 9 ş rultă orul d rurţă tod tgtlor d ordul I lu Nwto Nwto-Rpo: Orvţ Algr puulu d trt ptru plr tod tgtlor t porttă îtruât oluţl orpuător lor trţ tru ă ovrgt ătr oluţ tă dă î trorul trvlulu S orvă d gur ă vlorl orpuător putulu d trt lă î trorul trvlulu î tp pr vlor orpuător putulu d trt lă î r lu Dă pr drvtă uţ ulă î trorul trvlulu u u t trt potvă u gtvă tod u t ovrgtă ş u pot orv î plul d gur B O A Î ul î r dou drvtă uţ ulă î trorul trvlulu grul uţ dt u put d lu î trorul trvlulu ş tod u t ovrgtă ş u pot orv î plul d gur B g O A g

tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă 7 Aplţ olod tod tgtlor d ordul I lu Nwto ă dtr rădă uţ lgr: l u o ror ε< - u ş l ult d rotută ştd ă lă î trvlul [ ] Rolvr Notâd l tu drvtl lu ut: '' S orvă ă î trvlul [ ] ut îdplt odţl rut: ' > " Ptru dtrr oluţ protv plă rlţ d rurţă luâd put d trt oţâdu- vlorl d tlul Tlul P ' Eror ε 97 8 89 88 89 8 7 89 7 77 79 7E- 7 79 7E- 78 8E- 8 S orvă d tlul ă tă todă t rpd ovrgtă Soluţ protvă uţ lultă u ş l t t ξ78 tod tgtlor d ordul II lu Nwto S odră uţ r îdplşt urătorl odţ: t otuă ş drvlă p trvlul [ ] îş ă ul: < t trt ootoă > u < ş grul u dt u put d lu p trvlul [ ]: Î t odţ uţ dt o gură rădăă î trvlul [ ] ş pot pl tod tgtlor d ordul II lu Nwto Pr dvoltr 7 î r Tlor uţ î urul putulu rţ dor pr do tr t dvoltăr oţ uţ u prol!! S orvă d rlţ ă uţ tr pr putul A ş r ş drvt u î putul : ' ' rptv : Puâd odţ î uţ oţ uţ:! Îloud pr - d trorul prt drpt u pr oţută î drul tod Nwto Rpo:

8 tod ur î gr 7 ' Soluţ uţ 7 t dtă d rlţ: 8 oţ uţ: Dă tă oluţ t î r trvlulu tu ă putul d trt l tod î l tod tgtlor d ordul I: 9 Ţâd d rlţl 8 ş 9 ddu rlţ d rurţă tod tgtlor d ordul II lu Nwto: Aplţ olod tod tgtlor d ordul II lu Nwto ă dtr rădă uţ lgr l u o ror ε< - u ş l ult d rotută ştd ă lă î trvlul [ ] Rolvr Ptru dtr rădă uţ pr tod tgtlor d ordul II lu Nwto orvă ă ut îdplt odţl rut ş ţâd d rlţ plă rlţ d rurţă oţâdu- vlorl d tlul Tlul P ' '' Eror ε 97 8 7 9 78 9 78 8 999 788 79E- 87 788 79E- 87 8 78 S orvă ă tă todă t rpd ovrgtă S- lult oluţ uţ u o ror ε< -

tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă 9 tod trtvă g o uţ otuă ş drvlă p trvlul [ ] trt ootoă r îdplşt odţ < Dă uţ r o gură rădăă ξ ş pot r u or vltă: g ud g t o uţ otuă î trvlul Dă şrul ort u utorul rlţ u or rlţ d rurţă: g t ovrgt tu lt tu şr t to rădă uţ Rlţ rprtă orul d rurţă tod g Î gur ut prtt două odur d oţr gră oluţlor uţ - r orpud tod g: î pr rprtr oţ oluţl uţ r î dou oluţl uţ vlt: p p g

tod ur î gr Aplţ olod tod trtvă ptru uţ d or g ă găă rădă uţ: u o ror ε< - u ş l ult d rotută ştd ă tă rădăă lă î trvlul Rolvr Euţ d u r u or vltă g tl: Rlţ d rurţă ptru t r tl: Plâd d l ş îloud î oţ vlorl d tlul Tlul P Eror ε 7 9 7 7 7 799 Plâd d l ş îloud î oţ vlorl d tlul 7 Tlul 7 P Eror ε 87 87 87 9 97 7 7 7 799 7 S orvă ă ptru t tod t ovrgtă O oluţ protvă uţ lultă u o ror ε< - t ξ799 Aplţ Să găă rădă uţ: u o ror ε< - ştd ă lă î trvlul Rolvr Euţ r u or vltă g tl: u: Rlţ d rurţă orpuător t: Plâd d l ş îloud î oţ vlorl d tlul 8

tod ur d rolvr uţlor lgr u o gură vrlă Tlul 8 P Eror ε 89 89 8 78 8 7 7 7 7 7 9 7 7 7 S orvă ă ptru t tod t l ovrgtă O oluţ protvă uţ lultă u o ror ε< - t: ξ7 tod tgtlor d ordul I lu Nwto ptru trgr rădă dtr-u uăr potv Rădă d ordul dtr-u uăr potv N: N t vltă u oluţ uţ: N 7 olod rlţ d rurţă d l tod tgtlor d ordul I lu Nwto î r îlouşt drvt: oţ urător rlţ d rurţă ptru lulul rădă d ordul dtr-u uăr N: Aplţ 7 N N u 8 olod rlţ d rurţă 8 ă lul 7 7 N u o ror ε< - Rolvr Îloud 7 ş N î rlţ 8 oţ rlţ d rurţă: 9 7 Dă odră put d trt oţ vlorl d tlul 9 Tlul 9 P Eror ε 78 78 97 788 97 9 77 9 8 8 8 8989

tod ur î gr S orvă ă tod t ovrgtă După ş pş oţ oţ vlor protvă rădă 8 u o ror ε< - 7 tod tgtlor d ordul II lu Nwto ptru trgr rădă dtr-u uăr potv C ş î ul prdt rădă N t vltă u oluţ uţ: N olod rlţ d rurţă d l tod tgtlor d ordul II lu Nwto ş îloud prl pr ş l d dou drvt uţ N : oţ urător rlţ d rurţă ptru lulul rădă d ordul dtr-u uăr N: u: N N N N Aplţ 8 olod rlţ d rurţă 8 ă lul 7 u o ror ε< -7 Rolvr Îloud 7 ş N î rlţ 8 oţ rlţ d rurţă: 7 7 Dă odră put d trt oţ vlorl d tlul Tlul P Eror 8 779 8 8989 99 8989 8989 S orvă ă tod t rpd ovrgtă După ptru pş oţ o vlor protvă rădă u o ror d ε< -7 : 8989

ETODE NUERICE DE REZOVARE A SISTEEOR DE ECUAŢII INIARE Stl d uţ lr t uul dtr dol tt î r todl ur ş utlr lultorulu ş-u dovdt d pl utltt rolvr uor t lr d uţ u r l r pr l tod ltlor t olo drt tod r u op rdur uărulu d oprţ ltr î rport u l orpuător tod l d rolvr olod rgul lu Crr dă rdur uărulu d dt d or lultorulu urtr tpulu tv d lul ş u î ultul râd rdur rorlor d lul todl olot î prt ptru rolvr tlor d uţ lr ut d două lur: tod d lr Gu Gu-Jord Col t tod trtv Gu-Sdl Jo t tod lăr uv Gu tod Gu otă î lr uvă uoutlor d uţl tulu prtr-u lgort dtul d plu î l oţâdu- u uăr d oprţ ult rdu dât î ul î r oloşt rgul lu Crr ud lulul dtrţlor plă u uăr ort r d oprţ S odră tul lr d uţ u uout : ud: Stul pot r u or trlă tl: [A] {X} {B} [A] rprtă tr oţlor uoutlor tulu o tr pătrtă gulră dt [A] vâd ltl { } { } T X tr oloă uoutlor { } { } T B tr oloă trlor lr

tod ur î gr Pr tod Gu urărşt oţr d tr ul î tr tulu [A] pr ut oprţ ltr tut ult upr llor trlor [A] ş {B} ş u îtr l d pvotr ş ll tut u tă l î l oţâdu- o tr d or: [ ] A tod Gu otă dtr-u lgort ort d pş: Pul : S lă uout d uţl l tulu dă ulă prl lt l llor d tr [A] Prupuâd ă l uşt l d pvotr S ută vlor olută prulu lt l l d pvotr ă ât r Î ul î r u r o vlor olută ort ă ă poţ l u orpuător l vâd vlor olută prulu lt r S îprt ltl lu trlor [A] ş {B} l oţâdu-: S d ll tut u l d pvotr d l ultplă u prl ltl l tor l: oţâdu-: După prul p oţ tul vlt d uţ: Pul : u odă S prodă log l pul u uţl ulâd prl două lt l llor d tr [A] Prupuâd ă l dou t l d pvotr S îprt l l otul lu ş d ll tut u ou l d pvotr d l ultplă u prl ltl l tor l oţâdu-:

tod ur d rolvr tlor d uţ lr După l d l dol p oţ tul vlt d uţ: 7 Produl rptă ptru lllt l d pvotr tl îât după pş ug l tul vlt d uţ: 8 Nuoutl dtră pr uttuţ pord d l ult uţ ş po uv pâă l pr uţ oţâdu: 9

tod ur î gr Aplţ olod tod Gu ă rolv tul d uţ: 8 tr tulu [A] ş r oloă trlor lr [B] ru: [ ] { } 8 B A Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor ş După pul oţ tul d uţ: Pul : Euţ u odă Coţ dtră u utorul rlţlor ş După pul oţ tul d uţ: Pul : Euţl ş u odă După pul oţ tul d uţ: Soluţ tu t oţ dt pr rtrouttuţ îpâd u ult uţ tulu d uţ ş îd u pr:

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 tod Gu î ul tlor d uţ lr u tr dă ş tră Dă tr pătrtă [A] tulu d uţ r oţ tr ţă d pr dgolă dă: pu ă t t o tr tră Î plu âd oţ tuţ d o prt ş lltă ţă d pr dgolă tr pătrt [A] u vlor ul u u tot ul dă ptru: d d d d l l l l ud: l d { } t lăţ d dă r tot lllt vlor l oţlor ut ul tu pu ă tr pătrtă [A] t o tr dă ş tră tr dă ş tră: [ ] 8 8 7 7 9 8 7 8 7 A S trg d tr [A] tr drptugulră [S] orpuător u d tr [A] r r lăţ l d : [ ] 8 7 9 8 7 S 7 Dă dul tr [A] ut ort r tod Gu pot îuătăţtă ptru url prtulr d tr prtt u tl: ptru tr tră [A] t ută rţr uu uăr d vlor: N 8 ptru tr [A] dă ş tră vâd lăţ d dă l d t ută rţr uu uăr d vlor: N l d 9

8 tod ur î gr At luru ută tl: î ul trlor dă ş tr olod tod Gu l pul ut r u prl l d uţ dor oţ lu orpuător llor l d ut d ul Ptru llţ pş ut r d dor prl l d uţ Î oţă ptru r p t ută rţr uu uăr d l d lt d tr dă [S] ş uu uăr d l d lt d tr [B] uărul d totl d lt rdu tl d l: l l d ld D plu ptru o tr dă ş tră [A] vâd lăţ d dă: l d ut r: pr tod lăr lu Gu oşută : vlor pr tod lăr lu Gu îuătăţtă l d l d vlor Rultă î t o rdur uărulu totl d lt : E 99 7% Aplţ olod tod Gu îuătăţtă ptru t u tr dă ş tră ă rolv urătorul t d uţ lr: tr tulu [A] t o tr dă ş tră vâd l d : A [ ] [ B] Î lul v olo tr drptugulră orpuător lu [A]: [ S ] Aplâd lgortul d lr l tod Gu ş ţâd d ptul ă tr [A] t tră r î tr [S] tot ltl tut p

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 l u ot prutt l tâg u - utăţ lulă ltl trlor [S] ş {B} u utorul urătorlor rlţ: Pul : S lă o oţ tr drptugulr [S] ş tr oloă {B} olod rlţl: l d l l d d Îloud oţ rulttl: 7 7 După pul oţ trl: [ ] 7 S { } 7 B Pul : Coţ trlor [S] ş {B} lă olod rlţl: d l 7 7

tod ur î gr 7 8 7 7 8 După pul oţ trl: [ ] 8 S ş { } B 9 Pul : Coţ trlor [S] ş{b} lă olod rlţl: d l l l d d Îloud oţ: 9 7 9 8 După pul oţ trl:

tod ur d rolvr tlor d uţ lr [ S] 9 7 ş { } 9 B Pul : Coţ trlor [S] ş {B} lă tl: ld l d l d 9 9 9 9 9 9 9 7 9 8 9 9 9 9 S oţ ol tr: [ S] 8 9 9 ş { } 9 9 9 B

tod ur î gr Pul : S lă oţ trlor [S] ş {B} olod rlţl: d l După pul oţ trl: [ ] 9 S ş [ ] 9 B 7 Î grl ptru dtrr oţlor trlor [S] ş {B} l pul olo rlţl: d l l l d d 8 Soluţl oţ pr uttuţ îpâd u ult uoută ş îd u pr olod rlţl: l d 9 Îloud vlorl dt d rlţl 7 oţ oluţ tulu:

tod ur d rolvr tlor d uţ lr tod lăr uv Gu - Jord Et o todă d rolvr tlor d uţ lr lră u tod Gu î r pr ut u oţ lr tut îtr ll tr [A] ş {B} oţ lt ul ptru tot ll tr [A] u pţ lor tut p dgol prplă r u vlor Pr tod Gu-Jord troră tr [A] î tr utt [I] r tr oloă {B} dv tr oluţlor tulu d uţ Îtr-dvăr dă îulţ l tâg rlţ u tr [A] - t dotrtă tă rţ: [ ] [ ]{ } [ ] { } { } [ ] { } B A X B A X A A ţă d tod Gu l tod Gu-Jord uărul d oprţ rşt î pr ă dr rdu î d uttuţ dor uoutl oţ drt d ltl tr {B} S odră tul d uţ lr: tod Gu-Jord oloşt urătorul lgort: Pul : t l d pvotr r otul t pvot: îprt ltl l l otul oţâdu-: d l ultpltă u rptv d uţl oţâdu- ol lt: După pul oţ tul d uţ:

tod ur î gr Pul : t ou l d pvtr r otul t pvot tât ptru l ât ş ptru ll îprt uţ l otul ş lă uout d uţl lulâdu- o oţ u utorul rlţlor: : : 7 : 8 După pul l dol oţ tul d uţ: 9 pş prodă î od log Î l rultă tul d uţ: S orvă ă pr tod Gu Jord ltl oţut ptru tr {B} ut to oluţl tulu d uţ

tod ur d rolvr tlor d uţ lr Aplţ olod tod Gu-Jord ă rolv tul d uţ: 8 tr tulu [A] ş tr oloă trlor lr {B} ut: [ ] { } 8 B A Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor : 7 8 8 7 După prul p tr tulu [A] ş tr oloă {B} dv: [ ] { } 8 7 7 B A Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor : 7

tod ur î gr După l dol p tr tulu [A] ş tr oloă {B} dv: [ ] { } 7 8 B A Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor: 8 7 7 8 8 8 După l trl p tr tulu [A] ş tr oloă {B} dv: [ ] { } 8 B A 8 Pul : Coţ dtră u utorul rlţlor : 8 8 9 8 8

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 După t p tr tulu [A] ş tr oloă {B} dv: A [ ] { B} S-u oţut ptru ltl tr oloă {B} r oluţl tulu : tod lăr Col Et o todă d lr u u p prt r prt rolvr uţ trl : [ A ]{ X} { B} pr dopur tr pătrt [A] îtr-u produ d două tr trugulr [] ş [S]: [ A ] [ ][ S] or grlă tr pătrt [A] t: [ A] tr trugulră roră [] ş tr trugulră uproră [S] u prl grl: [ ] l l l l l l l l l l [ S] Eltl trlor [] ş [S] dtră d uţl trlă r r p olo tl: l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l D uţl rultă urătorl rlţ grl d rurţă ptru lulul ltlor trlor [] ş [S] :

tod ur î gr 8 l l l l < Elt trlor [] ş [S] lulă î urător uu: l l l l l 7 C urr rr tr u or: [ ] [ ][ ] S A uţ trlă tulu dv: [ ][ ]{} { } B S u [ ]{ } { } Β Λ 8 ud { } [ ]{ } S Λ t o tr oloă l ăr lt dtră pr uttuţ tl: l l l l l l l l l 9 Rultă urătorl pr ptru ltl : l l l l l l l 7 Nuoutl dtră d uţ trlă { } [ ]{ } S Λ : 7 Nuoutl dtră d tul 7 pr uttuţ îpâd u ult uţ Rultă urătorl pr: 7

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 Aplţ olod tod Col ă rolv tul d uţ: 9 7 trl [A] ş {B} orpuător tulu 7 ut: [ ] { B} 7 9 A 7 7 Ptru dtr ltl lor două tr trugulr [] ş [S] prodă tl: dtră îtâ ltl d pr oloă tr [] ş ltl d pr l tr [S] oor rlţlor : l dtră po lt l l l l l l l l l l l l l l l l trl trugulr [] ş [S] ut: 7 l oor rlţlor : 7 77 l l l 78 79 [ ] [ S] Coor rlţlor 7 dtră pr uttuţ ltl tr trdr { Λ } d tul d uţ: 9 7 8

tod ur î gr Coor rlţlor 7 dtră pr uttuţ ltl tr uoutlor { X } d tul d uţ:: 8 tod trtvă Jo Î ră d todl t Gu ş Gu Jord olo ş tod trtv protv d rolvr tlor d uţ At tod prtă ul vt ş dvt Dă ptru rolvr uu t olod tod Gu uărul d oprţ r ptru dtrr oluţlor t N uărul d oprţ r ptru dtrr oluţlor olod todl trtv t dât î ul tod Gu dr pr ror d lul l oluţ Dă t ror rdu u r trţ pu ă tod trtvă t ovrgtă todl trtv prt ş rolvr tlor lr d uţ tul d uţ r trl u or: [ ]{ X} { B} A 8 tod trtvă Jo ă p prr ăr uout î uţ d lllt uout prurgâd urătorul lgort: troră tr tulu [A] pr r poţ uţlor d lul tulu tl îât p dgol prplă ă găă ltl vâd l r vlor olut Ptru ou tr lulă doţ p l dă rportul dtr vlor olută ltulu lt p dgol prplă ş u vlorlor olut l lorllt lt lt p ş l u doţ p olo dă rportul dtr vlor olută ltulu lt p dgol prplă ş u vlorlor olut l lorllt lt lt p ş oloă pră uoutl î uţ d lllt uout olod uţ ulu 8: 8 ş rultă rlţl d lul l lu : 8 vlorl ţl l uoutlor ott u lg rtrr r vlorl orpuător trţlor lulă ţâd d 8 olod rlţl d rurţă:

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 8 tod Jo t ovrgtă dă ut îdplt urătorl odţ: doţ tr [A] p l ă uprutră dă: < doţ tr [A] p olo ă uprutră dă: < 8 8 u pătrtlor rportlor dtr tr ş ltul orpuător lt p dgol prplă ă uutr: < 87 Aplţ Să rolv u o pr d - pr tod Jo tul lr d uţ: 8 88 Rolvr Ptru îdplt odţ d ovrgţă 8 î tul d uţ 88 vră pr uţ u d- dou oţâdu-: 8 89 Stul 89 r o tr dotă p l doţl orpuător d: 8 d d d 9 Rlţl d rurţă î t ru:

tod ur î gr 8 S odră vlorl ţl: { } X { } T 9 9 Îloud î rlţl 9 vlorl ţl l uoutlor 9 ş po l l oţut d trţl ş oţ vlorl d tlul Tlul Itrţ -7-7 9-987 88-989 -9 8 Soluţ tă - S orvă ă oluţ t ovrgtă tod trtvă Gu - Sdl Ată todă t tot o todă trtvă r doşt d tod Jo pr ptul ă l trţ olo tât uoutl lult l trţ - > ât ş uoutl lult r l trţ < Ptru tă todă oţ o ovrgţă rpdă oluţ Rlţl d lul l tod Gu-Sdl ptru trţ ut: 9 Prupuâd ă tr [A] t dotă p l lulul trtv v îp u uţ vâd doţ r Sut r lş odţ d ovrgţă l d l tod Jo d uţ: Aplţ olod tod Gu-Sdl ă rolv u o pr d - tul 8 9

tod ur d rolvr tlor d uţ lr Rolvr Ptru îdplt odţ d ovrgţă 8 î tul d uţ 88 vră pr uţ u d- dou oţâdu-: 8 9 Doţl orpuător ptru r l u ot lult l plţ : 8 d d d 9 Ptru tul 9 lulul trtv v îp u pr uţ r r doţ r po otuă u uţ tr ş î l dou Rlţl d rurţă l tod Gu-Sdl ru: 8 Vlorl ţl l uoutlor lg tl : { } X { } T 97 98 Îloud î rlţl 97 vlorl ţl l uoutlor 98 ş po l l oţut d trţl ş oţ vlorl d tlul Tlul Itrţ - 9-9799 987 898-8 Soluţ tă - Soluţ oţută pr tod Gu-Sdl t rpd ovrgtă 7 tod ptru vrr trlor Rolvr uu t d uţ pot trl dă vră tr tulu [A] Îtr-dvăr îulţd l tâg uţ trlă orpuător tulu [ A ]{ X} { B} u tr vră [A] - oţ tr uoutlor tulu: { X} [ A] { B} 99

tod ur î gr Ptru vrr u tr pătrt [A] olo ult tod r ut prtt î otur 7 todl Gu Col ptru vrr trlor At tod prt vrr u tr pătrt olod prpl prtt l prgrl ş u prr ă t tod plă d or dă ptru t d uţ lr Dâdu- uţ trlă: [ A ] [ X ] [ I ] îă ă tr pătrtă [X] rprtă to vr tr [A]: [ ] [ A] X Euţ trlă r u or urătorlor t d uţ orpuător lor olo l tr utt [I ]: Colo : Colo : Colo : tod prttă d vrr tr [A] t loroă uărul d oprţ d d or r dât l orpuător todlor Gu rptv Col

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 tod Gu - Jord ptru vrr trlor tod Gu-Jord ptru vrr trlor oloşt lş prp prtt l prgrul u orvţ ă î t oprţl d lr plă tât tr [A] ât ş tr [I] A X I r: Euţ trlă [ ] [ ] [ ] [ X ] Ptru vrr tr [A] pr tod lăr uv Gu- Jord oloşt lş lgort prtt l prgrul u dor ă oprţl ltr tât upr llor tr [A] ât ş upr llor tr [I ] Prupu dă u r o vlor proptă d ro ută u lt ş ă poţ uout u u pvot l tulu r l orpuător o l d pvotr Algortul r ş pş ş l prgrul : Pul : t l d pvotr ş pvotul îprt ltl d p tă l l trlor [A] ş [I] l : Eltl llor l trlor [A] ş [I] duă u ltl dt d rlţ ultplt u - 7 După prul p oţ uţ trlă: [ ] X 8 Pul t u l d pvotr ş pvotul îprt ltl d p tă l l trlor [A] ş [I] l po lă ltl lt p olo tr [A] d ll oţâdu-:

tod ur î gr 9 După l dol p oţ tul d uţ: [ ] X După pul oţ tul d uţ: [ ] X Rlţ trlă t vltă u: [ X ] [ A] Aplţ 7 olod tod Gu-Jord ă dtr vr tr: Rolvr A 8 [ ] Rlţ [ ][ X ] [ I ] A r î t tl:

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 [ ] 8 X Pul : olod l l d pvotr oţ: [ ] X 7 Pul : olod l l d pvotr oţ: [ ] 8 X 8 Pul : olod l l d pvotr oţ: [ ] 8 X 9 Pul : olod l l d pvotr oţ: [ ] 8 X S- oţut tl tr vră: [][ ] [ ] 8 A X I

tod ur î gr 8 7 tod prtţoăr ptru vrr trlor Î ul ur d plu âd ut o l tr oţ lt ul pot dv tr î ptru utr [A ] [A ] [A ] ş [A ] tl îât utrl d p dgol prplă [A ] ş [A ] ă pătrt: [ ] A A A A A Dă otă vr tr [A]: [ ] [ ] X X X X A X t vllă uţ trlă: [ ][ ] I I X X X X A A A A A A r r: [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] I X A X A X A X A X A X A I X A X A D tr uţ trlă rultă: [ ] [ ] [ ][ ] X A A X Îloud î pr uţ trlă oţ: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] A A A A X 7 D dou uţ trlă rultă: [ ] [ ] [ ][ ] X A A X 8 Îloud î ptr uţ trlă oţ: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] A A A A X 9 Ptru lulul tr vr [A] - t ră vrr trlor [A ] ş [A ]

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 Aplţ 8 olod tod prtţoăr ă dtr vr tr: [ ] A Rolvr S prtţoă tr [A] tl: [ ] A A A A A Ivrl trlor [A ] ş [A ] lulă dt: [ ] [ ] [ ] A A dt A * [ ] [ ] [ ] A A dt A * olod rlţ 7 lulă tr [X ]: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] X A A A A X Rultă: [ ] X olod rlţ lulă tr [X ]: [ ] [ ] [ ][ ] X A A X Rultă:

tod ur î gr [ ] 8 X 7 olod rlţ 9 lulă tr [X ]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] X X A A A A X 8 olod rlţ 8 lulă tr [X ]: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] X X X A A X 9 D tr [A] - r pr: [ ] [ ] 8 A X

ETODE NUERICE DE REZOVARE A SISTEEOR DE ECUAŢII NEINIARE Cu pţ uor ur pl rolvr tlor d uţ lr u pr tod trtv S odră tul d uţ lr u or oă: u u or trlă: { } { } Soluţl tulu d uţ lr oţut pr todl trtv ut ovrgt dă ut îdplt odţl: uţl ut otu ş drvl p doul d dţ vlorl ţl ş vlorl l şrulu r rultă î ur trţlor prţ doulu d dţ şrul d vlor l şrulu trţ t ovrgt dă dă tă lt: α l Cl utlt tod trtv d rolvr tlor d uţ lr prtt î otur ut: tod Jo tod Nwto Rpo ş tod grdtulu tod trţlor pl Jo Stul d uţ lr r u or oă tl:

tod ur î gr Stul r u or trlă tl: { X } { } Rlţ d rurţă orpuător tod Jo ptru trţ oţ drt pr prr uourt d uţ tulu î uţ d uoutl lult l trţ troră -: Eror d lul oluţ orpuător trţ lulă tl: E ud : α { α α α } 7 O rştr pr oluţ orpuător trţ rlă dă î rlţ d rurţă u î lul vlorl d oţut ptru uoutl l tă trţ S oţ d ou rlţ d rurţă: 8 Soluţ protvă { } orpuător trţ t ovrgtă dă ut îdplt odţl: ε 9 ε ud ε ş ε ut două vlor orât d dpâd d ordul l trţ tod trtvă Nwto - Rpo tul d uţ lr î r uţl ut drvl î rport u tot vrll u drvtl d ordul îtâ otu p doul d dţ tr uţolă u Joul tulu t o tr gulră ptru vlor l vrllor gl u vlorl oluţ tulu pru ş ptru or vlor tut îtr-o vătt oluţ: dt J [ ]

tod ur d rolvr tlor d uţ lr Soluţ tă pot r u dtr oluţ protvă { } X ş ror { } ε orpuător trţ dă: { } { } { } X X ε î r - ott: { } { } { } { } T T X ε ε ε ε Dă pră uţl îtr-o vătt oluţ t olod dvoltr î r Tlor ş rţ dor tr orpuător pr drvt oţ: ε ε ε ε Ţâd d rlţ oţ u t d uţ lr vâd uout ε d or: ε Stul pot r u oră trlă tl: [ ] { } { } J ε 7 ud [ ] J t tr rtrtă u Joul tulu: [ ] J 8 ud - ott: 9 Îtruât pr potă tr rtrtă 8 t gulră pot vrtă Îulţd uţ trlă 7 l tâg u tr vră [ ] J oţ o tr rorlor orpuător trţ : { } [ ] { } J ε

tod ur î gr Ţâd d rlţ oţ oluţ protvă orpuător trţ rptv u { X } { X } { ε } u: { } { } [ ] X X J { } Epr rprtă rlţ trtvă tod Nwto Rpo Ptru oluţ protvă ţlă { X } pot lu or vlor d vătt oluţ t tod d rpd ovrgtă S orvă ltud rlţ oţută ptru t d uţ lr u rlţ Nwto Rpo orpuător uţlor u o gură vrlă Aplţ S odră ul ptrultr rtult d gur olod tod Nwto-Rpo ă dtr oluţl β ψ u o ror d ε - ptru urătorl tr poţ l vl: S du vlorl ur ptru dul ltlor ulu otţl d oor gur : d r R B ψ A β R A r d B ψ g Rolvr Stul d uţ lr r ură l două uout l prol β ψ oţ rd proţl oturulu î ortt A ABB după l două O rptv O oor gur : pro : pro : r o o β Ro ψ d o r β R ψ d

tod ur d rolvr tlor d uţ lr Dor ărl r R d ut ott r ugul t u prtru d rlţ rultă tul lr u uoutl β ş ψ : r o o β Roψ d r β R ψ Ptru rolv tul olod tod Nwto Rpo ptru poţ vl dtă d ugul oluţ ţlă d vătt oluţ t oluţ: { } β X ψ 9 Soluţ orpuător trţ oor rlţ r: { X } { X } [ ] J { } ud: { r o o β Roψ d } r β R ψ Joul tulu dtră tl: β ψ β R ψ [ J ] o β Roψ β ψ r vr lu r pr: Roψ R β ψ o β R ψ [ J ] β S vră dă t dvărtă rlţ: [ J ] [ J ] [ I ] Epr 8 orpuător trţ t: [ ] Roψ R ψ J 7 8 9 R β ψ o β β Îloud prl ş 9 î oţ rlţ d rurţă: β β Roψ R ψ r o o β Roψ d ψ ψ R β ψ o β β r β R ψ Etuâd lull oţ după prl două trţ vlorl oluţ u o ror ă d : β 88 ş ψ 878 oor tlulu tod t rpd ovrgtă

tod ur î gr Ptru lllt două poţ l vl A A: ş plă lş lgort luâdu- oluţ ţl vlorl oţut l poţ prdtă β ψ rptv β ψ oor tlulu Tlul β ψ β ψ ε β ε ψ 9 889 87879 88 87879 88 8787-878 88 8787 88 878 8E- E- 88 8787 7998 8899-8 888 7998 8899 7998 8887-88 7998 8887 7998 8887 -E-7 E-7 7998 8887 77878 997-7878 87 77878 997 777 9-8 7 777 9 777 9 9E-8 9E- Aplţ S odră ul u pr u gu vâd tă d gur olod tod Nwto Rpo r ă ă l poţolă ptru o rotţ opltă vl A A îpâd u pâă l 7 d î ş u o pr d ε Vlorl ur l prtrlor d d r R ut g : d d r R 8 D B ψ d A r A β d R B γ C Rolvr g

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 7 Aş u orvă d gur uoutl prol β ψ γ u ut dpdt Euţl lr ptru dtrr tor uout oţ pr rr proţlor otururlor î A ABB DA rptv B BCB p l două O ş O ţâd d ugurl vtorlor oră oturul î rport u l d oordot O ş O oor tlulu Tlul Vtorul A A AB BB B D DA CB B C Ugul u O β ψ - 8 8 7 γ 7 Ugul u O - 9 β - 9 ψ - 7 9 8 γ - 9 8 Su proţlor vtorlor ptru două oturur după O ş O r: r o oβ Ro ψ 8 d o8 d o7 r β R ψ 8 d 8 d 7 oγ Ro ψ 8 o7 γ R ψ 8 7 Dor prtr r R d d u vlor ott r t u prtru vrl rultă urătorul t lr vâd uout ugurl β ψ γ ş dtţ : βψγ r o o β R oψ d βψγ r β R ψ d βψγ R oψ o γ βψγ R ψ γ Soluţ tulu orpuător trţ oor rlţ r : { X } { X } [ J ] { } ud: - vtorul oloă { } r pr: { } r o o β Roψ d r β R ψ d Roψ oγ R ψ γ - tr Jo tulu r or: [ ] β R ψ o β Roψ J R ψ γ Roψ oγ Ivr tr o r pr:

tod ur î gr 8 [ ] γ γ ψ β γ γ ψ β ψ β γ γ ψ β γ ψ β γ ψ β ψ β γ ψ β ψ β β ψ β β ψ β ψ ψ β ψ o o o R R o o J Soluţ orpuător trţ r: [ ] R o Ro d R r d Ro o r o J γ ψ γ ψ ψ β ψ β γ ψ β γ ψ β 7 Rlţ trlă 7 r lt: d R r R d Ro o r o R o d R r d Ro o r o o ψ β ψ β β ψ β ψ β β ψ ψ ψ β ψ β ψ ψ β ψ β ψ β β 8 o Ro d R r d Ro o r o o γ ψ γ ψ β ψ β γ ψ β ψ β ψ β γ ψ β γ γ R o Ro o d R r d Ro o r o o γ ψ γ ψ γ γ ψ β ψ β γ γ ψ β ψ β ψ β γ γ ψ β

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 Etuâd lull ş odrâd oluţ ţlă ptru vlorl protv: { β ψ γ } { } după prl ptru trţ oţ oluţ: {β 8 ψ 88 β 8 87} u o ror ă d rptv oor tlulu Tlul β ψ γ εβ εψ εγ ε 9 778 787 99 7 8 787 9 899 779 8977 98 7 - -7798 87 89 8 879 877-8E- 8-8 88 8 87 -E- -8E- -8E- -8 Ptru lllt d poţ l vl A A dt d ugurl 7 8 7 plă lş lgort luâdu- oluţ protv ţl vlorl oţut ptru poţ prdtă Rulttl oţut ut dt î tlul Tlul t p g t p g rd rd rd rd 8 8 8 8 8 77 78 798 8 88 7 8 8 88 8 798 8 8878 789 87 8 88 8 7 8 8878 78 87 987 99 7 79 97 988 7 99 7 7 9 77 9 8 7 9 97 9 9 779 89 87 77 8 77 9 98 9 787 8899 78 7 7 9 7 7899 789 78 7 79 9 77 79 788 78 7 79 779 77 79 788 797 79 778 779 77 8 787 8 778 777 779 7798 99 79 778 778 779 778 797 778 778 79 778 797 77 77 79 989 9 889 7 78 79 998 9 888 777 79 79 9988 8 89 777 79 998 9988 8 89 777 97 9 777

tod ur î gr 998 9777 97 7 78 7 988 78 998 9877 7 7 788 7 98 7 998 9879 79 77 7 98 7 99 9879 79 77 7 999 78779 99 9798 987 798 778 7 99 787 99 989 97 7 7879 7 99 78 99 989 9799 787 7878 7 99 78 898 989 9799 787 7878 8877 879 898 99 8 9778 7789 887 88 898 99 9 999 777 887 88 898 99 9 997 777 887 88 99 9 997 777 87 8 8 77 999 98 78 8 8 87 99 9 78879 8 8 87 99 9 78879 8 8 87 799 99 9 78879 8 8 88 799 7 97 9 7889 87 87 799 99 89 788 87 87 799 99 8 788 87 87 797 99 8 788 88 889 8778 797 79 997 99 788 8 8 877 797 77 989 9 788 8 8 877 797 77 9897 9 788 8 8 877 97 77 9897 9 788 89 898 97 78 98 9798 7889 7 878 8999 97 99 7798 78898 7 878 8999 97 7 9 7799 78897 7 878 8999 9 7 9 7799 78897 8 87 9 997 79 7887 7 87 87997 9 97 77 788898 7 87 8799 9 97 77 78889 7 87 8799 97 77 78889 77 878 879 9 99 88 787 7 878 88 9 99 7 789 7 878 889 9 99 7 788 7 878 889 98 9 99 7 788 79 897 89 98 8 997 98 789 7 887 89 98 7 989 97 788 7 887 899 98 7 989 98 788 7 887 899 9 7 989 98 788 9 87977 898

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 9 77 79 7797 977 8789 87 9 7 7 78 7798 977 8789 87 9 7 7 7 77987 977 8789 87 897 7 7 7 77987 9797 78 89 897 9797 78 89 7777 9 98 8 897 9 98 8 77 9 98 8 897 9 98 8 77 9 98 8 7 7 7 7 77987 7 9787 7797 7 7 8 797 79 999 779 7 7 888 7 79 8 999 7799 7 7 888 799 8 999 7799 8879 7 888 799 9 977 7797 8879 889 89 87 78 899 9797 78 8879 89 8 9 77 899 9797 78 8879 89 8 9 77 899 9797 78 89 8 9 77 7 997 78778 88 9 897 7 79 989 798 77 8 8999 798 79 989 7989 77 7 899 798 79 989 7989 78 77 7 899 798 97 8 7898 78 89 8 77 98 787 78 98 8 79 77 98 7878 78 97 8 8 778 98 7878 789 97 8 8 778 799 999 9797 789 787 89 77 78 78 99 9797 789 79 97 778 7 78 99 9797 789 79 979 777 7 78 99 9797 889 79 979 777 7 77 877 779 889 8 9 87988 889 78 89 7 889 8 997 89 798 78 899 7 889 89 99 899 797 78 899 7 89 99 899 797 788 999 77 7 87 8 7998 9 9 7 8 7998 9 7 7 88 8 7998 9 7 988 7 88 8 7 7 988 78 798 7 9 787 8 988 798 88 8 787 7 8 988 798 78 787 7 8 798 78 78 9 8878

tod ur î gr 79 77 8 978 78 89 97 78 779 899 978 78 89 9 79 77 89988 978 78 89 9 8 79 77 89988 978 778 7 8 88 87 77 99 77 999 7 8 879 878 778 88 77 99 8 8 879 878 777 89 77 99 8 798 879 878 777 89 787 9 798 9989 9 788 88 97 798 79 97 89 97 78 87 9 798 77 97 977 78 87 9 99 77 97 977 7878 798 897 99 9 7 87 789 77 87 99 9 89 888 9 7897 77 879 99 98 8 889 99 7897 77 879 8 98 8 889 99 79 9 7987 8 7 77 89 79 98 7777 8 7 8778 789 79 98 7778 8 8 87 78999 79 98 7778 88 8 87 78999 79 8 777 88 9 7 7 878 797 77 88 8 7 77 77 79 7 78 88 87 7 7 7 79 7 78 778 87 7 7 7 788 8797 789 778 97 99 78 899 77 778 9 9 99 7 78 899 77 778 9 98 979 78 899 77 9 98 979 79 997 78 7 779 7 9 7 9 7 79 788 79 7 98 7 79 78 89 7 98 7 878 79 78 89 7 77 77 878 7 77 789 77 79 878 77 878 98 87 9 7 888 77 878 87 787 7 888 77 987 87 787 8988 77 77 987 8 9 9 8 88 7 789 987 7 79 8 87 788 7899 987 88 7 89 87 788 7899 78 88 7 89 8 7 8779

tod ur d rolvr tlor d uţ lr 78 7 97 78 7 7 9877 78 7 977 8 8 8 98 78 97 87 79 8 98 78 97 87 79 9 97 78 888 87 9 8 87 8 79 78 87 8887 79 879 8 887 8 78 8 8878 78 87 8 887 8 S orvă d tlul ă tod Nwto-Rpo t o todă ovrgtă r gură u grd rdt d pr după u tr pş vlorl oţut ptru ş ptru 7 ut dt rtă ă rorl d lul d l u p l lăllt u uulă Î gur t prttă gr vrţ ur pr prtrul S orvă d tă dgră ă vrţ lu î o dtă d ugurl t ort rduă t o rtrtă pr d pr 9 8 7 Sr 7 9 7 9 7 9 pot vl g

tod ur î gr tod grdtulu u tod d r ptă tul d uţ lr: 9 u trl: { } uţl ut drvl u drvtl d ordul îtâ otu p doul d dţ S odră uţ dtă pr: U u : U [ ] T { } { } ud U rprtă o uprţă d vl î pţul -dol S odră u vtor d poţ î pţul -dol orr: { X } { } T S dşt uprţ d vl r oţ vârul tu vtor d T uţ: U { } { } Dă du orl l uprţ d vl U î putul X tă orlă prt oţr orpuător vârulu vtorulu ţl { } uu ou vtor d poţ: { X } { } T vâd vârul p uprţ d vl U î gur { X } O { X } U U g

tod ur d rolvr tlor d uţ lr Euţ oulu vtor d poţ { } X r: { } { } { } grd U X X ud: { } T U U U U grdu t grdtul uţ U lult î putul dă u vtor orl l uprţ d vl U - u tor dtră dtr-o odţ d Î od lr pot r o rlţ orpuător trţ îtr vtorul { } X ş vtorul { } X : { } { } { } grd U X X 7 torul dtră d odţ uţ Φ ă ă ud Φ t dtă tl: [ ] U grd U Φ 8 Codţ d r: [ ] Φ U grd U d d 9 Ţâd d uţ 9 r u or: Φ grdu grdu grdu d d Rultă: grdu grdu Rlţ r trl tl: { } [ ] [ ] [ ] grdu J grdu J grdu J ud oul [J ] r pr:

tod ur î gr [ ] J Ţâd d prl drvtlor prţl: U rultă pr grdtulu l uprţ U: { } { } [ ] { } J U grd u : U grd T Ţâd d rlţ grdtulu rlţ dv: { } [ ][ ] { } [ ][ ] { } [ ][ ] { } J J J J J J T T T { } { } { } { } { } [ ][ ] { } J J R ud: R R R u T 7 S oţ rlţ d rurţă tod d r ptă: { } { } [ ] { } J X X T 8 Î ul prtulr l uu t lr d uţ oţ: { } [ ]{ } { } B X A [ ] [ ] A J 9 { } { } [ ] [ ]{ } { } { } { } [ ] { } R A X X B A A X X T T ud - ott: { } [ ]{ } { } B X A R rduul vtorulu { } X { } [ ][ ] { } [ ][ ] { } [ ][ ] { } R A A R A A R A A R T T T

ETODE DE DETERINARE A VAORIOR ŞI VECTORIOR PROPRII AI UNEI ATRICE Vlor ş vtor propr ptru o tr S odră tr pătrtă [A] uu t d uţ lr u uout Vlorl propr l tr [A] ott ut oluţl uţ rtrt: dt [ A] [ I ] ud: [I ] t tr utt vâd du Cuoâd vlorl propr vtor propr { X } tr [A] rprtă oluţl uţ d vlor propr: [ A]{ X} { } X u oluţl ul l tulu oog vlt u : [ A] [ ]{ } I X { } Dtrtul rtrt l tr [A] t dtrtul tr tulu d uţ oog : D dt [ A] [ I ] Euţ rtrtă r u oră pololă tl: σ σ σ σ ud oţ polol σ σ σ σ rprtă u orlor d u ut ord lţ p dgol prplă dtrtulu rtrt D: αα αβ σ σ σ αα α σ dt [ A] α< β βα ββ αα βα α< β< γ γα αβ ββ γβ αγ βγ γγ

8 tod ur î gr Nuărul orlor dgol d ordul t dtrţ tru lulţ t: C r uărul totl d N C 7 Clulul vlorlor propr l tr [A] olod rlţl ş t loro d olo todl ur prtt î otur tod Dlv tod Dlv otă î trorr dtrtulu rtrt D l tr [A]: D îtr-o oră vltă ută or orlă lu rou: p p p p p * D 8 9 Dă dvoltă t dtrt după pr l oţ uţ rtrtă u or: * D p p p p p tr rou orpuător tr [A] dşt tl: p p p p p [ P] tr rou t o tr r r lş polo rtrt ş tr [A] dă: dt A I dt P I [ ] [ ] [ ] [ ] Ptru oţ tr rou [P] prurg urător pş:

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 9 Prul p otă î tur d trorăr lr upr tr [A] u oţ l llor l tl îât ă oţă î loul ult l ltl: [ ] tr [A] : [ A] ptru r odră l d pvotr ptru oprţl r ură Î tr utt [I ] odă l - tl îât oţ : [ ] ud ltl d p l - tr [] - lulă olod ltl tut p l d pvotr tr [A] u utorul rlţlor: Dă ultplă tr [A] u tr [] - oţ o tr r r p ult l ltl [ ]: [ B] [ A][ ] ud ltl lulă tl: S pot vr ă vr tr t d or: [ ] 7 8

7 tod ur î gr tr [C]: [ ] [ ] [ I ] 9 Dă ultplă tr [B] l tâg u tr [ ] [ C] [ ] [ B] [ ] [ A][ ] [ C] ud ltl lulă tl: oţ S pot dortr ă tr [C] tl oţută r lş dtrt u l l tr [A] Pul l dol oloşt lş lgort prtt l pul îă ptru tr [C] odrâd î t l d pvotr - l răââd tă Î tr utt [I ] odă l - tl îât oţ tr: [ ] ud ltl d p l - tr [] - lulă olod ltl tut p l d pvotr - tr [C] u utorul rlţlor: tr vră [ ] [ ] r pr Dă ultplă tr [C] l tâg u tr [ ] u [] - oţ tr [D]: ş l drpt

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 7 Rultă tr : [ ] [ ] [ ][ ] [ ] d d d d d d d d d d d d d d d D C D Ptru pş rptă lgortul prtt î l oţâdu- tr rou r r lş dtrt rtrt u l l tr [A]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] p p p p p P A P o vlor propr tr [P] ş {Y} vtorul propru orpuător vlor propr t uţ trlă: [ ]{} {} Y Y P 7 Rlţ trlă r u or: [ ] [ ] {} { } Y I P 7 u: p p p p p 8 Euţ trlă 8 rprtă u t oog d uţ r dt oluţ l dă dtrtul ău t ul Aulâd dtrtul tulu oţ dtrtul rtrt l tr rou 9 u or orlă lu rou Stul 8 r: p p p p 9

tod ur î gr 7 Algâd î tul 9 oţ o oluţ tulu oog r rprtă ltl vtorulu propru {Y} l tr rou [P]: Vtorul propru l tr [A] orpuător vlor propr dtră olod rlţ: { } [ ] [ ] [ ] [ ] { } Y X Aplţ olod tod Dlv ă dtr vlorl ş vtor propr tr: [ ] 8 A Pul Coor rlţlor ş 8 trl [ ] ş [ ] ut: [ ] [ ] ud ltl tr [ ] dtră oor rlţlor : 8 După îlour rultă: [ ] [ ] 8 8 S pot vr dă: [ ] [ ] [ ] I tr [C] oţ olod rlţ : [ ] [ ] [ ][ ] 8 8 A C 7 Pul Coor rlţlor ş trl [ ] ş [ ] u prl: [ ] [ ] 8

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 7 Eltl tr [ ] dtră oor rlţlor : 8 8 9 După îlour rultă: [ ] [ ] 8 8 8 S pot vr dă: [ ] [ ] [ ] I tr [D] r oţ l t p t tr rou: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] C D P Dtrtul rtrt l tr [P] r oor 9: D * Vlorl propr l tr [P] ut rădăl uţ D: Vtor propr tr [P] orpuător vlorlor propr ut: {} {} {} Y Y Y Vtor propr tr [A] dtră u utorul rlţ : { } [ ] [ ] { } { } { } [ ] [ ] {} Y X X Y X Dă tuă lull oţ: [ ] [ ] 7 8 8

tod ur î gr 7 Îloud î prl rultă vtor propr tr [A]: { } 7 8 8 X 7 { } { } 7 8 8 X X 8 Ţâd d dţ vtorlor ş vlorlor propr pot vr rulttl oţut ptru ş ptru vtor propr orpuător dţ d rlţl 7 ş 8 : [ ]{ } { } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } [ ]{ } { } X X A X A : X X A X A : X X A 8 8 9

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 7 tod Krlov tod Krlov r l ă dtrr vlorlor ş vtorlor propr pr rolvr uu t d uţ vâd vtor Krlov drpt olo l tr rtrt ş l tr oloă trlor lr: {Y} {Y} {Y} - rptv {Y} vtor r dtră pr trţ u utorul tr [A] Ptru plr t tod prurg urător ptru pş: P : S lg u vtor Krlov ţl orr {Y} P : S lulă vtor lu Krlov pr trţ uv oor rlţlor: {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} - P : S rolvă tul d uţ lr r u utorul vtorlor Krlov: P : Coţ poloulu rtrt l tr [A] ut uoutl tulu d t polo r: D Rădăl poloulu rtrt dt d rlţ ut vlorl propr l tr [A] Ptru dotr tă proprtt odră dtrtul rtrt l tr [A] r u or: [ ] [ ] I A dt D olod dttt Hlto-Cl î r tr [A] ulă poloul ău rtrt: [ ] [ ] [ ] [ ] I A A A ş ultplâd uţ trlă u u vtor orr {Y} oţ: [ ] {} [ ] {} [ ] { } { } Y Y A Y A Y A Notâd: [ ] {} { } Y Y A 7 tu rlţ r u or: {} {} { } { } Y Y Y Y 8

tod ur î gr 7 r t dtă u tul d uţ : 9 Proprtt t dotrtă Î tul d uţ 9 oţ ut ltl vtorlor lu Krâlov: {} [ ]{ } {} [ ]{} [ ] {} {} [ ]{} [ ] {} Y A Y A Y Y A Y A Y Y A Y r pot r tl: S pot ă tot rădăl poloulu rtrt ut dtt Vtor Krlov utlţ ptru dtrr oţlor poloulu rtrt ru oor tl: {Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} {Y} [A]{Y} - Îtruât vtorul ţl {Y} t u vtor orr pot lu t vtor o oţ lră d vtor propr {X} tr [A]: {} { } X Y Ţâd d proprtăţl l vtorlor propr: [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ] { } { } X X A X X A X X A rultă ă vtor Krlov pot r u or urătorlor oţ lr d vtor propr {X} tr [A]:

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 77 {} { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } X X X Y X X X Y X X X Y X X X Y S odră uţl polol d grdul - dt tl: Îulţd uţl rptv u oţ: ş îuâdul ru u ru rultă urătorl rlţ: {} {} { } { } { } { } X X X Y Y Y 7 S odră ă uţl polol u lş rădă u l l poloulu rtrt D u pţ rădă d pot r: D 8 Î t uţl polol u proprtăţl: ptru 9 Ţâd d proprtăţl 9 tu rlţl 7 ru: { } { } { } { } Y Y Y X 7 Rulttul oţut 7 rtă ă vtor propr { } X ru u or uor oţ lr l vtorlor lu Krlov: { } { } { } Y Y Y Coţ d rlţ 7 dtră pr dtr lor două rlţ ş 8 olod lu Horr: 7

tod ur î gr 78 Aplţ olod tod Krlov ă dtr vlorl ş vtor propr tr: [ ] 7 A 7 Rolvr S lg u vtor ţl orr { } { } t Y ş dtră vtor Krlov: {} [ ]{} {} [ ]{} {} [ ]{} 7 7 7 7 7 7 7 Y A Y Y A Y Y A Y 7 Euţ trlă 8 r î t : {} {} { } { } Y Y Y Y 7 u u or trlă: 7 7 7 7 Rolvâd 7 oţ vlorl oţlor uţ rtrt: - 8 99-7 Euţ rtrtă tr [A] r: -8 99 77 Soluţl uţ 77 ut vlorl propr l tr [A]: 9 78 Ptru dtrr vtorlor propr tr [A] olo rlţl 7: { } { } { } { } Y Y Y X 79 Eprl uţlor ut d or:

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 79 8 rptv: 8 8 9 9 7 8 8 Idtâd prl 8 ş 8 oţ oţ : 8 9 7 8 Rlţl 79 dv: { } { } { } { } { } {} {} {} { } {} {} {} Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y X 8 9 7 8 Îloud prl vtorlor Krîlov 7 î rlţl 8 oţ vtor propr tr [A]: { } { } { } { } { } { } 9 8 8 8 9 9 9 8 X X X X X X 8 Ţâd d dţ vtorlor ş vlorlor propr pot vr rulttl oţut ptru vlorl propr 9 ş vtor propr orpuător dţ d rlţl 8 : [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } X X A X X A X X A 8

8 tod ur î gr tod vrrr Ată todă prt lulul vlorlor propr l u tr [A] p dvoltăr poloulu rtrt D u utorul orullor lu Nwto ptru ul putrlor rădălor u uţ polol Dtrr vlorlor propr otă tât î lulul prlor putr l tr [A] ât ş ulor trlor lţ p dgol prplă tor tr Dtrtul rtrt l tr [A] r u or poloulu: D dt [ A] [ I] 8 S otă u u putrlor d ordul l rădălor poloulu rtrt 8: 87 orull lu Nwto ptru ul putrlor d ordul l rădălor î ul poloul rtrt 8 ru: 88 Dă uo ul putrlor rădălor d ordul l poloulu rtrt 8 tu tul 88 prt dtrr oţlor tl: 89 S pot dotr ă ul putrlor rădălor d ordul l poloulu rtrt l u tr [A] rprtă url trlor [A] : ud 9 ut tr d p dgol prplă tr [A] : [ A] [ ] 9 trl [A] dtră tl: [ A] [ A] [ A] 9

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 8 Aplţ olod tod vrrr ă dtr vlorl propr l tr [A]: 7 [ A ] 9 Rolvr S dtră trl [A] ş [A] tl: [ A] 9 9 7 7 [ A] 7 98 7 98 89 Sul l putrlor rădălor d ordul l poloulu rtrt D dtră olod rlţl 9 : 8 97 9 Coţ poloulu rtrt ş dtră olod rlţl 89 8 99 S oţ tl uţ rtrtă tr [A]: 9-8 99 9 Rolvâd uţ oţ vlorl propr l tr [A]: 9 97

tod ur î gr 8 tod oţlor dtrţ tod oţlor dtrţ prt lulul vlorlor propr l u tr [A] p vlorlor poloulu rtrt D oţut ptru vlor prtulr l vrl Poloul rtrt l u tr [A] r u or: [ ] [ ] I A dt D 98 Dă vrl urătorl vlor: - îloud î rlţ 98 oţ tul d uţ lr: D D D D 99 Săâd pr uţ d lllt uţ l tulu 99 ud r -u trut tr lr î drpt oţ tul lr d uţ: [ ] [ ] [ ] D D D D D D Stul lr d uţ r trl u or: [ ] { } { } D K C ud: [ ] { } K C { } [ ] [ ] [ ] D D D D D D D S orvă ă tr [C] - t dpdtă d dtrtul rtrt 98 dpâd u d ordul l tr [A] Îulţd uţ trlă l tâg u tr [ ] C oţ oţ poloulu rtrt: { } [ ] { } D C K

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 8 Eltl tr oloă {D} lulă u utorul dtrţlor: D dt [ A] [ I ] Aplţ olod tod oţlor dtrţ ă dtr vlorl propr l tr [A] : 7 [ A ] Rolvr S lulă dtrţ D DD olod dtrţ : D dt D dt D dt [ A] [ A] [ I ] 8 [ A] [ I ] 8 Coor rlţ ptru tr [C] - r or: 7 [ C ] 8 Euţ trlă r î t : 8 9 Rolvâd uţ 9 ş ţîd ă: - D rultă: p 8 p 99 p S oţ uţ rtrtă: -8 99 r r oluţ vlorl propr l tr [A]: 9

8 tod ur î gr tod trpolăr u drţ t lu Nwto tod trpolăr u drţ t lu Nwto prt dtrr poloulu rtrt D l u tr [A] u utorul pr orul d trpolr lu Nwto u utorul drţlor t progrv odul d lul l drţlor t progrv t prtt î ptolul Dtrtul rtrt l tr [A] r: D dt [ A] [ I ] S lulă vlorl dtrtulu rtrt l tr [A] ptru urătorl vlor l vrl : D dt[ A] D dt [ A] [ I ] D dt [ A] [ I ] D dt [ A] [ I ] orul d trpolr lu Nwto u utorul drţlor t progrv ptru poloul rtrt D t: D D D! Coţ drţlor t u pot r u or:! Îloud prl oţlor î rlţ oţ orul lu rov poloulu rtrt u utorul drţlor t progrv: D D D Coţ dtră ptru pr dtr î rlţ :!! 7!!! Rultă urătorl vlor l oţlor ş l pololor:

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 8 9 9 8 Poloul rtrtt l u tr [A] olod drţl progrv d ordul ş r ţâd d tl: [ ] [ ] [ ] D D D D D D D D D D D D D D D D 9 Poloul rtrtt l u tr [A] olod drţl progrv d ordul ş r tl: [ ] [ ] [ ] [ ] D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D Poloul rtrtt l u tr [A] olod drţl progrv d ordul ş r tl: 9 9 D D D D D D D D D D D D D D D D D olor tod trpolăr lu Nwto u drţ t progrv ptru dtrr poloulu rtrt ş vlorlor propr u tr [A] pr opltă dtortă ptulu ă tă lulul - dtrţ oor rlţ îă lgortul d lul t plu ş pot uşor progrt

8 tod ur î gr Aplţ olod tod trpolăr lu Nwto u drţ t ă dtr dtrtul rtrt l tr [A] : 7 [ A ] Rolvr S lulă dtrţ D DD ş D: D dt D dt D dt D dt [ A] [ A] [ I ] 8 [ A] [ I ] [ A] [ I ] 8 S lulă prl tr drţl t progrv oor rlţlor: D D D D D D D D D D D D D D D D D D Vlorl ur oţut ut dt î tlul Tlul D D D D 8-8 - 8 8 olod rlţ 9 oţ poloul rtrt l tr [A] olod drţl progrv d ordul ş : D 8 D 99 8 Orvţ: S pot vr ptul ă drţl rgrv vâd ordul r dât tr ut ul d îloud î orul d trpolr rultă ă poloul d trpolr t u

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 87 7 tod trţ trl tod trţ trl prt lulul vlor propr ş vtorulu propru orpuărtor t vlor Poloul rtrt l tr pătrt [A] r: [ ] [ ] I A dt D S ordoă vlorl propr l tr [A] u rădăl uţ rtrt D î ord vlorlor olut tl: > > > > 7 Coor tor lu Prro t luru t pol dă tot ltl tr [A] ut potv S odră u vtor rtrr { } Y r r o oţ lră vtorlor propr { } X orpuător tr [A]: {} { } X Y 8 Îulţd l tâg rlţ 8 u tr [A] oţ vtorul: {} [ ]{} [ ]{ } { } X X A Y A Y 9 Rptâd lgortul oţ uv vtor: {} [ ]{} [ ]{ } { } {} [ ]{} [ ]{ } { } {} [ ]{} [ ]{ } { } X X A Y A Y X X A Y A Y X X A Y A Y S odră pţul vtorl -dol E î r odră o ă d vtor dpdţ {} Vtor propr { } X tr [A] pot pr î uţ d vtor { } u or: { } { } X Ţâd d vtorul { } Y r: { } { } {} {} X Y

tod ur î gr 88 u: {} {} Y ud - ott u: Vlor rprtă oordot vtorulu { } Y î pţul vtorl vtorl -dol E Î od log pot pr oordot vtorulu {} Y î pţul vtorl -dol E : Îpărţd l două rlţ oţut u l oţ: Ţâd ord vlorlor vlorlor propr 7 tot prtl d rlţ ut uutr ş glă tu âd uărul d trţ t ut d r: 7 Cu o ută ror d lul d trţ rultă vlor propr r rport l oordot orpuător trţlor ş : 8 Ptru dtr vtorul propru { } X oloşt rlţ 9 : { } { } { } { } { } {} { } { } { } X X X Y X X X X Y 9 Ţâd d ş pror 7 rlţ 9 dv:

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 89 {} Y { X} Vtorul propru { X } l tr [A] orpuător pr vlor propr t gl u vtorul {} Y oţut după rţ ultplt u o ottă Îtruât ott pot v or vlor pot lg o vlor tl îât ă oţă : ptru prul lt l vtorulu { X } vlor tu: vlor orlt ptru ltl vtorulu { X } :

9 tod ur î gr Aplţ S odră tul ort d tr orpur d : ş lgt u dul ş îtr l u ptru rur vâd ş rgdtt oor gur Să dtr vlorl pulţ propr udtl ş pru ş odurl propr d vrţ orpuător olod tod trţ trl g Rolvr S ru uţl drţl l şăr olod uţl lu grg Ptru t pră rg tă tulu ort d l tr orpur ş rg potţlă rurlor î uţ d oordotl grlt ş r rprtă dplărl lor tr orpur p drţ orotlă g : & & E & V Euţl lu grg ptru ul uu t orvtv d orţ ut: d dt d d & d d g E V Ţâd d prl rglor E ş V ru uţl lu grg ptru r d l tr oordot grlt ş oţ tul d uţ drţl lr d ordul do: && && &&

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 9 Stul d uţ r trl u or: && && && u trl: [ ]{} [ ]{ } { } K & & 7 Soluţ t uţ drţl t o oluţ roă d or: {} {} pt o 8 Îloud î uţ 7 oţ uţ trlă: [ ] [ ] { } { } K p 9 r t vltă u: [ ]{} [ ]{ } p K dtrr lu p Îulţd l tâg rlţ u tr [ ] oţ uţ d vlor propr: [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } { } p K p K olod tod trţ trl dtră vlor propr r p tr [ ] [ ] [ ] K A dă vlor r pulţ propr p p tulu vrtor D rlţ trlă oţ prl trlor [] - ş [K] - : [ ] [ ] [ ] [ ] K K Rultă pr tr [A]: [ ] [ ] [ ] K A S oloşt ptru îput vtorul: {} { } t Y

tod ur î gr 9 Cllţ vtor lulă pr trţ u utorul rlţ: {} [ ]{} Y A Y - S oţ uv: {} Y {} Y {} 8 Y 7 {} 8 Y {} 8 Y {} 89 89 Y {} 89 89 7 Y Rulttl oţut după trţ şpt pot odr ut d pr dor rportul ltlor orpuător vtorlor { } Y 7 ş {} Y dră l ptr lă: 8 7 7 7 8 C r vlor propr tr [A] ş vlor pulţ pror orpuător odulu d vrţ d rvţă ă ut:

tod ur d dtrr vlorlor ş vtorlor propr 9 p 8 8 8 9 Vtorul propru orpuător odulu d vrţ d rvţă ă oţ orlâd ltl vtorulu { } Y 7 : { } 8 8 9 X dtrr lu p Îulţd l tâg rlţ u tr [ ] K oţ uţ trlă d vlor propr: [ ] [ ]{} [ ] [ ]{} [ ] [ ]{} {} p K K p K K olod ş todă trţ trl dtră vlor propr r p * tr [ ] [ ] [ ] K B dă vlor ă pulţ propr pulţ udtlă p p tulu vrtor tr [B] r pr [ ] [ ] [ ] K B S oloşt ptru îput vtorul orr: {} { } t Y ş lulă llţ vtor u utorul orul d trţ 77 ş oţ: {} Y

tod ur î gr 9 {} {} {} 8 8 Y Y Y {} {} 77 89 89 89 89 Y Y Rulttl oţut l trţ ş pot odr ut d pr îtruât rportul ltlor orpuător vtorlor { } Y ş { } Y dră l ptr lă: 8 C r vlor propr tr [B] ş vlor pulţ pror orpuător odulu d vrţ d rvţă ă ut: p p * 8 8 8 Vtorul propru orpuător odulu udtl d vrţ oţ orlâd ltl vtorulu { } Y : { } 7 77 7 X

ETODE NUERICE CU DIERENŢE INITE todl ur d troplr drvr tgrr u d rolvr uţlor drţl u drţ t olo vlorl drt l uţ dă vlorl îtr-u uăr t d put l doulu d dţ ut odur l rţl Rolvr uor tl d prol p uu t d vlor drt l uţlor otu r u tă uoştr ltă uţ utlă tr tpur d drţ t: progrv u l drpt rgrv u l tâg ş trl Î t ptol ut prtt dţl ş proprtăţl lor tr tpur d drţ t ş tr plţ prvd lulul drvtlor u uţ u utorul drţlor t Drţ progrv S odră o uţ otuă d or drvlă : [ ] R ş u uăr d put d trvlul d dţ ut odur l rţl gl dpărtt îtr l ş tut l dtţ ott u: - Vlorl uţ î odurl rţl ut ott u: - S d drţl progrv l uţ î odurl rţl u utorul rlţlor: C C C Dvoltâd î r Tlor uţ î drpt putulu oţ: Oprtor drţl D D D dţ tl: D D D

9 tod ur î gr t lgl lgr prvd dtrutvtt outtvtt îulţr u o ottă ş otvtt î rport u oprţl d dur ş îulţr dă u proprtăţl: D g D Dg Dg D D D Dg D D D D Dvoltr î r Tlor uţ pot r ol olod oprtor drţl D D dţ u tl: D D D Ţâd d dvoltr î r uţ poţl :! pr log rlţ pot r ol tl: D 7 Notâd rlţ 7 r ol u or: D 8 Eprl drţlor progrv î uţ d oprtor drţl D D D oţ u utorul lululu ol Atl oor rlţlor ş 8 pr drţă progrvă r: D 9 Pr dtr rultă rlţ olă îtr oprtor ş D: D Ţâd d dvoltr î r uţ poţl î rr olă: D D D D D D D 7 7 D 7 ş îloud î rlţ rultă pr olă pr drţ progrv î uţ d oprtor drţl uţ : D D D D D D 7 Drţl t d ord upror oţ pr rdr olă l putr pr Dă rţ prl şpt drvt l uţ d dvoltr oţ:

tod ur u drţ t 97 7 7 7 D D D D D D D 7 7 D D D D D D 7 7 D D D D D 7 7 D D D D 7 7 D D D 7 Aplţ Să dtr prl ş drţ progrv l uţ l dtă p trvlul [ ] dă uo vlorl î 7 put dtt tut l dtţ Să vr rulttl oţut olod rlţl 7 u prl ş drvt l uţ Rolvr Vlorl drţlor t progrv lulă u rlţl ş ut dt î tlul : Tlul 9 899-9 -8 9 989 99 - - 7 778 997 9-8 9-9 7 989 - -8 7 8 7-9 - 8 9-8 7-8999 97-7 8-7 7 97 98 9-7 -9 8 8 9 77-7 8-7 9 9 98 877 - - 8 7 - - 8 88 8-7 - 8 89-8 79 7 78-88 978 79 7779 889 Eprl drvtlor uţ l ut: