ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ασκήσεις με δοκό που ισορροπεί, και το ένα άκρο της συνδέεται με άρθρωση Έστω ότι έχουμε ομογενή δοκό η οποία συνδέεται στο ένα άκρο της με άρθρωση. Στο άλλο άκρο ή σε κάποιο άλλο σημείο της δοκού δένεται συνήθως νήμα (σχοινί), με αποτέλεσμα αυτή τελικά να ισορροπεί. Σε ασκήσεις ισορροπίας δοκού θα μας ζητούν την δύναμη που ασκεί η άρθρωση στην δοκό, τις τάσεις των νημάτων ή την απόσταση κάποιου σώματος, που βρίσκεται πάνω στην δοκό, από τα άκρα της δοκού. Έστω ομογενής δοκός βάρους w και μήκους, η οποία ισορροπεί, με το άκρο της Α να συνδέεται με άρθρωση. Για να βρούμε την δύναμη F που δέχεται η δοκός από την άρθρωση ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία. Μεθοδολογία I) Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ενεργούν στη δοκό. Αν κρέμονται από νήματα κάποια άλλα σώματα ή βρίσκονται ακίνητα πάνω στην δοκό, τότε σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις και σε αυτά. Την δύναμη F την σχεδιάζουμε πάντα τελευταία. Υπάρχουν τρεις διαφορετικές περιπτώσεις σχεδιασμού της δύναμης αυτής. Α) Αν στην δοκό ασκούνται δύο δυνάμεις και η δύναμη F (δηλαδή σύνολο τρεις δυνάμεις ) τότε οι φορείς των τριών δυνάμεων διέρχονται από ίδιο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση βρίσκουμε το σημείο τομής των φορέων των δύο δυνάμεων και ενώνουμε το σημείο αυτό με άκρο Α της δοκού. Η ευθεία που προκύπτει είναι ο φορέας της F. Με αρχή το σημείο Α σχεδιάζουμε την δύναμη F πάνω σε αυτή την ευθεία. Τα παραπάνω ισχύουν για οποιοδήποτε σώμα που ισορροπεί. Όταν σε στερεό σώμα που ισορροπεί ασκούνται τρεις ομοεπίπεδες δυνάμεις, τότε οι φορείς των δυνάμεων διέρχονται από ίδιο σημείο. Όταν σε στερεό σώμα που ισορροπεί ασκούνται v ομοεπίπεδες δυνάμεις και οι φορείς των ν- δυνάμεων τέμνονται σε ένα σημείο Κ, τότε και ο φορέας της νιοστής δύναμης περνά από το σημείο Κ.
Β) Αν στην δοκό ασκούνται τρεις δυνάμεις και η δύναμη F (δηλαδή σύνολο τέσσερις δυνάμεις ) και οι φορείς των τριών δυνάμεων δεν διέρχονται από ίδιο σημείο, τότε σχεδιάζουμε την δύναμη F σε τυχαία κατεύθυνση. Επίσης αν στην δοκό ασκούνται περισσότερες από τρεις δυνάμεις, και η δύναμη F, και οι φορείς των δυνάμεων δεν διέρχονται από ίδιο σημείο, τότε σχεδιάζουμε την δύναμη F σε τυχαία κατεύθυνση. Γ) Αν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στην δοκό είναι παράλληλες μεταξύ τους, τότε και η δύναμη F θα είναι παράλληλη με αυτές. II) Αναλύουμε την δύναμη F σε συνιστώσες F x και F y (εκτός και αν η F είναι παράλληλη με τις άλλες δυνάμεις). Αν ασκούνται και άλλες πλάγιες δυνάμεις στην δοκό τις αναλύουμε και αυτές. Προσοχή : Η γωνία θ που σχηματίζει η F με την οριζόντια διεύθυνση είναι συνήθως άγνωστη. Άρα δεν κάνουμε ποτέ χρήση των σχέσεων : Fx = F συνθ και Fy = F ημθ. ΙII) Αν υπάρχουν και άλλα σώματα εκτός από την δοκό και ισορροπούν, τότε εξετάζουμε πρώτα την ισορροπία των σωμάτων αυτών. Άρα για το καθένα από αυτά θα ισχύει: Σ F= 0 IV) Η δοκός ισορροπεί. Άρα : Στ=0. Επιλέγουμε να υπολογίσουμε τις ροπές των δυνάμεων ως προς το σημείο Α, γιατί είναι το σημείο εφαρμογής της άγνωστης δύναμης F. Άρα : Στ () τ =0. F() =0 υπολογίζουμε συνήθως την τάση T κάποιου νήματος. Αν στην άσκηση γνωρίζουμε όλες τις δυνάμεις εκτός από την F δεν είναι απαραίτητη η χρήση της σχέσης Στ=0. V) Επειδή η δοκός ισορροπεί ισχύουν επίσης : Σ Fx = 0 και Σ Fy = 0. Σ Fx = 0 υπολογίζουμε την x F. Σ Fy = 0 υπολογίζουμε την y VI) Υπολογίζουμε την δύναμη F. Οι x, y F F είναι κάθετες μεταξύ τους. Άρα : F. Fy F = F + F. Επίσης : εφθ=. F x y x
ΑΣΚΗΣΗ Η ομογενής δοκός, βάρους w=400 N και μήκους, ισορροπεί οριζόντια όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της δοκού συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άκρο Γ συνδέεται με τον τοίχο με αβαρές σχοινί που σχηματίζει γωνία φ = 30 με τη δοκό. Να βρείτε την τάση του σχοινιού και την δύναμη που δέχεται η δοκός από την άρθρωση. Λύση IΑ) Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ενεργούν στη δοκό. Στη δοκό ασκούνται οι εξής δυνάμεις : Tο βάρος της w, η τάση του νήματος T και η δύναμη F που δέχεται η δοκός από την άρθρωση (σύνολο τρεις δυνάμεις ). Άρα οι φορείς των δυνάμεων w, T, F διέρχονται από ίδιο σημείο. Σχεδιασμός της δύναμης F : Βρίσκουμε το σημείο τομής των φορέων των δύο δυνάμεων w, T και 3
ενώνουμε το σημείο αυτό με άκρο Α της δοκού. Η ευθεία που προκύπτει είναι ο φορέας της F. Με αρχή το σημείο Α σχεδιάζουμε την δύναμη F πάνω σε αυτή την ευθεία όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. II) Αναλύουμε την δύναμη F σε συνιστώσες F x και F y. Επίσης αναλύουμε και την τάση του νήματος σε συνιστώσες. Προσοχή : Δεν κάνουμε ποτέ χρήση των σχέσεων : Fx = F συνθ και Fy = F ημθ. Έχουμε : T Tσυν30 0 x = και T y = Tημ30 IV) Η δοκός ισορροπεί. Άρα : Στ ( ) =0 0 Α. Επιλέγουμε να υπολογίσουμε τις ροπές των δυνάμεων ως προς το σημείο Α, γιατί είναι το σημείο εφαρμογής της άγνωστης δύναμης F. Άρα : Στ () τ =0. F() =0 υπολογίζουμε την τάση T του νήματος. 0 w T w (K)+T y (Γ)=0 w +(Tημ30 ) =0 + = 0 T=w=400 N () V) Επειδή η δοκός ισορροπεί ισχύουν επίσης : Σ Fx = 0 και Σ Fy = 0. Σ Fx = 0 υπολογίζουμε την x F. () 0 T 3 400 3 Fx 0 Fx Tx 0 F x=tx F x=tσυν30 N Σ = = = = F x = 00 3 N () Σ Fy = 0 υπολογίζουμε την y 0 T 400 Σ Fy = 0 F y+ty w = 0 Fy = w Ty = w Tημ30 = w = 400 N VI) Υπολογίζουμε την δύναμη F. Οι F x Άρα : Επίσης : = + ( ) F. F, y είναι κάθετες μεταξύ τους. (),(3) F Fx Fy F 00 3 00 N= 00 3 00 N= 00 4 N = + + F F y 00 3 3 εφθ= F x = = = εφθ= 00 3 3 3 3 0 θ=30. F y = 00 N (3) = 400 N. 4
ΑΣΚΗΣΗ Ομογενής δοκός ΑΓ, βάρους w = 40 Ν και μήκους, ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της δοκού συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άκρο Γ συνδέεται με τον τοίχο με οριζόντιο σχοινί, το οποίο σχηματίζει γωνία φ με τη δοκό. Στο άκρο Γ κρέμεται με αβαρές σχοινί σώμα Σ βάρους w =0 Ν. Δίνονται : ημφ=0,8 και συνφ=0,6. Να υπολογίσετε την τάση του οριζόντιου νήματος και την δύναμη που ασκεί η άρθρωση στη δοκό. Λύση Στη δοκό ασκούνται το βάρος της w, οι τάσεις του οριζόντιου νήματος και του κατακόρυφου νήματος T, T αντίστοιχα, και η δύναμη F που δέχεται η δοκός από την άρθρωση (σύνολο τέσσερις δυνάμεις ). 5
Παρατηρούμε στο σχήμα ότι οι φορείς των δυνάμεων w,t, T δεν διέρχονται από ίδιο σημείο. Άρα σε αυτή την περίπτωση σχεδιάζουμε την δύναμη F σε τυχαία κατεύθυνση. Στο σώμα Σ ασκούνται το βάρος του w και η τάση του νήματος T Το σώμα Σ ισορροπεί. Άρα : ΣF=0 T w = 0 T =w T=0 N Η δοκός ισορροπεί. Άρα : Στ ( Α ) =0 τ + τ + τ + τ = 0 () F () w () T() T () τf () = 0 () γιατί το σημείο εφαρμογής της F είναι το σημείο ως το οποίο υπολογίζουμε τις ροπές των δυνάμεων. Υπολογισμός της ροπής τ w() : Από το σημείο Α φέρνουμε κάθετη στο φορέα της δύναμης w. Η κάθετη τέμνει τον φορέα στο σημείο Ζ όπως φαίνεται στο σχήμα. Άρα : τw() = w (Ζ) (3) (το μείον προκύπτει από τον κανόνα του δεξιού χεριού). Ομοίως υπολογίζουμε και τις ροπές τ, τ. Έχουμε : T() T () τ = Τ (Μ) (4) και τt() T() (),(3),(4),(5) () w (Ζ) Τ (Μ)+Τ (Δ) = 0 w συνφ Τ συνφ+τ ημφ= 0 = Τ (Δ) (5) w w συνφ Τ συνφ+τ ημφ= 0 Τ ημφ= συνφ+τ συνφ Τ ημφ= w συνφ+τ συνφ w συνφ+ Τ συνφ (w+ Τ ) συνφ (40 + 0) 0,6 80 0,6 40 6 0 T= T= = N = N N ημφ ημφ 0,8 0,8 80 T=30 N. Εξαιτίας της ισορροπίας της δοκού ισχύουν επίσης : Σ Fx = 0 και Σ Fy = 0. ΣF =0 F T=0 F =T F x =30 N (6) x x x ΣF =0 F w T =0 F =w+t F =(40 + 0) N F y =60 N (7) y y y y Οι F x F είναι κάθετες μεταξύ τους. Άρα :, y + + F = 30 5 N. = 30 30 N= 30 ( ) N Fy 60 εφθ= = εφθ=. F 30 (6),(7) x y F = 30 + 60 N= F = F + F x 6
ΑΣΚΗΣΗ 3 Ομογενής δοκός ΑΓ, μήκους = m και βάρους w=50 Ν, ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άκρο Γ της δοκού, στερεώνεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο, σε οροφή όπως φαίνεται στο σχήμα. Η επιμήκυνση του ελατηρίου από το φυσικό του μήκους είναι Δ =0, m. Σε απόσταση x από το άκρο Α της δοκού έχει τοποθετηθεί σώμα Σ βάρους w =5 Ν. α) Να βρείτε την απόσταση x. β) Να βρείτε την δύναμη που ασκεί η άρθρωση στη δοκό. Λύση : α ) Στη δοκό ασκούνται το βάρος της w, η δύναμη του ελατηρίου F ελ, η δύναμη Ν που δέχεται από το σώμα Σ και η δύναμη F που δέχεται από την άρθρωση. Παρατηρούμε στο σχήμα ότι όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στην δοκό είναι παράλληλες μεταξύ τους. Άρα και η δύναμη F θα είναι παράλληλη με αυτές. 7
Στο σώμα Σ ασκούνται το βάρος του w και η κάθετη δύναμη Ν της επαφής του με αυτή. που δέχεται από την δοκό εξαιτίας Το σώμα Σ ισορροπεί. Άρα : ΣF=0 Ν w = 0 Ν=w Ν =5 N Όμως Ν =Ν ως δυνάμεις δράσης-αντίδρασης. Άρα : Ν = 5 Ν Fελ = k Δ =400 0, Ν F ελ Η δοκός ισορροπεί. Άρα : = 40 Ν Στ( Α) = 0 τf () + τ w() + τ F ελ () +τ 0 } Ν () = τf () = 0 γιατί το σημείο εφαρμογής της F είναι το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζουμε τις ροπές w + Fελ Ν x=0 40 50 60 00 60 = m= m= m x=, m 5 50 50 0 w (K) + F (Γ) Ν x=0 ελ F Ν x=f w Ν x=f w x= w ελ ελ ελ = Ν β) Εξαιτίας της ισορροπίας της δοκού ισχύει επίσης : Σ Fy = 0. ΣF =0 F + F w Ν =0 F =w+ν F = (50 + 5 40) N F=35 N. y ελ ελ 8