Υδροδυναμική Ανάλυση Πλωτών Κατασκευών (8.2.2)

Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης Υδροδυναμική Ανάλυση Πλωτών Κατασκευών (8.2.2) Ευαγγελία Λουκογεωργάκη Επ. Καθηγήτρια Θαλασσίων Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ. eloukog@civil.auth.gr

Στόχος ιάλεξης Παρουσίαση των βασικών αρχών/αριθμητικών μεθόδων υδροδυναμικής ανάλυσης Πλωτών Κατασκευών (ΠΚ) Παρουσίαση συγκεκριμένων λογισμικών Παρουσίαση ανάλυσης συγκεκριμένων ΠΚ

Φυσικό Πρόβλημα Στόχος Υδροδυναμικής Ανάλυσης Αγκυρωμένη Πλωτή Κατασκευή (ΠΚ) υπό τη δράση των κυματισμών Κινούμενη κατασκευή (σύστημα αγκύρωσης περιορισμός κινήσεων ΠΚ) Στόχος υδροδυναμικής ανάλυσης: Μοντελοποίηση της αλληλεπίδρασης ΠΚ - θαλάσσιου περιβάλλοντος Υπολογισμός διεγερτικών φορτίσεων και μεγεθών περιγραφής υδροδυναμικής συμπεριφοράς ΠΚ (απόκριση, εντάσεις καλωδιώσεων αγκύρωσης κ.λ.π.)

Θεωρία Υπολογισμού Υδροδυναμικών Φορτίσεων Σε τυπικές εφαρμογές ΠΚ: UD Re 10 6~10 υνάμεις Ιξώδους Αμελητέες (αστρόβιλη ροή) Χαρακτηριστική διάσταση ΠΣ (D) εγκάρσια προς το προσπίπτοντα κυματισμό >> από το μήκος κύματος του προσπίπτοντα κυματισμού (L) Υπολογισμός: θεωρία περίθλασης

Θεωρία υναμικού Σύνδεση με Υδροδυναμικές Φορτίσεις (1) Παραδοχή αστρόβιλης ροής: Περιγραφή της ταχύτητας του πεδίου ροής με συνάρτηση δυναμικού Φ(x, y, z, t) u(x,y,z,t) (x,y,z,t) 2 x,y,z,t 0 Εξίσωση Laplace (ασυμπίεστο ρευστό) p(x, y,z,t) 1 2 gz dt 2 Εξίσωση Βernoulli Επίλυση εξίσωσης Laplace χρησιμοποιώντας κατάλληλες οριακές συνθήκες για το Φ (ελεύθερη επιφάνεια, πυθμένας, ΠΣ)

Θεωρία υναμικού Σύνδεση με Υδροδυναμικές Φορτίσεις (2) Γραμματικοποιημένες οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας: Θεωρία δυναμικού 1 ης τάξης γραμμικοί κυματισμοί (Airy theory) Θεώρηση ότι η απόκριση της ΠΚ και οι υδροδυναμικές φορτίσεις είναι γραμμικά ανάλογες με το πλάτος κάθε μονοχρωματικού κυματισμού Γραμμική αλληλεπίδρα ση ΠΚ - κύματος Γραμμική απόκριση ΠΚ και Υδροδυναμικές Φορτίσεις 1 ης τάξης Φορτίσεις σε ΠΚς που αντιστοιχούν στις συχνότητες των προσπίπτοντων κυματισμών (1 ης τάξης υδροδυναμικές φορτίσεις σημαντικότερες φορτίσεις) Γραμμικοί, Μονοχρωματικοί Κυματισμοί (Regular Waves) Acos( t kx) Τυχαίοι Κυματισμοί (Irregular Waves) που συντίθενται από έναν αριθμό Κ γραμμικών, μονοχρωματικών, κυματισμών διαφορετικού ύψους, περιόδου και φάσης (εφαρμογή γραμμικής επαλληλίας) K Acos( tkx ) j1 j j j j

Θεωρία υναμικού Σύνδεση με Υδροδυναμικές Φορτίσεις (3) Μη γραμμικοποιημένες οριακές συνθήκες ελεύθερη επιφάνεια και ΠΣ: Θεωρία δυναμικού 2 ης τάξης Θεώρηση ότι η απόκριση της ΠΚ και οι υδροδυναμικές φορτίσεις είναι γραμμικά ανάλογες με το πλάτος κάθε μονοχρωματικού κυματισμού Μη γραμμική αλληλεπίδρα ση ΠΚ - κύματος Μη γραμμική απόκριση ΠΚ και Υδροδυναμικές Φορτίσεις 2 ης τάξης Χαμηλής και Υψηλής Συχνότητας Φορτίσεις σε ΠΚς λόγω κύματος (2 ης τάξης υδροδυναμικές φορτίσεις) Τυχαίοι Κυματισμοί (Irregular Waves) που συντίθενται από έναν αριθμό Κ γραμμικών, μονοχρωματικών, κυματισμών διαφορετικού ύψους, περιόδου και φάσης λαμβάνοντας υπόψη φαινόμενα 2ας τάξης (sum and difference frequency components) 1

Υδροδυναμικές Φορτίσεις Υδροδυναμικές φορτίσεις 1 ης τάξεως: Φορτίσεις (1 st order excitation forces) στο πλωτό σώμα λόγω υδροδυναμικών πιέσεων που προκύπτουν από κάθε i, i=1,..,n (N: αριθμός μονοχρωματικών κυματισμών που περιγράφει το φάσμα) μονοχρωματικό κυματισμό συχνότητας ω i Υδροδυναμικές φορτίσεις 2 ης τάξεως: Φορτίσεις (2 nd order excitation forces) στο πλωτό λόγω υδροδυναμικών πιέσεων που αντιστοιχούν: (α) σε συχνότητες μικρότερες από αυτές που περιλαμβάνονται στο φάσμα χαμηλής συχνότητας φορτίσεις (difference frequency loads ή slowly varying excitation forces) φορτίσεις σε συχνότητες ω i -ω j, i, j=1,,n, όπου ω i, ω j, i, j=1,,ν οι συχνότητες των μονοχρωματικών κυματισμών του φάσματος (σημαντικές για μεγάλου όγκου ΠΚ) είτε (β) σε συχνότητες μεγαλύτερες από αυτές που περιλαμβάνονται στο φάσμα υψηλής συχνότητας φορτίσεις (sum frequency loads) φορτίσεις σε συχνότητες 2ω i, ω i +ω j, i, j=1,,n, όπου ω i, ω j, i, j=1,,ν οι συχνότητες των μονοχρωματικών κυματισμών του φάσματος Υπολογισμός: θεωρία περίθλασης (χαρακτηριστική διάσταση του πλωτού σώματος εγκάρσια προς το προσπίπτοντα κυματισμό >> από το μήκος κύματος του προσπίπτοντα κυματισμού) Σταθερές δυνάμεις 2 ης τάξης (steady drift forces) 1 Από Ενότητα 6.2

Βαθμοί Ελευθερίας Άκαμπτης ΠΚ Ορισμός: Οι Βαθμοί Ελευθερίας (ΒΕ) μίας κατασκευής στη υναμική είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών (συνήθως μετατοπίσεις ή/και στροφές) που περιγράφουν τη δυναμική συμπεριφορά της κατασκευής ή με άλλα λόγια ορίζουν τη μετακίνηση (μετατόπιση και στροφή) ή/και την παραμόρφωση της κατασκευής yaw heave sway pitch roll surge Θεώρηση άκαμπτης κατασκευής 6 ΒΕ τα πλάτη των ΒΕ αντιστοιχούν σε πραγματικές μετακινήσεις Από Ενότητα 6.2 Τρεις μετατοπίσεις (surge κατά x, sway κατά y και heave κατά z) Τρεις στροφές (roll γύρω από x, pitch γύρω από y και yaw γύρω από z) «Ενεργοποίηση» και το μέγεθος των πλατών εν λόγω ΒΕ εξαρτώνται από: (α) διαστάσεις πλωτού σώματος (β) τη διεύθυνση του κυματισμού και (γ) το σύστημα (διάταξη) αγκύρωσης «Μέτρα» για αποφυγή συντονισμών

Γραμμική Επαλληλία Κυματικού Πεδίου Από Ενότητα 6.2 Γραμμική επαλληλία Faltinsen (1990). Sea Loads on Ships and Structures, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Κυματισμοί λόγω περίθλασης (προσπίπτοντες κυματισμοί + κυματισμοί λόγω διασκορπισμού) Υδροδ/κές πιέσεις Υδροδυναμικές Φορτίσεις Ακτινοβολούμενοι κυματισμοί λόγω κίνησης των σώματος στη συχνότητα του προσπίπτοντος κυματισμού Υδροδ/κές πιέσεις Φορτίσεις ανάλογες με την επιτάχυνση (πρόσθετη μάζα (added mass)) και με την ταχύτητα (ακτινοβολούμενη απόσβεση (radiation damping)) Τελικά διαμορφωμένο κυματικό πεδίο Υδροδ/κές πιέσεις Συνολική υδροδυναμική φόρτιση στο πλωτό σώμα

Αριθμητικές Μέθοδοι Υδροδυναμικής Ανάλυσης Κατηγοριοποίηση με βάση: (α) πεδίο υλοποίησης ανάλυσης (β) θεωρία κυματισμών (γ) άμεση ή έμμεση συμπερίληψη του συστήματος αγκύρωσης Πεδίο Υλοποίησης Ανάλυσης Πεδίο Χρόνου Συμπερίληψη Συστήματος Αγκύρωσης Πεδίο Συχνοτήτων Θεωρία δυναμικού 1 ης τάξης Θεωρία Κυματισμών Γραμμικοί, Μονοχρωματικοί Κυματισμοί (Regular Waves) Θεωρία δυναμικού 2 ης τάξης Τυχαίοι Κυματισμοί (Irregular Waves) Μη Συζευγμένη Ανάλυση (Uncoupled Analysis): Οι καλωδιώσεις αγκύρωσης λαμβάνονται απλοποιητικά (π.χ. ως ελατήρια, χωρίς μάζα) Συζευγμένη Ανάλυση (Coupled Analysis): Η δυναμική συμπεριφορά των καλωδιώσεων αγκύρωσης λαμβάνεται πλήρως στην υδροδυναμική ανάλυση του Πλωτού Σώματος (ΠΣ)

Αριθμητικές Μέθοδοι Υδροδυναμικής Ανάλυσης Κατηγοριοποίηση με βάση: (α) πεδίο υλοποίησης ανάλυσης (β) θεωρία κυματισμών (γ) άμεση ή έμμεση συμπερίληψη του συστήματος αγκύρωσης Πεδίο Υλοποίησης Ανάλυσης Πεδίο Χρόνου Συμπερίληψη Συστήματος Αγκύρωσης Πεδίο Συχνοτήτων Θεωρία δυναμικού 1 ης τάξης Θεωρία Κυματισμών Γραμμικοί, Μονοχρωματικοί Κυματισμοί (Regular Waves) Θεωρία δυναμικού 2 ης τάξης Τυχαίοι Κυματισμοί (Irregular Waves) Μη Συζευγμένη Ανάλυση (Uncoupled Analysis): Οι καλωδιώσεις αγκύρωσης λαμβάνονται απλοποιητικά (π.χ. ως ελατήρια, χωρίς μάζα) Συζευγμένη Ανάλυση (Coupled Analysis): Η δυναμική συμπεριφορά των καλωδιώσεων αγκύρωσης λαμβάνεται πλήρως στην υδροδυναμική ανάλυση του Πλωτού Σώματος (ΠΣ)

Αριθμητικές Μέθοδοι Υδροδυναμικής Ανάλυσης Κατηγοριοποίηση με βάση: (α) πεδίο υλοποίησης ανάλυσης (β) θεωρία κυματισμών (γ) άμεση ή έμμεση συμπερίληψη του συστήματος αγκύρωσης Πεδίο Υλοποίησης Ανάλυσης Πεδίο Χρόνου Συμπερίληψη Συστήματος Αγκύρωσης Πεδίο Συχνοτήτων Θεωρία δυναμικού 1 ης τάξης Θεωρία Κυματισμών Γραμμικοί, Μονοχρωματικοί Κυματισμοί (Regular Waves) Θεωρία δυναμικού 2 ης τάξης Τυχαίοι Κυματισμοί (Irregular Waves) Μη Συζευγμένη Ανάλυση (Uncoupled Analysis): Οι καλωδιώσεις αγκύρωσης λαμβάνονται απλοποιητικά (π.χ. ως ελατήρια, χωρίς μάζα) Συζευγμένη Ανάλυση (Coupled Analysis): Η δυναμική συμπεριφορά των καλωδιώσεων αγκύρωσης λαμβάνεται πλήρως στην υδροδυναμική ανάλυση του Πλωτού Σώματος (ΠΣ)

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (1) Λογισμικό: WAMIT της WAMIT Inc. (εταιρεία spin-off του Πανεπιστημίου M.I.T. των Η.Π.Α.) www.wamit.com Λογισμικό πακέτο υψηλής τεχνολογίας, που χρησιμοποιείται ευρέως σήμερα τόσο στον ερευνητικό χώρο όσο και στη σύγχρονη αγορά, κυρίως από μεγάλες τεχνικές εταιρείες στο εξωτερικό, και των οποίων έχει αποδειχθεί η αξιοπιστία Ανάλυση σε πεδίο συχνοτήτων της τρισδιάστατης αλληλεπίδρασης των κυματισμών με πλωτές και γενικότερα με θαλάσσιες κατασκευές, προσομοιώνοντας το πρόβλημα της περίθλασης των κυματισμών γύρω από μία κατασκευή και του προβλήματος των ακτινοβολούμενων εξαιτίας της κίνησης του σώματος κυματισμών

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (2) WAMIT: Μοντελοποίηση οποιασδήποτε γεωμετρίας Πλήρης υδροδυναμική ανάλυση: (α) ενός στερεού ή εύκαμπτου ΠΣ ελεύθερα κινούμενου ή ακυρωμένου ή/και (β) πολλαπλών στερεών ή εύκαμπτων αλληλεπιδρώντων σωμάτων που συνδέονται ή όχι μεταξύ τους ελεύθερα κινούμενων ή ακυρωμένων (π.χ. συστοιχία πλωτών σωμάτων, διατάξεις παραγωγής κυματικής ενέργειας) Υπολογισμός μεγεθών περιγραφής της υδροδυναμικής συμπεριφοράς ΠΣ (π.χ. υδροδυναμικά φορτία πρώτης τάξης, απόκριση κατασκευής πρώτης τάξης, υδροστατικοί και υδροδυναμικοί συντελεστές, υδροδυναμικές πιέσεις πρώτης τάξης, σταθερές δυνάμεις δευτέρας τάξης κ.λ.π.) υνατότητα παράλληλης επεξεργασίας (parallel processing) σε συστήματα με πολυπύρηνους επεξεργαστές

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (3) Τρισδιάστατο μοντέλο περίθλασης κυματισμών γύρω από κινούμενο σώμα Πεδίο συχνοτήτων Γραμμικοί μονοχρωματικοί κυματισμοί (μοναδιαίου πλάτους) Συνάρτηση δυναμικού: Προσπίπτων κυματισμός Εξίσωση Laplace: i t x,t Re e x (x,y,z) 2 2 x,t x,t0 0 6 i 0 7 R 0 7 j j 1 2 Ακτινοβολούμενοι κυματισμοί ιασκορπισμός D Περίθλαση 0 iga cosh k z d cosh kd e ikx cosiky cos Α: πλάτος κυματισμού ω: κυματική συχνότητα k=2π/l: κυματικός αριθμός

Σύστημα Αξόνων Ορισμός Βασικών Μεγεθών 2 z x

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (4) Οριακές συνθήκες 3 Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) Επίλυση: Μέθοδος Συνοριακών Ολοκληρωτικών Εξισώσεων (BIEM). Συναρτήσεις Green Μέθοδος φατνωμάτων σε 3 διαστάσεις (Three Dimensional Panel Method) Υπολογισμός, A ij, B ij, F i : 4 5 6 7 Πρόσθετη Μάζα Ακτινοβολούμενη Απόσβεση i A B nds ij ij i j S B ιεγερτικές υνάμεις 0 Fi i ni0 i ds n S B i. j=1,,6 F i Μιγαδικοί Αριθμοί

Οριακές Συνθήκες Ελεύθερη επιφάνεια: k 0 z j n j j=1,,6 Σώμα: n 7 0 n n Όριο S FF 3 Όριο S I * z Πυθμένας: Συνθήκη ακτινοβολίας: y x καθώς k0 z 0 για 0 z για j Re ikr z z d j=1,,7 2 2 R x y Όριο S R Laplace 2 x 0 Όριο S BOT n 0 z Όριο S B j njj 1,...,6 n D 0 n *Το όριο αυτό λαμβάνεται υπόψη στην περίπτωση ύπαρξης μη κανονικών συχνοτήτων x d Όριο S Re j 1,...,7 ikr j

Ολοκληρωτικές Εξισώσεις 4 Ο.Ε. υπολογισμού συναρτήσεων δυναμικού j, j=1,,6 (ακτινοβολούμενοι κυματισμοί): j j j n S ξ S B Ο.Ε. υπολογισμού συνάρτησης δυναμικού D (περιθλόμενοι κυματισμοί) ή 7 (κυματισμοί λόγω διασκορπισμού): G ξ; x 2 ( x) ( ξ) dξ ng ξ; x dξ B B G ξ; x 2 ( x) ( ξ) dξ 4 ( x) D D 0 n S ξ ξ x G ; x ξ ξ ξ x ξ 0 2 7( ) 7( ) d G ; d n n S ξ S B B

ιακριτοποίηση Βρεχόμενης Επιφάνειας ΠΣ 5 Επίπεδο x-z Φάτνωμα k Επίπεδο y-z 0-0.2 Z Z (m) -0.4 Y X -0.6-0.8 2 1.5 Y (m) 1 0.5 0 0 2 Επίπεδο x-y 6 4 X (m) 8 10

ιακριτοποιημένες Ολοκληρωτικές Εξισώσεις.Ο.Ε. υπολογισμού συναρτήσεων δυναμικού j, j=1,,6 (ακτινοβολούμενοι κυματισμοί): NEQN NEQN 2 ( x ) D ( x ) S n x i 1,...,NEQN j i ik j k ik j k k1 k1.ο.ε. υπολογισμού συνάρτησης δυναμικού D (περιθλόμενοι κυματισμοί): NEQN 2 ( x ) D ( x ) 4 ( x ) i 1,...,NEQN D ik D i ik D k 0 i k1 S k G ξ; x n ξ i d ξ x i : στο μέσο κάθε φατνώματος ΝEQN: αριθμός φατνωμάτων ik k S G ξ; x dξ S i 6

ιακριτοποίηση Βρεχόμενης Επιφάνειας ΠΣ (Μη κανονικές Συχνότητες) 7 Επίπεδο x-z 0 Επιφάνεια S I -0.2-0.4 Z (m) Y Z X Επίπεδο y-z -0.6-0.8 2 1.5 Y (m) 1 0.5 0 0 6 4 X (m) 2 Επίπεδο x-y 8 10

ιερευμένες Ολοκληρωτικές Εξισώσεις ι.ο.ε. υπολογισμού συναρτήσεων δυναμικού j, j=1,,6 (ακτινοβολούμενοι κυματισμοί): G ξ; x ' G ξ; x 2 ( x) ( ξ) d ξ ( ξ) dξ ng ξ; x dξ j j j j n S ξ n S ξ S B I B G ξ; x ' G ξ; x 4 ( x) ( ξ) d ξ ( ξ) dξ ng ξ; x dξ ' j j j j n S ξ n S ξ S B I B ι.ο.ε. υπολογισμού συνάρτησης δυναμικού D (περιθλόμενοι κυματισμοί) ή 7 (κυματισμοί λόγω διασκορπισμού): B B ξ x ξ x G ; G ; 2 ( x) ( ξ) d ξ ( ξ) dξ 4 ( x) ' D D D 0 n n S ξ S ξ I ξ x ξ x G ; G ; 4 ( x) ( ξ) d ξ ( ξ) dξ 4 ( x) ' ' D D D 0 n n S ξ S ξ I 7 x S B x S i x S B x S i

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (5) Απόκριση ΠΚ ξ j, j=1,,6 (άκαμπτη ΠΚ): 6 j1 2 E Mij Aij i Bij Bij Cij K ij j Fi i, j 1,...,6 όπου: Μ ij : όροι μητρώου μάζας ΠΚ (6 Χ 6) A ij : όροι μητρώου πρόσθετης μάζας (6 Χ 6) Β ij : όροι μητρώου ακτινοβολούμενης απόσβεσης (6 Χ 6) Β ije : όροι μητρώου απόσβεσης λόγω εξωτερικού αιτίου, π.χ. συρτική απόσβεση από καλωδιώσεις αγκύρωσης, ιξώδης απόσβεση κ.λ.π. (6 Χ 6) C ij : όροι μητρώου δυσκαμψίας λόγω υδροστατικών δυνάμεων και δυνάμεων βαρύτητας (6 X 6) Κ ij : όροι μητρώου δυσκαμψίας λόγω εξωτερικού αιτίου, π.χ. δυσκαμψία από σύστημα αγκύρωσης (6 X 6) F i : Υδροδυναμικές φορτίσεις (1 ης τάξης) (6 X 1) ξ j Μιγαδικοί Αριθμοί

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (6) Μητρώο Μάζας (άκαμπτη ΠΚ): m 0 0 0 mzg myg 0 m 0 mzg 0 mx G 0 0 m myg mxg 0 M 0 mzg myg I11 I12 I13 mzg 0 mxg I21 I22 I 23 myg mxg 0 I31 I32 I33 όπου: m: μάζα του πλωτού σώματος (ίση με τη μάζα του εκτοπιζόμενου υγρού στην κατάσταση ελεύθερης πλευστότητας του σώματος) (x G, y G, z G ): συντεταγμένες του Κέντρου Βάρους (Κ.Β.) του σώματος ως προς το σύστημα αξόνων oxyz I ij, i, j=1,2,3: ροπές αδράνειας ως προς oxyz

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (7) Μητρώο υσκαμψίας λόγω Υδροστατικών υνάμεων και υνάμεων Βαρύτητας (άκαμπτη ΠΚ): c33 g n3ds 0 0 0 0 0 0 SB 0 0 0 0 0 0 c34 g yn3ds SB 0 0 c33 c34 c35 0 C c35 g 0 0 0 c44 c45 c xn3ds 46 SB 0 0 0 0 c55 c 2 56 c g y n ds gvz mgz SB 0 0 0 0 0 0 όπου: (x b, y b, z b ): συντεταγμένες του Κέντρου Ανώσεως (Κ.Α.) του ΠΣ ως προς το σύστημα αξόνων oxyz V: ο εκτοπιζόμενος από το ΠΣ όγκος του νερού και S B : η βρεχόμενη επιφάνεια του ΠΣ 44 3 b G c 45 g xyn3ds SB c46 gvxb mgxg c g x n ds gvz mgz c56 gvyb mgyg 2 55 3 b G SB

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (8) Απόκριση: εκφράζεται με τη Συνάρτηση Μετασχηματισμού Απόκρισης (Response Amplitude Operator): RAO j j A j=1,,6 όπου ξ j πλάτος μιγαδικού αριθμού ξ j και Α το πλάτος του προσπίπτοντος κυματισμού Σταθερά φορτία δεύτερης τάξης ( ιατήρηση της ορμής): T F st [F F M ] stx sty stz Ανύψωση Ελεύθερης Επιφάνειας σε ένα τυχαίο σημείο x,y: 1 ( x,t) (x,y) g t z 0

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (9) Αδιάστατη μορφή υπολογιζόμενων μεγεθών (L nd : χαρακτηριστική διάσταση ΠΣ για έκφραση μεγεθών σε αδιάστατη μορφή) ιεγερτικές υνάμεις F ' i Fi ga L nd m m ίσο με 2 για i=1,2,3 και με 3 για i=4,5,6 Πρόσθετη Μάζα A ' ij A ij Ακτινοβολούμενη Απόσβεση ' B k ij L L nd B ij nd k k=3 για i, j=1,2,3, =4 για i=1,2,3 και j=4,5,6 ή i=4,5,6 και j=1,2,3 και = 5 για i, j=4,5,6 Υδροδυναμικές Πιέσεις ' D D iga / Ανύψωση Ελεύθερης Επιφάνειας 6 p p' ' kl ' ' ga D nd j j j1 j j ' n 1 L nd j ' A/L j n nd n = 0 για i = 1, 2,3 και n = 1 για i = 4, 5, 6 6 (x,y) (x,y)' D' kl ndj' j' A j1 z0

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (10) Συμπερίληψη Καλωδιώσεων Αγκύρωσης (ΚΑ) στην περίπτωση ΜΗ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ: (α) υναμική συμπεριφορά ΚΑ και επίδραση εξωτερικών φορτίσεων σε αυτές Ε Ν λαμβάνεται υπόψη στην υδροδυναμική ανάλυση ΠΣ (β) Απλοποιητική συμπερίληψη ΚΑ στην εξίσωση κίνησης (π.χ. ως ελατήρια) επιβολή δυσκαμψίας στο ΠΣ υπολογισμός (αναλυτικός) όρων Κ ij και συμπερίληψη στην εξίσωση κίνησης 6 j1 2 E Mij Aij i Bij Bij Cij K ij j Fi i, j 1,...,6

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (11) Συμπερίληψη Καλωδιώσεων Αγκύρωσης (ΚΑ) στην περίπτωση ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ: (α) Συμπερίληψη στατικής και δυναμικής συμπεριφοράς ΚΑ υπό την επίδραση εξωτερικών φορτίσεων στην υδροδυναμική ανάλυση του ΠΣ (β) Υλοποίηση στατικής και δυναμικής ανάλυσης ΚΑ ταυτόχρονα με την υδροδυναμική ανάλυση του ΠΣ (θεώρηση ενός ενιαίου δυναμικού συστήματος) (γ) Συμπερίληψη ΚΑ στην εξίσωση κίνησης: επιβολή δυσκαμψίας και συρτικής απόσβεσης στο ΠΣ υπολογισμός μέσω αριθμητικών μοντέλων όρων Κ ij και B ije (=Β ij E(D) ) στην εξίσωση κίνησης 6 j1 2 E Mij Aij i Bij Bij Cij K ij j Fi i, j 1,...,6

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (12) Συμπερίληψη Καλωδιώσεων Αγκύρωσης (ΚΑ) στην περίπτωση ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (συνέχεια ): (δ) Υλοποίηση στατικής και δυναμικής ανάλυσης ΚΑ ταυτόχρονα με την υδροδυναμική ανάλυση του ΠΣ (θεώρηση ενός ενιαίου δυναμικού συστήματος) απαιτεί: ανάπτυξη/εφαρμογή μοντέλου ανάλυσης συμπεριφοράς ΚΑ στο πεδίο συχνοτήτων (δυναμική συμπεριφορά) και σύζευξη (ταυτόχρονη/παράλληληη εφαρμογή) μοντέλου υδροδυναμικής ανάλυσης ΠΣ με μοντέλο ανάλυσης ΚΑ λαμβάνοντας υπόψη ότι τα αποτελέσματα του ενός αποτελούν δεδομένα εισόδου του άλλου και αντίστροφα, μέχρις ότου με την εφαρμογή της μεθόδου των επαναλήψεων να υπάρχει σύγκλιση κατάλληλα επιλεγμένων μεγεθών κάτω από ένα ορισμένο όριο

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (13) MOORSIM- FREQ-96, MIT Στατική και υναμική Ανάλυση Καλωδιώσεων Αγκύρωσης Στατική Ανάλυση 1 ο Στάδιο: Συνθήκες Προέντασης Γεωμετρία Στατικές εντάσεις και δυνάμεις 2 ο Στάδιο: Συνθήκες Εξωτερικών Φορτίσεων (F st ) υσκαμψία καλωδιώσεων αγκύρωσης (Κ) στη νέα θέση ισορροπίας Νέα θέση ισορροπίας Γεωμετρία Στατικές εντάσεις και δυνάμεις στη νέα θέση ισορροπίας υναμική Ανάλυση (πεδίο συχνοτήτων) 3 ο Στάδιο: Συνθήκες υναμικών Εξωτερικών Φορτίσεων υναμικές εντάσεις (T dyn ) λόγω των δυναμικών κινήσεων στη νέα στατική θέση ισορροπίας που οφείλονται στις δυναμικές κινήσεις του πλωτού σώματος (RAO j ) Συρτική απόσβεση καλωδιώσεων αγκύρωσης (B E(D) ) στη νέα θέση ισορροπίας

Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ στο Πεδίο των Συχνοτήτων (14) Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ Χαρακτηριστικά ΠΣ - Κυματικό Πεδίο (INPUTS) Στατική και υναμική Ανάλυση Καλωδιώσεων Αγκύρωσης Υπολογισμός D και r - Υπολογισμός F i, A ij και B ij Επίλυση Εξ. κίνησης - Υπολογισμός (K F F 10 4 ij και Β ije θεωρούνται st st ίσοι με 0 στον 1 ο κύκλο επανάληψης) Υπολογισμός Ν coupling =1 OXI N F (N coupling coupling-1) st st N coupling (N coupling -1) j j F 10 4 Ncoupling F st RAO RAO 10 4 NAI OXI N ξ coupling j F st 1 ξ j 1 Ncoupling F st Ncoupling ξ j Χαρακτηριστικά Καλωδιώσεων Αγκύρωσης - Προένταση (INPUTS) Υπολογισμός μέσης στατικής θέσης ισορροπίας, στατικών εντάσεων, συντελεστών δυσκαμψίας KN ij coupling και συντελεστών συρτικής απόσβεσης B E(D) N ij coupling Υπολογισμός τελικής μέσης στατικής θέσης ισορροποίας, στατικών και δυναμικών εντάσεων NAI N coupling N final coupling final Ncoupling F st final Ncoupling ξ j Υπολογισμός μεγεθών περιγραφής συμεριφοράς ΠΣ Υπολογισμός μέγιστων εντάσεων καλωδιώσεων αγκύρωσης

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Γενικά Αγκυρωμένος Πλωτός Κυματοθραύστης (ΑΠΚ, μεμονωμένο πλωτό σώμα με καλώδια αγκύρωσης) Στόχος αναλύσεων: ιερεύνηση επίδρασης διαφορετικών καταστάσεων των ΚΑ στην υδροδυναμική συμπεριφορά και αποτελεσματικότητα του ΑΠΚ x Λουκογεωργάκη Ε. (2007). Ολοκληρωμένο Σύστημα Αναγνώρισης και Βέλτιστης Ρύθμισης της Συμπεριφοράς και της Αποτελεσματικότητας Πλωτών Κυματοθραυστών», ιδακτορική ιατριβή, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠ.Θ.

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Γενικά Χαρακτηριστικά Αρχική διάταξη ΑΠΚ (διάταξη C 1 ): Πλωτό σώμα: L f =20m, B=4m, H f =1.5m, dr 1 =0.77m Καλωδιώσεις Αγκύρωσης (4): Χαλύβδινη αλυσίδα L tot1 =L totinitial1 =30m, L 1 =20m, w o =191.25N/m, EA=342x10 3 KN, T break =400KN, θ=45 o (X-Y επίπεδο) Χαρακτηριστικά κυματικού περιβάλλοντος: Βάθος: 10m Εύρος συχνοτήτων κυματισμών: 0.1 Β/L 1.5 (0.5 L f /L 7.5, 1.19rad/sec ω 4.81rad/sec): Εύρος Χαμηλών Συχνοτήτων, ΕΧΣ: 0.1 B/L 0.4 Εύρος Μέσων Συχνοτήτων, ΕΜΣ: 0.4<B/L 0.9 Εύρος Υψηλών Συχνοτήτων, ΕΥΣ: 0.9<B/L 1.5 Κυματική καμπυλότητα: Η w /L=0.04 Κάθετη πρόσπτωση κυματισμών (β=90 ο ) ξ 2, ξ 3 και ξ 4 κινήσεις μόνο

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: ιαμόρφωση Εξεταζόμενων ιατάξεων (C i, i=2,..,4) Μεταβολή C 1 ανεξάρτητη από εξωτερικά φορτία Υλοποίηση υπό συνθήκες προέντασης Μεταβολή στατικών εντάσεων V pret i T st pret i H pret i dr i Μεταβολή δυσκαμψίας Μεταβολή συρτικής απόσβεσης L toti ιάταξη C i, i=2,,nc d mi Μείωση μήκους σε επαφή με πυθμένα (L 2 ) Μεταβολή καταστάσεων καλωδιώσεων αγκύρωσης Κατάσταση Χαλαρά Κρεμάμενων Καλωδιώσεων Αγκύρωσης (ΚΧΚΚΑ): φ bot =0 και L 2 0 Κατάσταση Τεταμένα Κρεμάμενων Καλωδιώσεων Αγκύρωσης (ΚΤΚΚΑ): φ bot 0 και L 2 =0 Οριακή Περίπτωση: φ bot =0 και L 2 =0

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Χαρακτηριστικά Εξεταζόμενων ιατάξεων (C i, i=2,..,4) c i No Κατάσταση Καλωδιώσεων Αγκύρωσης L toti (m) dr i (m) L 1i (m) L 2i (m) L toti (m) T st pret i (KN) φ bot pret i (deg) 1 ΚΧΚΚΑ 30 0.77 20 10 0 5.03 0 2 ΟΠ 28.98 0.78 29.98 0 1.02 10.51 1.9 3 ΚΤΚΚΑ 28.66 0.80 28.66 0 1.34 23.05 11.9 4 ΚΤΚΚΑ 28.59 0.85 28.59 0 1.41 54.54 15.8

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Επίλυση Συζευγμένη Ανάλυση Πεδίο Συχνοτήτων υπό την επίδραση μονοχρωματικών κυματισμών Σύζευξη (ταυτόχρονη/παράλληληη εφαρμογή) μοντέλου υδροδυναμικής ανάλυσης ΠΣ (WAMIT) με μοντέλο ανάλυσης ΚΑ (MOORSIM-FREQ-96-96) σύμφωνα με την επαναληπτική διαδικασία σύζευξης που αναφέρθηκε παραπάνω Ιξώδης απόσβεση (i=j=3,4,5): B 2 C M A ζ=2.5% E(V) ij ij ij ij Επίπεδο x-z Επίπεδο y-z Μη κανονικές συχνότητες: 0-0.2 Z (m) -0.4-0.6-0.8 2 1.5 Y (m) 1 0.5 Y 0 Z X 0 2 6 4 X (m) Επίπεδο x-y 8 10 k k 1 2 n 2 Lf n 2 m 2 B m 2 Για B/L>0.5 n=0,1, m=0,1,

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα ιεγερτικά Φορτία 0.075 0.07 0.06 0.05 C 1 C 2 C 3 C 4 0.14 0.12 0.1 () C 1 C 2 C 3 C 4 F 2 ' 0.04 F 3 ' 0.08 0.03 0.06 0.02 0.01 () 0.04 0.02 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 2.5 x 10-3 2 C 1 C 2 C 3 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 0.14 0.12 F 2 ' F 3 ' F 4 ' () C 4 0.1 F 4 ' 1.5 1 F 2 ',F 3 ',F 4 ' 0.08 0.06 0.04 0.5 0.02 F 4 ': Scale values/20 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Σταθερά Φορτία 2 ης Τάξης 0.4 0.35 0.3 C 1 C 2 C 3 C 4 0.25 F sty ' 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Πρόσθετη Μάζα 7 x 10-3 x10-2 2.2 6 5 () C 1 C 2 C 3 C 4 2 1.8 1.6 () 1.4 A 22 ' 4 3 A 33 ' 1.2 1 C 1 C 2 0.8 C 3 2 0.6 C 4 1 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 2.55 x 10-5 C 1 4 x 10-5 2.5 2.45 2.4 () C 2 C 3 C 4 2 0 2.35-2 A 44 ' 2.3 2.25 A 24 '=A 42 ' -4-6 2.2 2.15-8 C 1 C 2 2.1-10 C 3 2.05 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L C 4-12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα - Ακτινοβολούμενη Απόσβεση 4.5 3.5 5 x 10-3 4 3 C 1 C 2 C 3 C 4 0.016 0.014 0.012 0.01 C 1 C 2 C 3 C 4 B 22 ' 2.5 B 33 ' 0.008 2 0.006 1.5 1 0.004 0.5 0.002 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 3.5 4 x 10-6 3 C 1 C 2 C 3 C 4 2 x 10-5 0-2 2.5-4 B 44 ' 2 1.5 B 24 ' -6 1 0.5-8 -10 C 1 C 2 C 3 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L C 4-12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα υσκαμψία ΚΑ 0.014 0.012 0.01 C 3 : Scale values x 10 C 4 : Scale values x 100 () 1.2 x 10-3 1 C 4 : Scale values x 10 () C 1 C 2 C 3 C 4 K 22 ' 0.008 0.006 K 44 ' (C 44 ') 0.8 0.6 C 1B C 2B C 3B C 4B * 0.004 0.002 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 3.5 x 10-3 3 2.5 C 3 : Scale values x 10 C 4 : Scale values x 100 C 33 ' for all C i : Scale values x 100 () 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 0.4 0.35 *B δηλώνει συντελεστές δυσκαμψίας (C 33 ή C 44 ) λόγω υδροστατικών δυνάμεων C 1 C 2 C 3 K 33 ' (C 33 ') 2 1.5 0.3 0.25 C 4 F sty ' 0.2 1 0.15 0.5 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 0.05 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Συρτική Απόσβεση ΚΑ E(D) B 22 ' E(D)' B 22 7 x 10-4 6 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L x 10-2 2.5 C 3 2 C 4 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L E(D) B 44 ' 6 x 10-5 4 2 C 1 C 2 E(D) B 33 ' E(D) B 33 ' 6 x 10-3 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L C 1 C 2 C 1 C 2 C4 : Scale values x 10 C 3 C 4 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L E(D) B 44 ' 3 x 10-4 2 1 C 3 C 4 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Απόκριση (ελεύθερα κινούμενος ΠΚ) 1 C 1.4 1 C 0.9 1 C 2 C C 1.2 2 0.8 3 C 3 C 4 0.7 C 1 4 RAO 2 (m/m) 0.6 0.5 0.4 RAO 3 (m/m) 0.8 0.6 0.3 0.2 0.4 0.1 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L 3.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L C 1 3 C 2 C 3 2.5 C 4 RAO 4 (rad/m) 2 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 B/L

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Απόκριση (αγκυρωμένος ΠΚ)

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Εντάσεις ΚΑ T tot /T break μεταξύ 1.3% και 41.2% ικανοποίηση κανονισμών API (API, 1997) από άποψη ασφάλειας: T tot /T break =50% (συντελεστής ασφάλειας 2)

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Αποτελεσματικότητα ΠΚ (1) K K f b (x,y) A (x,y) A για y<0 (ανάντη) για y>0 (κατάντη) *d δηλώνει κυματισμούς λόγω περίθλασης y o x Αντιπροσωπευτική περιοχή *d δηλώνει κυματισμούς λόγω περίθλασης

1 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Αποτελεσματικότητα ΠΚ (2) B/L=0.125 ιάταξη C 1 ιάταξη C 4

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Γενικά Tension Leg Platform Στόχος αναλύσεων: ιερεύνηση της επίδρασης κυματικών χαρακτηριστικών και διαφορετικών υλικών κατασκευής των τενόντων στη δυναμική συμπεριφορά του TLP Θεοδωρίδης Λ. (2013). Ανάλυση υναμικής Συμπεριφοράς Πλωτής Θαλάσσιας Κατασκευής τύπου Tension Leg Platform (TLP)», ιπλωματική Εργασία, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠ.Θ. Theodoridis L., Loukogeorgaki E. and Angelides D.C. (2014). Effect of Tendons Material on the Dynamic Behavior of a Tension Leg Platform Analyzed in Frequency and Time Domain, ISOPE 2014, 24th International Offshore and Polar Engineering Conference, Busan, Korea, June 15 20, 2014, Vol. 1, pp. 1019-1026.

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Εξεταζόμενη Κατασκευή (1) Βάθος Νερού: 450 m ISSC TLP

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Εξεταζόμενη Κατασκευή (2) Γεωμετρικά Χαρακτηριστικά Γενικά Χαρακτηριστικά Total Weight (kn) 3.973*10 5 Total Buoyancy (kn) 5.347*10 5 Total Mass (t) 40.5*10 3 Vertical Position of COG above still water 3.0 level (m) Vertical Position of COB below still water -22.6 level (m) Columns Diameter (m) 16.87 Columns Spacing (m) 86.25 Pontoons Width (m) 7.5 Pontoons Height (m) 10.5 Draft (m) 35 Columns Length (m) 60 Pontoons Length (m) 69.38 Pontoons Centerline Depth (m) 29.75 Tendons Length (m) 415

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Υλικό Τενόντων Χάλυβας Συνθετικά Υλικά Σύγκριση μεταξύ τριών υλικών: Χάλυβας, Ανθρακονήματα (Carbon Fibers), PBO - Zylon Υλικό Χάλυβας Carbon PBO-Zylon Μέτρο Ελαστικότητας Ε 200 GPa 230 GPa 250 GPa

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Επίλυση (1) Μη Συζευγμένη Ανάλυση Πεδίο Συχνοτήτων υπό την επίδραση μονοχρωματικών κυματισμών (ΚΑ ως ελατήρια) ιακριτοποίηση: Πύκνωση της διακριτοποίησης κοντά στις γωνίες της κατασκευής για επίτευξη μεγαλύτερης ακρίβειας της αριθμητικής επίλυσης

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Επίλυση (2) ιακριτοποίηση (συνέχεια ): Η βάση των κατακόρυφων δομικών στοιχείων (Columns) διακριτοποιείται ακτινικά

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Επίλυση (3) Μη κανονικές συχνότητες: Σύμφωνα με τη βιβλιογραφία, οι μη κανονικές συχνότητες ενός TLP εμφανίζουν πολύ καλή συμφωνία με τις μη κανονικές συχνότητες ενός μεμονωμένου κυλίνδρου Για την περίπτωση κυλίνδρου ακτίνας R, βυθίσματος T, το σύνολο μη κανονικών συχνοτήτων υπολογίζεται από την εξίσωση διασποράς, ω 2 =gktanh(kd), για κυματικούς αριθμούς που πληρούν την συνθήκη: J (kr) 0, m όπου J η συνάρτηση Bessel τάξης m m Για T<3.92 ιακριτοποίηση εσωτερικής επιφάνειας κυλίνδρων σε επαφή με ελεύθερη επιφάνεια

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Επίλυση (4) Κυματικά χαρακτηριστικά: Περίοδος T min = 1.5 s Τ ir =3.92 s Τ ir =3.92 s T max = 17 s Αδιάστατος αριθμός kb kb max = 75.5 kb ir =11.3 kb ir =11.3 kb min = 0.6 Επίλυση Μη Κανονικές Συχν. Κανονικές Συχν. ιεύθυνση πρόσπτωσης β β = 0⁰ β = 22.5⁰ β = 45⁰ k : Κυματικός Αριθμός 2b : Απόσταση μεταξύ αξόνων κατακόρυφων δομικών στοιχείων ιακριτοποίηση του παραπάνω διαστήματος σε 324 τιμές, για κάθε γωνία πρόσπτωσης και για κάθε εξεταζόμενο μέτρο ελαστικότητας του υλικού των τενόντων

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Επίλυση (5) Μητρώο Μάζας: Μητρώο Εξωτερικής υσκαμψίας: 8 m 0 0 0 mzg 0 0 m 0 mzg 0 0 0 0 m 0 0 0 M 0 mzg 0 I11 0 0 mzg 0 0 0 I22 0 0 0 0 0 0 I33 K Μητρώο Εξωτερικής Απόσβεσης: Τύπου Rayleigh, Ανάλογο Μάζας και υσκαμψίας N n1 Tn L N n 0 0 0 0 0 n1 0 0 0 0 0 T L 0 0 E L 0 0 0 0 0 0 EIx L 0 0 EI y 0 0 0 0 0 N n 2 2 0 0 0 0 0 (xn y n ) n1 L L T E B MΑ KC 0 1 Chopra (2003) όπου: T n : πρόενταση n=1,,n τένοντα L: μήκος τέντονα (x n, y n ): συντεταγμένες πρόσδεσης κορυφής n τένοντα Α: συνολικό εμβαδό διατομής όλων των τενόντων Ε: Μέτρο ελαστικότητας

Σύστημα Αγκύρωσης TLP Σύστημα Αγκύρωσης TLP: Κατακόρυφοι τένοντες (καλώδια υπό μεγάλη προένταση) μηχανισμός επαναφοράς στη θέση ισορροπίας 8 Από Ενότητα 6.2 Οριζόντια μετατόπιση x (offset) διατήρηση μήκους L t τενόντων βύθιση TLP κατά z (set down) X H z z L t1 1x/L t 2 K H T i tan i1 0tan H K 11 i1 K Ti L t K i1 x Ti L t L t x arcsin( ) L t α T V

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Πρόσθετη Μάζα 11 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Συντελεστής Πρόσθετης Μάζας 11 0.0 0 2 4 6 8 10 12 kr Τοπικά μέγιστα: Οφείλονται στην υδροδυναμική αλληλεπίδραση μεταξύ των στηλών (columns) 11 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 R: ακτίνα κατακόρυφων στηλών (=8.435m) Το διάγραμμα εμφανίζει τοπικά μέγιστα Συντελεστής Πρόσθετης Μάζας 11 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 kr

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Ακτινοβολούμενη Απόσβεση 11 Συντελεστής Ακτινοβολούμενης Απόσβεσης 11 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.05 kr Συντελεστής Ακτινοβολούμενης Απόσβεσης 11 0.30 0.25 0.20 11 0.15 0.10 0.05 0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 kr

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα ιεγερτικά φορτία (1) 1.2 ιεγερτικά Yδροδυναμικά Φορτία κατά x, β=0⁰ 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 kb Συχνότητες Ακύρωσης (λόγω υδροδυναμικής αλληλεπίδρασης των στηλών) cos(kb) 0 kb (2n 1) 2 kb =1.57, kb =4.71, kb =7.85 1 2 3 2b: Απόσταση μεταξύ αξόνων στηλών 1 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 Το διάγραμμα εμφανίζει τοπικά ελάχιστα ιεγερτικά Yδροδυναμικά Φορτία κατά x, β=0⁰ 0.0 0 2 4 6 8 10 12 kb

3 2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα ιεγερτικά φορτία (2) ιεγερτικά Υδροδυναμικά Φορτία κατά z, β=0⁰ Συχνότητες Ακύρωσης (εύρεση με βάση αδρανειακή προσέγγιση δυνάμεων) 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 20 40 60 80 kb kd2 kd1 f (1k 3)Ape (sinkbp kbpcoskb) Ace coskb kb =0.74, kb =2.58, kb =5.00 1 2 3 Πλωτήρες Κατακόρυφα ομικά Στοιχεία Το διάγραμμα εμφανίζει τοπικά ελάχιστα k 3 : συντελεστής πρόσθετης μάζας για τους πλωτήρες A c A p : Εμβαδά διατομής στηλών και πλωτήρων d 2 : Κατακόρυφη απόσταση άξονα πλωτήρων από ελεύθερη επιφάνεια d 1 : Βύθισμα b p : Μισό μήκος πλωτήρων 3 ιεγερτικά Υδροδυναμικά Φορτία κατά z, β=0⁰ 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 2 4 6 8 10 12 kb

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Επίδραση β στα ιεγερτικά φορτία (1)

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Επίδραση β στα ιεγερτικά φορτία (2)

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Επίδραση β στην Απόκριση (1)

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Επίδραση β στην Απόκριση (2)

n3 (rad/s) 2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Επίδραση Ε στις Ιδιοσυχνότητες ii Cii ni ( ) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 Ε (GPa) Increase (%) 200 230 6.8 230 250 4.0 200 250 12.9 200 230 250 E (GPa) n4 and n5 (rad/s) 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 Ε (GPa) Increase (%) 200 230 6.7 230 250 4.6 200 250 10.6 ii ii ni Επίδραση Ε στο ω n3 Αύξηση Ε Αύξηση δυσκαμψίας στο κατακόρυφο επίπεδο Αύξηση ω n3 και ω n4 0.5 0 200 230 250 E (GPa) Επίδραση Ε στο ω n4

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Επίδραση Ε στην Απόκριση για β=0 o 200->230 12.8% 230->250 11.7% 200->250 22.9% 200->230 14.3% 230->250 9.2% 200->250 22.1%

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Επίδραση Ε στην Απόκριση για β=22.5 o 200->230 15.4% 230->250 9.1% 200->250 23.1% 200->230 18.2% 230->250 7.4% 200->250 24.2% 200->230 15.0% 230->250 7.1% 200->250 21.1%

2 η Εφαρμογή Πεδίο Συχνοτήτων: Αποτελέσματα Επίδραση Ε στην Απόκριση για β=45 o 200->230 13.4% 230->250 9.4% 200->250 21.6% 200->230 13.4% 230->250 9.4% 200->250 21.6% 200->230 13.8% 230->250 7.5% 200->250 20.4%

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: ISSC TLP (1) Εφαρμογή για: ISSC TLP Στόχοι αναλύσεων: (α) ιερεύνηση της επίδρασης διαφορετικών υλικών κατασκευής των τενόντων στη δυναμική συμπεριφορά του TLP (β) Σύγκριση των εφαρμοζόμενων αριθμητικών μεθόδων ανάλυσης (μη συζευγμένη και συζευγμένη ανάλυση το πεδίο του χρόνου) Theodoridis L., Loukogeorgaki E. and Angelides D.C. (2014). Effect of Tendons Material on the Dynamic Behavior of a Tension Leg Platform Analyzed in Frequency and Time Domain, ISOPE 2014, 24th International Offshore and Polar Engineering Conference, Busan, Korea, June 15 20, 2014, Vol. 1, pp. 1019-1026.

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: ISSC TLP (2) Λογισμικό: AQWA suite του ANSYS και πιο συγκεκριμένα το AQWA- NAUT module AQWA-NAUT: Ανάλυση στο πεδίο του χρόνου συμπεριφοράς ΠΚ υπό την επίδραση μονοχρωματικών και τυχαίων κυματισμών, σταθερού ανέμου και ρεύματος Θεώρηση άκαμπτου ΠΣ Υπολογισμός εξαρτώμενων από τη συχνότητα (Συντελεστές πρόσθετης μάζας & ακτινοβολούμενης απόσβεσης, Υδροδυναμικές φορτίσεις): AQWA-LINE module (μοντελοποίηση τρισδιάστατης αλληλεπίδρασης των κυματισμών με ΠΚ, προσομοιώνοντας το πρόβλημα της περίθλασης των κυματισμών γύρω από μία κατασκευή και του προβλήματος των ακτινοβολούμενων εξαιτίας της κίνησης του σώματος κυματισμών)

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: ISSC TLP (3) Μη συζευγμένη ανάλυση Θεώρηση τενόντων ως γραμμικά, χωρίς μάζα ελατήρια Μάζα τενόντων προστίθεται στη μάζα του ΠΣ (για επίτευξη βυθίσματος) Η ένταση T e σε κάθε τένοντα θεωρείται ανάλογη με την επιμήκυνσή του l η σταθερά της εν λόγω αναλογίας, k s =ΕΑ/L, αντιστοιχεί στη δυσκαμψία του τένοντα Καθώς η επιμήκυνση του τένοντα μεταβάλλεται με το χρόνο, μία δύναμη μεταβαλλόμενου μεγέθους και διεύθυνσης ασκείται στο ΠΣ = ένταση τένοντα που δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση T k * l e Σε κάθε χρονικό βήμα: επιμήκυνση τένοντα υπολογίζεται μέσω αφαίρεσης του μη διατεταμένου μήκους του από την απόσταση μεταξύ του σημείου πρόσδεσης του τένοντα στο ΠΣ και του σημείου πρόσδεσης στον πυθμένα s

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: ISSC TLP (4) Συζευγμένη ανάλυση Οι τένοντες μοντελοποιούνται ως κυλινδρικά στοιχεία (συμπερίληψη της κατανεμημένης μάζας των τενόντων κατά μήκος τους) υναμική συμπεριφορά τενόντων συμπεριλαμβάνεται πλήρως στην συνολική υδροδυναμική ανάλυση (ΠΣ + τένοντες: σύστημα προς ανάλυση) Κάθε κόμβος κάθε στοιχείου: 4 ΒΕ (2 μετατοπίσεις κατά x και y και 2 στροφές γύρω από αυτούς τους άξονες) Περιορισμός συγκεκριμένου λογισμικού: Μη συμπερίληψη της δυναμικής αξονικής κίνησης του τένοντα Εξίσωση κίνησης κάθε τένοντα: (M M )A F s a v t όπου: M s :8X8 μητρώο μάζας M a :8X8 μητρώο πρόσθετης μάζας A v : 8X1 διάνυσμα επιταχύνσεων F t : 8X1 διάνυσμα συνολικά εφαρμοζόμενων δυνάμεων (εσωτερικές δυνάμεις επαναφοράς, υδροστατικές δυνάμεις, βάρος, δυνάμεις λόγω κυματισμού κ.λ.π.)

MULTISI M Υδροδυναμική Ανάλυση Πλωτών Κατασκευών Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: ISSC TLP (5) ιακριτοποίηση με Τριγωνικά Επιφανειακά Πεπερασμένα Στοιχεία, τύπου Shell63 Τα κάθετα στην επιφάνεια των στοιχείων μοναδιαία διανύσματα έχουν φορά από το κυματικό πεδίο προς το εσωτερικό της κατασκευής

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: ISSC TLP (6)

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: ISSC TLP (7) Υλικό τενόντων: Στοιχεία ανάλυσης: Εξίσωση κίνησης στο πεδίο του χρόνου Επίλυση: Κατάλληλο αριθμητικό σχήμα ιάρκεια προσομοίωσης: 2000sec Αριθμητικό βήμα: 0.2sec Κυματικά χαρακτηριστικά: Combination 1 Combination 2 T (s) 11.8 13.5 H (m) 9.6 12.5 L (m) 217.0 284.5 Σταθερή κυματική καμπυλότητα H/L ίση με 0.022 β=0 o Υλικό E (GPa) Υλικό 1 (Steel) 200 Υλικό 2 (Carbon Fibers) Υλικό 3 (PBO fibers) 230 250

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: Μη συζευγμένη ανάλυση Αποτελέσματα (1) E (GPa) Decrease (%) 200 230 14.50 230 250 8.04 200 250 21.37 Επίδρασηση Ε στην απόκριση (Τ=11.8sec, Η=9.6m) E (GPa) Decrease (%) 200 230 10.31 230 250 11.49 200 250 20.62 3.08 0.06 3.06 3.04 3.02 E = 200 GPa E = 230 GPa E = 250 GPa 0.04 0.02 u z (m) 3 φ y (deg) 0 2.98-0.02 2.96 2.94-0.04 2.92 1000 1010 1020 1030 1040 1050 t (s) Επίδραση Ε στο u z (heave) -0.06 1000 1010 1020 1030 1040 105 t (s) Επίδραση E στο φ y (pitch)

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: Μη συζευγμένη ανάλυση Αποτελέσματα (2) Επίδρασηση Ε στην ένταση των τενόντων (Τ=11.8sec, Η=9.6m) 3.8 x 107 E = 200 GPa E = 230 GPa E = 250 GPa T e (N) 3.7 3.6 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 3 2.9 2.8 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) Υλικό τενόντων: Μηδαμινή επίδραση στην ένταση των τενόντων λόγω μεγάλης δυσκαμψίας αυτών και λόγω ύπαρξης μετατοπίσεων στο κατακόρυφο επίπεδο με πολύ μικρό πλάτος Επίδραση Ε on T e

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: Συζευγμένη ανάλυση Αποτελέσματα u z (m) E (GPa) Decrease (%) 200 230 13.49 230 250 11.01 200 250 23.02 3.08 3.06 3.04 3.02 3 2.98 2.96 2.94 2.92 1000 1010 1020 1030 1040 1050 t (s) Επίδραση Ε στο u z (heave) Επίδρασηση Ε στην απόκριση (Τ=11.8sec, Η=9.6m) E = 200 GPa E = 230 GPa E = 250 GPa Υλικό τενόντων: Επίδραση ανάλογη με την περίπτωση μη συζευγμένης ανάλυσης φ y (deg) 0.06 0.04 0.02 0-0.02-0.04 E (GPa) Decrease (%) 200 230 12.09 230 250 11.25 200 250 21.98-0.06 1000 1010 1020 1030 1040 105 t (s) Επίδραση E στο φ y (pitch)

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: Σύγκριση αποτελεσμάτων μη συζευγμένη και συζευγμένης ανάλυσης (1) 4 κυματικές περιπτώσεις T (sec) kb (a) 5.4 5.9 (b) 7.8 2.9 (c) 11.8 1.9 (d) 13.5 1.1 Η=ct=6.0m Ε=ct=200GPa ιαφορές μεταξύ αποτελεσμάτων (κυρίως kb=5.9, 2.9) δυναμική συμπεριφορά των τενόντων που λαμβάνεται στη συζευγμένη ανάλυση u z (m) u z (m) 3.015 3.01 3.005 3.05 3.04 3.03 3.02 3.01 3 2.99 2.98 2.97 3 2.995 (c): kb=1.9 (a): kb=5.9 2.99 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) 2.96 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) u z (m) u z (m) 3.02 3.015 3.01 3.005 3 2.995 2.99 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) 3.05 3.04 3.03 3.02 3.01 3 2.99 2.98 (d): kb=1.1 (b): kb=2.9 Uncoupled Coupled 2.97 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) Σύγκριση u z για μη συζευγμένη και συζευγμένη ανάλυση για διαφορετικές τιμές kb

u x (m) Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: Σύγκριση αποτελεσμάτων μη συζευγμένη και συζευγμένης ανάλυσης (2) Σύγκριση u x. u z για μη συζευγμένη και συζευγμένη ανάλυση για Τ=11.8sec, Η=9.6m, E=200GPa u z (m) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1.2 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 3.08 3.06 3.04 3.02 3 2.98 2.96 2.94 (a) (b) Uncoupled Coupled 2.92 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) u x (m) u z (m) Σύγκριση u x. u z για μη συζευγμένη και συζευγμένη ανάλυση για Τ=13.5sec, Η=1.5m, E=200GPa 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2.5-3 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) 3.08 3.06 3.04 3.02 3 2.98 2.96 2.94 (a) (b) Uncoupled Coupled 2.92 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) Και για τους δύο T, H συνδυασμούς: όχι διαφορές στο u x u z : διαφορές στις υπολογιζόμενες με τις 2 μεθόδους αναλύσεις (Τ=13.5sec, H=1.5m: «wiggles» στην περίπτωση της συζευγμένης ανάλυσης επίδραση δυναμικής συμπεριφοράς τενόντων)

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: Σύγκριση αποτελεσμάτων μη συζευγμένη και συζευγμένης ανάλυσης (3) 3.8 x 107 3.7 Σύγκριση Τ e για μη συζευγμένη και συζευγμένη ανάλυση για διαφορετικά kb 4 x 107 (b) 3.8 T e (N) 3.6 3.5 3.4 (a) Uncoupled (kb=5.9) Coupled (kb=5.9) Uncoupled (kb=2.9) Coupled (kb=2.9) T e (N) 3.6 3.4 3.2 3.3 3.2 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) Uncoupled (kb=1.9) 3 Coupled (kb=1.9) Uncoupled (kb=1.1) Coupled (kb=1.1) 2.8 1000 1010 1020 1030 1040 1050 t (s) Για συγκεκριμένο k b : το εύρος του Τ e για την περίπτωση συζευγμένης ανάλυσης πολύ κοντά στο αντίστοιχο εύρος για την περίπτωση μη συζευγμένης ανάλυσης Μέση τιμή Te μεγαλύτερη στην περίπτωση της συζευγμένης ανάλυσης: συμπερίληψη κατανεμημένης μάζας κατά μήκος των τενόντων μεγαλύτερη προένταση

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: Σύγκριση αποτελεσμάτων μη συζευγμένη και συζευγμένης ανάλυσης (4) Σύγκριση Τ e για μη συζευγμένη και συζευγμένη ανάλυση για διαφορετικούς συνδυασμούς Τ, Η 4.2 x 107 4 (a): T=11.8, H=9.6 4.2 x 107 4 (b): T=13.5, H=12.5 Uncoupled Coupled 3.8 3.8 T e (N) 3.6 3.4 T e (N) 3.6 3.4 3.2 3.2 3 3 2.8 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s) 2.8 1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045 1050 t (s)

Ανάλυση στο Πεδίο του Χρόνου: Σύγκριση αποτελεσμάτων μη συζευγμένη και συζευγμένης ανάλυσης (5) Συμπερασματικά, σχετικά με τη σύγκριση των δύο μεθόδων ανάλυσης στο πεδίο του χρόνου: (α) Και στις δύο μεθόδους ανάλυσης: κατακόρυφες μετατοπίσεις του TLP μειώνονται σημαντικά με αύξηση του Ε των τενόντων (ποσοστά μείωσης ανάλογα μεταξύ των δύο μεθόδων) (β) Η συνολική μάζα των τενόντων για τη συγκεκριμένη εφαρμογή αντιστοιχεί σε ένα πολύ μικρό ποσοστό της συνολικής μάζας του TLP (3.9%) για τις εξεταζόμενες κυματικές συνθήκες και το εξεταζόμενο βάθος νερού η συμπερίληψη ενός διαφορετικού δυναμικού συστήματος μεταξύ των δύο μεθόδων ανάλυσης φαίνεται να έχει μικρή επίδραση στις μετατοπίσεις και στροφές του TLP (γ) ιαφορές στα αποτελέσματα των δύο μεθόδων υπάρχουν ανάλογα με την εξεταζόμενη περίοδο και εμφανίζονται κυρίως στην μετατόπιση στο κατακόρυφο επίπεδο (heave) (δ) Συμπερίληψη ενός διαφορετικού δυναμικού συστήματος μεταξύ των δύο μεθόδων ανάλυσης: πολύ σημαντικές διαφορές στην ένταση των τενόντων

Ενδεικτική Βιβλιογραφία (1) 1. Angelides DC, Chen C-Y, and Will S A (1982). Dynamic Response of Tension Leg Platform, Proc 3rd Int Conf on Behaviour of Off-shore Structures, Cambridge, Massachusetts, Vol 3, pp 200-120. 2. ANSYS, Inc (2012a). AQWA LINE Manual, Release 14.5, 136 pp. 3. ANSYS, Inc (2012b). AQWA NAUT Manual, Release 14.5, 127 pp. 4. ANSYS, Inc (2012c). AQWA Tether Manual, Release 14.5, 178 pp. 5. Chakrabarti, SK (2005). Handbook of Offshore Engineering, Elsevier, 669 pp. 6. Chandrasekaran, S, and Koshti, Y (2013). Dynamic Analysis of a Tension Leg Platform under Extreme Waves, J of Naval Architecture and Marine Eng, Vol 10, No 1, pp 59-68. 7. Chopra, AK (2003). Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, Pearson Education, 2nd Ed, 844 pp. 8. Eatock Taylor, R, and Jefferys, ER (1986). Variability of Hydrodynamic Load Predictions for a Tension Leg Platform, Ocean Eng, Vol 13, No 5, pp 449-490. 9. Faltinsen, OM (1990). Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 328 pp. 10. Korsmeyer, FT, Lee CH, Newman, JN, and Sclavounos, PD (1988). The Analysis of Wave Effects on Tension-Leg Platforms, Dept. of Ocean Eng, MIT, 14 pp. 11. Lee, C-H (1995). WAMIT Theory Manual, MIT Report 95-2, Dept of Ocean Eng, MIT, 66 pp. 12. Lee, C-H (2004). WAMIT Manual Version 7, WAMIT Inc., USA (www.wamit.com).

Ενδεικτική Βιβλιογραφία (2) 13. Lee, C-H, and Newman, JN (2004). Computation of Wave Effects Using the Panel Method, Numerical Models in Fluid-Structure Interaction, Preprint, Editor S. Chakrabarti, WIT Press, Southampton, 41 pp. 14. Lee, C-H, Newman, JN, and Zhu, X (1996). An Extended Boundary-Integral-Equation Method for the Removal of Irregular-Frequency Effects, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol 23, No 7, pp. 637-660. 15. Loukogeorgaki, E, and Angelides, DC (2005). Stiffness of Mooring Lines and Performance of Floating Breakwaters in Three Dimensions, Applied Ocean Research, Vol 27, Νο 4-5, pp. 187-208. 16. Newman, JN (1967). The Drift Force and Moment on Ships in Waves, J Ship Res, Vol 11, pp. 51 60. 17. Newman, JN (1977). Marine Hydrodynamics. Cambridge, MA: MIT Press, 402 pp. 18. Senjanović, I, Tomić, M, and Hadžić, N (2013). Formulation of Consistent Nonlinear Restoring Stiffness for Dynamic Analysis of Tension Leg Platform and its Influence on Response, Marine Structures, Vol 30, pp 1-32. 19. Triantafyllou, MS (1982). Preliminary Design of Mooring Systems, J Ship Res, Vol 26, No 1, pp. 25 35. 20. Triantafyllou, MS, Bliek, A, and Shin, H (1986). Static and Fatigue Analysis of Mutlileg Mooring Systems, Technical report.: MIT Press 21. Zhu, X (1994). Irregular Frequency Removal from the Boundary Integral Equation for the Wave-body Problem, M.Sc., Dept of Ocean Eng, MIT, 56 pp.