Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ. Ταλαντώσεις διδιαστάτου πλωτού σώµατος

Transcript

1 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΝΑΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΑΣ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Ταλαντώσεις διδιαστάτου πλωτού σώµατος

2 3 B L D e D T R D e 3 = h 3 = a 3 = a Σχήµα 1. διδιάστατο πλωτό σώµα σε λωρίδα ρευστού σταθερού βάθους 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ

3 Θα παρουσιάσουµε µια παραλλαγή των Συνοριακών Ολοκληρωτικών Μεθόδων (Boundary Eement Method, BEM) στο πρόβληµα υπολογισµού των δυναµικών που συνδέονται µε τις ταλαντώσεις (sway, heave, ro) πλωτού διδιαστάτου σώµατος. H µέθοδος βασίζεται στις συνοριακές ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις του δυναµικού στις διαστάσεις (, 3) και µας επιτρέπει να υπολογίσουµε τα δυναµικά k (,3) k, 3, 4 =, καθώς και τους αντίστοιχους υδροδυναµικούς συντελεστές ϕ, ϖ k,3, k, =, 3, 4, που απαιτούνται στην εφαρµογή της θεωρίας λωρίδων όπως αναπτύχθηκε στα προηγούµενα. Χωρίς κίνδυνο σύγχισης µε τις τρείς διαστάσεις θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια παρόµοια διανυσµατική γραφή, = (, ), 3 ϕ, k =, 3, 4, κλπ. k 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 3

4 Η αριθµητική επίλυση τέτοιων προβληµάτων επιτυγχάνεται µε διάφορες µεθόδοι, όπως () µέθοδοι διαχωρισµού του χωρίου (doman decomposton) σε συνδυασµό µε a. ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις στη φραγµένη περιοχή που χρησιµοποιούν τη θεµελιώδη λύση της εξίσωσης Lapace η οποία στις διαστάσεις είναι F( ξ) = n( -ξ ) = n( -ξ ), π π (όπως αυτή που θα παρουσιάσουµε εδώ), b. µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων, πεπερασµένων διαφορών, φασµατικών αναπαραστάσεων στη φραγµενη περιοχή, () ολοκληρωτικές αναπάραστάσεις που χρησιµοποιούν τη συνάρτηση Green της εξίσωσης Lapace, η οποία ικανοποιεί την πεδιακή εξίσωση και µερικές από τις συνοριακές συνθήκες του προβλήµατος και τη συνθήκη στο άπειρο, και οδηγεί σε ολοκληρωτική εξίσωση πάνω στη βρεχόµενη επιφάνεια του σώµατος, () µέθοδοι µιγαδικών συναρτήσων και σύµµορφης απεικόνισης κ.α. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 4

5 Θα παρουσιάσουµε την εφαρµογή της µεθόδου διαχωρισµού του χωρίου (doman decomposton) σε συνδυασµό µε ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις του δυναµικού στη φραγµένη περιοχή, =, 3, 4, µέσω του οποίων υπολογίζονται οι συντελεστές πρόσθετης µάζας και απόκρισης για τον προσδιορισµό των συναρτήσεων ϕ ( ) Πλεονεκτήµατα της µεθόδου: Σχετική απλότητα της θεµελιώδους λύσης που χρησιµοποιεί, η οποία επιτρέπει υπό κατάλληλες υποθέσεις τον αναλυτικό υπολογισµό των εµπλεκοµένων ολοκληρωµάτων. υνατότητα αριθµητικής µοντελοποίησης για προβλήµατα υδροδυναµικής συµπεριφοράς πλωτών σωµάτων πάνω από πυθµένα που δεν είναι οριζόντιος εδώ και και µελέτης των επιδράσεων πυθµένα γενικής µορφολογίας (βλ. Bebassaks 008), σηµαντικό όταν τέτοια σώµατα χρησιµοποιούνται σε περιοχές κοντά στην ακτή. Μειονέκτηµα σε σχέση µε ολοκληρωτικές µεθόδους που εµπλέκουν την συνάρτηση Green που ικανοποιεί όλες τις συνοριακές συνθήκες πλήν της συνθήκης µη εισχώρησης στο σώµα έγκειται στην έκταση της συνοριακής αναπαράστασης (όπως θα δούµε αναλυτικά κατωτέρω), η οποία στη περίπτωση της συνάρτησης Green περιορίζεται µόνο στη βρεχόµενη επιφάνεια του σώµατος 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 5

6 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού διδιάστατου σώµατος 3 B e D L D T e D R 3 = h 3 = a 3 = a Με τη βοήθεια των κατακορύφων διεπιφανειών στις θέσεις ρευστού διαχωρίζεται στα εξωτερικά D ( a) D ( a και a) e L,R = ± a η διδιάστατη λωρίδα < > και στο φραγµένο < χωρίο, το οποίο περιέχει καθαρά στο εσωτερικό του το πλωτό σώµα. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 6

7 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού διδιάστατου σώµατος. Εσωτερική περιοχή Η αναπαράσταση των αγνώστων δυναµικών στο εσωτερικό χωρίο λαµβάνεται από επιφανειακή κατανοµή πηγών-καταβοθρών (η οποία αναφέρεται και ως κατανοµή απλού σ ξ στρωµατος - βλ., π.χ., Günter 1967, Kress 1989), µε άγνωστες επιφανειακές εντάσεις =, 3, 4, σε όλο το σύνορο ακολούθως B Π L R, D = D D D D του φραγµένου χωρίου, ως ( ) σ ( ξ) F( ξ) ϕ = ds, =, 3, 4, D 1 ξ D, F( ξ) = n( -ξ ) π όπου D B η βρεχόµενη επιφάνεια του σώµατος, D Π ο πυθµένας, σε βάθος h εντός του εσωτερικού χωρίου, και D L, D R η αριστερή και δεξιά, αντίστοιχα, κατακόρυφη διαχωριστική επιφάνεια (διακεκοµµενες γραµµές στο Σχήµα 1). 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 7

8 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού D σώµατος. Εσωτερική περιοχή: Με παραγώγιση ως προς τη µεταβλητή πεδίου προκύπτουν οι αντίστοιχες πεδιακές ταχύτητες σε κάθε καθαρά εσωτερικό σηµείο D του φραγµένου χωρίου: u ( ) = σ F ds = σ F ds ξ ξ ξ ξ, =, 3, 4, όπου D D F ( ξ ) = ξ, r = ξ. π r Για σηµεία πάνω στο σύνορο D (προσεγγίζοντας από τα εσωτερικά του χωρίου), και F ξ αντιστοιχεί σε πεδίο από καταβόθρα θέση ξ, δεδοµένου ότι η θεµελιώδης λύση ( ) n( ) σ u ( ) = + σ ξ ξ ds, όπου = ( N,N ) 3 D n, F D, =, 3, 4, D, το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα σε κάθε σηµείο του συνόρου, µε διεύθυνση προς τα εξωτερικά του χωρίου. Συνεπώς, η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας στο σύνορο δίνεται από τη σχέση ( ) ϕ σ u ( ) n( ) = + n( ) σ F ds n ξ ξ, D D, =, 3, 4. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 8

9 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού διδιάστατου σώµατος Εξωτερική περιοχή e Οι αναπαράστασεις της λύσεως του προβλήµατος ακτινοβολίας στα εξωτερικά χωρία D L,R παράγονται στις ηµιάπειρες λωρίδες µε εφαρµογή της µεθόδου χωρισµού µεταβλητών στην εξίσωση Lapace και στις συνοριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια ( 3 = 0) και στον πυθµένα ( 3 = h), λαµβάνοντας υπόψη την απαίτηση για πεδίο µε µορφή εξερχοµένων κυµάτων στο άπειρο. Στη περίπτωσή µας οι αναπαραστάσεις των δυναµικών ϕ ( ) =, 3, 4, στην εξωτερική περιοχή έχουν τη ακόλουθη µορφή, για h 3 0,, ϕ ( e ) ( e) ( e ) ( e) ( e ),3 = A, 0 ep jk0 Z0 3 + A,n ep kn Zn ( 3), n= 1 a, ϕ όπου ( e ) ( e) ( e ) ( e) ( e ),3 = B, 0 ep jk0 Z0 3 + B,n ep kn Zn ( 3), n= 1 a, 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 9

10 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού διδιάστατου σώµατος Εξωτερική περιοχή Z ( e ) ( ) / N0 0 ( + ) [ ] 1 cosh k h =, cosh k h Z ( e ) 1 n n ( 3) 1/ Nn ( 3 + ) [ ] cos k h =, n = 1,,, cos k h n N k cosh ( k h) 1 cosh k h snh k h + k h =, N n k cos ( k h) 1 cos knh sn knh + knh =, n = 1,, n n και τα k 0, k n, n = 1,,, προκύπτουν ως ρίζες των εξισώσεων (διασποράς) µ h= k htanh( k h) και h k htan( k h) 0 0 µ =, n = 1,,, n n αντίστοιχα. Στην τελευταία εξίσωση προβλήµατος. µ = ω / g είναι η παράµετρος συχνότητας του 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 10

11 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού διδιάστατου σώµατος Οι µιγαδικοί συντελεστές ( e) { A,n, n = 0, 1,.. } προβλήµατος στα εξωτερικά χωρία Εξωτερική περιοχή και e D L, ( e) { B,n, n = 0, 1,.. }, =, 3, 4, είναι οι άγνωστοι του e D R αντίστοιχα. Υπό τη προυπόθεση της γρήγορης σύγκλισης των απειροσειρών, κάτι που είναι άµεσα συνδεδεµένο µε τη γρήγορη εξασθένηση των συντελεστών και που επαληθεύεται στην εξεταζόµενη περίπτωση, η αναπαράσταση του πεδίου ταχύτητας u ( ) ηµιάπειρες λωρίδες e D, λαµβάνεται εύκολα µε απευθείας παραγώγιση των ως προς τις χωρικές µεταβλητές (, 3) u ( ) = ( e ) (, ) ϕ, =, 3, 4 3, =, 3, 4, στις 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 11

12 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού διδιάστατου σώµατος Συνοριακές συνθήκες Συνθήκες συναρµογής () Συνοριακή συνθήκη στη βρεχόµενη επιφάνεια του σώµατος, () σ σ ( ) σ F ds N + n ξ ξ = D, B Συνοριακή συνθήκη στο πυθµένα (στην εσωτερική περιοχή), ( ) σ F ds 0 + n ξ ξ = D, D, =, 3, 4, D Π, =, 3, 4, () Συνοριακή συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια (στην εσωτερική περιοχή), σ ( ) σ F ds µ σ F ds 0 + n ξ ξ ξ ξ = D, Οι ανωτέρω εµπλέκουν µόνο την άγνωστη κατανοµή σ ( ξ ), D D F, =, 3, 4, ξ D σε όλο το σύνορο του εσωτερικού χωρίου και αποτελούν ολοκληρωτικές εξισώσεις τύπου Fredhom ου είδους. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 1

13 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού διδιάστατου σώµατος Συνοριακές συνθήκες Συνθήκες συναρµογής (v) Η συναρµογή (matchng) των αναπαραστάσεων στην κοινή κατακόρυφη διαχωριστική επιφάνεια (για h< 3< 0) ισοδύναµα απαιτεί την συνέχεια του δυναµικού και της οριζόντιας παραγώγου του. Εποµένως, για =, 3, 4, ϕ ϕ ( e) ( ) ( ) ϕ n, = ϕ, και ( e) ( ) ( ) ϕ = ϕ n,, και ϕ ϕ ( e) ( ) = ϕ, ( e) ( ) = ϕ, = a, = a. Για την επίτευξη της συναρµογής αξιοποιούνται οι αναλυτικές ιδιότητες των κατακορύφων ιδιοσυναρτήσεων: ( e Το σύνολο Z ) ( 3), n = 0, 1,... αποτελείται από ορθογώνιες βάσεις (που εύκολα n { } κανονικοποιούνται), άρα αποτελούν πλήρη σύνολα συναρτήσεων τα οποία µπορεί να χρησιµοποιηθούν για την ανάπτυξη τετραγωνικά ολοκληρώσιµων συναρτήσεων στο h < 3 < 0. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 13

14 Αναπαράσταση δυναµικών ακτινοβολίας πλωτού διδιάστατου σώµατος Συνοριακές συνθήκες Συνθήκες συναρµογής Συνεπώς, οι σχέσεις µπορεί να ικανοποιηθούν ισοδύναµα µε την προβολή τους πάνω ( e στην κατακόρυφη βάση Z ) ( 3), k = 0, 1,..., και οδηγούν (στις θέσεις = a και = a) στις: 3 3 = 0 e = h 3 { } k ϕ ϕ ( e Z ) + k ( 3) d3 = 0, k = 0, 1,,, =, 3, 4, ( e) ( ) ( e ( ϕ ϕ ) ) k 3= 0 Z 3 d3 = 0, 0 1 = h k =,,,, =, 3, 4. Ο ανωτέρω εξισώσεις εµπλέκουν τους άγνωστους συντελετές ( e) { B,n, n = 0, 1,.. } ( e) { A,n, n = 0, 1,.. } και στις ηµιάπειρες λωρίδες, αλλά και τις άγνωστες επιφανειακές εντάσεις σ ξ, =, 3, 4, σε όλο το σύνορο D = DB DΠ DL DR του εσωτερικού χωρίου, και εποµένως είναι µη-τοπικού χαρακτήρα. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 14

15 Ισοδύναµη Επίλυση του Αλγεβρικού Συστήµατος ως προς τους Άγνωστους Συντελεστές των Αναπαραστάσεων των υναµικών Ακτινοβολίας Αντικαταθιστούµε τις αναπαραστάσεις των δυναµικών ακτινοβολίας ϕ ϕ ( e ) ( e) ( e ) ( e) ( e ),3 = A, 0 ep jk0 Z0 3 + A,n ep kn Zn ( 3), n= 1 ( e ) ( e) ( e ) ( e) ( e ),3 = B, 0 ep jk0 Z0 3 + B,n ep kn Zn ( 3), n= 1 στις σχέσεις προβολής των συνθηκών συναρµογής, a, a, 3 3= 0 e ϕ ϕ ( e ) + Zk ( 3) d3 = 0, h = 3 ( e) ( ) ( e ( ϕ ϕ ) ) k 3= 0 Z 3 d3 = = h k =,,,, =, 3, 4 εκτελούµε αναλυτικά τις ολοκληρώσεις ως προς τη κατακόρυφη χωρική µεταβλητή 3, και οδηγούµαστε τελικά σε αλγεβρικό σύστηµα ως προς τους άγνωστους συντελεστές ( e) ( e) A,n, n = 0, 1,.. και B,n, n = 0, 1,.., =, 3, 4. { } { } 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 15

16 Ισοδύναµη Επίλυση του Αλγεβρικού Συστήµατος ως προς τους Άγνωστους Συντελεστές των Αναπαραστάσεων των υναµικών Ακτινοβολίας Πρακτικά, οι απειροσειρές που εµπλέκονται στις αναπαραστάσεις ϕ ( e ) ( e) ( e ) ( e) ( e ),3 = A, 0 ep jk0 Z0 3 + A,n ep kn Zn ( 3), n= 1 ϕ ( e ) ( e) ( e ) ( e) ( e ),3 = B, 0 ep jk0 Z0 3 + B,n ep kn Zn ( 3 ), n= 1 περικόπτονται κρατώντας µόνο τους πρώτους K όρους. a, a, Επίσης, στα πλαίσια εφαρµογών των συνοριακών στοιχείων (Βoundary Εement Μethods, ΒΕΜ) οι αναπαράστασεις ( ) σ ( ξ) F( ξ) ϕ = ds, D ξ D και u ( ) = σ ( ξ) F( ξ) ds, =, 3, 4, αποδίδονται µε µερισµό και προσέγγιση του συνόρου κατά τµήµατα (χρησιµοποιώντας απλά πολυώνυµα, B-spnes, NURBS κλπ) και την ταυτόχρονη εισαγωγή του ιδίου τύπου τοπικών συναρτήσεων για την κατανοµή της άγνωστης συνάρτησης (εδώ τις επιφανειακές εντάσεις πηγών-καταβοθρών, σ ( ξ), =, 3, 4). D 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 16

17 Ισοδύναµη Επίλυση του Αλγεβρικού Συστήµατος ως προς τους Άγνωστους Συντελεστές των Αναπαραστάσεων των υναµικών Ακτινοβολίας Στην απλούστερη εκδοχή (ow-order pane methods) το σύνορο προσεγγίζεται από πολυγωνική γραµµή που απαρτίζεται από M ευθύγραµµα τµήµατα και η κατανοµή των επιφανειακών εντάσεων πηγών-καταβοθρών προσεγγίζεται ως τµηµατικά σταθερή σε κάθε τµήµα. Τελικά, οι εξισώσεις για τις Συνοριακές Συνθήκες και για τις Συνθήκες Συναρµογής καταλήγουν σε ένα γραµµικό αλγεβρικό σύστηµα K αντίστοιχους αγνώστους + M εξισώσεων ως προς τους ( e) { A,n, n = 0, 1,..,K 1}, ( e) { B,n, n = 0, 1,..,K 1} και { σ, n =,n 1,.., Μ }, για κάθε εξεταζόµενο πρόβληµα ( ϕ ( ), =, 3, 4). 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 17

18 Εφαρµογή της µεθόδου των συνοριακών στοιχείων Μ Μ 1 Μ 6 Μ Μ 5 Μ Σχήµα : Μερισµός του συνόρου D του εσωτερικού χωρίου σε τµήµατα 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 18

19 Εκµετάλλευση ασυµπτωτικών ιδιοτήτων των αναπαραστάσεων. Απλοποίηση των επ άπειρον συνθηκών Οι σχέσεις προβολής των συνθηκών συναρµογής, 3 3= 0 e ϕ ϕ ( e ) + Zk ( 3) d3 = 0, h = 3 ( e) ( ) ( e ( ϕ ϕ ) ) k 3= 0 Z 3 d3 = = h k =,,,, =, 3, 4, απλουστεύονται αν λάβουµε τη θέση των κατακορύφων διεπιφανειών σε µεγάλη απόσταση από το πλωτό σώµα. Στην πράξη αρκεί να λάβουµε το a να είναι µεγαλύτερο από µερικά µήκη κύµατος λ = π / k 0, όπως το τελευταίο υπολογίζεται από την εξίσωση διασποράς µ h= k0htanh( k0h), συναρτήσει του βάθους (h) και της συχνότητας ταλάντωσης (ω ). Πράγµατι, παρατηρούµε ότι σε µεγάλες οριζόντιες αποστάσεις, >> λ, οι όροι στα αθροίσµατα εξασθενούν εκθετικά και ουσιαστικά παραµένουν µόνο οι πρώτοι όροι των αναπτυγµάτων ϕ e e e,3 A, 0 ep jk0 Z0 3, << λ, h < 3 < 0, ϕ, B ep jk Z e e e 3, , >> λ, h < 3 < 0. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 19

20 Εκµετάλλευση ασυµπτωτικών ιδιοτήτων των αναπαραστάσεων. Απλοποίηση των επ άπειρον συνθηκών Από τις ανωτέρω σχέσεις υπολογίζουµε την ασυµπτωτική συµπεριφορά και των οριζοντίων παραγώγων των πεδίων ϕ e e e,,3 A, 0 jk0 ep jk0 Z0 3, << λ, h < 3 < 0, e e e,,3 B, 0 jk0 ep jk0 Z0 3, ϕ >> λ, h < 3 < 0. Μπορούµε τώρα να χρησιµοποιήσουµε τις προηγούµρνρε σχέσεις για να απαλείψουµε τους ( e) ( e) συντελεστές A και B, λαµβάνοντας έτσι τις ακόλουθες συνθήκες, 0, 0 ϕ ϕ ( e) ϕ ( e),,3 j k0,,3 0, ( e) ϕ ( e),,3 + j k0,,3 0, << λ, h < 3 < 0, >> λ, h < 3 < 0. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 0

21 Εκµετάλλευση ασυµπτωτικών ιδιοτήτων των αναπαραστάσεων. Απλοποίηση των επ άπειρον συνθηκών Eισάγοντας τις σχέσεις συνέχειας για την οριζόντια παράγωγο των δυναµικών στις διεπιφάνειες διαχωρισµού εσωτερικού-εξωτερικών χωρίών παίρνουµε την (ενιαία) µορφή ϕ ( ) (,3) ( ) n + j k, 0ϕ, 3 0, >> λ, h < 3 < 0, η οποία είναι τοπικού χαρακτήρα. Kάνοντας χρήση των αναπαραστάσεων των πεδίων στην εσωτερική περιοχή, η ανωτέρω σχέση γράφεται ως ακολούθως σ ( ) σ σ L R + n ξ F ξ ds + jk0 ξ F ξ ds 0, D D, =, 3, 4. D D Στην πράξη η ανωτέρω προσέγγιση µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως πρόσθετη οµογενής ολοκληρωτική εξίσωση στις κατακόρυφες διεπιφάνειες DL DR, και να συµπληρώσει το σύνολο των εξισώσεων, αρκεί το a (βλ. Σχήµα 1) να είναι µεγαλύτερο από µερικά µήκη κύµατος. Τότε, οι εξισώσεις µπορούν να λυθούν ανεξάρτητα ως προς τις ζητούµενες κατανοµές πηγών-καταβοθρών, και να βρούµε τα { σ, n =,n 1,.., Μ }, µετά τη διακριτοποίηση του προβλήµατος την οποία θα περιγράψουµε στη συνέχεια. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 1

22 Εφαρµογή της µεθόδου των συνοριακών στοιχείων Μ Μ 1 Μ 6 Μ Μ 5 Μ Σχήµα : Μερισµός του συνόρου D του εσωτερικού χωρίου σε τµήµατα 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ

23 Εφαρµογή της µεθόδου των συνοριακών στοιχείων Η µέθοδος στην απλούστερη της εκδοχή, βασίζεται στο διαχωρισµό του συνόρου της εσωτερικής περιοχής Έστω s D = D D D D σε αριθµό ευθυγράµµων τµηµάτων. B Π L R M, s = 1,, 6, ο αριθµός των τµηµάτων: στη βρεχόµενη επιφάνεια του σώµατος, στο αριστερό µέρος της ελεύθερης επιφάνειας, στην αριστερή κατακόρυφη διεπιφάνεια, στον πυθµένα, στη δεξιά κατακόρυφη διεπιφάνεια και στο δεξί τµήµα της ελεύθερης επιφάνειας, αντίστοιχα (βλ. και Σχήµα ). Ο συνολικός αριθµός των επιφανειακών στοιχείων είναι M 6 = M. = 1 Προφανώς, όσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός των στοιχείων τόσο καλύτερα προσεγγίζεται η γεωµετρία του σώµατος αλλά και η κατανοµή πηγών-καταβοθρών σε όλο το σύνορο D. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 3

24 Εφαρµογή της µεθόδου των συνοριακών στοιχείων Σε σύγκριση µε τις µεθόδους συνοριακών στοιχείων ανώτερης τάξης (hgh order BEM) h απλή προσέγγιση τύπου ευθυγράµµων τµηµάτων για τη γεωµετρία του συνόρου (ow order BEM pane methods) σε συνδυασµό µε την κατά τµήµατα σταθερή προσέγγιση της έντασης πηγών-καταβοθρών φέρει: 1) το µειονέκτηµα να απαιτεί τη διακριτοποίηση του προβλήµατος σε µεγάλο αριθµό στοιχείων (µεγάλο M ) προκειµένου να έχουµε καλή ακρίβεια, και s ) το πλεονέκτηµα του αναλυτικού υπολογισµού των εµπλεκοµένων ολοκληρωνάτων πράγµα που οδηγεί σε γρήγορο υπολογισµό και κατάρτιση του πίνακα των αλγεβρικών εξισώσεων καθώς και του δεξιού µέλους του διακριτού συστήµατος. Απαιτήσεις κατά την επιλογή µεγέθους του πλέγµατος (δηλαδή µεγέθους των στοιχείων): () ικανοποιητική απόδοση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών του σώµατος (π.χ. απαίτηση πύκνωσης του πλέγµατος σε περιοχές µεγάλης καµπυλότητας της βρεχόµενης επιφάνειας), και () επαρκής αριθµός στοιχείων ανά µήκος κύµατος (το οποίο εξαρτάται από τη συχνότητα) ώστε να µπορεί να αποδοθεί ικανοποιητικά η ταλαντωτικότητα της λύσεως. Ως κανόνας χρησιµοποιούνται τουλάχιστον 15 στοιχεία ανά µήκος κύµατος. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 4

25 Εφαρµογή της µεθόδου των συνοριακών στοιχείων P η ζ Β ζ Α 3 θ Σχήµα 3: Τοπικό συνοριακό στοιχείο ( AB ) και γενικό σύστηµα συντεταγµένων 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 5

26 Εφαρµογή της µεθόδου των συνοριακών στοιχείων Έστω οποιοδήποτε σηµείο P(, 3 ) Βασικό στοιχείο είναι η η χρήση των παρακάτω αναλυτικών εκφράσεων των ολοκληρωµάτων για το επαγόµενο δυναµικό και ταχύτητα από κατανοµή πηγών- A A, καταβοθρών σταθερής εντάσεως σ σε ευθύγραµµο στοιχείο µε άκρα τα σηµεία A( 3 ) και B( B B, 3 ). Εισάγοντας σύστηµα τοπικών συντεταγµένων µε τον άξονα ζ στην ευθεία AB και τον άξονα η κάθετο προς αυτόν, βλ. Σχήµα 3, και ονοµάζοντας ( ζ,0 A ) και ( ζ,0 B ) τις συντεταγµένες των σηµείων A και B, αντίστοιχα, και ( ζ, η ) τις συντεταγµένες του P, τα αποτελέσµατα είναι { σ ϕ( ζ, η) = ( ζ ζ ) n Α ( ζ ζ Α) + η ( ζ ζ Β) n ( ζ ζ Β) + η + π 1 η 1 η + η tan tan, ζ ζ Β ζ ζ Α ( ζ ζ Α) σ + η u ζ ( ζ, η) = n π ζ ζ Β + η σ η η u η ζ, η = tan tan π ζ ζ Β ζ ζ Α 1 1, 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 6

27 Επαγόνενες ταχύτητες και δυναµικό από ευθύγραµµο στοιχείο πηγών-καταβοθρών u 3 u φ u 3 u 3 φ u u 3 Σχήµα 4: Κατανοµές ϕ, και ( 3) (, ) u κατά τη 3 µεσοκάθετο (αριστερά) και κατά τη κάθετο που περνά από το σηµείο (, 3 ) = ( 0., 0) ευθύγραµµου στοιχείου µε άκρα A A, 3 = 0, 0 και ( B B, 3 ) ( 1, 0) =, για σ = 1 σταθερό σε όλο το µήκος AB. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 7

28 ευθύγραµµο στοιχείο µε σταθερή ένταση πηγών-καταβοθρών Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ

29 ευθύγραµµο στοιχείο µε σταθερή ένταση δινών Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ

30 Εφαρµογή της µεθόδου των συνοριακών στοιχείων Η χαµηλοτάξια µέθοδος συνοριακών στοιχείων που περιγράφουµε εδώ ολοκληρώνεται µε την ικανοποίηση των εξισώσεων (10α), (10β), (10γ) και (16β) σε ένα σύνολο σηµείων που χάριν συµµετρίας του αριθµητικού σχήµατος επιλέγεται να είναι τα κέντρα ( m m 3 ),, m = 1,M, των αντιστοίχων ευθυγράµµων στοιχείων. Η τεχνική αυτή είναι γνωστή και ως coocaton method και οδηγεί στην άµεση αλγεβρικοποίηση του συστήµατος. Σηµειώνουµε πάντως πως και άλλες τεχνικές είναι δυνατές, όπως π.χ. η µέθοδος Gaerkn (βλ. π.χ., Kress 1989), η οποία όµως απαιτεί πρόσθετες επιφανειακές ολοκλήρωσεις για την υλοποίηση των απαιτούµενων προβολών των εξισώσεων σε κατάλληλα σχεδιασµένο υπόχωρο συναρτήσεων. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 30

31 Εφαρµογή της µεθόδου των συνοριακών στοιχείων (BEM και coocaton) Ας συµβολίσουµε για τη συνέχεια µε ( k k ϕkm = ϕ,3 ), ( k k km =,3 ) U u τα επαγόµενα δυναµικά και ταχύτητες στο κέντρο του k στοιχείου από επιφανειακή κατανοµή σταθερής εντάσεως σ m στο k στοιχείο (ευθύγραµµο τµήµα) µερισµού του συνόρου. Ας θέσουµε επίσης n k, k = 1,M, το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο k στοιχείο. Συνεπώς, οι εξισώσεις γράφονται στην ακόλουθη διακριτή µορφή, αντιστοίχως, για τα επιµέρους προβλήµατα ( =, 3, 4), σ k + = σ k k k N (,3 ) M σ m nkukm, k 1,M 1 m= 1 M m= 1 + σ m nku km = 0, m= 1 =, 3 4, = 1 = 1 k= M + 1, M M σ k + σ m( nku km µϕkm ) = 0, k = M +, M + M και σ k M m= 1 ( jk0ϕ ) + σ m nku km + km = 0, 3 = = 1 k M M, M 5 6 k= M + 1, M = 1 = 1 το οποίο αποτελεί το τελικό γραµµικό σύστηµα από την επίλυση του οποίου λαµβάνουµε τις εντάσεις πηγών-καταβοθρών { σ, k k = 1,M } στα στοιχεία του συνόρου. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 31

32 Αποτελέσµατα Η αδιαστατοποίηση που χρησιµοποιείται εδώ για τη παρουσίαση των υδροδυναµικών συντελεστών είναι a / h k ρ, = 3 ( k ) k,,, b / ρ h h / g, k,, ρ, a / h 44 4 ρ, a / h και 3 4 =, ( b 4 / ρ h ) h / g, ( 44 ) b / ρ h h / g. Με την ίδια µεθοδολογία που αναπτύξαµε παραπάνω µπορεί να επιλυθεί αριθµητικά και το πρόβληµα περίθλασης και να υπολογισθούν οι υδροδυναµικές δυνάµεις µε ολοκλήρωση των κατάλληλων δυναµικών πάνω στη βρεχόµενη επιφάνεια. Με βάση αυτά οι εξισώσεις κίνησης µπορεί να επιλυθούν και να υπολογισθούν οι αποκρίσεις (sway, heave και ro). Στο Σχήµα 6 παρουσιάζονται αντίστοιχα αποτελέσµατα υπολογισµού των ταλαντωτικών αποκρίσεων του ιδίου (όπως παραπάνω) πλωτού σώµατος, για διάφορες τιµές του αδιάστατου µήκους κύµατος λ/h. Η αδιαστατοποίηση που χρησιµοποιείται για τις αποκρίσεις είναι ξ / A, k =, 3 και ξ / ka. 4 k 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 3

33 Αριθµητικά αποτελέσµατα Σχήµα 5: Πρόσθετες µάζες (συνεχείς γραµµές) και αποσβέσεις (διακεκοµµένες) πλωτού σώµατος ορθογωνικής διατοµής λόγου B/T=3, σε λωρίδα ρευστού βάθους h/t=, για διάφορες τιµές του αδιάστατου µήκους κύµατος λ/h. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 33

34 Για τα αποτελέσµατα έχει ληφθεί ακτίνα µαζικής ροπής αδράνειας περιστροφής ως προς το διαµήκη άξονα 1 ίση µε 0.Β, οπότε m m (. B) 44 = 0 (ανά µονάδα µήκους), και κατακόρυφη θέση του κέντρου βάρους στην ίσαλο, οπότε GM KB BM ( T / ) B / ( 1T ) = + = +. Σχήµα 6: Αποκρίσεις πλωτού σώµατος ορθογωνικής διατοµής λόγου B/T=3, σε λωρίδα ρευστού βάθους h/t=, συναρτήσει του αδιάστατου µήκους κύµατος λ/h. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 34

35 Αριθµητικά αποτελέσµατα Σχήµα 7: Συντελεστής µετάδοσης κύµατος που προσπίπτει σε επίµηκες σώµα ορθογωνικής διατοµής λόγου B/T=3, σε λωρίδα ρευστού βάθους h/t=, για διάφορες τιµές του αδιάστατου µήκους κύµατος λ/h. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 35

36 Αριθµητικά αποτελέσµατα Σχήµα 8: Πεδίο περίθλασης (πάνω) και ακτινοβολίας (κάτω) πλωτού σώµατος. Επίµηκες σώµα ορθογωνικής διατοµής B/T=3, σε λωρίδα ρευστού σταθερού βάθους h/t=, για συχνότητα ω=1.3rad/s (λ/h=14.7, ω B / g = 0. 36). Εικονίζεται µόνο το πραγµατικό µέρος των πεδίων αυτών. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 36

37 Αριθµητικά αποτελέσµατα Σχήµα 9: Πεδίο περίθλασης (πάνω) και ακτινοβολίας (κάτω) πλωτού σώµατος. Επίµηκες σώµα ορθογωνικής διατοµής B/T=3, σε λωρίδα ρευστού µε µεταβαλλόµενη βαθυµετρία (λόγος µέσου βάθους h/t=), και για συχνότητα ω=1.3rad/s (λ/h=14.7, ω B / g = 0. 36). Εικονίζεται µόνο το πραγµατικό µέρος των πεδίων αυτών. 8/1/016 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ 37