Στατική και υναμική Ανάλυση Συστήματος Αγκύρωσης (8.2.3)

Transcript

1 Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης Στατική και υναμική Ανάλυση Συστήματος Αγκύρωσης (8.2.3) Ευαγγελία Λουκογεωργάκη Επ. Καθηγήτρια Θαλασσίων Κατασκευών, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ.

2 Στόχος ιάλεξης Παρουσίαση των βασικών αρχών στατικής και δυναμικής ανάλυσης Καλωδιώσεων Αγκύρωσης (ΚΑ) Στόχοι στατικής και δυναμικής ανάλυσης ΚΑ Εξισώσεις στατικής ανάλυσης μεμονωμένης ΚΑ (εξισώσεις αλυσοειδούς, μη ελαστική και ελαστική ΚΑ) Στατική ανάλυση συστήματος ΚΑ (Spread Mooring System) Εισαγωγή στη δυναμική ανάλυση (γραμμικοποιημένες δισδιάστατες εξισώσεις δυναμικής ανάλυσης ΚΑ) υσκαμψία και Συρτική Απόσβεση ΚΑ

3 Ορισμοί (1) Σύστημα Αγκύρωσης (ΣΑ): Σύνολο Καλωδιώσεων Αγκύρωσης (ΚΑ) που το άνω άκρο τους συνδέεται με την Πλωτή Κατασκευή (ΠΚ) σε διάφορα σημεία της περιμέτρου αυτής και το κατώτερο άκρος τους αγκυρώνεται στο θαλάσσιο πυθμένα (σύστημα συγκράτησης - σύνδεσής του με τον πυθμένα) Κατάστρωμα (Deck) Σκαρί (Hull) Εγκαταστάσεις (Facilities) Εύκαμπτος Κατακόρυφος Αγωγός Μεταφοράς Πετρελαίου (Flexible Riser) Στόχος ΣΑ: ιατήρηση Πλωτού Σώματος (ΠΣ), υπό την επίδραση των κυμάτων, των θαλάσσιων ρευμάτων και του ανέμου, γύρω από μία σχετικά σταθερή μέση θέση ισορροπίας ( μηχανισμός επαναφοράς στη θέση ισορροπίας) και περιορισμός των προκαλούμενων από τα προαναφερθέντα αίτια στατικών μετακινήσεων και δυναμικών κινήσεων του ΠΣ κάτω από ορισμένα όρια, σύμφωνα με τις απαιτήσεις σχεδιασμού του Καλωδιώσεις Αγκύρωσης (Mooring Lines)

4 Ορισμοί (2) Από Ενότητα 1.4 Αριθμός ΚΑ στο ΣΑ: (α) ΣΑ μεμονωμένου κλάδου (single point mooring system) (β) ΣΑ πολλαπλών κλάδων (spread mooring system) Single Point ΣΑ Spread ΣΑ

5 Ορισμοί (3) Μέγεθος προέντασης ΚΑ στο ΣΑ: (α) ΣΑ με ΚΑ τύπου αλυσοειδούς (catenary mooring lines) (β) ΣΑ τεταμένες ΚΑ (taut mooring lines) Από Ενότητα 6.2 ΣΑ με τεταμένα καλώδια ΣΑ με καλωδιώσεις σχήματος αλυσοειδούς

6 Ορισμοί (4) Προένταση (αρχική ένταση στις ΚΑ): Επίτευξη μέσω βαρούλκων Επίτευξη επιθυμητής γεωμετρίας ΚΑ Επίδραση εξωτερικών φορτίσεων: Η ένταση στις ΚΑ μεταβάλλεται και λόγω μεταβολής της γεωμετρίας των ΚΑ Συνολική δυσκαμψία ΚΑ αποτελείται από ελαστική δυσκαμψία (υλικό, γραμμική ή μη γραμμική δυσκαμψία) και γεωμετρική δυσκαμψία (μη γραμμική δυσκαμψία) k total k elastic k geometrical

7 Υλικά (1) Αλυσίδα Κρίκοι αλυσίδας τύπου studless and studded Μεγάλο βάρος, μεγάλη αντοχή έναντι θραύσης, μεγάλο μέτρο ελαστικότητας Όχι κάμψη «Ρηχά» νερά (βάθη < 100m): συνήθης εφαρμογή μόνο αλυσίδας Βαθειά νερά: Αλυσίδα κοντά στο σημείο σύνδεσης με ΠΣ (fairlead) και κοντά στον πυθμένα

8 Υλικά (2) Συρματόσχοινο: Πιο ελαφρύ από αλυσίδα Μικρή κάμψη Εφαρμογή ως κύριο υλικό τμημάτων ΚΑ σε βαθειά νερά (μείωση κατακόρυφων φορτίων) Υψηλής τεχνολογίας συνθετικά σχοινιά από ίνες (fibre): Πολύ μικρό βάρος Μεγάλη ελαστικότητα Πιθανή χρήση σε βαθειά νερά

9 Υλικά (3) Centre for Marine and Petroleum Technology. All rights reserved

10 Αγκύρωση στον Πυθμένα Από Ενότητα 1.4 Άγκυρα Άγκυρα τύπου Πασσάλου Συνδυασμός των παραπάνω (σύστημα SEPLA, Suction Embedded Plate Anchor)

11 Στόχος Στατικής και υναμικής Ανάλυσης ΚΑ (1) Απόκριση (μετακινήσεις) ΠΚ υπό δράση εξωτερικών φορτίσεων (κύμα, ρεύμα και άνεμος): στατική + δυναμική (σε διαφορετικές κλίμακες χρόνου) Στατική μετατόπιση (static offset) Χαμηλής Συχνότητας Απόκριση (Low Frequency (LF) motions) ή αργά μεταβαλλόμενη μετατόπιση (slowly varying offset, large amplitude motion) Απόκριση σε συχνότητα κύματος (Wave Frequency (WF) motions) Σταθερά φορτία λόγω κύματος (σταθερές φορτίσεις 2 ης τάξης, Mean wave drift forces and moments), ανέμου και ρεύματος Χαμηλής Συχνότητας Φορτίσεις σε ΠΚς λόγω κύματος (2 ης τάξης υδροδυναμικές φορτίσεις), ανέμου και ρεύματος Φορτίσεις σε ΠΚς που αντιστοιχούν στις συχνότητες των προσπίπτοντων κυματισμών (1 η ς τάξης υδροδυναμικές φορτίσεις σημαντικότερες φορτίσεις)

12 Στόχος Στατικής και υναμικής Ανάλυσης ΚΑ (2) Υπολογισμός στατικών και δυναμικών εντάσεων στις ΚΑ Υπολογισμός απόσβεσης και δυσκαμψίας που προσφέρουν οι ΚΑ στο ΠΣ MIT OpenCourseWare: Design of Ocean Systems: Lecture14, Mooring Dynamics (III), April 1, 2011, Prof. Chryssostomos Chryssostomidis Dr. Yuming Liu

13 Στάδια Στατικής και υναμικής (στο πεδίο συχνοτήτων) Ανάλυσης ΚΑ (παράδειγμα) Στατική και υναμική Ανάλυση Καλωδιώσεων MOORSIM- Αγκύρωσης Μονοχρωματικοί FREQ-96, MIT κυματισμοί Στατική Ανάλυση 1 ο Στάδιο: Συνθήκες Προέντασης Γεωμετρία Στατικές εντάσεις και δυνάμεις 2 ο Στάδιο: Συνθήκες Εξωτερικών Στατικών Φορτίσεων υσκαμψία καλωδιώσεων αγκύρωσης (Κ) στη νέα θέση ισορροπίας υναμική Ανάλυση (πεδίο συχνοτήτων) 3 ο Στάδιο: Συνθήκες υναμικών Εξωτερικών Φορτίσεων υναμικές εντάσεις (T dyn ) λόγω των δυναμικών κινήσεων στη νέα στατική θέση ισορροπίας που οφείλονται στις δυναμικές κινήσεις του πλωτού σώματος (RAO j ) Νέα θέση ισορροπίας Γεωμετρία Στατικές εντάσεις και δυνάμεις στη νέα θέση ισορροπίας Συρτική απόσβεση καλωδιώσεων αγκύρωσης (B E(D) ) στη νέα θέση ισορροπίας

14 Γενικό Μη-Γραμμικό ισδιάστατο Πρόβλημα ΚΑ (1) Αριθμητική μοντελοποίηση στατικής και δυναμικής συμπεριφοράς ΚΑ Επίλυση ενός μη γραμμικού προβλήματος Πηγές μη γραμμικότητας: (α) Ύπαρξη αλυσοειδούς σχήματος ισορροπίας των ΚΑ (catenary configuration), υπό την επίδραση του ίδιου βάρους αυτών, σε συνδυασμό με την ύπαρξη κρεμάσματος (sag), που οδηγεί στη μη-γραμμική μεταβολή της γεωμετρίας τους υπό την επίδραση των εξωτερικών στατικών φορτίων (γεωμετρική μη γραμμικότητα) (β) Μη-γραμμική παραμορφωτική συμπεριφορά των καλωδιώσεων αγκύρωσης κάτω από την επίδραση των εξωτερικών φορτίων (μηγραμμικότητα υλικού) (γ) Ύπαρξη δύναμης σύρσης, η οποία είναι συνάρτηση του τετραγώνου της ταχύτητας του υγρού

15 Γενικό Μη-Γραμμικό ισδιάστατο Πρόβλημα ΚΑ (2) Βασικές Παραδοχές: (α) Ύπαρξη μικρών δυναμικών κινήσεων γύρω από τη μέση στατική θέση ισορροπίας διαχωρισμός γενικού μη-γραμμικού προβλήματος της δισδιάστατης δυναμικής συμπεριφοράς των ΚΑ στο ψευδο-στατικό και στο δυναμικό τμήμα και την εξαγωγή επιμέρους εξισώσεων υπολογισμού των στατικών και δυναμικών μεγεθών αυτών από τις γενικές μη-γραμμικές δισδιάστατες δυναμικές εξισώσεις (β) Μήκος και ακτίνα καμπυλότητας ΚΑ >> από διάμετρο πλήρης περιγραφή της μορφής των ΚΑ μέσω του άξονα αυτών (γ) Ακαμψία αμελητέα στατική ένταση (εφαπτομενική στον άξονα της ΚΑ) η μοναδική εσωτερική δύναμη των ΚΑ (δ) Στατική και δυναμική ανάλυση των ΚΑ σε δύο διαστάσεις (κατακόρυφο επίπεδο) (ε) Άμεση επίδραση δυναμικών κυματικών φορτίων στις ΚΑ θεωρείται αμελητέα (στ) Νόμος Hooke για την περίπτωση της αξονικής διάτασης

16 Γενικό Μη-Γραμμικό ισδιάστατο Πρόβλημα ΚΑ (3) ιατύπωση γενικών μη-γραμμικών δισδιάστατων δυναμικών εξισώσεων ds: απειροστό τμήμα μη διατεταμένης ΚΑ τοπικό μη σταθερό σύστημα οt 1 n 1 t διεύθυνση της τοπικής ως προς τον άξονα της ΚΑ 1 εφαπτομένης σε κάθε σημείο αυτής n 1η κάθετη προς την παραπάνω διεύθυνση U: ταχύτητα ρεύματος w o : βυθισμένο βάρος ανά μονάδα μη διατεταμένου μήκους ΚΑ φ tot : γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση t 1 την οριζόντια με (v n, v t ): συνιστώσες ταχύτητας κατά t 1 και n 1 T e : αποτελεσματική ένταση KA (συμπερίληψη και υδροστατικών πιέσεων) F dt, F dn : δυνάμεις σύρσης που ασκούνται στην ΚΑ

17 Γενικό Μη-Γραμμικό ισδιάστατο Πρόβλημα ΚΑ (4) ιατύπωση γενικών μη-γραμμικών δισδιάστατων δυναμικών εξισώσεων (συνέχεια ) 2 ος Νόμος Νεύτωνα κατά t 1 και n 1 v φ T m v w sinφ F t t s t tot e o n o tot dt v φ v φ m v a T w cosφ F t t t s n tot n tot o t o e o tot dn m o : μάζα ΚΑ a ο : πρόσθετη μάζα στην κάθετη διεύθυνση n 1 (2) 1 dt dt eff tot t e F ρc d Ucosφ v Ucosφtot vt dn dn eff tot n e F ρc d Usinφ v Usinφtot vn (1) T e n1 U v n ds o w o T e +dt e /ds φ tot F dt F dn C dt, C dn : συντελεστές σύρσης κατά t 1 και n 1 (τυπικές τιμές 1.1~1.2 και 0.5 αντίστοιχα) d eff : αποτελεσματική, όσον αφορά στους υπολογισμούς της δύναμης σύρσης, διάμετρος KA e: κατά μήκος διάταση ΚΑ v t t 1

18 Γενικό Μη-Γραμμικό ισδιάστατο Πρόβλημα ΚΑ (5) ιατύπωση γενικών μη-γραμμικών δισδιάστατων δυναμικών εξισώσεων (συνέχεια ) Εξισώσεις συμβιβαστού: Σχέσεις μεταξύ ταχύτητας, διάτασης και γωνίας n1 T e +dt e /ds t 1 v t φtot e vn s s t vn φtot φ vt 1e s s t (3) (4) tot U v n ds o F dt φ tot v t dp ds dp e 1 ds ds dp: μήκος απειροστού τμήματος μετά τη διάταση T e F dn Σχέση που εκφράζει τη σύνδεση της έντασης με την πραγματοποιούμενη διάταση w o e Te f e,,s t (5) Εξ. 1~5: Μη γραμμικές δισδιάστατες δυναμικές εξισώσεις (5 εξισώσεις, 5 άγνωστοι: Τ e, φ tot,v t, v n,e)

19 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης ΚΑ: Γενικά (1) 1 η βασική παραδοχή επίλυσης γενικού μη-γραμμικού δισδιάστατου προβλήματος: Ύπαρξη μικρών δυναμικών κινήσεων γύρω από τη μέση στατική θέση ισορροπίας διαχωρισμός γενικού μη-γραμμικού προβλήματος της δισδιάστατης δυναμικής συμπεριφοράς των ΚΑ στο ψευδο-στατικό και στο δυναμικό τμήμα και την εξαγωγή επιμέρους εξισώσεων υπολογισμού των στατικών και δυναμικών μεγεθών αυτών από τις γενικές μη-γραμμικές δισδιάστατες δυναμικές εξισώσεις Ολική αποτελεσματική ένταση T e = Στατική αποτελεσματική ένταση + υναμική Ένταση Ολική γωνία φ tot = Γωνία λόγω στατικών φορτίσεων + Γωνία λόγω δυναμικών φορτίσεων Εξισώσεις στατικής ανάλυσης ΚΑ Γραμμικοποιημένες εξισώσεις δυναμικής ανάλυσης ΚΑ (και γραμμικοποίηση δύναμης σύρσης)

20 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης ΚΑ: Γενικά (2) Γεωμετρία και στατικές δυνάμεις καλωδίωσης αγκύρωσης στο oxz υνάμεις κορυφή (fairlead) και σημείο αγκύρωσης (φ bot 0)

21 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης ΚΑ: Γενικά (3) Εξισώσεις 1~2 και εξισώσεις υπολογισμού δυνάμεων λόγω ρεύματος: Μηδενισμός δυναμικών όρων (μεταβολή με το χρόνο) και στις εξισώσεις Tst st wosinφ Fdt 0 s φ st Tst wo cosφ Fdn 0 s st 1 eo Fdt ρcdtdeff UcosφUcosφ st 1 eo Fdn ρcdndeff UsinφUsinφ x 1 eo cosφ s z 1 eo sinφ s T dp ds st eo 1 EA 1

22 Η Έννοια της Αποτελεσματικής Έντασης 1 φ+dφ T+dT w: μη βυθισμένο βάρος ανά μονάδα μη διατεταμένου μήκους φ T w

23 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης ΚΑ υπό την Επίδραση Ρεύματος και Ιδίου Βάρους Tst st wosinφ Fdt 0 s φ st Tst wo cosφ Fdn 0 s st 1 eo Fdt ρcdtdeff UcosφUcosφ st 1 eo Fdn ρcdndeff UsinφUsinφ x 1 eo cosφ s z 1 eo sinφ s T dp ds st eo 1 EA

24 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης ΚΑ υπό την Επίδραση Ιδίου Βάρους (1) Tst st wosinφ Fdt 0 s φ st Tst wo cosφ Fdn 0 s st 1 eo Fdt ρcdtdeff UcosφUcosφ st 1 eo Fdn ρcdndeff UsinφUsinφ x 1 eo cosφ s z 1 eo sinφ s T dp ds st eo 1 EA

25 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης ΚΑ υπό την Επίδραση Ιδίου Βάρους (2) Tst wo sinφ 0 s φ Tst wo cosφ 0 s x 1 eo cosφ s z 1 eo sinφ s Υπολογισμός γεωμετρίας και στατικών εντάσεων ΚΑ υπό την επίδραση του ιδίου βάρους (Η=ct, κατά μήκος της ΚΑ) T dp ds st eo 1 EA

26 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (1) Μη ελαστική KA: e o =0 Tst wo sinφ 0 s φ Tst wo cosφ 0 s x s z s cosφ sinφ T dp ds st eo 10 EA

27 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (2) H 2 Tst H Vtop w o(l1 s) cosφ 2 (S1) V w top o tanφ (L1 s) H H (S2) V V w L bot top o 1 (S3) (S4) H Vtop w 1 o(l1 s) V 1 top wol 1 x sinh sinh wo H H H Vtop w o(l1 s) Vtop wol1 z 1 1 wo H H 2 2 (S5)

28 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (3) Από Εξ. S5 για z=d s=l 1 (S6) H Vtop Vtop wol1 d 1 1 wo H H 2 2 Εξ. S6 V top με V bot από Εξ. S3 Vbot Vtop wol1 (S3) H Vbot wol1 Vbot d 1 1 w o H H 2 2 (S7)

29 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (4) Λύνοντας Εξ. S6~S7 ως προς L 1 : (S8) 2 2 H V dw V top o top L1 1 1 wo H H H 2 2 H V bot dwo V bot L1 1 1 wo H H H (S9) Φυσική σημασία: Για ένα δεδομένο βάθος d, έχοντας γνωστά τα w o, Η, V top ή V bot μπορώ να βρω το απαιτούμενο κρεμάμενο μήκος L 1 για να ισορροπεί στατικά η ΚΑ

30 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (5) Από Εξ. S4 για x=x a s=l 1 (S10) H V 1 top V 1 top wol 1 xa sinh sinh wo H H Απόσταση κορυφής ΚΑ με 1 ο σημείο με επαφή με τον πυθμένα x x L tot a 2 (S11) Απόσταση κορυφής ΚΑ από το σημείο αγκύρωσης

31 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (6) Εάν L 2 0 φ bot =0 ή Εάν L tot =L 1 (L 2 =0) και οριακά φ bot =0 (S2) φ=φ bot (s=0) (S12) V w tanφ 0 L V w L H H top o bot 1 top o 1 (S3) (S13) Vbot Vtop wl o 1 wl o 1 wl o 1 Vbot 0

32 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (7) Εάν L 2 0 φ bot =0 ή Εάν L tot =L 1 (L 2 =0) και οριακά φ bot =0 (S1) φ=φ bot (s=0) και S12 H T H V w L bot 2 st top o 1 cosφ bot 2 H wol1 wol1 bot Tst H (S14)

33 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (8) Εάν L 2 0 φ bot =0 ή Εάν L tot =L 1 (L 2 =0) και οριακά φ bot =0 (S6) και (S12) ή (S7) και (S13) H wl o 1 d 1 w o H 2 (S15) (S9) και (S13) 2 H dwo L1 1 1 w o H (S16)

34 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση του Ιδίου Βάρους (9) Εάν L 2 0 φ bot =0 ή Εάν L tot =L 1 (L 2 =0) και οριακά φ bot =0 (S10) και (S12) x a H w 1 o 1 o sinh wl H (S17) Απόσταση κορυφής ΚΑ με 1 ο σημείο με επαφή με τον πυθμένα

35 Υπολογισμός Ελάχιστου Απαιτούμενου Κρεμάμενου Μήκους Μη Ελαστικής Μεμονωμένης ΚΑ (1) Στις περισσότερες περιπτώσεις απαιτείται: φ bot =0 υπό την επίδραση όλων των εξωτερικών (στατικών) φορτίσεων d, w o γνωστά Από Εξ. S1 για s=l 1 και λαμβάνοντας Eξ. S12 2 top 2 2 top 2 2 st o 1 st o 1 T H wl T H wl Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση το L 1 από Εξ. S16: T H dw H T dw top top st o st o

36 Υπολογισμός Ελάχιστου Απαιτούμενου Κρεμάμενου Μήκους Μη Ελαστικής Μεμονωμένης ΚΑ (2) Από Εξ. S16 έχουμε: H dw o 2 H dwo L1 1 1 L w o H w o H 2 2 d L1 d 2 H wo top Όμως: HT dw st o top Tst L1 d 2 1 wd (S18) o Κρεμάμενο μήκος ΚΑ βάρους w o συναρτήσει έντασης στην κορυφή για βάθος d

37 Υπολογισμός Ελάχιστου Απαιτούμενου Κρεμάμενου Μήκους Μη Ελαστικής Μεμονωμένης ΚΑ (3) Για δεδομένα w o και d, το ελάχιστο κρεμάμενο μήκος L min 1 ώστε φ bot =0 μπορεί να βρεθεί θέτοντας στην παραπάνω εξίσωση τη max τιμή της T top st που μπορεί να εμφανιστεί top max st T min L1 d 2 1 wd o (S19) εδομένου ότι είμαστε σε φάση σχεδιασμού, συνήθως θέτουμε ότι η max Τ st top που μπορεί να παραλάβει η ΚΑ ισούται με την ένταση Θραύσης (T break ) Παράδειγμα: Έστω w o =828N/m, d=25m και T break =1510kN Από Εξ. S19: L 1 min =301m

38 Υπολογισμός Μεγεθών Περιγραφής Γεωμετρίας Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό Συνθήκες Προέντασης (1) L 2 0 φ bot =0 ή L tot =L 1 (L 2 =0) και οριακά φ bot =0 L 1 θεωρείται δεδομένο Επίσης, d, w o γνωστά Από Εξ. S15 λύνοντας ως προς H H pret L d w o 2d (S20) Οριζόντια δύναμη προέντασης Πρέπει: L 1 >d Από Εξ. S2 για s=l 1 και λαμβάνοντας Εξ. S12 pret wo φtop atan L pret 1 H (S21) Γωνία στην κορυφή της ΚΑ υπό συνθήκες προέντασης

39 Υπολογισμός Μεγεθών Περιγραφής Γεωμετρίας Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό Συνθήκες Προέντασης (2) L 2 0 φ bot =0 ή L tot =L 1 (L 2 =0) και οριακά φ bot =0 Από Εξ. S1 για s=l 1 και λαμβάνοντας Εξ. S12 H T H (w L ) cosφ pret top,pret pret2 2 st pret o 1 Προένταση στην κορυφή της ΚΑ (S22) H T pret bot pret st pret bot H H pret pret φ 0 (S23) Μεγέθη στο 1 ο σημείο επαφής με πυθμένα υπό συνθήκες προέντασης X a pret, x tot pret από Εξ. S17 και S11

40 Υπολογισμός Μεγεθών Περιγραφής Γεωμετρίας Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό Συνθήκες Προέντασης (3) L 2 =0 φ bot 0 L tot =L 1 L 1 και φ bot θεωρούνται δεδομένα Επίσης, d, w o γνωστά Από Εξ. S2 για s=0 και λαμβάνοντας Εξ. S3 tanφ V w L V H H pret pret pret top o 1 bot bot pret pret V H tanφ pret pret pret bot bot (S24)

41 Υπολογισμός Μεγεθών Περιγραφής Γεωμετρίας Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό Συνθήκες Προέντασης (4) L 2 =0 φ bot 0 L tot =L 1 L 1 και φ bot θεωρούνται δεδομένα Από Eξ. S9 λαμβάνοντας Εξ. S24 H pret 2 2 L1 d wo 2d 1 tanφ 2L tanφ 2 pret pret bot 1 bot Οριζόντια δύναμη προέντασης Πρέπει: L 1 >d και: L d 1 pret tanφ 2 bot 1 pret tanφbot (S25)

42 Υπολογισμός Μεγεθών Περιγραφής Γεωμετρίας Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό Συνθήκες Προέντασης (5) L 2 =0 φ bot 0 L tot =L 1 L 1 και φ bot θεωρούνται δεδομένα Από Eξ. S3 λαμβάνοντας Εξ. S24 V H tanφ wl pret pret pret top bot o 1 (S26) Κατακόρυφη δύναμη στην κορυφή της ΚΑ υπό συνθήκες προέντασης Από Eξ. S2 για s=l 1 λαμβάνοντας Εξ. S26 φ tanφ H w L H pret pret pret bot o 1 top atan pret Γωνία στην κορυφή της ΚΑ υπό συνθήκες προέντασης (S27)

43 Υπολογισμός Μεγεθών Περιγραφής Γεωμετρίας Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό Συνθήκες Προέντασης (6) L 2 =0 φ bot 0 L tot =L 1 L 1 και φ bot θεωρούνται δεδομένα Από Eξ. S1 για s=l 1 με γνωστό φ pret top (Eξ. S27) pret top,pret H Tst (S28) pret cosφ top Προένταση στην κορυφή της ΚΑ Από Eξ. S1 για s=0 με γνωστό φ bot pret (δεδομένο) T bot,pret st H cosφ pret pret bot (S29) Προένταση στο σημείο αγκύρωσης

44 Υπολογισμός Μεγεθών Περιγραφής Γεωμετρίας Μεμονωμένης Μη Ελαστικής ΚΑ υπό Συνθήκες Προέντασης (7) L 2 =0 φ bot 0 L tot =L 1 L 1 και φ bot θεωρούνται δεδομένα Από Eξ. S10 για V top =V top pret και V top pret από Εξ. S26 x pret a pret pret 1 H tanφbot wl o 1 sinh H H w pret pret o 1 H tanφ bot sinh H Απόσταση κορυφής ΚΑ με σημείο αγκύρωσης (S30) Από Eξ. S11 για L 2 =0 x pret tot x pret a (S31)

45 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση Ιδίου Βάρους (1) Ελαστική KA: e o 0 Tst wo sinφ 0 s φ Tst wo cosφ 0 s x 1 eo cosφ s z 1 eo sinφ s Υπολογισμός γεωμετρίας και στατικών εντάσεων ΚΑ υπό την επίδραση του ιδίου βάρους (Η=ct, κατά μήκος της ΚΑ) T dp EA ds st eo 1 0

46 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση Ιδίου Βάρους (2) T st H cosφ V w tanφ (L1 s) H H top o (SΕ1 S1) (SΕ2 S2) H Vtop w 1 o(l1 s) V 1 top wol 1 Hs x sinh sinh wo H H EA o (SE3S4) H Vtop w o(l1 s) Vtop wol1 z 1 1 wo H H 1 wo Vtops L1 s EA 2 o (SE4S5) Α ο : ιατομή ΚΑ προ της διάτασης

47 Εξισώσεις Στατικής Ανάλυσης Μεμονωμένης Ελαστικής ΚΑ υπό την Επίδραση Ιδίου Βάρους (3) 1 V V 2EA w H H top Ls L1 Vtop H Vtop H ln 1 o o top 2 H V dw V top o top L1 1 1 wo H H H ιατεταμένο μήκος ΚΑ 2 2 (S8) (SE5S8) Εξισώσεις υπολογισμού Τ st και φ ίδιεςγια ελαστικές και μη ελαστικές ΚΑ Εξισώσεις υπολογισμού x, z (γεωμετρία καλωδίωσης) διαφορετικές μεταξύ ελαστικών και μη ελαστικών ΚΑ Για ίδια οριζόντια δύναμη στην κορυφή, ίδιο βάρος και ίδιο βάθος νερού: μη ελαστική ισορροπεί με διαφορετική γεωμετρία σε σχέση με ελαστική Ένταση και γωνία στην κορυφή και σε κάθε σημείο μη ελαστικής ΚΑ διαφορετικές τιμές σε σχέση με τις αντίστοιχες για ελαστική

48 Εφαρμογή 1 (1) Σε περιοχή βάθους d=200m προσδένεται ΠΣ μέσω μίας μη ελαστικής ΚΑ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το βυθισμένο βάρος ανά μονάδα μήκους της ΚΑ είναι ίσο με w o =1000N/m και το συνολικό της μήκος L tot =600m. Η οριζόντια δύναμη Η στην κορυφή της ΚΑ ισούται με 300KN. α) Να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση Χ Α. β) Να υπολογιστεί η ένταση στην κορυφή της ΚΑ γ) Να βρεθεί η μέγιστη οριζόντια δύναμη στην κορυφή ώστε οριακά η γωνία στο σημείο αγκύρωσης να είναι ίση με το μηδέν δ) Να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της οριζόντιας δύναμης Η σε συνάρτηση με την απόσταση Χ Α (H min =0.05ΚΝ, H max όπως προκύπτει από ερώτημα γ)

49 Εφαρμογή 1 (2) Λύση Αφού L 2 0 φ bot =0 Ισχύουν οι Εξ. S12~S17 για τα μεγέθη που περιγράφονται από τις εξισώσεις αυτές Ερώτημα (α) Χ Α : Εξ. S11 με x a από Εξ. S17 X X x L A tot a 2 H wl X sinh L L 1 o 1 A tot 1 w o H Εύρεση L 1 (Eξ. S16): Άρα: 2 H dwo L m w o H 3 200x * 400 XA sinh x10 X A = 530m

50 Εφαρμογή 1 (3) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (β) Τ top st : Εξ. S1 (s=l 1 ) T H V top 2 2 st top Εξ. S12 V w L top o 1 2 top st o 1 T H w L 200 * * 400 top T st = 500KN

51 Εφαρμογή 1 (4) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (γ) Η ζητούμενη H max προκύπτει θέτοντας ως συνολικά κρεμάμενο μήκος L 1 ίσο με το L tot (ίσο με το αρχικά κρεμάμενο μήκος, L 1, και το μήκος σε επαφή με τον πυθμένα, L 2 ) και θεωρώντας ότι στη νέα αυτή θέση ισορροπίας φ bot =0 Eξ. S16 για L 1 =L 1 =L tot =L 1 +L 2 max 2 H dw o 2 2 d max L' 1 Ltot L1L2 1 1 max L' 1 d 2 H w o H wo H max wo L 1' d max H H max 2d 2 * 200 = 800kN

52 Εφαρμογή 1 (5) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (δ) Η απόσταση Χ Α για το συγκεκριμένο πρόβλημα (φ bot =0 έως Η max =800kN) δίνεται γενικά από την εξίσωση: X X x L A tot a 2 H 1 wl o 1 XA sinh Ltot L1 w o H 2 H 1 wl o 1 H dw o XA sinh Ltot 1 1 w o H w o H Η παραπάνω σχέση μας δίνει το Η σε συνάρτηση με την απόσταση Χ Α για δεδομένα d, w o και L tot. ίνοντας, λοιπόν, διάφορες τιμές στο Η προκύπτουν οι τιμές Χ Α.

53 Εφαρμογή 1 (6) Ερώτημα (δ) Λύση (συνέχεια ) ΠΙΝΑΚΑΣ 1 H(KN) L tot (m) L 1 H/wo b=sinh -1 {wo*l 1 /H) x a =H/wo*b X A (m) Πίνακας 1: Τιμές Χ Α συναρτήσει του Η

54 Εφαρμογή 1 (7) Ερώτημα (δ) Λύση (συνέχεια ) H=f(X A) σε συνάρτηση με την απόσταση X A από το A Οριζόντια δύναμη H (KN) Οριζόντια απόσταση X A (m) ιάγραμμα 1: Η σε συνάρτηση με Χ Α

55 Σχέση Οριζόντιας ύναμης ΚΑ και Οριζόντιας Απόστασης x tot υσκαμψία ΚΑ (1) Μη γραμμική μεταβολή οριζόντιας δύναμης H με οριζόντια απόσταση x tot λόγω ύπαρξης κρεμάσματος Γεωμετρική μη γραμμικότητα Εφαπτόμενη σε κάθε σημείο της καμπύλης H-x tot εκφράζει τη δυσκαμψία που προσφέρει η ΚΑ στο ΠΣ στην οριζόντια διεύθυνση H=f(XA) σε συνάρτηση με την απόσταση XA από το A Οριζόντια δύναμη H (KN) Οριζόντια απόσταση X A (m) Οριζόντια απόσταση x tot

56 Σχέση Οριζόντιας ύναμης ΚΑ και Οριζόντιας Απόστασης x tot υσκαμψία ΚΑ (2) Μη γραμμική δυσκαμψία από ΚΑ στο ΠΣ συνάρτηση της στατικής θέσης ισορροπίας του ΠΣ (έκφραση με x tot ) και άρα και των εξωτερικών φορτίσεων για συγκεκριμένη ΚΑ και συγκεκριμένο βάθος νερού Για συγκεκριμένη ΚΑ και H=f(XA) σε συνάρτηση με την απόσταση XA από το A συγκεκριμένο βάθος νερού: ιαφορετικές 800 εξωτερικές στατικές 700 Κ φορτίσεις μεταβολή 500 γεωμετρίας ΚΑ (μη 400 γραμμική μεταβολή) με 300 διαφορετικό τρόπο Κ διαφορετική θέση 100 ισορροπίας ΠΣ (διαφορετικό x tot ) Οριζόντια απόσταση X A (m) Οριζόντια απόσταση x tot διαφορετικά H διαφορετική δυσκαμψία ΚΑ Οριζόντια δύναμη H (KN)

57 1 Στατική & υναμική Ανάλυση Συστήματος Αγκύρωσης Σχέση Οριζόντιας ύναμης ΚΑ και Οριζόντιας Απόστασης x tot top υσκαμψία ΚΑ (3) T (α) Συνθήκες προέντασης st ΠΣ ΠΣ: Εκτελεί ταλαντώσεις H μικρού πλάτους λόγω υδροδυναμικών φορτίσεων 1 ης τάξης d γύρω από τη στατική θέση ισορροπίας (μέση Πυθμένας μέση ισορροπίας) L 2 L 1 (γ) Συνθήκες υδροδυναμικής φόρτισης (μέση θέση ισορροπίας) Χ tot1 (β) Συνθήκες στατικής φόρτισης

58 Σχέση Οριζόντιας ύναμης ΚΑ και Οριζόντιας Απόστασης x tot υσκαμψία ΚΑ (4) Επομένως, η ΚΑ ασκεί μία δύναμη επαναφοράς στο ΠΣ στη μέση θέση ισορροπίας ίση με Κ 11 *ξ 1, όπου ξ 1 η απόκριση του ΠΣ κατά x (surge) και Κ 11 : K 11 dh dx tot F st(wave) =f(ξ) και ξ=f(k mooring ) Επαναληπτική διαδικασία για εύρεση δυσκαμψίας ΚΑ για δεδομένη εξωτερική φόρτιση Αναλυτικές εκφράσεις δυσκαμψίας ΚΑ για κινήσεις στο οριζόντιο επίπεδο: Faltinsen, OM (1990). Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 328 pp. Εξισώσεις δυσκαμψίας ΚΑ για κινήσεις στο οριζόντιο επίπεδο (μητρώο 3 x 3): Triantafyllou M.S., Bliek A. and Shin H. (1986). Static and Fatigue Analysis of Mutli-leg Mooring Systems, Technical Report, MIT Press. Εξισώσεις δυσκαμψίας ΚΑ για κινήσεις ΠΣ σε 6 βαθμούς ελευθερίας (μητρώο 6 x 6): Loukogeorgaki, E, and Angelides, DC (2005). Stiffness of Mooring Lines and Performance of Floating Breakwaters in Three Dimensions, Applied Ocean Research, Vol 27, Νο 4-5, pp Λουκογεωργάκη Ε. (2007). Ολοκληρωμένο Σύστημα Αναγνώρισης και Βέλτιστης Ρύθμισης της Συμπεριφοράς και της Αποτελεσματικότητας Πλωτών Κυματοθραυστών», ιδακτορική ιατριβή, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠ.Θ. 2

59 Υδροδυναμική Ανάλυση ΠΣ Χαρακτηριστικά ΠΣ - Κυματικό Πεδίο (INPUTS) Υπολογισμός D και r - Υπολογισμός F i, A ij και B ij Επίλυση Εξ. κίνησης - Υπολογισμός (K F F 10 4 ij και Β ije θεωρούνται st st ίσοι με 0 στον 1 ο κύκλο επανάληψης) Υπολογισμός Ν coupling =1 OXI N F (N coupling coupling-1) st st N coupling (N coupling -1) j j F 10 4 Ncoupling F st RAO RAO 10 4 NAI OXI 2 N ξ coupling j F st 1 ξ j 1 Ncoupling F st Ncoupling ξ j Από Ενότητα Στατική και υναμική Ανάλυση Καλωδιώσεων Αγκύρωσης Χαρακτηριστικά Καλωδιώσεων Αγκύρωσης - Προένταση (INPUTS) Υπολογισμός μέσης στατικής θέσης ισορροπίας, στατικών εντάσεων, συντελεστών δυσκαμψίας KN ij coupling και συντελεστών συρτικής απόσβεσης B E(D) N ij coupling Υπολογισμός τελικής μέσης στατικής θέσης ισορροποίας, στατικών και δυναμικών εντάσεων NAI N coupling N final coupling final Ncoupling F st final Ncoupling ξ j Υπολογισμός μεγεθών περιγραφής συμεριφοράς ΠΣ Υπολογισμός μέγιστων εντάσεων καλωδιώσεων αγκύρωσης

60 Στατική Ανάλυση Συστήματος Μη Ελαστικών ΚΑ (1) Εξισώσεις στατικής ανάλυσης μεμονωμένης μη ελαστικής ΚΑ μπορούν να εφαρμοστούν και για ένα σύστημα ΚΑ που αποτελείται από n ΚΑ (εφαρμογή για κάθε ΚΑ χωριστά στο τοπικό οxz σύστημα) Εύρεση μέσης στατικής θέσης ισορροπίας στο οριζόντιο επίπεδο: Λαμβάνεται υπόψη η συνισταμένη των οριζόντιων δυνάμεων F XM, F YM (άξονες Χ και Y) και η συνισταμένη ροπή M ZM (γύρω από άξονα Z) λόγω των δυνάμεων που ασκούν όλες οι ΚΑ στο ΠΣ F F n XM i i i1 n YM i i i1 n H cosθ H sinθ M H X sinθ Ycosθ ZM i i i i i i1

61 Στατική Ανάλυση Συστήματος Μη Ελαστικών ΚΑ (2) υσκαμψία συστήματος ΚΑ στο ΠΣ: Άθροισμα επιμέρους δυσκαμψιών ΚΑ K K K n i 11 K11 i1 n i 22 K22 i1 n i 66 K66 i1 F st(wave) =f(ξ) και ξ=f(k mooring ) Επαναληπτική διαδικασία για εύρεση δυσκαμψίας συστήματος ΚΑ για δεδομένη εξωτερική φόρτιση n i K K i1 Γενική περίπτωση: Κ (6 x 6) μητρώο δυσκαμψίας από σύστημα ΚΑ στο ΠΣ Κ n (6 x 6) μητρώο δυσκαμψίας i, i=1,,n KA

62 Στατική Ανάλυση Συστήματος Μη Ελαστικών ΚΑ (3) Αναλυτικές εκφράσεις δυσκαμψίας συστήματος ΚΑ για κινήσεις στο οριζόντιο επίπεδο: Faltinsen, OM (1990). Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 328 pp. Εξισώσεις δυσκαμψίας συστήματος ΚΑ για κινήσεις στο οριζόντιο επίπεδο (μητρώο 3 x 3): Triantafyllou M.S., Bliek A. and Shin H. (1986). Static and Fatigue Analysis of Mutli-leg Mooring Systems, Technical Report, MIT Press. Εξισώσεις δυσκαμψίας συστήματος ΚΑ για κινήσεις ΠΣ σε 6 βαθμούς ελευθερίας (μητρώο 6 x 6): Loukogeorgaki, E, and Angelides, DC (2005). Stiffness of Mooring Lines and Performance of Floating Breakwaters in Three Dimensions, Applied Ocean Research, Vol 27, Νο 4-5, pp Λουκογεωργάκη Ε. (2007). Ολοκληρωμένο Σύστημα Αναγνώρισης και Βέλτιστης Ρύθμισης της Συμπεριφοράς και της Αποτελεσματικότητας Πλωτών Κυματοθραυστών», ιδακτορική ιατριβή, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠ.Θ.

63 Εφαρμογή 2 (1) Οι κινήσεις μίας ΠΚ μήκους L X =100m περιορίζονται από την εφαρμογή δύο ομοίων μη ελαστικών KA, οι οποίες αγκυρώνονται στο έδαφος (άγκυρες Α και Β) σε βάθος d=200m. Στην αρχική κατάσταση ισορροπίας το συνολικό μήκος L A =L B κάθε KA είναι 600m και η οριζόντια δύναμη Η στην κορυφή κάθε μιας από αυτές ισούται με 300KN. Στην ίδια κατάσταση το κρεμάμενο μήκος των ΚΑ (L 1A =L 1B ) είναι ίδιο. Το βάρος των KA στο νερό ανά μονάδα μήκους είναι w o =1000N/m. Η αρχική κατάσταση ισορροπίας περιγράφεται στο Σχήμα. Θεωρώντας ότι οι εξωτερικές δυνάμεις που μπορούν να ασκηθούν στην ΠΚ από τους κυματισμούς είναι στατικές:

64 Εφαρμογή 2 (2) α) Να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση Χ μεταξύ των αγκυρών Α και Β. β) Να υπολογιστούν οι εντάσεις στις κορυφές των ΚΑ για την αρχική κατάσταση ισορροπίας. γ) Να υπολογιστεί η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση xx max της κορυφής της καλωδίωσης 1, ώστε να μην αρχίσει να μετακινείται η άγκυρα Α. δ) Για κάθε ΚΑ να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της οριζόντιας δύναμης Η σε συνάρτηση με τις αποστάσεις Χ Α και Χ Β αντίστοιχα. (H min =0.05ΚΝ, H max όπως προκύπτει από ερώτημα γ) ε) Να υπολογιστεί η συνολική μέγιστη εξωτερική (στατική) οριζόντια δύναμη F Χmax που επιτρέπεται να ασκηθεί στην ΠΚ ώστε να εξασφαλισθεί η κατάσταση του ερωτήματος (γ). στ) Να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της συνολικής εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F Χ σε συνάρτηση με την μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ.

65 Εφαρμογή 2 (3) α) Να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση Χ μεταξύ των αγκυρών Α και Β. β) Να υπολογιστούν οι εντάσεις στις κορυφές των ΚΑ για την αρχική κατάσταση ισορροπίας. γ) Να υπολογιστεί η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση xx max της κορυφής της καλωδίωσης 1, ώστε να μην αρχίσει να μετακινείται η άγκυρα Α. δ) Για κάθε ΚΑ να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της οριζόντιας δύναμης Η σε συνάρτηση με τις αποστάσεις Χ Α και Χ Β αντίστοιχα. (H min =0.05ΚΝ, H max όπως προκύπτει από ερώτημα γ). ε) Να υπολογιστεί η συνολική μέγιστη εξωτερική (στατική) οριζόντια δύναμη F Χmax που επιτρέπεται να ασκηθεί στην ΠΚ ώστε να εξασφαλισθεί η κατάσταση του ερωτήματος (γ). στ) Να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της συνολικής εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F Χ σε συνάρτηση με την μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ.

66 Εφαρμογή 2 (4) Λύση Αφού το μήκος σε επαφή με τον πυθμένα κάθε ΚΑ είναι διαφορετικό από 0 φ bot =0 και στις 2 ΚΑ Ισχύουν οι Εξ. S12~S17 για τα μεγέθη που περιγράφονται από τις εξισώσεις αυτές Ερώτημα (α) Η ζητούμενη απόσταση Χ δίνεται από την εξίσωση: X XA XB LX A A B B X (xa L 2 ) (xa L 2 ) LX X2*(x L ) L A A a 2 X Από Εφαρμογή 1, L 1A =400m, x aa =330m, L 2A =200m Άρα: X 2 * ( ) 100 X = 1160m

67 Εφαρμογή 2 (5) α) Να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση Χ μεταξύ των αγκυρών Α και Β. β) Να υπολογιστούν οι εντάσεις στις κορυφές των ΚΑ για την αρχική κατάσταση ισορροπίας. γ) Να υπολογιστεί η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση xx max της κορυφής της καλωδίωσης 1, ώστε να μην αρχίσει να μετακινείται η άγκυρα Α. δ) Για κάθε ΚΑ να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της οριζόντιας δύναμης Η σε συνάρτηση με τις αποστάσεις Χ Α και Χ Β αντίστοιχα. (H min =0.05ΚΝ, H max όπως προκύπτει από ερώτημα γ). ε) Να υπολογιστεί η συνολική μέγιστη εξωτερική (στατική) οριζόντια δύναμη F Χmax που επιτρέπεται να ασκηθεί στην ΠΚ ώστε να εξασφαλισθεί η κατάσταση του ερωτήματος (γ). στ) Να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της συνολικής εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F Χ σε συνάρτηση με την μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ.

68 Εφαρμογή 2 (6) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (β) Από Εφαρμογή 1: top T st = 500KN

69 Εφαρμογή 2 (7) α) Να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση Χ μεταξύ των αγκυρών Α και Β. β) Να υπολογιστούν οι εντάσεις στις κορυφές των ΚΑ για την αρχική κατάσταση ισορροπίας. γ) Να υπολογιστεί η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση xx max της κορυφής της καλωδίωσης 1, ώστε να μην αρχίσει να μετακινείται η άγκυρα Α. δ) Για κάθε ΚΑ να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της οριζόντιας δύναμης Η σε συνάρτηση με τις αποστάσεις Χ Α και Χ Β αντίστοιχα. (H min =0.05ΚΝ, H max όπως προκύπτει από ερώτημα γ). ε) Να υπολογιστεί η συνολική μέγιστη εξωτερική (στατική) οριζόντια δύναμη F Χmax που επιτρέπεται να ασκηθεί στην ΠΚ ώστε να εξασφαλισθεί η κατάσταση του ερωτήματος (γ). στ) Να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της συνολικής εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F Χ σε συνάρτηση με την μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ.

70 Εφαρμογή 2 (8) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (γ) Για να μην αρχίσει να μετακινείται η άγκυρα A πρέπει το κρεμάμενο μήκος L 1Α =L A =600m (=L 1Α ) Η μέγιστη μετακίνηση xx max της κορυφής της καλωδίωσης 1 θα ισούται με: xx max =(Χ Α ) 2 -(Χ Α ) 1, όπου (Χ Α ) 1, (Χ Α ) 2 οι αποστάσεις Χ Α της ΚΑ στην αρχική και στη νέα θέση ισορροπίας αντίστοιχα (Χ Α ) 1 από το (α) ερώτημα. Αρκεί ο υπολογισμός (Χ Α ) 2. Ο υπολογισμός του μεγέθους αυτού απαιτεί τον προσδιορισμό του αντίστοιχου Η=Η max στη νέα θέση ισορροπίας.

71 Εφαρμογή 2 (9) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (γ) Από Εφαρμογή 1: max H = 800kN Επομένως, από Εξ. S11 για μήκος στον πυθμένα ίσο με 0 και μέσω εφαρμογής S17 για H=H max : H X x 0 sinh A a w L A max 1 o A 2 2 wo Hmax * * * 600 A X sinh X =555m A 2 Επομένως: xx X X xx max max A 2 A 1 = 25m

72 Εφαρμογή 2 (10) α) Να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση Χ μεταξύ των αγκυρών Α και Β. β) Να υπολογιστούν οι εντάσεις στις κορυφές των ΚΑ για την αρχική κατάσταση ισορροπίας. γ) Να υπολογιστεί η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση xx max της κορυφής της καλωδίωσης 1, ώστε να μην αρχίσει να μετακινείται η άγκυρα Α. δ) Για κάθε ΚΑ να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της οριζόντιας δύναμης Η σε συνάρτηση με τις αποστάσεις Χ Α και Χ Β αντίστοιχα. (H min =0.05ΚΝ, H max όπως προκύπτει από ερώτημα γ). ε) Να υπολογιστεί η συνολική μέγιστη εξωτερική (στατική) οριζόντια δύναμη F Χmax που επιτρέπεται να ασκηθεί στην ΠΚ ώστε να εξασφαλισθεί η κατάσταση του ερωτήματος (γ). στ) Να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της συνολικής εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F Χ σε συνάρτηση με την μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ.

73 Εφαρμογή 2 (11) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (δ) Η απόσταση Χ Α για το συγκεκριμένο πρόβλημα (φ bot =0 έως Η max =800kN) δίνεται γενικά από την εξίσωση: X X x L A A A tot a 2 A H 1wL o 1 A XA sinh LA L1 wo H A 2 H 1 wl o 1 H dw o XA sinh Ltot 1 1 wo H w o H Η παραπάνω σχέση μας δίνει το Η σε συνάρτηση με την απόσταση Χ Α για δεδομένα d, w o και L tot. ίνοντας, λοιπόν, διάφορες τιμές στο Η προκύπτουν οι τιμές Χ Α. Ανάλογη εξίσωση για την ΚΑ 2

74 Εφαρμογή 2 (12) Ερώτημα (δ) Λύση (συνέχεια ) ΠΙΝΑΚΑΣ 1 H(KN) L A (m) A L 1 H/wo b=sinh -1 {wo*l A 1 /H) x A a =H/wo*b X A (m) Πίνακας 1: Τιμές Χ Α συναρτήσει του Η Ίδιος πίνακας για την ΚΑ 2

75 Εφαρμογή 2 (13) Ερώτημα (δ) Λύση (συνέχεια ) H=f(X A ) ή H=f(X Β ) σε συνάρτηση με την απόσταση X A από το A ή X Β από το Β Οριζόντια δύναμη H (KN) Οριζόντια απόσταση X A ή Χ Β (m) ιάγραμμα 1: Η σε συνάρτηση με Χ Α ή Χ Β

76 Εφαρμογή 2 (14) α) Να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση Χ μεταξύ των αγκυρών Α και Β. β) Να υπολογιστούν οι εντάσεις στις κορυφές των ΚΑ για την αρχική κατάσταση ισορροπίας. γ) Να υπολογιστεί η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση xx max της κορυφής της καλωδίωσης 1, ώστε να μην αρχίσει να μετακινείται η άγκυρα Α. δ) Για κάθε ΚΑ να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της οριζόντιας δύναμης Η σε συνάρτηση με τις αποστάσεις Χ Α και Χ Β αντίστοιχα. (H min =0.05ΚΝ, H max όπως προκύπτει από ερώτημα γ). ε) Να υπολογιστεί η συνολική μέγιστη εξωτερική (στατική) οριζόντια δύναμη F Χmax που επιτρέπεται να ασκηθεί στην ΠΚ ώστε να εξασφαλισθεί η κατάσταση του ερωτήματος (γ). στ) Να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της συνολικής εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F Χ σε συνάρτηση με την μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ.

77 Εφαρμογή 2 (15) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (ε) Η συνολική μέγιστη εξωτερική οριζόντια στατική δύναμη θα ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των οριζόντιων δυνάμεων που ασκούνται από τις δύο ΚΑ στην ΠΚ στη νέα θέση ισορροπίας ΠΚ απαραμόρφωτη Οι οριζόντιες μετατοπίσεις κορυφών ΚΑ ισούνται με την οριζόντια μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ Νέα θέση ισορροπίας: οι κορυφές των ΚΑ 1 και 2, όπως και το κέντρο βάρους της ΠΣ, θα έχουν μετακινηθεί κατά 25m προς τα δεξιά Η ΚΑ 1 ασκεί δύναμη Η max ενώ η ΚΑ 2 δύναμη H 2 (η ΚΑ 2 θα έχει «χαλαρώσει»). Επομένως η ζητούμενη δύναμη θα δίνεται από τη σχέση: F Xmax = Η max -H 2 Αρκεί ο υπολογισμός της δύναμης H2

78 Εφαρμογή 2 (16) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (ε) Ο υπολογισμός του Η 2 στηρίζεται στην δημιουργία διαγράμματος της οριζόντιας δύναμης Η και των δύο ΚΑ σε συνάρτηση με τη μετατόπιση xx Ως μετατόπιση θεωρούμε τη μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ σε σχέση με τη θέση που είχε η κορυφή της κάθε ΚΑ στην αρχική κατάσταση ισορροπίας Αρχική κατάσταση ισορροπίας: Για απόσταση (Χ Α ) 1 =530m και για αντίστοιχη οριζόντια δύναμη Η=300KN της ΚΑ 1 η μετατόπιση xx του κέντρου βάρους είναι 0. Νέα θέση ισορροπίας: Για απόσταση (Χ Α ) 2 =555m και για αντίστοιχη οριζόντια δύναμη Η max =800KN της ΚΑ 1 η μετατόπιση xx του κέντρου βάρους είναι 25m Συμμετρία: οι μετατοπίσεις xx της ΚΑ 2 θα είναι ίσες και αντίθετες από εκείνες τις ΚΑ 1 (όταν η ΚΑ 1 τεντώνει η ΚΑ 2 χαλαρώνει)

79 Εφαρμογή 2 (17) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (ε) Πίνακας 2: Η σε συνάρτηση μετατόπισης κέντρου βάρους xx (με βάση Πίνακα 1) ΚΑ 1: Για κάθε i τιμή H, η μετατόπιση Κ.Β. xx προκύπτει αν από την αντίστοιχη απόσταση (X A ) i αφαιρέσουμε την απόσταση (X A ) 7 (=530m για H=300kΝ, συνθήκες προέντασης) ΚΑ 2: - μετατόπιση που αντιστοιχεί στην ΚΑ 1 H(KN) Καλωδίωση 1 Καλωδίωση 2 Μετατόπιση Κέντρου Μετατόπιση Κέντρου Βάρους xx Βάρους xx

80 Εφαρμογή 2 (18) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (ε) H=f(xx) σε συνάρτηση με τη μετακίνηση xx του Κέντρου Βάρους Οριζόντια ύναμη H (KN) Οριζόνται Μετακίνηση Κέντρου Βάρους xx(m) ιάγραμμα 1: Η σε συνάρτηση με xx Καλωδίωση 1 Καλωδίωση 2

81 Εφαρμογή 2 (19) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (ε) H=f(xx) σε συνάρτηση με τη μετακίνηση xx του Κέντρου Βάρους Οριζόντια ύναμη H (KN) Οριζόνται Μετακίνηση Κέντρου Βάρους xx(m) ιάγραμμα 1: Η σε συνάρτηση με xx Καλωδίωση 1 Καλωδίωση 2

82 Εφαρμογή 2 (20) Λύση (συνέχεια ) Από ιάγραμμα 2: Ερώτημα (ε) Η ζητούμενη τιμή Η 2 (Η ΚΑ 2) που αντιστοιχεί σε οριζόντια δύναμη H max =800kN της KA 1 και σε μετατόπιση xx max =25m ισούται με: H 2 =140kN Επομένως: F Xmax = F Xmax =660kN

83 Εφαρμογή 2 (21) α) Να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση Χ μεταξύ των αγκυρών Α και Β. β) Να υπολογιστούν οι εντάσεις στις κορυφές των ΚΑ για την αρχική κατάσταση ισορροπίας. γ) Να υπολογιστεί η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση xx max της κορυφής της καλωδίωσης 1, ώστε να μην αρχίσει να μετακινείται η άγκυρα Α. δ) Για κάθε ΚΑ να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της οριζόντιας δύναμης Η σε συνάρτηση με τις αποστάσεις Χ Α και Χ Β αντίστοιχα. (H min =0.05ΚΝ, H max όπως προκύπτει από ερώτημα γ). ε) Να υπολογιστεί η συνολική μέγιστη εξωτερική (στατική) οριζόντια δύναμη F Χmax που επιτρέπεται να ασκηθεί στην ΠΚ ώστε να εξασφαλισθεί η κατάσταση του ερωτήματος (γ). στ) Να γίνει το διάγραμμα μεταβολής της συνολικής εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F Χ σε συνάρτηση με την μετατόπιση του κέντρου βάρους της ΠΚ.

84 Εφαρμογή 2 (22) Λύση (συνέχεια ) Ερώτημα (στ) Μετατόπιση (m) H ΚΑ 1 (kn) H ΚΑ 1 (kn) Οριζόντια Εξωτερική ύναμη F Χ Πίνακας 3: F X σε συνάρτηση με μετατόπιση Κ.Β. xx (με βάση Πίνακα 2 και ιάγραμμα 2) Οριζόντια Εξωτερική ύναμη F X σε συνάρτηση με τη μετακίνηση xx 3 ιάγραμμα 3: F X σε συνάρτηση με xx Οριζόντια Εξωτερική ύναμη FX (KN) xx (m)

85 Μεταβολή Σταθερών φορτίων 2 ης Τάξης κατά Υ ως Συνάρτηση Στατικής Μετατόπισης ΚΒ Πλωτού Σώματος κατά Υ C 1 C 2 C 3 C 4 φ bot 0 3 φ bot 0 Αποτελέσματα από Εφαρμογή για Αγκυρωμένο Πλωτό Κυματοθραύστη που περιγράφτηκε στην Ενότητα C 1 C 2 F sty (KN) 10 8 F sty ' C 3 C Y o (m) φ bot =0 (οριακά) φ bot = B/L

86 Εξισώσεις υναμικής Ανάλυσης ΚΑ: Γενικά (1) 1 η βασική παραδοχή επίλυσης γενικού μη-γραμμικού δισδιάστατου προβλήματος: Ύπαρξη μικρών δυναμικών κινήσεων (p,q) κατά την εφαπτομενική (οt 2 ) και την κάθετη (οn 2 ) σε αυτήν διεύθυνση αντίστοιχα γύρω από τη μέση στατική θέση ισορροπίας, η οποία ορίζεται στο μη σταθερό τοπικό σύστημα συντεταγμένων οt 2 n 2 διαχωρισμός γενικού μη-γραμμικού προβλήματος της δισδιάστατης δυναμικής συμπεριφοράς των ΚΑ στο ψευδο-στατικό και στο δυναμικό τμήμα και την εξαγωγή επιμέρους εξισώσεων υπολογισμού των στατικών και δυναμικών μεγεθών αυτών αντίστοιχα από τις γενικές μηγραμμικές δισδιάστατες δυναμικές εξισώσεις Συνολικό μέγεθος = Στατική συνιστώσα (δείκτης o ) + υναμική συνιστώσα (δείκης 1 ) F dt1 0 T T T e o 1 tot o 1 d d d ds ds ds F F F tot o 1 dt dto dt1 F F F dn dno dn1

87 Εξισώσεις υναμικής Ανάλυσης ΚΑ: Γενικά (2) p q vt cosφ1 sinφ1 t t p vt cos φ1 1 t φ1 0 sinφ1 0 p q vn sinφ1 cosφ1 t t q vn cos φ1 1 t φ1 0 sinφ1 0 Επιπλέον βασική παραδοχή για γραμμικοποίηση του δυναμικού προβλήματος: Γραμμικοποίηση της δύναμης σύρσης

88 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (1) 2 ος Νόμος Νεύτωνα κατά t 2 και n 2 Από (1) Από (2) p T dφ m Τ φ t s ds 2 1 o o 2 Ο 1 (D1) q φ φ dt m a T T φ F t s t ds 2 ~ o 1 o o o 1 2 o 1 dn1 (D2) F ~ dn1 : Γραμμικοποιημένη δύναμη σύρσης Εξισώσεις συμβιβαστού Από (3) Από (4) p φ T q φ p φ 1e s s q o 1 o s s EA 1 o eff (D3) (D4)

89 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (2) Γραμμικοποιημένες εξισώσεις: υναμική συμπεριφορά ΚΑ θεωρείται αποτέλεσμα δυναμικών κινήσεων στην κορυφή αυτής, οι οποίες θεωρούνται αποτέλεσμα των δυναμικών κινήσεων της πλωτής κατασκευής στους έξι βαθμούς ελευθερίας Παραδοχή αμελητέας άμεσης επίδρασης των δυναμικών κυματικών φορτίων στις ΚΑ παραδοχή πολύ μικρής επίδρασης των δυναμικών εντάσεων των ΚΑ στις κινήσεις του ΠΣ (ισχύει δεδομένου της μεγάλης μάζας της πλωτής κατασκευής)

90 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (3) Γραμμικοποίηση της δύναμης σύρσης: Αντικατάσταση της δύναμης αυτής με ένα ισοδύναμο γραμμικό όρο απόσβεσης ως ακολούθως: ~ F C Usinφ v dn1 e n dq vn Usinφ dt Υπολογισμός C e : F ~ dn1 C Usinφ e (D5) C e : Ισοδύναμος συντελεστής σύρσης Ce ρcddeffωqaaa Ce ρcddeffωqa a 2 1 a asin a a 1 π 3 Usinφo a ωqa q a : μιγαδικό πλάτος της προκαλούμενης, κατά τη διεύθυνση on 2, δυναμικής κίνησης q σε κάθε σημείο της ΚΑ και ω: η συχνότητα ταλάντωσης της KA (ίση με τη συχνότητα του προσπίπτοντος μονοχρωματικού κυματισμού)

91 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (4) Εξισώσεις για επίλυση στο πεδίο των συχνοτήτων (Μετασχηματισμός Fourier): T dφ m p Τ φ s ds 2 1a o o a Ο 1a (D6) φ φ dt m a q T T φ ic q s t ds 2 o 1a o o o a 1a o 1a e a (D7) p φ T q s s EA a o 1a a eff (D8) q a s φ p φ 1e s o a 1a o (D9) ο δείκτης a δηλώνει τα μιγαδικά πλάτη των αντίστοιχων δυναμικών μεγεθών

92 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (5) Σύστημα τεσσάρων παραγωγίσιμων ως προς το χώρο (κατά μήκος της καλωδίωσης αγκύρωσης) εξισώσεων με αγνώστους τα μιγαδικά πλάτη της δυναμικής έντασης (Τ 1a ), της γωνίας (φ 1a ) και των κινήσεων (p a, q a ) σε κάθε σημείο της ΚΑ Μητρωϊκή μορφή το σύστημα αυτών των εξισώσεων: dy (s) (s) ds A y (D10) (D11) A(s) dφo 2 0 ΤΟ mo 0 ds 2 1 dφ 1 dt mo ao ice 0 To ds To ds To 1 dφ o 0 0 EAeff ds dφo 0 1eo 0 ds o o T y (s) Τ φ p q 1a 1a a a (D12)

93 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (6) Συμπλήρωση με κατάλληλες οριακές συνθήκες στα δύο άκρα της ΚΑ Κορυφή ΚΑ: (p a top, q a top ) με βάση τα μιγαδικά πλάτη ξ j, j=1,,6 του ΠΣ Σημείο αγκύρωσης: (p a bot, q a bot )=(0,0) Επίλυση: κατάλληλο ρητό σχήμα πεπερασμένων διαφορών κατόπιν διακριτοποίησης του κρεμάμενου μήκους της ΚΑ σε διακριτά τμήματα μήκους s και λαμβάνοντας υπόψη τις οριακές συνθήκες στα άκρα της ΚΑ. Γραμμικοποίηση δύναμης σύρσης μέσω εισαγωγής του γραμμικοποιημένου όρου απόσβεσης: υιοθέτηση επαναληπτικής διαδικασίας με κατάλληλα επιλεγμένα κριτήρια σύγκλισης για τον υπολογισμό των δυναμικών μεγεθών σε κάθε τμήμα διακριτοποίησης

94 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (7) Ύπαρξη χαμηλής συχνότητας και μεγάλου πλάτους κινήσεων: Ανάπτυξη σημαντικής απόσβεσης λόγω της δύναμης σύρσης, η οποία συμβάλλει σε μεγάλο βαθμό στη συνολική απόσβεση του αγκυρωμένου ΠΚ και οδηγεί στην αποφυγή εμφάνισης φαινομένων συντονισμού της αγκυρωμένης ΠΚ Συμπερίληψη των χαμηλής συχνότητας και μεγάλου πλάτους κινήσεων σε περίπτωση εμφάνισης των αντίστοιχων διεγερτικών τους αιτίων, στην αριθμητική μοντελοποίηση της δυναμικής συμπεριφοράς των KA: Μέσω υπολογισμού της προκαλούμενης συρτικής απόσβεσης

95 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (8) Ύπαρξη στροβιλογενών κινήσεων (υψηλής συχνότητες, > 2 Hz, και μικρού πλάτους, το πολύ ίσο με το διπλάσιο της διαμέτρου των ΚΑ κινήσεις): Περίπλοκο φαινόμενο που οφείλεται στην δημιουργία στροβίλων και κατ επέκταση στη δημιουργία μίας περιοδικά μη συμμετρικής ροής (Van Karman vortex street) στην περιοχή κατάντη της ΚΑ δημιουργία κάθετων στην περιβάλλουσα ροή στροβιλογενών κινήσεων Vortex Shedding πίσω από ακίνητο κύλινδρο Ιδιοσυχνότητα δονούμενης ΚΑ κοντά στη συχνότητα Strouhal: οι δημιουργούμενοι στρόβιλοι συγχρονίζονται με την κίνηση της ΚΑ ( κατάσταση συγχρονισμού, lock in condition)

96 ισδιάστατες Γραμικοποιημένες Εξισώσεις υναμικού Προβλήματος ΚΑ (9) Κατάσταση συγχρονισμού: ημιουργούμενοι στρόβιλοι, μη σταθερές διεγερτικές δυνάμεις και πλάτος στροβιλογενών κινήσεων αυξάνονται σε μεγάλο βαθμό Αύξηση δύναμης σύρσης εμφάνιση μίας «αυτορυθμιστικής-αυτοπεριοριστικής» διαδικασίας (οι δημιουργούμενοι στρόβιλοι μεταβάλλονται και περιορίζονται, ενώ η αύξηση του πλάτους της κίνησης της ΚΑ περιορίζεται σε μέγιστη τιμή ίση με μία ή δύο φορές τη διάμετρο της ΚΑ) Συμπερίληψη των στοβιλογενών κινήσεων στην αριθμητική μοντελοποίηση της δυναμικής συμπεριφοράς των ΚΑ: μέσω αύξησης της συρτικής απόσβεσης των ΚΑ (αύξηση C d και κατ επέκταση του συντελεστή C dn, από μια ελάχιστη τιμή 1.2 (για αριθμούς Reynolds κάτω από 3*10 5 ) έως την τιμή 3 ή και μεγαλύτερη) Απαραίτητη προϋπόθεση δημιουργίας στροβιλογενών κινήσεων: ύπαρξη συμπαγούς διατομής των ΚΑ

97 Συρτική Απόσβεση ΚΑ (1) Ανάπτυξη δύναμης σύρσης στις ΚΑ: παρεμπόδιση κινήσεων ΚΑ πολύ σημαντικός μηχανισμός απόσβεσης της δυναμικής ταλάντωσης των ΚΑ Ο παραπάνω μηχανισμός απόσβεσης: συρτική απόσβεση των ΚΑ (mooring lines drag damping) Για την περίπτωση μονοχρωματικού κυματισμού συχνότητας ω οι συντελεστές συρτικής απόσβεσης που προσδίδει μία n KA σε ένα ΠΣ, Β ij E(D), δίνονται από την ακόλουθη εξίσωση: Β E(D)n ij S cos β α π/2 n n i i j α j, j=1,,6 οι φάσεις των ημιτονοειδών δυναμικών κινήσεων ξ j, j=1,...,6 του ΠΣ S in : υνάμεις αντίδρασεις (terminal impedances) (μιγαδικά μεγέθη, εξαρτώνται από πλάτη δυναμικών εντάσεων και δυναμικών γωνιών στην κορυφή της ΚΑ) β in : Φάση S i n ξ j i=j=1,,6

98 Συρτική Απόσβεση ΚΑ (2) Για την περίπτωση μονοχρωματικού κυματισμού συχνότητας ω οι συντελεστές συρτικής απόσβεσης που προσδίδει σύστημα Ν KA σε ένα ΠΣ, Β ij E(D), δίνονται από την ακόλουθη εξίσωση: Β E(D) ij n n N N Si cosβi αj π /2 E(D)N Βij i=j=1,,6 n1 n1 j ξ α j, j=1,,6 οι φάσεις των ημιτονοειδών δυναμικών κινήσεων ξ j, j=1,...,6 του ΠΣ S in : υνάμεις αντίδρασεις (terminal impedances) (μηγαδικά μεγέθη, εξαρτώνται από πλάτη δυναμικών εντάσεων και δυναμικών γωνιών στην κορυφή της ΚΑ) β in : Φάση S i n

99 Ενδεικτική Βιβλιογραφία (1) 1. American Petroleum Institute (API) (1997). Recommended Practice for Design and Analysis of Stationkeeping Systems for Floating Structures, Technical Report RP 2SK, 2nd edition, API Publishing Services, Washington D.C. 2. Blevins R.D. (1977). Flow-Induced Vibration, Van Nostrand Reinhold Publications, New York, USA. 3. Bliek A. (1994). Dynamic Analysis of Single Span Cables, PhD Thesis, Department of Ocean Engineering, Massachusetts Institute of Technology, Massachusetts 02139, USA.Triantafyllou M.S. (1982). Preliminary Design of Mooring Systems, Journal of Ship Research, Vol. 26, No. 1, pp Faltinsen O.M. (1990a). Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge University Press, Cambridge, UK. 5. Gopalkrishnan R. (1993). Vortex Induced Force on Oscillating Bluff Cylinders, PhD Thesis, Department of Ocean Engineering, Massachusetts Institute of Technology, Department of Applied Ocean Physics and Engineering, Woods hole Oceanographic Institution, USA. 6. Irvine H.M. (1981). Cable structures, MIT Press, Cambridge, MA, USA. 7. Jain R.K. (1980). A Simple Method of Calculating the Equivalent Stiffnesses in Mooring Cables, Applied Ocean Research, Vol. 2, No. 3, pp

100 Ενδεικτική Βιβλιογραφία (2) 8. Loukogeorgaki, E, and Angelides, DC (2005). Stiffness of Mooring Lines and Performance of Floating Breakwaters in Three Dimensions, Applied Ocean Research, Vol 27, Νο 4-5, pp Portella R.B., Grove de M.A. and Lehman I. (2003). Deepwater Mooring Systems Design and Analysis - A Practical Overview of Various Calculation Methods, SNAME World Maritime Technology Conference, San Francisco, USA. 10. Schlichting H. (1968). Boundary-Layer Theory, English translation by J. Kestin, McGraw-Hill Publications, USA. 11. Triantafyllou M.S. (1996). MOORSIM-FREQ-96: Dynamics and Mooring Damping Analysis of Multi-Leg Systems, Manual, Department of Ocean Engineering, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts 02139, USA. 12. Triantafyllou M.S. (1999). Cable Dynamics for Offshore Applications, Developments in Offshore Engineering: Wave Phenomena and Offshore Topics, Editor J.B. Herbich, Gulf Publishing Company, Houston, Texas, pp Triantafyllou M.S. and Grosenbaugh M.A. (1995). Prediction of Vortex-Induced Vibrations in Sheared Flows Proceedings of the Sixth International Conference on Flow-Induced Vibrations, London, UK, pp

101 Ενδεικτική Βιβλιογραφία (3) 14. Triantafyllou M.S., Bliek A. and Shin H. (1985). Dynamic Analysis as a Tool for Mooring System Design, Transactions of the Society of Naval Architects and Marine Engineers, Vol. 93, pp Triantafyllou M.S., Bliek A. and Shin H. (1986). Static and Fatigue Analysis of Mutlileg Mooring Systems, Technical Report, MIT Press. 16. Triantafyllou M.S., Gopalkrishnan R. and Grosenbaugh M.A. (1994a). Vortex- Induced Vibrations in a Sheared Flow: A new Predictive Method, Proceedings of the International Conference on Hydroelasticity in Marine Technology, Trondheim, Norway, pp Triantafyllou M.S., Yue D.K.P. and Tein D.Y.S. (1994b). Damping of Moored Floating Structures, Offshore Technology Conference, Houston Texas, pp Αγγελίδης Κ.. (1998). Θαλάσσιες κατασκευές, Πανεπιστημιακές Σημειώσεις, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Τμήμα Εκδόσεων Πανεπιστημιακό Τυπογραφείο, Θεσσαλονίκη.