1 8 ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗΝ ΓΩΝΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Παραπληρµατικές γνίες : Είναι γνίες πυ έχυν άθρισµα 180 Κάθε µία λέγεται παραπλήρµα της άλλης Συµπληρµατικές γνίες : Είναι γνίες πυ έχυν άθρισµα 90 Κάθε µία λέγεται συµπλήρµα της άλλης 3. Κατακρυήν γνίες : Είναι γνίες πυ έχυν κινή κρυή και ι πλευρές της µίας είναι αντικείµενες ηµιευθείες τν πλευρών της άλλης. ΣΧΟΛΙΑ Οι παραπάν γνίες σε σχήµατα : παραπληρµατκές γνίες συµπληρµατικές γνίες κατακρυήν γνίες Πρόταση : Οι κατακρυήν γνίες είναι ίσες
2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ύ γνίες και ɵ είναι παραπληρµατικές µιας γνίας ɵ σ. ικαιλγήστε γιατί = ɵ. Ισχύει τ ίι αν είναι συµπληρµατικές της ɵ σ ; + ɵ σ = 180 και ɵ + ɵ σ = 180 άρα + ɵ σ = ɵ + ɵ σ = ɵ Οµίς για την περίπτση τν συµπληρµατικών Θερία 1-2 Συµπληρώστε τν πίνακα Συµπληρµατική Παραπληρµατική της της 8 82 172 90 0 90 130 εν υπάρχει 50 Θερία 1-2 Φαίνεται παραπάν 3. Να σχειάσεις ύ εεξής παραπληρµατικές γνίες πυ η µία να είναι 65 Πόσες µίρες είναι η εύτερη γνία; Σχειάζυµε µία ευθεία xx και επιλέγυµε ένα σηµεί της Ο. Με κρυή τ Ο και πλευρά την Οx x Ο65 κατασκευάζυµε γνία x = 65 o x Τότε η γνία x είναι η άλλη από τις ζητύµενες γνίες και τ µέτρ της είναι x = 180 65 = 115 4. Να σχειάσεις ύ εεξής συµπληρµατικές γνίες πυ η µία να είναι 18 Πόσες µίρες είναι η εύτερη γνία; x Σχειάζυµε µια ρθή γνία x x. Στ εστερικό της κατασκευάζυµε γνία x = 18 o Τότε η γνία x είναι η άλλη από τις ζητύµενες γνίες και τ µέτρ της είναι x = 90 18 = 72 Ο 18 x
3 5. Να υπλγιστύν ι γνίες, ɵ, ɵ σ και ɵ x τυ ιπλανύ σχήµατς. 65 + + 70 = 180 άρα 135 + = 180 = 180 135 = 45 Η ɵ x είναι κατακρυήν της άρα ɵ x = = 45 Η ɵ είναι κατακρυήν της γνίας τν 70 άρα ɵ = 70 Η ɵ σ είναι κατακρυήν της γνίας τν 65 άρα ɵ σ = 70 65 70 x σ 6. Στ ιπλανό σχήµα η ΟΓ είναι ιχτόµς της γνίας Β. Να υπλγίσετε κάθε µία από τις γνίες Γ και Γ Β. Α + Β = 180 άρα 76 + Β = 180 Β = 180 76 = 104 Επειή ΟΓ ιχτόµς της Β, θα είναι Γ = Γ Β = A 76 o Γ B = 1 2 Β = 1 104 = 52 2 7. Στ ιπλανό σχήµα ι ηµιευθείες Οx και Οy είναι κάθετες. Επίσης x = 40 και ι Ο, Ο είναι ιχτόµι τν γνιών x και y αντίστιχα. Να υπλγίσετε την γνία x 40 o Αύ Οx y, είναι x y = 90 άρα x + y = 90 40 o + y = 90 y = 90 40 = 50 Η Ο είναι ιχτόµς της x, άρα = x = 20 Η Ο είναι ιχτόµς της y, άρα = y = 25 Οπότε = + = 20 + 25 = 45 y
4 8. Στ ιπλανό σχήµα, να υπλγίσετε όλες τις γνίες τυ + 4 = 180 πότε 5 = 180 = 36 4 = 144, ɵ = 144 ς κατακρυήν της 4 και ɵ σ = 36 ς κατακρυήν της 4 σ 9. α) ύ γνίες είναι συµπληρµατικές και η µία είναι τριπλάσια της άλλης. Να υπλγίσετε τις γνίες. β) ύ γνίες είναι παραπληρµατικές και η µία είναι τετραπλάσια της άλλης. Να υπλγίσετε τις γνίες. α) Αν είναι η µικρότερη γνία, τότε η άλλη είναι 3 Όµς + 3= 90 άρα 4= 90 συνεπώς = 22,5 Οπότε η µεγαλύτερη γνία είναι 3 22,5 = 67,5 β) Οµίς + 4= 180 άρα = 36 και η µεγαλύτερη γνία είναι 144 10. Σχειάστε µία γνία ίση µε 100 και την κατακρυήν της. Να έρετε τις ιχτόµυς τν υ αυτών γνιών και να υπλγίσετε τη γνία πυ σχηµατίζυν ι ιχτόµι. A Με τν γνστό τρόπ σχειάζυµε γνία Α Β = 100 και στην συνέχεια σχειάζυµε τις αντικείµενες ηµιευθείες ΟΑ και ΟΒ τν ΟΑ και ΟΒ αντίστιχα. Η γνία Α Β είναι η κατακρυήν της Α Β και επµένς Α Β = 100. B 50 50 50 Αν Ο και Ο είναι ι ιχτόµι τν γνιών αυτών, τότε Α = 50 = Β Ισχύει ότι + Α Β = 180 ηλαή + 50 + 50 = 180 + Α + Β = 180 = 180 Πράγµα πυ σηµαίνει ότι ι ιχτόµι τν κατακρυήν γνιών είναι αντικείµενες ηµιευθείες Α B
5 1 Στ ιπλανό σχήµα είναι ε 1 ε 2. Να βρείτε τις άγνστες γνίες. ε 1 ε 2, άρα α ɵ = 90 β ɵ + 60 = 90 άρα β ɵ = 30 ε 1 ε 2 α γ β 60 γ ɵ = 60 ς κατακρυήν της γνίας τν 60 ɵ = 30 ς κατακρυήν της β ɵ. Τέλς η άλλη γνία πυ απµένει είναι 90 12. Να σχειάσετε ύ εεξής και παραπληρµατικές γνίες. Να έρετε τις ιχτόµυς αυτών και να υπλγίσετε την γνία τν ιχτόµν. Να αντιµετπίσετε τ ίι πρόβληµα αν ι γνίες είναι εεξής συµπληρµατικές Έστ και ɵ ι ύ εεξής παραπληρµατικές γνίες, και ΟΕ, Ο ι ιχτόµι αυτών Έχυµε + ɵ = 180 (1) Α Ε = Ε Γ = 2, Γ = Β = (2) 2 Ε = Ε Γ + Γ (2) = 2 + 2 = + ɵ (1) 180 = = 90 2 2 Αν ι γνίες είναι συµπληρµατικές, µε τν ίι τρόπ βρίσκυµε ότι η γνία τν ιχτόµν τυς είναι 45 Α Ε Ο Γ Β 13. Μια γνία µετρήθηκε µε ακρίβεια και βρέθηκε ότι είναι ίση µε 38 51 47. Να υπλγίσετε µε ακρίβεια την συµπληρµατική της και την παραπληρµατική της. Η συµπληρµατική της είναι ίση µε 90 38 51 47 = 89 59 60 38 51 47 = 51 8 13 Οµίς βρίσκυµε ότι η παραπληρµατική της είναι 141 8 13