Θεώρηµα ( ) x x. f (x)

Transcript

1 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί γύρ από τ A κατά την θτική φρά ( αντίθτη από την. φρά πριστρφής τν δικτών τυ ρλγιύ ) µέχρι να συµπέσι µ την υθία ( ) ν η υθία ( ) ίναι παράλληλη στν άξνα ή συµπίπτι µ αυτόν, τότ ρίζυµ ς γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα να ίναι η µηδνική γνία δηλαδή =. ν ίναι η γνία µιας υθίας ( ) µ τν άξνα, τότ: < 8. ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΣ Έστ ( ) µία υθία η πία δν ίναι παράλληλη στν άξνα και σχηµατίζι γνία µ τν άξνα. Κλίση ή συντλστής διύθυνσης της υθίας ( ) ρίζται να ίναι η φαπτµένη της γνίας και συµλίζται µ λ ή µ λ, δηλαδή λ= φ. ν η υθία ( ) ίναι παράλληλη στν άξνα, τότ δν ρίζται η κλίση αυτής. Έστ λ ίναι η κλίση µιας υθίας ( ), πυ σχηµατίζι γνία µ τν άξνα : ν = ( ή ), τότ λ= ν 9 ν 9 < <, τότ λ> =, τότ δν ρίζται η κλίση της υθίας ( ) ν 9 < < 8, τότ λ<. ΙΜΝΤΠΥΛΣ ΘΥΜΙΣ

2 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + H ΓΡΦΙΚΗ ΠΡΣΤΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΡΤΗΣΗΣ f() = α + Θώρηµα Κάθ υθία ( ) στ καρτσιανό πίπδ πυ δν ίναι παράλληλη στν άξνα έχι ξίσση της µρφής = α+ και αντίστρφα κάθ ξίσση της µρφής = α+ ίναι ξίσση µιας υθίας ( ). πό τ πρηγύµν θώρηµα συµπραίνυµ ότι:. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = α + η πία τέµνι = + ίναι µία υθία ( ) τν άξνα στ σηµί Β(, ) και σχηµατίζι γνία µ τν άξνα για την πία ισχύι φ α έχι κλίση ίση µ α =. ηλαδή η υθία ( ) ( λ = α). Β(,) Β(,) Μ(,) ( ) N,. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = α ίναι µία υθία ( ) η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί Β(, ) δηλαδή διέρχται από την αρχή τν αξόνν και σχηµατίζι γνία µ τν άξνα για την πία ισχύι φ= α.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = ( Ταυττική συνάρτηση ) ίναι η διχτόµς τν γνιών τυ υ υ και τταρτηµρίυ, αφύ διέρχται από την αρχή τν αξόνν και σχηµατίζι µ τν άξνα γνία µ φ= πότ = 5. Όµια η γραφική παράσταση της συνάρτησης υ f () = ίναι η διχτόµς τν γνιών τυ και υ τταρτηµρίυ. δ δ 5 5 ΙΜΝΤΠΥΛΣ ΘΥΜΙΣ

3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Παρατηρήσις. Κάθ υθία ( ) τυ καρτσιανύ πιπέδυ πυ δν ίναι παράλληλη στν άξνα ίναι γραφική παράσταση µιας συνάρτησης της µρφής f( ) = α+, α, R. ν µία υθία ( ) τυ καρτσιανύ πιπέδυ ίναι παράλληλη στν άξνα και διέρχται από τ σηµί M(, ), τότ η υθία ( ) έχι ξίσση = και δν ίναι γραφική παράσταση συνάρτησης. o. πδικνύται ότι, κάθ υθία ( ) τυ καρτσιανύ πιπέδυ, έχι ξίσση της µρφής α+ + γ= µ α ή ( ) και αντίστρφα κάθ ξίσση της µρφής ( ) ίναι ξίσση µιας υθίας ( ) τυ καρτσιανύ πιπέδυ.. Όταν δίνται η ξίσση µιας υθίας ( ) στη µρφή α+ + γ= και η υθία δν ίναι παράλληλη στν άξνα, τότ. Για να ρύµ την κλίση της υθίας ( ) και τις συντταγµένς τυ σηµίυ πυ τέµνι τν άξνα λύνυµ την ξίσση αυτή ς πρς. α γ Ειδικότρα έχυµ α+ + γ= = α γ =, πότ η υθία ( ) έχι κλίση α λ= και τέµνι τν άξνα στ σηµί γ Β,. ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΣ ΠΥ ΙΕΡΧΕΤΙ Π Υ ΣΗΜΕΙ Έστ ( ) µία υθία η πία διέρχται από τα σηµία (, ), ( ) B, και ίναι γραφική παράσταση της συνάρτησης = α+. Η υθία ( ) δν ίναι παράλληλη στν άξνα, πότ. Τότ έχυµ: = α + ( ) και = α + ( ) φαιρώντας από την ( ) την ( ) Επιδή η κλίση λ της υθίας ( ) Άρα παίρνυµ: = α α α ( ) = α=. ίναι ίση µ α, συµπραίνυµ ότι λ=. συντλστής διύθυνσης λ µιας υθίας ( ) πυ διέρχται από τα σηµία (, ) και B(, ) δίνται από τν τύπ λ= o Β(,) (,) ΙΜΝΤΠΥΛΣ ΘΥΜΙΣ

4 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ Υ ΕΥΘΕΙΩΝ Θώρηµα Θρύµ τις υθίς ( ) και ( ) αντίστιχα. Ισχύυν τα πόµνα: (i) H υθία ( ) ίναι παράλληλη στην ( ) (ii) H υθία ( ) ίναι κάθτη στην ( ) µ ξισώσις = α+ και = α+ αν και µόν αν α = α αν και µόν αν α α =. Παρατηρήσις Θρύµ τις υθίς ( ) και ( ) µ ξισώσις = α+ και = α+ αντίστιχα. πό τ πρηγύµν θώρηµα έχυµ ότι:. ν α = α και, τότ ι υθίς ( ) και ( ) ίναι παράλληλς. =, τότ ι υθίς ( ) και ( ), τότ ι υθίς ( ) και ( ) τέµννται.. ν α = α και. ν α α ταυτίζνται. Εύκλα συµπραίνυµ και τα ξής: Όλς ι υθίς πυ έχυν ξίσση της µρφής = α+, όπυ α σταθρό και τ µταλητό, ίναι παράλληλς µταξύ τυς. Όλς ι υθίς πυ έχυν ξίσση της µρφής = α+, όπυ α µταλητό και τ σταθρό, διέρχνται από τ σηµί Β(, ) τυ άξνα. ΙΜΝΤΠΥΛΣ ΘΥΜΙΣ

5 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΛΛΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ Σ καθµία από τις παρακάτ ρτήσις να σηµιώστ τη σστή απάντηση.. ν η υθία ( ) πυ διέρχται από τα σηµία A( 7,µ ) και Β(,ν ) έχι κλίση, τότ. µ= ν Β. µ=ν+ Γ. µ=ν. µ=ν Ε. µ=ν 5.. ν τα σηµία ( 5,), Β( κ,) και ( 7,6) ίσ µ. 7 Β. 5 Γ. Γ ίναι συνυθιακά, τότ τ κ ίναι. 7 Ε.. Η κλίση της υθίας ( ) τυ διπλανύ σχήµατς ίναι ίση µ. Β. Γ.. Ε.... Η κλίση της υθίας ( ) στ διπλανό σχήµα ίναι ίση µ. Β. Γ.. Ε.. 5. Η υθία ( ) πυ διέρχται από τα σηµία A(, ) και ( ) Β,5 έχι ξίσση. 5+ = Β. + 5 = Γ. + 5=. + 5= Ε. + = ν τ σηµί (, ) ανήκι στην υθία ( ) µ ξίσση + + =, τότ τ γινόµν τν συντταγµένν τυ ίναι ίσ µ. Β. Γ.. Ε ι υθίς µ ξισώσις ( µ + ) + ( µ + ) = και ( ) τέµννται πάν στν άξνα. Τ µ ίναι ίσ µ. Β. Γ.. Ε.. µ + µ+ 5= 8. Η ξία γνία πυ σχηµατίζυν ι υθίς + 5= και + = ίναι ίση µ. Β. 5 Γ Ε. 85. Β Γ ΙΜΝΤΠΥΛΣ ΘΥΜΙΣ 5

6 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + 9. Η κρυφή Γ τυ ττραγώνυ ΒΓ ρίσκται πάν στην υθία ( ) µ ξίσση 5 = και ( ) α,9. Τ µαδόν Ε τυ ττραγώνυ ίναι ίσ µ. Β. 8 Γ. 6. Ε. 6.. Τ µαδόν τυ τραπζίυ ΒΓ στ διπλανό σχήµα ίναι 9 και τα σηµία A, B έχυν 5, αντίστιχα. Τ κ ίναι συντταγµένς (, ), ( ) ίσ µ. 5 Β. 6 Γ. 8. Ε.. Γ Β = + κ. Τ διπλανό σχήµα δίχνι την απόσταση νός χήµατς πυ κινίται, από τ σηµί τρµατισµύ. Σ πόσς ώρς από την κκίνηση τ όχηµα θα απέχι από τη σηµί τρµατισµύ Km ;. Β. Γ.. Ε. 5. (πόσταση σ Κm) (Χρόνς σ ώρς) ΠΡΤΕΙΝΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ. Να ρίτ τη γνία πυ σχηµατίζι µ τν άξνα η υθία : (i) = 5 (ii) = 7 (iii) + = (iv) = +.. Να ρίτ την κλίση λ και τ σηµί πυ τέµνυν τν άξνα ι παρακάτ υθίς : (i) = (ii) = (iii) + = (iv) = (v) + = (vi) = + (vii) = (viii) = 6 Πις από τις υθίς αυτές σχηµατίζυν ξία γνία και πις σχηµατίζυν αµλία γνία µ τν άξνα ;. Να ρίτ την κλίση τν υθιών πυ διέρχνται από τα σηµία: A, A, (i) A(, ) και B( 5,8 ) (ii) ( ) και B(, ) (iii) ( ) και B(, ) (iv) A(, ) και B(, 6). Πις από τις υθίς αυτές σχηµατίζυν ξία γνία και πις σχηµατίζυν αµλία γνία µ τν άξνα ;. Να ρίτ την ξίσση της υθίας η πία έχι κλίση λ και τέµνι τν άξνα στ σηµί Β, όταν: ΙΜΝΤΠΥΛΣ ΘΥΜΙΣ 6

7 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + (i) λ= και Β(, ) (ii) λ= και (, ) (iv) λ = και Β(, 5) (v) λ 5 Β,. = και ( ) (iii) λ = και Β(, ) 5. Να ρίτ την ξίσση της υθίας η πία έχι κλίση λ και τέµνι τν άξνα στ σηµί µ τταγµένη, όταν: (i) λ= και = (ii) λ= και = (iii) λ= και = (iv) λ= και = (v) λ= και =. 6. Να ρίτ την ξίσση της υθίας η πία διέρχται από τ σηµί A και έχι κλίση λ, όταν: (i) λ, (ii) λ, 5 (iii) λ,7 (iv) = και ( ) λ= και, 7 (v) = και ( ) λ,. = και ( ) = και ( ) 7. Να ρίτ την ξίσση της υθίας η πία διέρχται από τα σηµία A και Β, όταν: (i) (, ) και Β(, ) (ii) (, 5) και Β(, 5) (iii) (, ) και Β(, ) (iv), και Β, 5 (v) (, ) και Β(, ). 8. Να ρίτ την ξίσση της υθίας η πία διέρχται από τ σηµί A και ίναι παράλληλη στην υθία πυ δίνται, όταν:, και 5, και = + (i) ( ) (iii) (, ) και 6 = (ii) ( ) + = (iv) ( ), και + 8=. 9. Να ρίτ την ξίσση της υθίας πυ διέρχται από την αρχή τν αξόνν και 5, Β,. ίναι κάθτη στην υθία πυ ρίζυν τα σηµία ( ) και ( ). Να ρίτ την ξίσση της υθίας πυ διέρχται από τ σηµί M(,) και ίναι κάθτη στην υθία πυ τέµνι τν άξνα στ και τν άξνα στ.. Να ρίτ τ σύνλ τν σηµίν τυ πιπέδυ τα πία ισαπέχυν από τα σηµία (, ), Β(,) και να τ σχδιάστ. A(,6 ). Τ τρίγν Β στ διπλανό σχήµα ίναι ρθγώνι 9 =. Να ρθί τ µαδόν τυ. ( ) Β ΙΜΝΤΠΥΛΣ ΘΥΜΙΣ 7

8 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α +. Η υθία ( ) τυ διπλανύ σχήµατς διέρχται από τ σηµί (, ) και σχηµατίζι γνία 6 µ τν άξνα. Να ρίτ τα σηµία στα πία η υθία ( ) τέµνι τυς άξνς. 6. Να κάντ την γραφική παράσταση της συνάρτησης: f( ) = + + και κατόπιν να ρίτ τ σύνλ τιµών της συνάρτησης. 5. Να κάντ την γραφική παράσταση της συνάρτησης: f( ) = + και κατόπιν να ρίτ τ σύνλ τιµών της συνάρτησης. 6. Για πις τιµές τυ α R η υθία ( ) µ ξίσση : ( ) = α + α α + α+ (i) Είναι παράλληλη στν άξνα. (ii) ιέρχται από την αρχή τν αξόνν. (iii) Σχηµατίζι µ τν άξνα ξία γνία. (iv) Σχηµατίζι µ τν άξνα αµλία γνία. 7. Για πις τιµές τυ α R η υθία ( ) µ ξίσση : ( ) = α α α + 7α (i) ιέρχται από την αρχή τν αξόνν. (ii) Είναι παράλληλη στην διχτόµ τν γνιών τυ υ υ και τταρτηµρίυ. υ υ (iii) Είναι παράλληλη στην διχτόµ τν γνιών τυ και τταρτηµρίυ ζ µ ξίσση = 9 7 (iv) Είναι κάθτη στην υθία ( ) 8. Να ρίτ τις τιµές τν α, R για τις πίς ι υθίς α =, 6 = (i) ίναι παράλληλς (ii) ταυτίζνται (iii) ίναι κάθτς ΙΜΝΤΠΥΛΣ ΘΥΜΙΣ 8