ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Ειδοθεα Δημητρακόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Φθίνυσα Ταλάντση Φθίνυσα λέγεται κάθε ταλάντση τ πλάτς της πίας ελαττώνεται συνεχώς και μηδενίζεται βαθμιαία. Η απόσβεση αυτή φείλεται σε αντιστάσεις (μηχανικές, ηλεκτρικές κ.α.) και στην πραγματικότητα εμφανίζεται σε όλες τις ταλαντώσεις πυ γίννται στη φύση. Μια συνήθης περίπτση τέτιυ είδυς ταλάντσης είναι η απλή αρμνική ταλάντση ενός σώματς, στην πία όμς εμφανίζεται και μια δύναμη αντίστασης Τ αντίθετη της ταχύτητας και ανάλγη με αυτή. Δηλαδή: Τ = -bυ = -bdx/, όπυ b η σταθερά απόσβεσης. Τότε σύμφνα με τ νόμ τυ Newton η εξίσση κίνησης είναι: F mα kx - dx b d x m d x b dx m k m x 0 () Θέτντας γ = b/m και k / m (φυσική συχνότητα) η () γράφεται: d x γ dx x 0 η πία είναι μια διαφρική εξίσση δεύτερης τάξης με σταθερύς συντελεστές. () Αν γ (μικρή απόσβεση), η λύση της () είναι: γt x(t) e cos( t φ) όπυ Α και φ σταθερές, ι τιμές τν πίν πρσδιρίζνται από τις αρχικές συνθήκες και γ. Συνεπώς η απόσβεση πρκαλεί μείση της συχνότητας ταλάντσης καθώς και μείση τυ πλάτυς ταλάντσης, τ πί δίνεται από τν όρ e γt της (3) και δεν είναι σταθερός. Η ενέργεια πυ χάνεται από τ ταλαντύμεν σώμα απρρφάται από τ περιβάλλν μέσ. (3) Αν γ (κρίσιμη απόσβεση) τότε η γενική λύση της () είναι: γt x(t) ( t)e (4) όπυ Α,Β σταθερές καθριζόμενες από τις αρχικές συνθήκες. Αν γ (μεγάλη απόσβεση) τότε η γενική λύση της () είναι: x(t) ( e pt e pt ) e γt, όπυ p γ (5) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατηρείται ότι στις περιπτώσεις κρίσιμης και μεγάλης απόσβεσης, η κίνηση δεν είναι περιδική. Ακλύθς στ Σχήμα 9.7 φαίνεται η γραφική απεικόνιση της απμάκρυνσης τυ ταλανττή από τη θέση ισρρπίας συναρτήσει τυ χρόνυ για τις τρεις παραπάν περιπτώσεις. x A γ +Ae -γt x A γ O t γ -A (α) -Ae -γt O Σχήμα 9.7 (β) t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Εξαναγκασμένη Ταλάντση Οι ταλαντώσεις πυ παράγνται όταν τ ταλαντύμεν σύστημα δέχεται μια εξτερική περιδική διεγείρυσα δύναμη λέγνται εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις έχυν τη συχνότητα της εξτερικής δύναμης και όχι τη φυσική συχνότητα τυ συστήματς. Παραδείγματα εξαναγκασμένης ταλάντσης απτελύν μια γέφυρα η πία δνείται υπό την επίδραση τυ βήματς τν στρατιτών πυ περνύν πάν από αυτή ή διαπασών τ πί δνείται όταν εκτεθεί στην περιδική δύναμη ενός ηχητικύ κύματς. Επμένς η κίνηση ενός σώματς μάζας m στ πί ασκύνται ι δυνάμεις kx, -bυ (απόσβεση) και Focost (διεγείρυσα δύναμη) είναι εξαναγκασμένη ταλάντση, πυ περιγράφεται από την εξίσση κίνησης: dx d x F mα kx b F cos t m Θέτντας γ = b/m και k / m η παραπάν εξίσση παίρνει τη μρφή: d x dx F γ x cos t (6) m Η (6) είναι μια μη μγενής διαφρική εξίσση δεύτερης τάξης με σταθερύς συντελεστές, η γενική λύση της πίας είναι: γt x(t) sin( t δ) e cos( t φ) (7) όπυ F (8) m ( (γ) ) γ και δ tan τ πλάτς και η διαφρά φάσης της εξαναγκασμένης ταλάντσης αντίστιχα. Ο δεύτερς όρς της (7) μειώνεται εκθετικά με τ χρόν κι έτσι έχει σημασία στην αρχή της ταλάντσης. Άρα τ σώμα τελικά εκτελεί απλή αρμνική ταλάντση με συχνότητα ίση με αυτή της διεγείρυσας δύναμης (η πία αναπληρώνει την απώλεια ενέργειας από τις απσβέσεις), όπυ περιγράφεται από τν πρώτ όρ της (7). (9) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατήρηση Από τη σχέση (8) απδεικνύεται ότι τ πλάτς της εξαναγκασμένης ταλάντσης γίνεται μέγιστ όταν γ. Η χαρακτηριστική αυτή τιμή της εξτερικής συχνότητας στην πία τ πλάτς ταλαντώσες γίνεται μέγιστ λέγεται συχνότητα συντνισμύ και η κατάσταση αυτή τυ συστήματς λέγεται συντνισμός. Γενικά όσ μικρότερη είναι η απόσβεση σε ένα σύστημα τόσ πι κντά στη φυσική συχνότητα είναι η συχνότητα συντνισμύ.στην ριακή περίπτση όπυ δεν υπάρχει απόσβεση (γ=0), η εξτερική συχνότητα πρσεγγίζει τη φυσική με απτέλεσμα τ πλάτς της ταλάντσης να απειρίζεται ( ). Στ Σχήμα 9.8 φαίνεται τ πλάτς μιας εξαναγκασμένης ταλάντσης συναρτήσει της εξτερικής συχνότητας για διαφρετικύς συντελεστές απσβέσες. ( ) A b=0 b 0 b >b O Σχήμα 9.8 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άσκηση Σματίδι μάζας m = kgr κινείται πάν στν άξνα x και έλκεται από την αρχή Ο με μια δύναμη μέτρυ F = 4x Nt. Αν για t = 0 είναι xo =0 m και υ = 0 να υπλγιστύν: α) Η διαφρική εξίσση κίνησης και η περίδς της ταλάντσης. β) Η θέση και η ταχύτητα τυ σματιδίυ συναρτήσει τυ χρόνυ. γ) Αν στ σματίδι επιδρά επιπλέν μια δύναμη τριβής μέτρυ Τ = υ Nt, όπυ υ η ταχύτητα, να υπλγιστύν ι συναρτήσεις x(t) και υ(t). Λύση α) Ο ς νόμς τυ Newton δίνει: F mα F mx 4x x x 4x 0 () δηλαδή τ σματίδι εκτελεί απλή αρμνική ταλάντση περί τ Ο με κυκλική συχνότητα 4 rad / sec και περίδ π / π sec. β) Η γενική λύση της () είναι: x (t) Acos(t φ) () dx πότε υ( t) sin( t φ) (3) Οι αρχικές συνθήκες στις (), (3) δίνυν: 0 = Acosφ (4) 0 sin φ sinφ 0 φ nπ (n ακέραις) και η (4) δίνει για τ πλάτς ταλάντσης: Α=0m Άρα : x(t) 0cos(t nπ) m υ(t) 0sin(t nπ) m/sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ) Η περίπτση αυτή αντιστιχεί σε φθίνυσα ταλάντση και ς νόμς τυ Newton τώρα δίνει: F mα F T mx -4x- x x x 4x 0 (5) Συγκρίνντας την (5) με την εξίσση (9-4) παρατηρείται ότι γ= rad/sec και = red/sec. Οπότε (μικρή απόσβεση) και η λύση της (5) είναι της μρφής : γ x(t) Ae γt cos( t φ) Αe cos( t φ) - (6) όπυ γ 4 3 rad / sec. Η ταχύτητα είναι : dx t υ(t) e cos( t φ) sin( t φ) (7) Οι αρχικές συνθήκες στις (6) και (7) δίνυν: 0=Αcosφ (8) 0 (cos φ sin φ) cosφ 3 sin φ 0 φ -π/ 6 και η (8) δίνει για τ αρχικό πλάτς ταλάντσης: 0 cos( π/6),5 m Άρα: x(t),5e t cos( 3t π/6) m υ(t),5e t [cos( 3t - π / 6) 3 sin( 3t - π / 6)] m/sec ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άσκηση Τ πλάτς ενός αρμνικύ ταλανττή με απόσβεση πέφτει στ /e της αρχικής τιμής μετά από n περιόδυς. Να δειχθεί ότι λόγς της περιόδυ Τ με απόσβεση πρς την περίδ Τ χρίς απόσβεση δίνεται από τη σχέση: 4π n Λύση Η περίδς τυ ταλανττή χρίς απόσβεση είναι: π π () ενώ με απόσβεση είναι: π π () όπυ γ γ (3) Αφύ τ πλάτς τυ ταλανττή με απόσβεση πέφτει στ /e της αρχικής τιμής μετά από n περιόδυς, πρκύπτει σύμφνα με την εξίσση θέσης αρμνικύ ταλανττή με μικρή απόσβεση για φ=0: x(t) Ae γt cos t e e e e γnt γnt cos nt e γ Επμένς η (3) λόγ τν (), () και (4) δίνει: nt () e γnt cosπn (4) 4π 4π n 4π n 4π n ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άσκηση 3 Ένας αρμνικός ταλανττής παρυσιάζει κρίσιμη απόσβεση. Αν τη χρνική στιγμή t = 0 είναι x(0) = xo και υ(0)=0 να υπλγισθεί η θέση και η ταχύτητα συναρτήσει τυ χρόνυ. Λύση Η χρνική μεταβλή της θέσης ενός αρμνικύ ταλανττή πυ παρυσιάζει κρίσιμη απόσβεση είναι: γt x(t) (A Bt)e () Άρα η ταχύτητα είναι : dx γt γt υ (t) γe e t( γ)e -γt υ( t) [ γ ( γt)]e () -γt Οι αρχικές συνθήκες στις () και () δίνυν: x και 0 ( γ ) γ γx Άρα: x (t) x ( γt)e -γt και υ(t) ( γx όπυ γ=b/m. γx γ x t)e -γt υ(t) γ x te γt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άσκηση 4 Δίνεται απλό εκκρεμές μήκυς, τ πί βρίσκεται στν αέρα και τ πλάτς της γνίας ταλάντσης μειώνεται από 6 σε 5,4 σε χρόν 7min. Να βρεθεί η εξίσση της ταλάντσης, χρόνς ηρέμησης και η κυκλική συχνότητα. Λύση m Τ εκκρεμές αυτό απτελεί φθίνυσα ταλάντση, η εξίσση κίνησης της πίας είναι: d φ dφ γ φ 0 Η γενική λύση της παραπάν είναι: γt φ(t) φ e cost () o όπυ φ o γ η κυκλική συχνότητα της ταλάντσης και o π π 6 6rad rad τ αρχικό πλάτς της ταλάντσης Η χρνική μείση τυ πλάτυς της ταλάντσης δίνεται από τη σχέση: Έτσι για t = 7min = 60 sec είναι Άρα η () δίνει: Φ(t) Φ 5,4 γt φ o e () o π 5,4rad 360 0,03πrad π 60γ 60γ 0,03π e e 0,9 60γ n0,9 γ 6, g 0 Η φυσική συχνότητα τυ εκκρεμύς είναι : 0 rad / sec 5 sec Άρα: γ 0 (6,5 0 5 ) 9,999 3,6rad / sec Συνεπώς: φ(t) π e 30 6,50 5 t cos(3,6t) rad Ο χρόνς ηρέμησης αντιστιχεί στ χρόν στν πί τ πλάτς της ταλάντσης θα μηδενιστεί, δηλαδή όταν Φ(t) 0 κι αυτό συμβαίνει όταν e γt 0, δηλαδή για t. Συνεπώς θερητικά μετά από άπειρ χρόν τ εκκρεμές θα ηρεμήσει. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άσκηση 5 Από κατακόρυφ ελατήρι σταθεράς k=00 N/m εξαρτάται σώμα μάζας m=5kgr. Στ σώμα εφαρμόζεται εξτερική περιδική δύναμη F(t) = 50cos5t Nt, καθώς ασκείται σε αυτό μια δύναμη τριβής Τ = -0υ Νt. Να υπλγιστύν: α) Η συχνότητα, τ πλάτς και η περίδς στην μόνιμη κατάσταση της εξαναγκασμένης ταλάντσης. β) Η απμάκρυνση συναρτήσει τυ χρόνυ στην μόνιμη κατάσταση. Λύση α) Στην μόνιμη κατάσταση τ σύστημα ταλαντώνεται με τη συχνότητα της εξτερικής περιδικής δύναμης. Δηλαδή = 5rad/sec. Άρα η περίδς της εξαναγκασμένης ταλάντσης είναι : π π sec 5 Τ πλάτς της εξαναγκασμένης ταλάντσης είναι: m ( F ) (γ) όπυ k 00 b rad / sec και γ 0,4 rad / sec. m 5 m 5 5 Άρα : 5 50 (5 4) (0,8 4) ,76 0,9 m β) Η απμάκρυνση συναρτήσει τυ χρόνυ τυ εξαναγκασμένυ ταλανττή στη μόνιμη κατάσταση είναι: x(t) = Asin(t-δ) όπυ δ tan γ tan 3, tan 5 4 3, 0,5 rad Άρα: x(t) = 0,9sin(5t-0,5) m ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

Σχετικά έγγραφα

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.piras.weebly.c ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ