Δίνεται επίπεδος πυκνωτής κενού χωρητικότητας C, που φορτίζεται σε τάση V µε την βοήθεια ηλεκτρικής γεννήτριας και κατόπιν αποσυνδέεται από αυτην. Eισάγουµε στον χώρο µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή ένα διηλεκτρικό πλακίδιο, σχετικής διη λεκτρικής σταθεράς ε, του οποίου το πάχος L είναι ίσο προς την από σταση των οπλισµών του πυκνωτή. Eάν το πλακίδιο καταλαµβάνει το µισό του χώρου µεταξύ των οπλισµών, να βρεθούν: i) η χωρητικότητα του πυκνωτή, ii) η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στους δύο χώρους µεταξύ των οπλισµών, iii) η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στους οπλισµούς και iv) η µεταβολή της ηλεκτροστατικής ενέργειας του πυκνωτή, η προ καλούµενη από την εισαγωγή του διηλεκτρικού πλακιδίου. ΛYΣH: i) Όταν ο µισός χώρος ανάµεσα στους οπλισµούς του πυκνωτή καλύπ τεται από το διηλεκτρικό πλακίδιο, τότε το ηλεκτρικό φορτίο +Q του θετικού οπλισµού θα κατανέµεται ως εξής: Στο τµήµα του οπλισµού που βρίσκεται σ επαφή µε το πλακίδιο θα υπάρχει φορτίο Q 1, ενώ στο τµήµα του οπλισµού που βρίσκεται σ επαφή µε τον αέρα θα υπάρχει φορτίο Q. Eίναι προφανές ότι, τόσο το φορτίο Q 1 όσο και το Q είναι κατανεµηµένα σε εµβαδόν S/, όπου S το εµβα Σχήµα 1 δόν των οπλισµών του πυκνωτή. Eξάλλου στον χώρο του πλακιδίου και στον αλλο µισο χώρο που είναι κενός, υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο της ίδιας έντασης E, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε V/L, όπου V η τάση του πυκνωτή µετά την εισαγωγή του διηλεκτρικού πλακιδίου. Όµως οι ηλεκτρικές µετατοπίσεις D 1 και D του ηλεκτρικού πεδίου στους δύο αυτούς χώρους είναι διαφορετικές, ισχύουν δε οι σχέσεις:
D 1 = E D = E D = E 1 D = E Q 1 S/ = V L Q S/ = V L % Q 1 S = V L Q S = V L % (+ ) (Q 1 + Q ) S = V( + 1) L Q S = V( + 1) L Q V = S( + 1) L C = C ( + 1) (1) όπου C η χωρητικότητα του πυκνωτή µετά την εισαγωγή του διηλεκτρικού πλακιδίου. ii) H ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στους δύο χώρους µεταξύ των οπλισµών του φορτισµένου πυκνωτή έχει µέτρο: E = V L = Q CL = V C CL (1) E = V L % ' () + 1& iii) Eάν σ 1, σ είναι οι επιφανειακές πυκνότητες των φορτίων Q 1 και Q θα έχου µε τις σχέσεις: 1 = D 1 = E () 1 = V L & % ( (3) + 1' () = D = E = V L & % ( (4) + 1' iv) Eάν ΔW είναι η µεταβολή της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκ νωτή, λόγω της εισαγωγής του διηλεκτρικού πλακιδίου, θα έχουµε: W = W - W %&' = QV - QV = Q C - Q (1) C W = Q C ( + 1) - 1 & ) % ( = Q - - 1, +. C ' C * + 1) - W = C V 1 - & % C + 1) ' ( = C V 1 - & % ( < + 1) ' Δηλαδή µε την εισαγωγή του διηλεκτρικού πλακιδίου υπό σταθερό φορτίο στον πυκνωτή, επέρχεται µείωση της ενέργειας του ηλεκτρικού του πεδίου. P.M. fysikos
Oι οπλισµοί ενός επιπέδου πυκνωτή είναι ακλόνη τες οριζόντιες µεταλλικές πλάκες, µεταξύ των οποίων παρεµβάλλεται αέρας. O πυκνωτής φέρει στους οπλισµούς του ηλεκτρικά φορτία ±q, τα οποία δεν µπορούν να µεταβληθούν. Ένα γυάλινο πλακίδιο, µάζας m διηλεκτρικής σταθεράς ε και πάχους ίσου προς την απόσταση των οπλισµών του πυκνωτή, εισάγεται ελάχιστα µέσα σ αυτόν από το ένα άκρο του. i) Nα δείξετε ότι το πλακίδιο θα τεθεί σε κίνηση κατά µήκος των οπ λισµών. ii) Nα βρείτε την ταχύτητα του πλακιδίου την στιγµή που αυτό κα λύπτει όλο τον χώρο ανάµεσα στους οπλισµούς του πυκνωτή. Δίνεται η χωρητικότητα C του πυκνωτή, όταν µεταξύ των οπλισµών του υπάρ χει αέρας. ΛYΣH: i) Λόγω της πόλωσης του διηλεκτρικού υλικού από το ηλεκτρικό πεδίο του φορτισµένου πυκνωτή, παρουσιάζονται στις περατωτικές επιφάνειες του πλακιδίου που βρίσκονται σε επαφή µε τους οπλισµούς του πυκνωτή, τα δέσµια ηλεκτρικά φορτία πόλωσης ± q. H αλληλεπίδραση των φορτίων αυτών µε τα ελεύθερα φορτία ±q των οπλισµών του πυκνωτή έχει ως αποτέλεσµα να εµφανίζεται επί του πλακιδίου µια ηλεκτρική δύναµη F, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς τους οπλισµούς του πυκνωτή, η δε φορά της είναι προς το εσωτερικό του πυκνωτή. Yπό την επίδραση της δύναµης F το πλακίδιο τίθε ται σε κίνηση κατά µήκος των οπλισµών εισχωρόντας µέσα σ αυτούς, µε αποτέ λεσµα ν αυξάνεται η χωρητικότητα του πυκνωτή υπό σταθερό φορτίο στους οπλισµούς του. Σχήµα ii) Eξάλλου, κατά την εισχώρηση του πλακιδίου µέσα στον πυκνωτή, η ενέρ γεια του ηλεκτρικού του πεδίου µειώνεται µετατρεπόµενη σε κινητική ενέρ γεια του πλακιδίου (αρχή διατήρησης της ενέργειας). Έτσι, εάν v είναι η ταχύ τητα του πλακιδίου την στιγµή που αυτό καλύπτει όλο τον χώρο που εκτείνε ται µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή, θα ισχύει η σχέση: q q - = mv C C q 1-1 % ' = mv C & v = q 1-1 % ' mc & v = q - 1 mc
Παρατήρηση: Tην στιγµή που το πλακίδιο καλύπτει όλο τον χώρο µεταξύ των οπλισµών, η δύναµη F θα µηδενιστεί, διότι οι ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις µεταξύ των δεσµίων φορτίων πόλωσης ± q και των ελεύθερων φορτίων ±q θα εκφράζονται µε αντίθετες δυνάµεις, οι οποίες θα είναι κάθετες προς τις περατω τικές επιφάνειες του πλακιδίου, που είναι σ επαφή µε τους οπλισµούς. Λόγω όµως αδράνειας το πλακίδιο θα συνεχίσει την κίνησή του εξερχόµενο από τον πυκνωτή, οπότε θα εµφανιστεί πάλι επί του πλακιδίου η ηλεκτρική δύναµη, η οποία όµως θα έχει αντίθετη φορά απ ότι προηγουµένως, µε αποτέλεσµα τώρα το πλακίδιο να επιβραδύνεται. Tην στιγµή που οριακά το πλακίδιο εξέρχεται από τον πυκνωτή µηδενίζεται η ταχύτητά του και στην συνέχεια αλλάζει φορά κίνησης, για να επαναληφθεί το φαινόµενο εξ αρχής. Έτσι η συνολική κίνηση του πλακιδίου είναι µια παλινδροµική περιοδική κίνηση κατά µήκος των οπλισ µών του πυκνωτή. P.M. fysikos Δίνεται επίπεδος πυκνωτής, που το διηλεκτρικό του είναι ένα γυάλινο πλακίδιο διηλεκτρικής σταθεράς ε, η δε χωρητι κότητά του είναι C. O πυκνωτής φορτίζεται σε τάση V µε την βοή θεια ηλεκτρικής γεννήτριας, που στην συνέχεια αποσυνδέεται από τον πυκνωτή. Eάν οι οπλισµοί του πυκνωτή αποµακρυνθούν σε διπλά σια απόσταση της αρχικής, να βρεθούν: i) η µεταβολή της χωρητικότητας και της τάσεως του πυκνωτή, ii) τα δέσµια φορτία πόλωσης, που εµφανίζονται στις περατωτικές έδ ρες του πλακιδίου, οι οποίες είναι αντικρυστές προς τους οπλισµούς του πυκνωτή και iii) την ενέργεια που πρέπει να προσφέρουµε στους οπλισµούς για τον διπλασιασµό της απόστασής τους. ΛYΣH: i) Όταν οι οπλισµοί του πυκνωτή αποµακρυνθούν σε απόσταση διπλά σια της αρχικής τους απόστασης L, η χωρητικότητα του πυκνωτή θα µεταβλη θεί υπό σταθερό φορτίο ±q στους οπλισµούς του, µε αποτέλεσµα να µεταβληθεί η τάση του πυκνωτή. Eξάλλου στον χώρο µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή υπάρχουν τρεις περιοχές, εκ των οποίων η µία καλύπτεται από το γυάλινο πλακίδιο πάχους L, ενώ οι άλλες δύο καλύπτονται από ατµοσφαιρικό αέρα και θα έχουν πάχη x 1 και x, µε x 1 +x =L. Στις τρεις αυτές περιοχές η ηλεκτρική µετατόπιση D του ηλεκτρικού πεδίου θα είναι η ίδια, ενώ η ένταση του ηλεκ τρικού πεδίου θα είναι στην µεν περιοχή του πλακιδίου E, στις δε άλλες δύο περιοχές E (σχ. 3) και θα ισχύουν οι σχέσεις: D = ε E E = D/ε (1) D = ε εe E = D/εε () Eάν V 1 είναι η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στο θετικό οπλισµό του πυκνωτή και στην αντικρυστή προς αυτόν έδρα του πλακιδίου, V η διαφορά δυναµικού
µεταξύ των εδρών του πλακιδίου που είναι αντικρυστές προς τους οπλισµούς του πυκνωτή και V 3 η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στην έδρα του πλακιδίου που είναι αντικρυστή προς τον αρνητικό οπλισµό του πυκνωτή και στον οπλισ µό αυτό, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις: (1) V 1 = E x 1 () V = EL (1) V 3 = E x V 1 = Dx 1 / V = DL/ V 3 = Dx / Σχήµα 3 Προσθέτοντας κατά µέλη τις τρεις σχέσεις παίρνουµε: V 1 + V + V 3 = D x 1 + x + L % ' & V = D L + L % ' = DL + 1% ' (3) & & όπου V η τάση του πυκνωτή µετά την αποµάκρυνση των οπλισµών του. Όµως το µέτρο της ηλεκτρικής µετατόπισης στους τρεις χώρους του ηλεκτρικού πεδίου είναι ίσο µε την επιφανειακή πυκνότητα του ελεύθερου φορτίου q του θετικού οπλισµού του πυκνωτή, δηλαδή ισχύει: D = q/s (4) όπου S το εµβαδόν των οπλισµών του πυκνωτή. Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουµε την σχέση:
V = ql + 1% ' S & q V = SqL L( + 1) C = C + 1 (5) όπου C η τελική χωρητικότητα του πυκνωτή µετά την αποµάκρυνση των οπλισ µών του. H µεταβολή ΔC της χωρητικότητας του πυκνωτή είναι: (4) C = C - C C = C + 1 - C = C (1 - - 1) + 1 C = - C + 1 < (6) δηλαδή η χωρητικότητα του πυκνωτή µειώνεται µε τον διπλασιασµό της απόσ τασης των οπλισµών του. H αντίστοιχη µεταβολή ΔV της τάσεως του πυκνωτή είναι: V = V - V = q/c - V V = C V /C - V = V (C /C - 1) (4) V = V ( + 1-1) = V > δηλαδή η τάση του πυκνωτή αυξάνεται. ii) Eστω -q το δέσµιο φορτίο πόλωσης που εµφανίζεται στην περατωτική έδρα του πλακιδίου, η οποία είναι αντικρυστή προς τον θετικό οπλισµό του πυκνω τή. Θεωρούµε κλειστή επιφάνεια που αποτελείται από τις έξι έδρες ενός ορθο γώνιου παραλληλεπίπεδου, εκ των οποίων οι δύο έδρες S 1 και S είναι κάθετες στις δυναµικές γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου και κάθε µία έχει εµβαδόν S, ενώ οι άλλες τέσσερις έδρες του είναι παράλληλες προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου. H κλειστή αυτή επιφάνεια περικλείει το δέσµιο φορτίο πόλωσης -q, οπότε σύµφωνα µε τον νόµο της ηλεκτρικής ροής του Causs θα ισχύει: ' (ES%) = -q'/& E S - ES = -q'/% (1) () - DS + DS = - q' (4) q + q = -q' q'= q - q = q 1-1 % & ' q'= CV 1-1 % ' (7) & iii) Eάν W, W είναι η αρχική αντίστοιχα η τελική ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, τότε θα ισχύουν οι σχέσεις: W = qv / W = qv/ ( ) W - W = qv - qv = q (V - V )
W - W = qv (6) W - W = C V V = C V > (8) δηλαδή µε την αποµάκρυνση των οπλισµών του πυκνωτή η ενέργεια του ηλεκ τρικού του πεδίου αυξάνεται. Aυτό σηµαίνει ότι, πρέπει να προσφερθεί ενέργει α W * ίση µε W-W. Έτσι θα έχουµε: (8) W * = W - W W * = C V / P.M. fysikos Oι οπλισµοί ενός επίπεδου πυκνωτή κενού είναι οριζόντιοι, απέχουν µεταξύ τους απόσταση L και συνδέονται µε τους πόλους ηλεκτρικής γεννήτριας, σταθερής πολικής τάσεως V. Eισά γουµε στον χώρο των οπλισµών ένα πολύ µικρό τµήµα γυάλινου πλα κιδίου, πάχους L και σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς ε, οπότε τούτο αρχίζει να εισχωρεί * περισσότερο στον πυκνωτή κατά την διεύθυνση της µεγαλύτερης διάστασης των οπλισµών του. Διαπιστώθηκε ακόµη ότι, µέχρις ότου το γυάλινο πλακίδιο καταλάβει όλο τον χώρο µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή κινείται µε σταθερή επιτάχυνση µέτρου a. Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή. Δίνονται οι διαστάσεις α και d των οπλισµών του πυκνωτή, µε d<α. ΛYΣH: Eξετάζουµε το πλακίδιο κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, όπου αυτό έχει εισχωρήσει στον πυκνωτή κατά x. Eάν Q 1 είναι το ηλεκτρικό φορτίο που υπάρχει επί του τµήµατος του θετικού οπλισµού που είναι σ επαφή µε το πλακίδιο και Q το ηλεκτρικό φορτίο που υπάρχει στο υπόλοιπο τµήµα του οπλισµού, τότε το φορτίο του πυκνωτή την χρονική στιγµή t θα είναι: Q = Q 1 + Q (1) Σχήµα 4 Eξάλλου, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε όλο το χώρο µεταξύ των οπλι ------------------------------ * H εισχώρηση του πλακιδίου µέσα στον πυκνωτή εξηγείται µε βάση την αλληλε πίδραση των κινητών φορτίων που υπάρχουν στους οπλισµούς του πυκνωτή, µε τα δέσµια φορτία πόλωσης που αναπτύσσονται στις περατωτικές έδρες του πλακιδίου, οι οποίες είναι σ επαφή µε τους οπλισµούς (βλέπε και παράδειγµα ).
σµών είναι χρονικά σταθερή και το µέτρο της είναι ίσο µε V/L. Όµως η ηλεκ τρική µετατόπιση D 1 του πεδίου στον χώρο του πλακιδίου είναι διαφορετική της ηλεκτρικής µετατόπισης D στον κενό χώρο του πυκνωτή και µάλιστα ισχύουν οι σχέσεις: D 1 = E D = E D = E 1 D = E D = V/L 1 D = V/L Όµως για τα µέτρα των διανυσµάτων D 1 και D έχουµε τις σχέσεις: () D 1 = Q 1 S 1 = Q 1 xd και D = Q S = Q d( - x) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: Q 1 /xd = V/L Q /( - x)d = V/L % Q = Vdx/L 1 Q = Vd( - x)/l % (+ ) Q 1 + Q = Vd L (x + - x) (1) Q = Vd L ([ + ( - 1)x] (4) Όµως η κίνηση του πλακιδίου είναι οµαλά επιταχυνόµενη εκ της ηρεµίας µε επιτάχυνση µέτρου a, οπότε θα ισχύει x=at /. Έτσι η σχέση (4) γράφεται: Q = Vd L [ + ( - 1)at /] P.M. fysikos Σφαιρικός µεταλλικός αγωγός ακτίνας r, περιβάλ λεται από σφαρικό δακτύλιο εκ µονωτικού υλικού, διηλεκτρικής σταθεράς ε. O δακτύλιος είναι οµόκεντρος του σφαιρικού αγωγού και η µεν εσωτερική του ακτίνα είναι r, ενώ η εξωτερική του ακτίνα είναι R. Eάν ο σφαιρικός αγωγός φέρει στην εξωτερική του επιφάνεια θετικό ηλεκτρικό φορτίο Q, να βρείτε: i) το µέτρο της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου του αγωγού σε συνάρτηση µε την απόσταση x από το κέντρο του και ii) το δυναµικό του σφαιρικού αγωγού. ΛYΣH: i) Tο ηλεκτρικό φορτίο Q είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένο στην εξω τερική επιφάνεια του µεταλλικού αγωγού και δηµιουργεί γύρω του ένα ηλεκ τροστατικό πεδίο, που παρουσιάζει ακτινική συµµετρία περί το κέντρο του O. H ένταση του πεδίου είναι µηδενική στο εσωτερικό του µεταλλικού αγωγού, ενώ στον εξωτερικό του αγωγού χώρο είναι διάφορη του µηδενός, παρουσιάζει δε ασυνέχειες στις οριακές επιφάνειες του µονωτικού σφαιρικού δακτυλίου. Aς
θεωρήσουµε τώρα ένα οποιοδήποτε σηµείο M του εξωτερικού χώρου του σφαιρι κού αγωγού, που απέχει από το κέντρο του O απόσταση x (x>r). Λόγω της ακτι νικής συµµετρίας που παρουσιάζει το ηλεκτρικό πεδίο, µπορούµε να ισχυρι στούµε ότι, σε όλα τα σηµεία της σφαιρικής επιφάνειας που έχει κέντρο O και ακτίνας x, το διάνυσµα D της διηλεκτρικής µετατόπισης του πεδίου έχει το ίδιο µέτρο και επί πλέον είναι κάθετο στην επιφάνεια αυτή. Eφαρµόζοντας για την επιφάνεια τον γενικευµένο νόµο της ηλεκτρικής ροής του Gauss, παίρνουµε την σχέση: (D) = Q (1) όπου ( D ) η ροή του διανύσµατος της ηλεκτρικής µετατόπισης, δια µέσου της θεωρούµενης σφαιρικής επιφάνειας. Όµως η ροή ( D ) είναι και άθροισµα των στοιχειωδών ροών του διανύσµατος D, δια µέσου των στοιχειωδών τµηµάτων στα οποία διαµερίζεται η σφαιρική επιφάνεια. Έτσι θα έχουµε την σχέση: ( = ( D ) D d S (1) ) = (DdS%&') % (DdS) = Q () Όµως σε όλα τα στοιχειώδη τµήµατα της επιφάνειας η γωνία φ που σχηµα τίζει το διάνυσµα D µε το αντίστοιχο εµβαδικό διάνυσµα n της επιφάνειας είναι µηδενική, οπότε η σχέση () γράφεται: D (ds) = Q D4x = Q D = Q/4x (3) Σχήµα 5.α Σχήµα 5.β Eξάλλου το µέτρο της έντασης E του ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο M συνδέ εται µε το µέτρο της ηλεκτρικής µετατόπισης, µέ σωτης σχέσεως E=D/ε ε, όπου ε η διηλεκτρική σταθερά του διηλεκτρικού υλικού στο οποίο ανήκει το σηµείο M. Έτσι ως προς την ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: α. Tο σηµείο M ανήκει στον διηλεκτρικό σφαιρικό δακτύλιο (r<x<r). Tότε θα
έχουµε για το µέτρο της έντασης E την σχέση: (3) E = D/ E = Q/4 x (4) β. Tο σηµείο M ανήκει στον εξωτερικό χώρο του σφαιρικού µονωτικού δακτυ λίου, όπου επικρατεί κενός χώρος, δηλαδή ισχύει ε=1 και x>r. Tότε για το µέτρο της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου ισχύει η σχέση: (3) E = D/ E = Q/4 x (5) Όλα όσα αναφέρθηκαν για το µέτρο της έντασης του ηλεκτροστατικού πεδίου του φορτισµένου σφαιρικού αγωγού συνοψίζονται στην συνάρτηση:, x < r & E = % Q/4 x, r < x < R & ' Q/4 x, x > R (6) H γραφική παράσταση της συνάρτησης (6) φαίνεται στο σχήµα (5.β). ii) Θεωρούµε τώρα την δυναµική γραµµή A B +, οπότε για το δυναµικό V σφ του σφαιρικού αγωγού θα έχουµε την σχέση: R V = V A,B +V B, = (Edx) + (Edx) r + R (5) R % Q dx( V = + ' * + & 4 ) r x +, % Q dx( + ' * = & 4 ) R x R Q dx& % 4 ) ( + Q dx& % ' 4 ) ( ' r x + * R x V = V = Q % 1 4 r - 1 ( ' * + Q % 1( ' * V = & R) 4 & R) Q + 1 4 r - 1 % R 1-1 (. - ' *, & ) / Q % 1 4 r - 1 R + 1 ( ' * & R) P.M. fysikos H ηλεκτρική ροπή p ενός ηλεκτρικού διπόλου είναι προσανατολισµένη κατά την θετική φορά του άξονα Oz τρισορθο γώνιου συστήµατος αξόνων Oyz. Nα δείξετε ότι το δυναµικό του ηλεκτρικού πεδίου του δηπόλου σε σηµεία M(x,y,z), που η επιβατική τους ακτίνα r ως προς το µέσο O του διλόλου έχει µήκος πολύ µεγα λύτερο του µήκους L του διπόλου (r>>l), δηλαδή σε σηµεία από µακρα του διπόλου, δίνεται από την σχέση:
V( r ) = 1 ( 4 p r ) r 3 όπου p η ηλεκτρική ροπή του διπόλου. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα σηµείο M του οποίου η επιβατική ακτίνα ως προς το O είναι r. To δυναµικό V( r ) του σηµείου M είναι ίσο µε το αλγεβρικό άθροισµα των δυναµικών V (+) και V (-) που δηµιουργούν στο M τα φορτία +q και q αντι στοίχως του ηλεκτρικού διπόλου, δηλαδή ισχύει η σχέση: V( r ) = V (+) + V (-) = 1 +q + 1 -q V( r ) = 4 r + 4 r - 1 q - q & (1) 4 r + r - % όπου r+, r- οι αποστάσεις του M από τα φορτία +q και q αντιστοίχως. Eφαρµό ζοντας το θεώρηµα του συνηµιτόνου στα τρίγωνα OM+q και OM-q, (σχ. 6) παίρνουµε τις σχέσεις: r + = L + r - Lr r - = L + r - Lr(%-) r + = L + r - Lrz/r r - = L + r + Lrz/r r + = L + r - Lz r - = L + r + Lz µε r = x + y + z Σχήµα 6 Eάν για το σηµείο M ισχύει r>>l, τότε οι δύο προηγούµενες σχέσεις παίρνουν την µορφή: r + r - Lz = r (1- Lz/r ) r - = r + Lz = r (1+ Lz/r ) r = r (1 - + Lz/r ) 1/ r - = r (1+ Lz/r ) 1/ () Συνδυάζοντας τις σχέςεις (1) και () έχουµε: V( r ) = q ( 4 r 1 - Lz * & )* r % ' 1/ - 1+ Lz & % r '1/ + -,- (3) Eπειδή zl<<r µπορούµε να γράψουµε τις προσεγγιστικές σχέσεις:
και 1- Lz & % r 1+ Lz & % r '1/ '1/ ( 1+ - 1 & % -Lz r & = 1+ Lz % r ( 1+ - 1 Lz & & = 1- Lz % r % r οπότε η σχέση (3) παίρνει την µορφή: V( r ) = q 4 r 1 + Lz Lz -1 + & = r r % V( r ) = Lq z 4 r 3 & = % Όµως ισχύουν οι σχέσεις: p z 4 r 3 r = x + +z και z = r οπότε η (1) γράφεται: V( r ) = q 4 r Lz r & V( r ) = % & % p z (4) 4 (x + y + z ) 3/ p r %& 4 r 3 () Επειδή η ποσότητα prσυνθ αποτελεί το εσωτερικό γινόµενο ( p r ) η σχέση () παίρνει την µορφή: V( r ) = 1 ( p r ) 4 r 3 P.M. fysikos Θεωρούµε µια διηλεκτρική σφαίρα ακτίνας α, η οποία παρουσιάζει πόλωση P σε όλη της την έκταση. i) Θεωρώντας την σφαίρα ως ιδανικό ηλεκτρικό δίπολο που βρίσκεται στο κέντρο της, να βρείτε το δυναµικό στην εξωτερική της επιφάνεια, που οφείλεται στα δέσµια φορτία της. ii) Nα δείξετε ότι το δέσµιο επιφανειακό φορτίο της σφαίρας είναι µη δενικό. iii) Eπειδή στο εσωτερικό της σφαίρας δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία, σε κάθε σηµείο αυτής ισχύει η εξίσωση του Laplace. Nα βρεί τε µια λύση της εξίσωσης αυτής, η οποία είναι συµβατή µε την τιµή του δυναµικού στην εξωτερική επιφάνεια της σφαίρας.
iv) Nα δείξετε ότι το ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται στην πόλωση της σφαίρας είναι οµογενές στο εσωτερικό της. ΛYΣH: i) Eπειδή η πόλωση P της σφαίρας είναι παντού η ίδια, η ηλεκτρική της ροπή δίνεται από την σχέση: p = 4 3 P /3 (1) Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει το ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται στην πόλωση της σφαίρας, γύρω από την διαµετρο αυτής που είναι παράλληλη προς Σχήµα 7 το διάνυσµα της πόλωσης, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η σφαίρα συµπεριφέ ρεται ως ιδανικό ηλεκτρικό δίπολο που βρίσκεται στο κέντρο της και έχει διπο λική ροπή p. Tο δίπολο αυτό δηµιουργεί σ ένα σηµείο της επιφάνειας της σφαί ρας δυναµικό Vσφ, που σύµφωνα µε το προηγούµενο παράδειγµα δίνεται από την σχέση: V = 1 ( p r ) (1) 4 % 3 V = 1 4%3 ( P r ) = ( P r ) () 4 % 3 3 όπου r η επιβατική ακτίνα του σηµείου ως προς το κέντρο O της σφαίρας. Όµως ισχύει η σχέση: ( P r ) = P r = P z (3) όπου φ η γωνία των διανυσµάτων P και r και z η συντεταγµένη του σηµείου στον άξονα Oz, ο οποίος είναι προσανατολισµένος στην κατεύθυνση της πόλω σης. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) έχουµε: V = P z/3 (4) ii) Eάν σ S είναι η πυκνότητα του επιφανειακού δέσµιου φορτίου της σφαίρας στο τυχαίο σηµείο Α της εξωτερικής επιφάνειας, θα ισχύει η σχέση: ( P n ) = S S = P (5) Eξάλλου το δέσµιο επιφανειακό φορτίο dq S µιας σφαιρικής λωρίδας, η οποία έχει στοιχειώδες εύρος dr και φαίνεται εκ του κέντρου της σφαίρας υπό γωνία
θ, δίνεται από την σχέση: (5) dq S = rdr S dq S = µ dp %&' = P µ d (6) Tο συνολικό δέσµιο φορτίο στην επιφάνεια της σφαίρας θα προκύψει µε ολοκ λήρωση της (6), οπότε θα έχουµε: q S = P µ d = P µ d() q S = - P [%&] = (7) iii) Eπειδή έντος της σφαίρας δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία, ισχύει σε κάθε σηµείο αυτής η εξίσωση του Laplace, η οποία σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγ µένων έχει τη µορφή: V x + V y + V z = H εξίσωση αυτή επαληθεύεται όταν η συνάρτηση δυναµικού για τα εσώτερικά σηµεία είναι της µορφής V=Cz, όπου C σταθερή ποσότητα, επί πλέον δε η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί την οριακή συνθήκη (4) που αναφέρεται στα σηµεία της εξωτερικής επιφάνειας, αρκεί η σταθερά C να ληφθεί ίση µε P/3ε. Άρα η συνάρτηση δυναµικού για τα εσωτερικά σηµεία της σφαίρας έχει την µορφή: V = P z/3 (8) Σχήµα 8 Σχήµα 9 iv) H ένταση του πεδίου στο εσωτερικό της σφαίρας προκύπτει από την σχέση: E = - (V ) = - V % x i + V y j + V z & (8) k ( ' E = - i + j + P k & 3 % E = - P 3 k (9
Παρατηρούµε από την (9) ότι το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό της σφαίρας είναι οµογενές και αντίρροπο της πόλωσης P (σχ. 8). P.M. fysikos Mια σφαίρα από γραµµικό διηλεκτρικό υλικό σχε τικής διηλεκτρικής σταθεράς ε, τοποθετείται σε οµογενες ηλεκτρικό πεδίο έντασης E. i) Nα δείξετε ότι το ηλεκτρικό πεδίο που τελικά διαµορφώνεται στο εσωτερικό της σφαίρας είναι οµογενές, η δε έντασή του ικανοποιεί την σχέση: E = 3 E + ii) Nα δείξετε ότι η σφαίρα αποκτά σταθερή πόλωση για την οποία ισχύει η σχέση: P = 3 ( + 1) + E iii) Nα σχέδιάσετε κατά προσέγγιση τις δυναµικές γραµµές του τελι κού ηλεκτρικού πεδίου γύρω από την πολώµενη σφαίρα. ΛYΣH: i) Θα υποθέσουµε ότι το τελικό ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό της σφαίρας είναι οµογενές και θα ελέγξουµε αν η υπόθεση αυτή είναι συµβατη µε το τελικό µας συµπέρασµα. H σφαίρα υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου έντασης E θα πολώθεί, δήλαδη σε κάθε σηµείο της θα αποκτήσει πόλωση P, η οποία ακολουθεί την σχέση: P = ( - 1) E (1) Eξάλλου η ένταση Σχήµα 1 Σχήµα 11 E σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας θα είναι το δια
νυσµατικό άθροισµα της E και µιας έντασης της την πόλωση P, δηλαδή ισχύει: E p η οποία οφείλεται στην ίδια E = E + E p = E - P /3 () διότι σύµφωνα µε το προηγούµενο παράδειγµα είναι ζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε: P = ( - 1)[ E - P /3 ] = ( - 1) E - P ( - 1)/3 E p = - P /3. Συνδυά P + P ( - 1)/3 = ( - 1) E 3 P + P ( - 1) = 3 ( - 1) E P = 3 ( - 1) E (3) + Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) έχουµε: E = E - 1 3 ( - 1) E 3 + E = E - ( - 1) + E E = 3 E + (4) Παρατηρούµε από την (4) ότι Eεσ <E, διότι ε>1 και αυτό είναι συµβατό µε το γε γονός ότι η πόλωση της σφαίρας δηµιουργεί στο εσωτερικό της ηλεκτρικό πεδίο αντίρροπο αυτής, το οποίο µειώνει στον χώρο της την ένταση E. Eπιπλέον η αρχική υπόθεση ότι το ηλεκτρικό πεδίο E είναι οµογενές δεν έρχεται σε αντίθεση µε το συµπέρασµα που καθορίζει η σχέση (1). ii) Σύµφωνα µε την σχέση (3) η πόλωση της σφαίρας είναι παντού ίδια και οµόρροπη της έντασης E. iii) Oι δυναµικές γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου που προκύπτει από την επαλληλία του πεδίου E και του πεδίου που δηµιουργεί η πόλωση της σφαί ρας έχουν τη µορφή που φαίνονται στα σχήµατα (1) και (11). Για τον εξω τερικό χώρο η πολώµενη σφαίρα λειτουργεί ως ιδανικό ηλεκτρικό δίπολο που βρίσκεται στο κέντρο της και έχει διπολική ροπή p για την οποία ισχύει: p = 43 P = 43 3 3 3 ( - 1) E + p = 43 P - 1 = 4 3 & E 3 + % όπου α η ακτίνα της σφαίρας. P.M. fysikos
Mια σφαίρα ακτίνας α, είναι κατασκευασµένη από διηλεκτρικό υλικό που παρουσιάζει µια παγιωµένη πόλωση, η οποία ακολουθεί το νόµο: P = kr r όπου k θετική και σταθερή ποσότητα, r η απόσταση από το κέντρο της σφαίρας και r το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. i) Nα βρείτε το δέσµιο χωρικό και επιφανειακό φορτίο της σφαίρας. ii) Nα βρείτε την συνάρτηση E=f(r), που δίνει την ένταση του ηλεκτ ρικού πεδίου της πολωµένης σφαίρας. ΛΥΣΗ: i) Eφαρµόζουµε τον νόµο του Gauss για την ροή του διανύσµατος της πόλωσης P της διηλεκτρικής σφαίρας, διαµέσου της κλειστής επιφάνειας σφα ιρικού δακτυλίου εσωτερικής ακτίνας r και πάχους dr που είναι οµόκεν τρος της σφαίρας (σχ. 1), οπότε θα έχουµε: P d S ( ) = - dq V ( P d S ) = - 4r V dr (1) Σχήµα 1 όπου dq V το δέσµιο φορτίο που περιέχει ο δακτύλιος και ρv η χωρική πυκνό τητα του δέσµιου φορτίου σε απόσταση r από το κέντρο του. Eξάλλου το πρώτο µέλος της (1) γράφεται: P d S ( ) = -P 4r + (P + dp )4(r + dr) = = 4 [-P r + (P + dp )(r + dr + rdr) ] = 4 (-P r +P r + r dp + P rdr + rdp dr) 4 r dp + P rdr ( ) * () --------------------------- * Στην σχέση () έχουν παραληφθεί τα διαφορικά δεύτερης τάξεως, ως αµελητέες ποσότητες.
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: 4 ( r dp + P rdr) = -4r V dr dp dr + P r = - V (3) Παραγωγίζοντας την P =k/r παίρνουµε dp /dr=k, οπότε η (4) γράφεται: k + kr/r = - V V = -3k (4) H (4) δηλώνει ότι το δέσµιο χωρικό φορτίο της διηλεκτρική σφαίρας είναι αρνη τικό και οµοιοµορφα κατανεµηµένο εντός αυτής, υπολογίζεται δε από την σχέ ση: (4) q V = (4 3 /3) V q V = -4 3 k (5) Εξάλλου σε κάθε σηµείο της εξωτερικής επιφάνειας της σφαίρας η επιφανειακή πυκνότητα σ S του δέσµιου φορτίου πολώσεως δίνεται από την σχέση: S = ( P S n S ) = P S n S = k% δηλαδή η σ S είναι ίδια για όλα τα σηµεία της εξωτερικής επιφάνειας της σφαί ρας που σηµαίνει ότι το δέσµιο επιφανειακό φορτίο q S αυτής είναι οµοιόµορφα διανεµηµένο δίνεται δε από την σχέση: q S = 4 S =4 3 k (6) Παρατηρούµε από τις (5) και (6) ότι q S +q V =, γεγονός που είναι συµβατο µε την αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Σχήµα 13 ii) To ηλεκτρικό πεδίο της πολωµένης διηλεκτρική σφαίρας παρουσιάζει ακτι νική συµµετρια γύρω από το κέντρο της, οπότε ο νόµος του Gauss για την ροή της έντασης E διαµέσου µιας σφαιρικής επιφάνειας οµόκεντρης της σφαί ρας, ακτίνας r<α δίνει: E d S ( ) = (4r 3 /3) V (4) ( E n )ds = 4r 3 (-3k) 3
E (4r )= - 4r3 k E = - kr (7) Για r>α ο ίδιος νόµος δίνει: E d S ( ) = q V + q S = ( E n )ds = E = (8) Σχήµα 14 Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι η ζητούµενη συνάρτηση έχει την µορφή: E = -kr/, r < % &, r > (9) Από την (9) προκύπτει ότι η συνάρτηση Ε=f(r) παρουσιάζει στην θέση r=α ασυνέχεια, η δε γραφική της παράσταση έχει την µορφή που φαίνεται στο σχή µα (14). P.M. fysikos Ένα διηλεκτρικό σώµα έχει την µορφή σφαιρικού κελύφους, εσωτερικής ακτίνας α και εξωτερικής β. H πόλωση του σώµατος είναι παγιωµένη και ακολουθεί τον νόµο: P = k r /r όπου r η απόσταση από το κέντρο του κελύφους, r το µοναδιαίο διά νυσµα της απόστασης και k θετική σταθερή ποσότητα. i) Nα δείξετε µε εφαρµογή του νόµου του Gauss ότι, η χωρική πυκνό τητα του δέσµιου φορτίου του διηλεκτρικού ακολουθεί τον νόµο: V = -k/r ii) Nα βρείτε τα δέσµια επιφανειακά φορτία στις επιφάνειες του σφαι ρικού κέλυφους και να αποδείξετε ότι, το ολικό δέσµιο φορτίο είναι µηδενικό. iii) Nα βρείτε την συνάρτηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του πολωµένου σώµατος και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση.
ΛYΣH: i) Θεωρούµε εντός του κελύφους ένα σφαιρικό δακτύλιο ακτίνας r και πάχους dr και εφαρµόζουµε τον νόµο του Gauss για την ροή της πόλωσης P, διαµέσου της κλειστής επιφάνειας του φλοιού, οπότε θα έχουµε: P d S (1) ( ) = - dq V όπου dq V το δέσµιο φορτίο που περιέχει ο φλοιός. Eάν ρv είναι η χωρική πυκνό τητα του δέσµιου φορτίου σε απόσταση r από το κέντρο O, θα ισχύει: dq V = V 4r dr () Eξάλλου το πρώτο µέλος της (1) γράφεται: P d S ( ) = -P 4r + (P + dp )4(r + dr) = = 4 [-P r + (P + dp )(r + dr + rdr) ] = 4 (-P r +P r + r dp + P rdr + rdp dr) 4 ( r dp + P rdr) (3) Σχήµα 15 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), () και (3) παίρνουµε την σχέση: 4 ( r dp + P rdr) = -4r V dr dp dr + P r = - V (4) Παραγωγίζοντας την P =k/r παίρνουµε dp /dr=-k/r, οπότε η (4) γράφεται: -k r + k r = - V V = -k r (5) ii) Tα δέσµια φορτία q α και q β επί της εσωτερικής και εξωτερικής επιφάνειας αντιστοίχως του δακτυλίου, είναι: q = 4 = 4 ( P n ) = 4 (-k/) = -4k
και q = 4 = 4 ( P n ) = 4 (k/) = 4k Tο δέσµιο χωρικό φορτίο q V υπολογίζεται από την σχέση: dv) = (-k/r )4r dr q V = ( V (V) = - 4k dr = -4k(-) (V) Tο ολικό δέσµιο φορτίο είναι: q = q + q + q v = -4%k + 4%k -4%k(-) = (6) Tο αποτέλεσµα αυτό αναµενόταν και από τον νόµο του Gauss για την ροή της πόλωσης P διά µέσου της επιφάνειας που περιβάλλει τον δακτύλιο (σχ. 16) Στα σηµεία της επιφάνειας αυτής ισχύει P =, οπότε συµφωνα µε τον νόµο του Gauss θα έχουµε: ( P d S ) = -q ( d S ) = -q q = Σχήµα 16 iii) Eφαρµόζοντας τον νόµο του Gauss για την ροή της έντασης E του ηλεκτρι κού πεδίου διαµέσου µιας σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας r, µε α<r<β, παίρνου µε την σχέση: ( E d S ) = q / E4r = q / (7) όπου q το δέσµιο φορτίο που περικλείει η σφαιρική επιφάνεια. Όµως για το φορτίο q ισχύει: r q = q + V 4r dr = -4k + (-k/r )4r dr r r q = -4k - 4k dr = -4k - 4k(r - ) = -4kr (8) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουµε:
E4r = -4kr/ E = -k/ r, µε α<r<β Eύκολα προκύπτει µε εφαρµογή του νόµου του Gauss ότι, για r>β ή r<α είναι E=, δηλαδή η ζητούµενη συνάρτηση της έντασης είναι: E =, r < -k r / r, < r <, r > H γραφική παράσταση της αλγεβρικής τιµής της έντασης σε συνάρτηση µε την απόσταση r, φαίνεται στο σχήµα (17). Σχήµα 17 Παρατήρηση: Λόγω της παρουσιαζόµενης σφαιρικής συµµετρίας ο στροβιλισ µός της πόλωσης P είναι παντού µηδέν, οπότε η ηλεκτρική µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί µε βάση µόνο τα ελεύθερα φορτία, τα οποία στην περίπτωσή µας ελλείπουν, που σηµαίνει ότι παντού ισχύει D = (βλέπε θεωρία παράγραφος 5. Άρα θα έχουµε: = E + P E = - P / = - k r / r, < r < και = E + E =, r > r < P.M. fysikos