ΕΝΟΤΗΤΑ V ΙΣΧΥΣ - ΤΡΙΦΑΣΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 34
Μετασχηµατιστής Ο µετασχηµατιστής είναι µια διάταξη που αποτελείται από δύο πηνία τυλιγµένα σε έναν κοινό πυρήνα από σιδηροµαγνητικό υλικό. Το πηνίο εισόδου λέγεται πρωτεύον και το πηνίο εξόδου δευτερεύον. Θεωρούµε ότι το πρωτεύον αποτελείται από Ν σπείρες, ενώ το δευτερεύον από Ν σπείρες. + i v L - : M i + v L - Στο παραπάνω ισοδύναµο κύκλωµα L και L είναι οι συντελεστές αυτεπαγωγής και Μ ο συντελεστής σύζευξης. Ισχύει Μ L L. Η βασική λειτουργία ενός µετασχηµατιστή είναι η αλλαγή του επιπέδου τάσης σύµφωνα µε το λόγο των σπειρών. v v L L Για παράδειγµα, αν ένας µετασχηµατιστής µε λόγο σπειρών 0: συνδεθεί στο δίκτυο (0V) στο δευτερεύον θα εµφανιστεί τάση ίση µε V. Συνήθως υποθέτουµε ότι ο µετασχηµατιστής είναι ιδανικός, δηλαδή παρουσιάζει µαγνητική διαπερατότητα που τείνει στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή ισχύει η σχέση i i Ο ιδανικός µετασχηµατιστής είναι ένα στοιχείο που δεν καταναλώνει ενέργεια. Με άλλα λόγια η ισχύς εισόδου στο πρωτεύον p (t) v (t)i (t) ισούται µε την ισχύ εξόδου στο δευτερεύον p (t) v (t)i (t). Τέλος αν ένα φορτίο µε σύνθετη αντίσταση Z L συνδεθεί στο δευτερεύον του µετασχηµατιστή, αποδεικνύεται ότι από το πρωτεύον η αντίσταση που «φαίνεται» είναι ίση µε 35
Z Ο µετασχηµατιστής δηλαδή είναι ένα κύκλωµα που εκτελεί προσαρµογή αντίστασης σύµφωνα µε το τετράγωνο του λόγου των σπειρών. Αυτή την ιδιότητα εκµεταλλευόµαστε σε κυκλώµατα ραδιοσυχνοτήτων έτσι ώστε η µεταφορά ισχύος να είναι η µέγιστη δυνατή. Z L Ισχύς σε κυκλώµατα µε ηµιτονοειδή διέγερση Έστω ότι σε ένα κύκλωµα η τάση και το ρεύµα ακροδεκτών δίνονται από τις σχέσεις v(t) V m cosωt i(t) I m cos(ωt φ) Η στιγµιαία ισχύς έχει σε προηγούµενη ενότητα οριστεί ως το γινόµενο τάσης επί ρεύµα p(t) v(t)i(t) V m I m cosωtcos(ωt φ). Εκµεταλλευόµενοι τριγωνοµετρικές ταυτότητες και χρησιµοποιώντας τις ενεργές τιµές για την τάση (V 0.707V m ) και ρεύµα (I 0.707I m ) µπορούµε να εκφράσουµε τη στιγµιαία ισχύ ως p(t) VIcosφ( + cosωt) + Visinφsin(ωt) p R (t) + p X (t). O όρος p R (t) VIcosφ( + cosωt) είναι της µορφής Α + Αcosωt και εποµένως µεταβάλλεται από την 0 ως τη µέγιστη τιµή VIcosφ στη διάρκεια µιας περιόδου. Η ισχύς p R (t) ονοµάζεται ενεργός ισχύς και εκφράζει την ισχύ που καταναλώνεται από το κύκλωµα για την παραγωγή έργου, ή δαπανάται ως θερµότητα σε αντιστάσεις. Η ενεργός ισχύς έχει πάντα θετικό πρόσηµο και κατά σύµβαση θεωρούµε ότι πάντα δαπανάται. Στην πράξη έχει επικρατήσει να χρησιµοποιείται ως µέτρο της ενεργούς ισχύος η µέση τιµή της. Ορίζουµε λοιπόν την ενεργό ισχύ βάση της σχέσης VΙcosφ. Ο δεύτερος όρος στην έκφραση της στιγµιαίας ισχύος είναι της µορφής p X (t) VIsinφsinωt Bsinωt. Ο όρος αυτός έχει µέση τιµή ίση 36
µε 0 και µέγιστη τιµή ίση µε VIsinφ, ονοµάζεται δε άεργος ισχύς. Η άεργος ισχύς µπορεί να λαµβάνει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιµές. Κατά σύµβαση, η άεργος ισχύς που αναφέρεται σε µια αυτεπαγωγή θεωρείται θετική, δηλαδή ένα πηνίο θεωρείται ότι καταναλώνει άεργο ισχύ. Η άεργος ισχύς που αναφέρεται σε µια χωρητικότητα θεωρείται αρνητική, δηλαδή ένας πυκνωτής παράγει άεργο ισχύ. Ως µέτρο του αέργου ισχύος θεωρείται το πλάτος της. Q VIsinφ. VIcosφ r(t) VIsinφ 0 t x(t) Ισχύς στο πεδίο της συχνότητας Θεωρούµε ότι το ρεύµα και η τάση ακροδεκτών σε ένα κύκλωµα έχουν µετασχηµατισµούς στο πεδίο της συχνότητας αντίστοιχα V V < θ Ι Ι < θ όπου η διαφορά φάσης τάσης και ρεύµατος είναι ίση µε φ θ θ. Ορίζουµε ως µιγαδική ισχύς S το γινόµενο S VI * VI < θ θ VI < φ. 37
Το σύµβολο (*) στο διάνυσµα του ρεύµατος υποδηλώνει συζυγή µιγαδικό. Από τον ορισµό της µιγαδικής ισχύος η ενεργός και άεργος ισχύς λαµβάνονται ως το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος αντίστοιχα. Η µιγαδική ισχύς γράφεται Re{S} VΙcosφ Q Im{S} VΙsinφ S + jq. Το µέτρο της µιγαδικής ισχύος ονοµάζεται φαινόµενη ισχύς και είναι ίσο µε S VI + Q Η φαινόµενη ισχύς έχει µονάδα το Volt-Ampere (VA) και εκφράζει τη µέγιστη πραγµατική ισχύ που µπορεί να καταναλωθεί από ένα φορτίο. Η ενεργός ισχύς µετράται σε Watt (W), ενώ για να τη διακρίνουµε η άεργος ισχύς µετράται σε Volt-Ampere-Reactive (VAR). Συντελεστής ισχύος Αν σχηµατίσουµε το τρίγωνο της ισχύος µε κάθετες πλευρές την ενεργό και άεργο ισχύ και υποτείνουσα τη φαινόµενη ισχύ S Q φ µπορούµε να γράψουµε cosφ tanφ S Q 38
Το µέγεθος cosφ ονοµάζεται συντελεστής ισχύος και έχει ιδιαίτερη οικονοµική σηµασία όπως θα δούµε στη συνέχεια σε ότι αφορά τη µεταφορά ισχύος από µια γραµµή µεταφοράς. Για δεδοµένη ενεργό ισχύ µπορούµε να εκφράσουµε το ρεύµα που ζητά ένα φορτίο ως συνάρτηση του συντελεστή ισχύος. VI cosφ I. V cosφ Αν το cosφ ελαττωθεί το ρεύµα που παρέχει η πηγή αυξάνεται µε κίνδυνο την αύξηση των θερµικών απωλειών και την καταστροφή της διάταξης. Η φυσική σηµασία της ελάττωσης του συντελεστή ισχύος είναι η αύξηση της αέργου ισχύος. Τα βιοµηχανικά φορτία (κινητήρες) έχουν από τη φύση τους επαγωγικό χαρακτήρα, εποµένως είναι καταναλώσεις αέργου ισχύος. Για να βελτιωθεί (αυξηθεί) η τιµή του συντελεστή ισχύος θα πρέπει να αντισταθµίσουµε την κατανάλωση αέργου ισχύος µε πηγές αέργου ισχύος δηλαδή πυκνωτές. Αν φ α είναι η αρχική διαφορά φάσης µεταξύ τάσης και ρεύµατος και επιθυµούµε να ρυθµίσουµε την άεργο ισχύ έτσι ώστε να πάµε σε µια τελική διαφορά φάσης φ τ η απαιτούµενη χωρητικότητα δίνεται από τη σχέση C ωv ( tanφ tanφ ) Παράδειγµα Ένα βιοµηχανικό φορτίο καταναλώνει ισχύ 00kW µε ονοµαστική ενεργό τάση V 0V και cosφ 0.8 επαγωγικό. Να προσδιοριστεί η χωρητικότητα που πρέπει να συνδεθεί παράλληλα στο φορτίο έτσι ώστε ο συντελεστής ισχύς να γίνει. Είναι cosφ τ άρα φ τ 0 ο Επίσης cosφ α 0.8 άρα φ α cos - (0.8) 36.9 o Η συχνότητα λειτουργίας f του δικτύου είναι ίση µε 50Hz και εποµένως ω πf 34rad/s. C ωv a 00000 ( tanφ tanφ ) ( tan( 36.9) tan( 0 ) 4.9 F. a t µ 34x0 t 39
Τριφασικά συστήµατα Ένα κύκλωµα στο οποίο το φορτίο τροφοδοτείται από µια πηγή τάσης µέσω δύο αγωγών ονοµάζεται µονοφασικό κύκλωµα. Τα µονοφασικά κυκλώµατα παρουσιάζουν µειονεκτήµατα, για παράδειγµα οι απώλειες µεταφοράς για δεδοµένη ενεργό ισχύ είναι υψηλές. Επίσης η ροπή σε ένα κινητήρα µονοφασικό έχει διακύµανση. Η λύση που δόθηκε είναι η υιοθέτηση του τριφασικού συστήµατος παγκοσµίως για την παραγωγή και µεταφορά της ηλεκτρικής ενέργειας. Σε ένα τριφασικό σύστηµα οι πηγές τάσεις υπακούουν στις σχέσεις v A V m cosωt v B V m cos(ωt 0 o ) v C V m cos(ωt 40 o ) ή σε πολική µορφή V A V p < 0 o V B V p < -0 o V C V p < -40 o V a V b V c V C V A V B 40
Τα διανύσµατα των πηγών θεωρούµε ότι περιστρέφονται αριστερόστροφα µε ταχύτητα ω rad/s και µε τη σειρά V A, V B, V C. Τριφασική πηγή σε αστέρα Η τριφασική πηγή σε αστέρα φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Ο κοινός κόµβος των τριών µονοφασικών πηγών ονοµάζεται ουδέτερο σηµείο. Οι τάσεις V A, V B, και V C ονοµάζονται φασικές τάσεις, ενώ οι τάσεις V AB, V BC, και V CA τάσεις γραµµής ή πολικές τάσεις. Οι τάσεις γραµµής προκύπτουν από τη διαφορά των αντίστοιχων φασικών τάσεων V AB V A V B, κτλ. V A V AB V CA V C V B V BC Κατασκευάζοντας το διανυσµατικό διάγραµµα των τάσεων V AB -V B 30 o V A V B προκύπτει ότι το πλάτος της τάσης γραµµής είναι 3 φορές µεγαλύτερο από το πλάτος της φασικής τάσης. Οι τάσεις γραµµής προηγούνται των φασικών τάσεων κατά 30 ο. Από το διανυσµατικό διάγραµµα επίσης προκύπτει ότι V A + V B + V C 0 V AΒ + V BC + V CΑ 0 και 4
Με βάση τα παραπάνω η πολική έκφραση των τάσεων γραµµής θα είναι V AΒ 3V p < 30 o V BC 3V p < -90 o V CA 3V p < -0 o όπου V p είναι η ενεργός τιµή της φασικής τάσης. Τριφασικό πηγή σε τρίγωνο Η τριφασική πηγή σε συνδεσµολογία τριγώνου φαίνεται στο σχήµα. Παρατηρούµε ότι οι τάσεις γραµµής ταυτίζονται µε τις φασικές τάσεις και ότι δεν υπάρχει ουδέτερο σηµείο. V C V A V AB V CA V B V BC Είναι φανερό από το βρόχο που σχηµατίζεται ότι ισχύει V A + V B + V C 0. Μετασχηµατισµοί πηγών και φορτίων Για την ανάλυση των τριφασικών συστηµάτων είναι ορισµένες φορές απαραίτητος ο µετασχηµατισµός των πηγών ή των φορτίων από αστέρα σε τρίγωνο και το αντίστροφο. Ο µετασχηµατισµός βασίζεται στη λογική ότι τα δύο συστήµατα θα πρέπει να έχουν τις ίδιες τάσεις γραµµής. Εποµένως η φασική τάση µιας πηγής σε τρίγωνο θα πρέπει να είναι ίση µε την τάση γραµµής της ισοδύναµης πηγής σε αστέρα. V p( ) 3V p(y) ή V p(υ) V p(y) / 3. Ένα τριφασικό φορτίο µε φορτίο Ζ ανά φάση συνδεδεµένο σε τρίγωνο µετασχηµατίζεται σε τρίγωνο αντικαθιστώντας τα φασικά φορτία µε τιµή ίση µε 3Ζ. 4
Ισχύς σε τριφασικά συστήµατα Η ισχύς που καταναλώνεται σε ένα τριφασικό σύστηµα είναι το τριπλάσιο της ισχύος που καταναλώνεται σε κάθε µονοφασικό φορτίο. Αυτό προϋποθέτει ότι το σύστηµα είναι συµµετρικό, δηλαδή τα φασικά φορτία είναι απολύτως όµοια. Έτσι έχουµε 3V p I p cosφ Q 3V p I p sinφ S 3V p I p Αν εκφράσουµε τις παραπάνω σχέσεις µε τη βοήθεια των τάσεων γραµµές έχουµε 3V L I L cosφ Q 3V L I L sinφ S 3V L I L Σύγκριση µονοφασικών και τριφασικών συστηµάτων Στο σηµείο αυτό είµαστε σε θέση να συγκρίνουµε ένα µονοφασικό µε ένα αντίστοιχο τριφασικό σύστηµα. εχόµαστε ότι το φορτίο καταναλώνει ενεργό ισχύ Ρ µε συντελεστή ισχύος cosφ. Επιπλέον ότι οι γραµµές µεταφοράς έχουν ωµική αντίσταση R. Ι Μ ΠΗΓΗ R R V L, cosφ I T ΠΗΓΗ R R V L, cosφ 43
Για την ίδια τάση γραµµής τα ρεύµατα γραµµής στα δύο συστήµατα είναι I I M T VL cosφ 3V cosφ Οι απώλειες ισχύος στη µονοφασική γραµµή είναι M I M VL cos φ Οι απώλειες ισχύος στην τριφασική είναι Ο λόγος των απωλειών είναι L ( R) R T I 3 T 3V cos φ ( 3R) R L T M R R Οι απώλειες του τριφασικού συστήµατος είναι εποµένως οι µισές από τις απώλειες του µονοφασικού συστήµατος. Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι η στιγµιαία ισχύς ενός τριφασικού συστήµατος είναι σταθερή και ίση µε τη µέση ισχύ. Αντίθετα η στιγµιαία ισχύς ενός µονοφασικού συστήµατος µεταβάλλεται µε το χρόνο. 44