HM Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ iezekiel@ucy.ac.cy reen Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη 4 Από την προηγούμενη διάλεξη Πραγματικές πηγές τάσης και πραγματικές πηγές ρεύματος έχουν εσωτερική αντίσταση, και τα αντίστοιχα γραμμικά μοντέλα είναι i I v i v v i I I I I i Μπορούμε να μετατρέψουμε από μία πηγή στην άλλη. Κλίση v I Από την προηγούμενη διάλεξη Αν μια πραγματική πηγή τάσης συνδέεται σε μία αντίσταση φορτίου, τότε μέγιστη μεταφορά ισχύος συμβαίνει όταν Διάλεξη Τεχνικές ανάλυσης κυκλωμάτων S S Ι L L S L Μέγιστη μεταφορά ισχύος για ωμικά κυκλώματα Θέματα της διάλεξης Ουσιαστικοί κόμβοι και ουσιαστικοί κλάδοι Κομβική ανάλυση Πηγή Φορτίο 4
Τι εργαλεία έχουμε; Μέχρι στιγμής, έχουμε μάθει τους βασικούς νόμους των ωμικών κυκλωμάτων, και κάποιες τεχνικές για την απλοποίηση των τοπολογιών κυκλωμάτων (π.χ. διαιρέτες τάσης, ο μετασχηματισμός πηγών κλπ.). Για απλά κυκλώματα, αυτό είναι ικανοποιητικό. Για πιο περίπλοκα κυκλώματα, δεν είναι τόσο εύκολο! Α Β I 5 7 I 6 4 Παράδειγμα Ένα κύκλωμα με 7 κόμβους 9 κλάδους 7 βρόχους πλέγματα 5 Αν θέλουμε, μπορούμε να εφαρμόσει το νόμο τάσης του Kirchhoff για 7 βρόχους και το νόμο ρεύματος του Kirchhoff σε 7 κόμβους. Επτά κλάδοι είναι οι αντιστάσεις, έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο του Ohm επτά φορές. Ως εκ τούτου θα μπορούσαμε να έχουμε εξισώσεις (αλλά μερικές από αυτές είναι εξαρτημένες). 6 Κόμβος Α 5 7 Εδώ, μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο του Kirchhoff (ρεύμα) Βρόχος Πλέγμα Β 4 6 Κλάδος Εδώ, μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο του Ohm (αν εχουμε αντισταση) 7 Εδώ, μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο του Kirchhoff (τάση) 8
Ουσιαστικοί κόμβοι και ουσιαστικοί κλάδοι (ssential nodes and essential branches) Στην ουσία, δεν χρειάζεται να λύνουμε εξισώσεις για όλων των κόμβων και όλων των βρόχων. Μπορούμε νε περιοριστούμε σε ουσιαστικούς κόμβους,ουσιαστικούς κλάδους, και πλέγματα. Ουσιαστικούς κόμβους ένα σημείο όπου τρία η περισσότερα στοιχεία ενώνονται Β Ουσιαστικούς κλάδος μια πορεία που συνδέει δύο ουσιαστικούς κόµβους χωρίς διάβαση µέσω ενός ουσιαστικού κόµβου. Β Εδώ βλέπουμε τέσσερις ουσιαστικούς κλάδους,,, και Η πορεία ΑΒ δεν είναι ουσιαστικός κλάδος επειδή διαπερνά τρίτο ουσιαστικό κόμβο μεταξύ το Α και Β. Πλέγμα (Mesh): Ένας βρόχος που δεν εσωκλείει οποιουσδήποτε άλλους βρόχους. Ποιο από τα πιο πάνω (,,,) δεν είναι ουσιαστικός κόμβος; 9 Β Ε Εδώ βλέπουμε τρεις βρόχους, και Αλλά μόνο δυο είναι πλέγματα και επειδή το εσωκλείει τους άλλους δυο βρόχους. Αν τώρα επιστρέψουμε στο προηγούμενο παράδειγμα, Γενικά, εάν υπάρχουν Ν ουσιαστικοί κόμβοι και Β ουσιαστικοί κλάδοι: Α Β 4 I I Το πιο πάνω κύκλωμα έχει 6 ουσιαστικούς κλάδους, και έτσι έχει 6 άγνωστα ρεύματα. (Υποθέτουμε ότι η τάσεις και είναι γνωστά). Πόσες εξισώσεις πρέπει να λυθούν για αυτό το 5 6 7 N αριθμός ουσιαστικών βόμβων L αριθμός ουσιαστικών πλεγμάτων αριθμός ουσιαστικών κλάδων Β N 4, L, Β 6 ΒΑ Λύνουμε των νόμο του ρεύματος του Κirchhoff [KL] σε (Ν ) κόμβους Λύνουμε των νόμο της τάσης του Κirchhoff [KL] σε Β (Ν ) πλέγματα (β)(γ) I4 I6 I I (α) 5 I7 I I5 I 4 I6 I7 κύκλωμα; Α Β 4 I I 5 6 7 N 4, Β 6 KL σε Ν κόμβους, π.χ. I I5 I7 I I I4 I 5 I I6 Μπορούμε να βρούμε την εξίσωση για των κόμβο από της άλλες τρεις πιο πάνω (α) (β) (γ)
I N 4, Β 6 Παράδειγμα Απλό ωμικό κύκλωμα Α Β I 4 5 6 7 KL σε Β (Ν ) πλέγματα I I55 I ( ) I44 I66 I ( ) I 77 I55 I66 (δ) (ε) (ζ) Να βρεθεί η τάση στα άκρα της αντίστασης. Ι I KL σε Β (Ν ) βρόχους Ι Z N, Β Δυο ουσιαστικοί κόμβοι Χ και Τρεις ουσιαστικοί κλάδοι Χ, και Z KL σε Ν κόμβο, π.χ. I I I Αν υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τις τιμές των πηγών τάσης και των αντιστάσεων, τότε θα πρέπει να λυθούν έξι ταυτόχρονες εξισώσεις για να βρούμε τα έξι άγνωστα ρεύματα. Υποκαθιστώντας την τάση και την τάση, ( ) ( ) 4 Τι γίνεται αν θέλουμε να λύσουμε όλες τις άγνωστες μεταβλητές του κυκλώματος ταυτόχρονα; Έχουμε τρεις γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις, με τρία άγνωστα. I I άγνωστα I I I Επαυξημένος πίνακας (ugmented matrix) I I I I I Μπορούμε να λύσουμε το επαυξημένο πίνακα, χρησιμοποιώντας την τεχνική του aussjordan (aussjordan elimination). Αριθμητικό παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι,, 5Ω, Ω, Ω I I I I I I I I I I 5 5 Ανταλλάξτε την πρώτη με την τρίτη γραμμή 5 γραμμή Γ γραμμή Γ γραμμή Γ 6
Στη συνέχεια 5 Γ Γ 5 Γ 5 5 Γ Γ/ χρήσιμη ιστοσελίδα http://matrix.reshish.com/gausssolution.php... Γ Γ/ Γ Γ Γ Γ Γ Γ.. 5 Ω. Ω. Ω Ακόμα κι αν φαίνεται ότι είναι πολλά τα βήματα που χρειάζονται για να βρούμε τη λύση, τουλάχιστον η προσέγγιση αυτή είναι πιο δομημένη. Υπάρχουν επίσης δύο πλεονεκτήματα της προσέγγισης πίνακα. Z I I I.. 5 5. Γ Γ Γ Γ Γ 5 Γ 5...5 I I I... Όλες οι άγνωστες μεταβλητές βρίσκονται ταυτόχρονα.. Πράξεις πινάκων μπορούν να εφαρμοστούν εύκολα σε υπολογιστές. (Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας το λογισμικό MTL). 7 8 Κομβική Ανάλυση Αν και η χρήση των ουσιαστικών κόμβων και των ουσιαστικών κλάδων θα μειώσει τον αριθμό των εξισώσεων που έχουμε να λύσουμε, θα ήταν καλύτερα αν είχαμε μια ακόμα πιο δομημένη προσέγγιση για την ανάλυση κυκλωμάτων. Με άλλα λόγια, αν θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε κάποιο είδος «αλγορίθμου», θα μπορούσαμε ακόμη και να αναλύσουμε κυκλώματα αυτόματα με προγράμματα. Στην πράξη, είναι αυτό που υλοποιείται σε λογισμικά όπως το SPI (το οποίο βασίζεται στην τεχνική της κομβικής ανάλυσης που θα περιγράψουμε τώρα). Γενικά, εάν υπάρχουν Ν ουσιαστικοί κόμβοι και Β ουσιαστικοί κλάδοι: Λύνουμε των νόμο του ρεύματος του Κirchhoff [KL] σε (Ν ) κόμβους Λύνουμε των νόμο της τάσης του Κirchhoff [KL] σε Β (Ν ) πλέγματα Άρα στο σύνολο, λύνουμε Β (Ν ) (Ν ) Β ταυτόχρονες εξισώσεις Το ερώτημα είναι, μπορούμε να μειώσουμε ακόμη περισσότερο τον αριθμό των εξισώσεων που πρέπει να επιλύσουμε για να βρούμε όλα τα άγνωστα; Η απάντηση είναι «ναι». Εάν εισάγουμε νέες μεταβλητές, τότε μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμό των εξισώσεων του κυκλώματος. Αυτές οι νέες μεταβλητές ονομάζονται τάσεις κόμβων (node voltages) και ρεύματα πλεγμάτων (mesh currents). 9
Με τη μέθοδο των τάσεων κόμβων (nodal voltage analysis), εφαρμόζουμε των νόμο ρεύματος του Κirchhoff σε (Ν ) κόμβους μόνο. Επιλέγουμε ένα κόμβο ως κόμβο αναφοράς (συνήθως είναι γείωση), και θεωρούμε ότι η τάση εδώ είναι μηδέν σε αυτό το σημείο (επειδή είναι σημείο αναφοράς). Μια αναλογία Μετριέται το υψόμετρο σε σχέση με τη στάθμη της θάλασσας. Αλλά αυτό δεν είναι αναγκαστικά το ίδιο με το απόλυτο ύψος. Απλά αυτή η σύμβαση είναι βολική επειδή η στάθμη της θάλασσας είναι κάτι που είναι εύκολο να ορίσουμε και να «δούμε». Έστω μια αντίσταση με τιμή 5 Ω που βρίσκεται ανάμεσα σε ένα κύκλωμα. Αν περάσει ένα ρεύμα με τιμή Α, λέμε ότι μετρούμε μια τάση στα άκρα αυτής τις αντίστασης. Αλλά τη σημαίνει αυτό; 5 Ω Α Β Υπάρχει πτώση τάσης που αντιστοιχεί με Σύμβολο της γείωσης (ground). Α 5 Ω Α βολτόμετρο Αν το βολτόμετρο μεταξύ των κόμβο Α και τη γείωση μετρά 7, τότε το δεύτερο βολτόμετρο θα μετρήσει 7. Ποιο είναι το ψηλότερο βουνό στον κόσμο; Β Στην κομβική ανάλυση θέτουμε ένα κόμβο ως των κόμβο αναφοράς, και στόχος είναι να βρεθούν οι τάσεις στους υπόλοιπους κόμβους. Κοµβικήµέθοδοςτάσης (Nodal oltage Method) Συστηµατική εφαρµογή του KL και KL Α I I 5 7 Αν θεωρήσουμε ότι ο κόμβος είναι κόμβος μηδενικής τάσης, μετά πρέπει να βρεθούν η τάσεις στους κόμβους, και. Μεθοδολογία:. Επιλέξτε τον κόµβο αναφοράς (Γείωση συνήθως ο κόµβος µε τους περισσότερους κλάδους). Σηµαδέψτε τις τάσεις των υπόλοιπων κόµβων σε σχέση µε τη γείωση. (Ουσιαστικοί κόµβοι). Αυτοί είναι οι πρώτιστοι άγνωστοι.. Εφαρµόστε το νόµο ρεύµατος του Kirchhoff (KL) για όλους τους κόµβους εκτός της γείωσης, αντικαθιστόντας τους νόµους των κυκλωµάτων και το νόµο τασης του Kirchhoff (KL). Β 4 6 4. Λύστε γιά τις τάσεις των κόµβων. 5. Βρείτε τις τάσεις και τα ρεύµατα των κλάδων (δευτερεύοντες αγνώστοι). 4
Παράδειγμα Απλό ωμικό κύκλωμα Να βρεθεί η τάση στα άκρα της αντίστασης χρησιμοποιώντας κομβική ανάλυση Ι I Ι Z N, Β N Έχουμε δυο ουσιαστικούς κόμβους (N ), άρα πρέπει να λυθεί ο νόμος ρεύματος του Kirchhoff σε μόνο ένα κόμβο (N ). Αν επιλέξουμε των κόμβο Υ ως κόμβο αναφοράς, τότε εφαρμόζουμε των νόμο ρεύματος του Kirchhoff στον κόμβο Χ. Στην περίπτωση αυτή, μόνο μία εξίσωση πρέπει να λυθεί (ενώ προηγουμένως, έπρεπε να λύσουμε τρεις εξισώσεις για το ίδιο κύκλωμα (δείτε το παράδειγμα ). Ι Z I Στον κόμβο Χ, I I I Ι Z ( ) ( Z ) ( ) Z 5 6 Ι Z I Έχουμε Z ( ) Επίσης, Ι Z Z Z ( ) ( ) Τάση αναφοράς Αν θέλαμε, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε ένα διαφορετικό κόμβο αναφοράς. Αυτό θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα. Ι I Αν θέλαμε, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε μια τάση αναφοράς που δεν είναι μηδέν. Αλλά αυτό δεν θα κάνει την ανάλυση αριθμητικά ευκολότερη. Ι Z 7 8