Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Σχετικά έγγραφα
Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας & Επιχειρηματική Αριστεία Ενότητα 1.3.2: Παραδοσιακή VS νέα προσέγγιση της ΔΟΠ

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Αρχές Προγραμματισμού

Μάρκετινγκ Αγροτικών Προϊόντων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

Διοικητική Λογιστική

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Προσχολική Παιδαγωγική Ενότητα 2: Οργάνωση χρόνου και χώρου στα νηπιαγωγεία

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας & Επιχειρηματική Αριστεία Ενότητα 1.3.3: Μεθοδολογία εφαρμογής προγράμματος Ολικής Ποιότητας

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Διαχείριση Έργων. Ενότητα 10: Χρονοπρογραμματισμός έργων (υπό συνθήκες αβεβαιότητας)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος)

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Θεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος)

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 5: Διαχείριση Έργων υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Στατιστική. 5 ο Μάθημα: Βασικές Έννοιες Εκτιμητικής. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Διδακτική της Πληροφορικής

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Ιστορία της μετάφρασης

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Εισαγωγή στην πληροφορική

Transcript:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Περιγραφή θεματικής ενότητας Ακρότατα συναρτήσεων. Πρώτοι αριθμοί. Κλασικά Πολυώνυμα. Μετασχηματισμός Laplace. Ανάπτυγμα Fourier. Μετασχηματισμός Fourier. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο Newton. Τυχαίοι αριθμοί. Αριθμητικά πειράματα. Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τη χρήση τυχαίων αριθμών (μέθοδος Monte- Carlo). Τυχαίος περίπατος. Πρακτική εξάσκηση. Σκοπός Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με την χρήση των σύγχρονων εργαλείων για την εκτέλεση υπολογισμών με την βοήθεια των υπολογιστών. Οι υπολογισμοί αυτοί περιλαμβάνουν αριθμητικές και αναλυτικές πράξεις, γραφικές αναπαραστάσεις επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων. Έμφαση θα δοθεί στις μεθόδους κατάστρωσης και επίλυσης προβλημάτων μαθηματικών ή/και φυσικής με την βοήθεια του υπολογιστή με τη χρήση ανοικτού λογισμικού.

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Ρίζος Ιωάννης Καθηγητής Τμήματος Φυσικής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων irizos@uoi.gr Ιωάννινα 11-5-2015 Κεφάλαιο 5 Εφαρμογές στα Μαθηματικά 1

Τυχαίοι αριθμοί Αριθμητικά πειράματα Πολλές φορές μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αριθμητικά πειράματα αφενός ως μέσο επίλυσης προβλημάτων στα Μαθηματικά και τη Φυσική και αφετέρου ως εύκολο μέσο επίδειξης χαρακτηριστικών ιδιοτήτων φυσικών συστημάτων. Για το σκοπό αυτό χρειαζόμαστε μια γεννήτρια τυχαίων (ή για την ακρίβεια ψευδοτυχαίων) αριθμών. Το SAGEδιαθέτει δύο συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται ως κάτωθι: Τυχαίος αριθμός μεταξύ 0,1 Τυχαίος ακέραιος αριθμός μεταξύ 50 και 80 Πίνακας με 10 τυχαίους αριθμούς Πίνακας με 10 τυχαίους ακεραίους αριθμούς μεταξύ 10 και 20 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρώματος με τη χρήση τυχαίων αριθμών Ένα ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση τυχαίων αριθμών χωρίς καμμιά γνώση μεθόδων ολοκλήρωσης. Η απλούστερη αυτού του τύπου μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι ένα εμβαδόν το οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε αν το σχεδιάσουμε για παράδειγμα σε ένα κάδρο και ρίξουμε τυχαία σε αυτό βελάκια. Το ολοκλήρωμα είναι ανάλογο του αριθμού από τα βελάκια που βρίσκονται στη σκιασμένη περιοχή προς το σύνολο αυτών που χρησιμοποιήσαμε. Ας δούμε μια εφαρμογή στο παρακάτω παράδειγμα Παράδειγμα 1: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα της συνάρτησης = στην. < < Υπολογισμός χρησιμοποιώντας την αριθμητική ολοκλήρωση του SAGE 2

Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρώματος με τη χρήση τυχαίων αριθμών Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού ολοκληρώματος με τη χρήση τυχαίων αριθμών βασίζεται στα παρακάτω. Η μέση τιμή μιας συνάρτησης ( )σε ένα διάστημα < < ορίζεται ως Για την εκτίμηση της μέσης τιμής παίρνουμε Ν τιμές της συνάρτησης σε τυχαία σημεία,,, Αριθμητικός υπολογισμός...συνέχεια Παράδειγμα 2: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x)=sin sin στην περιοχή < < Υπολογισμός χρησιμοποιώντας την αριθμητική ολοκλήρωση του SAGE 3

Τυχαίος περίπατος Ένας περιπατητής κινείται στο επίπεδο ως εξής: Ξεκινάει από τη θέση (0,0) και σε κάθε χρονική στιγμή κάνει ένα βήμα μήκους l σε τυχαία κατεύθυνση. Σχεδιάστε την τροχιά του. Σειρές Fourier Μια περιοδική συνάρτηση ορισμένη στην περιοχή L,L, αναπτύσσεται σε σειρά Fourier ως εξής Παρακάτω αναπτύσσουμε τη συνάρτηση Προσοχή στον τρόπο γραφικής αναπαράστασης της σειράς μέγιστο n 4

Αριθμητική εύρεση ρίζας εξίσωσης Το SAGE διαθέτει μεθόδους οι οποίες υπολογίζουν αριθμητικά τις ρίζες συναρτήσεων. Αξίζει όμως να παρουσιάσουμε εδώ, ως εφαρμογή, την απλούστερη μέθοδο αριθμητικού υπολογισμού ριζών η οποία ονομάζεται μέθοδος Newton-Raphson. Η μέθοδος συνίσταται στην εύρεση μιας ρίζας της εξίσωσης = 0ξεκινώντας από ένα αρχικό σημείο και προχωρώντας με διαδοχικά βήματα έως ότου ( ) < όπου η επιθυμητή ακρίβεια Παρακάτω εφαρμόζουμε για την εύρεση ρίζας της συνάρτησης = 2 Πρώτοι αριθμοί Ένας φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος της μονάδας, ονομάζεται πρώτος αν διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας φυσικός αριθμός είναι πρώτος χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση is_prime( ) To SAGE όμως διαθέτει και εξειδικευμένες συναρτήσεις όπως η prime_range( ) ή την prime_first_n( ) η χρήση των οποίων φαίνεται στο παράδειγμα 5

Πρώτοι αριθμοί συνέχεια Η συνάρτηση prime_pi( ) αντιστοιχεί στη μαθηματική συνάρτηση ( )η τιμή της οποίας ισούται με το πλήθος των πρώτων που είναι ίσο ή μικρότερο του. Η συνάρτηση ( )δεν είναι γνωστή αναλυτικά αλλά για μεγάλα προσεγγίζεται από το λογαριθμικό ολοκλήρωμα Φίλιοι Αριθμοί (Amical Numbers) Δύο ακέραιοι και ονομάζονται φίλιοι(amical) όταν το άθροισμα των διαιρετών του ενός (εκτός του εαυτού του) ισούται με τον άλλο και αντιστρόφως. Το μικρότερο ζευγάρι φίλιων αριθμών είναι οι (220, 284). Οι διαιρέτεςτου 220 είναι οι 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 και110, με άθροισμα 284και οι διαιρέτες του 284 είναι οι 1, 2, 4, 71 και 142, με άθροισμα 220. Να γραφεί ένα πρόγραμμα το οποίο να υπολογίζει του φίλιους αριθμούς μικρότερους των 6000. Η παρακάτω συνάρτηση επιστρέφει μια λίστα με τους διαιρέτες ενός ακεραίου Υπολογίζουμε μια φορά το άθροισμα των διαιρετών όλων των ακεραίων 1<m<6000 6

Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1240.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος. «Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές. Εφαρμογές στα Μαθηματικά». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1240. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.