301 Κινηματική ρευστών Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του Είδη ροής α) Σταθερή ή μόνιμη = όταν σε κάθε σημείο του χώρου οι συνθήκες ροής, ταχύτητα, θερμοκρασία, πίεση και πυκνότητα, δεν μεταβάλλονται με το χρόνο. β) Ασταθής ή μη μόνιμη
302 γ) Ομοιόμορφη = όταν σε ορισμένη χρονική στιγμή η μέση ταχύτητα του ρευστού είναι ίδια κατά μήκος του πεδίου. π.χ. σε αγωγό σταθερής διατομής η μέση ταχύτητα του ρευστού είναι, σε κάθε διατομή του, η ίδια ταχύτητες δ) Ανομοιόμορφη π.χ. σε αγωγό μεταβλητής διατομής
303 ε) Μονοδιάστατη = όταν η ταχύτητα παραμένει παράλληλη προς ένα άξονα και έχει το ίδιο μέγεθος στην ίδια διατομή. (όταν μ = 0 => ιδανικό ρευστό) π.χ.
304 ε) Δισδιάστατη (όταν το ρευστό έχει κάποιο ιξώδες μ => μη ιδανικό ρευστό και λόγω πρόσφυσης στο τοίχωμα του σωλήνα) π.χ. στ) Τρισδιάστατη (πάνω από καμπύλες επιφάνειες)
305 Όγκος ελέγχου ροής = μια σταθερή και προσδιορισμένη περιοχή του χώρου Όγκος ελέγχου ροής ταχύτητες
306 Γραμμή ροής ή ροϊκή γραμμή = η συνεχής γραμμή, που σε κάθε σημείο της, η ταχύτητα v είναι εφαπτόμενη της γραμμής αυτής. Φλέβα ροής = ο χώρος που περικλείει όλες τις γραμμές ροής που περνούν από μια κλειστή γραμμή, κάπου στο πεδίο. γραμμή ροής
307 Τροχιά ροής = η συνεχής γραμμή που ενώνει τις διαδοχικές θέσεις, από τις οποίες το ρευστό περνάει κατά την κίνησή του. Μέση ταχύτητα ροής v (m/s)
308 Παροχή όγκου Q Q = dv/dt σε m 3 / s Παροχή μάζας = σε kg / s
309 Σχέση μεταξύ και Q = = = Άρα =
310 Εξίσωση της συνέχειας (αρχή της διατήρησης της μάζας) v 2 v 1 = => = Άρα =
311 = και = αλλά Επειδή ούτε απώλεια ούτε συσσώρευση μάζας έχουμε (αρχή της διατήρησης της μάζας) Άρα = = (Εξίσωση της συνέχειας)
312 Γενικότερα Σε κόμβο ισχύει : Συνολική εισροή = Συνολική εκροή
313 Εξίσωση του Euler για μόνιμη ροή μη συνεκτικό ρευστό κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής ισχύει : 1 + + 1 2 ( ) = 0
314 και για ασυμπίεστο ρευστό + 2 + ( ) = Ε πίεσης + Ε κινητική + Ε δυναμική = Άθροισμα έργων (Εξίσωση Bernoulli) ή Ισοζύγιο της Μηχανικής Ενέργειας και διαιρώντας δια => + 2 + ( ) = Σh όπου Σh = οι απώλειες Κάθε όρος έχει διαστάσεις ενέργειας ανά μονάδα βάρους δηλαδή μήκους
315 και εκφράζει «ύψος» Τελικά υπολογίζοντας και άλλα έργα => + + ( ) 2 = Σh + h h όπου h t = η ενέργεια που το ρευστό δίνει στο στρόβιλο(έξοδος) h p = η ενέργεια που το ρευστό παίρνει από αντλία(είσοδος) Ενέργεια που έχασε το ρευστό = Ενέργεια που μετατράπηκε σε (έργο στροβίλου, θερμότητα μέσω του έργου των τριβών, )
316 Παρατηρήσεις Για ιδανικό ρευστό ΔΕΝ υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών => Σh(ύψος απωλειών) = 0 Εάν δεν υπάρχει στρόβιλος => h t = 0 Εάν δεν υπάρχει αντλία => h p = 0 Μια άλλη μορφή της εξίσωσης Bernoulli : + 2 + + h = + 2 + + Σh + h
317 Θεώρημα του Bernoulli Σε μόνιμη ροή ασυμπίεστου υγρού, χωρίς τριβές, το άθροισμα της ενέργειας πίεσης, της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας, ανά μονάδα βάρους ρευστού, παραμένει σταθερό, σε οποιαδήποτε διατομή κάθετη στη ροή. δηλαδή : + 2 + += + 2 + ύψος πίεσης + κινητικό ύψος + γεωμετρικό ύψος = συνολικό ύψος = σταθερό ή συνολικό ύψος πριν = συνολικό ύψος μετά
318 Με βάση το συνολικό ύψος H Θεώρημα Bernoulli H 1 = H 2 Με απώλειες H 1 = H 2 + Σh Με στρόβιλο(turbine) και αντλία(pump) H 1 + h p = H 2 + Σh + H t
319 Πιεζομετρικός σωλήνας = ένας σωλήνας που τοποθετείται με το κάτω άκρο του στο τοίχωμα του σωλήνα, όπως στο σχήμα, και μετράει το ύψος P / γ (σχετικό ύψος) ύψος = P / γ
Σωλήνας Pitot 320 = ένας σωλήνας που τοποθετείται με το κάτω άκρο του μέσα στο υγρό, κάθετα στη ροή, όπως στο σχήμα, και μετράει το ύψος P / γ + v 2 / 2g ύψος = P/γ + v 2 /2g
321 Άρα για οριζόντιο σωλήνα η διαφορά «ύψος στο σωλήνα Pitot ύψος στον πιεζομετρικό σωλήνα» = το κινητικό ύψος v 2 /2g
322 Σωλήνας Pitot μανομετρικού τύπου = ένας συνδυασμός σωλήνα Pitot με πιεζομετρικό σωλήνα, όπως στο σχήμα, και μετράει άμεσα το κινητικό ύψος(ύψος κινητικής ενέργειας) v 2 / 2g ύψος = v 2 /2g
323 Πιεζομετρικό ή στατικό ύψος (διότι μετριέται με πιεζομετρικό σωλήνα και με το ύψος y) = p γ + y Πιεζομετρική γραμμή ή γραμμή υδραυλικού βαθμού = η γραμμή που γράφεται από τις κορυφές των πιεζομετρικών στηλών μέσα στους πιεζομετρικούς σωλήνες Γραμμή ενέργειας = η γραμμή που γράφεται από τις κορυφές των στηλών μέσα στους σωλήνες pitot
324 ρευστό x = 0 P 0 για απόσταση x => P x Για οριζόντιο σωλήνα y 1 = y 2 και η πιεζομετρική διαφορά(ύψος) γίνεται
325 Πιεζομετρική γραμμή Για ρευστό χωρίς τριβές(ιδανικό), σε οριζόντιο σωλήνα με στένωση 25 Πιεζομετρική γραμμή Πιεζομετρική διαφορά 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Απόσταση Πιεζομετρική διαφορά =
326 Πιεζομετρική γραμμή Για ρευστό με τριβές, σε οριζόντιο σωλήνα με στένωση 25 Πιεζομετρική γραμμή Πιεζομετρική διαφορά 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Απόσταση Πιεζομετρική διαφορά =
327 Από το σχήμα φαίνεται ότι η διαφορά μεταξύ αρχικού και τελικού ύψους μας δίνει το ύψος των απωλειών Σh λόγω τριβής, εσωτερικής και με τα τοιχώματα.
328 Γραμμή ενέργειας Για ρευστό χωρίς τριβές(ιδανικό), σε οριζόντιο σωλήνα η γραμμή ενέργειας είναι οριζόντια. Για ρευστό με τριβές, σε οριζόντιο σωλήνα η γραμμή ενέργειας είναι φθίνουσα.
329 Γραμμή Ενέργειας χωρίς τριβές + 2 + Πιεζομετρική Γραμμή + 2
330 Δυναμική θεώρηση σε ροή ρευστού Ισχύς Σχέση ισχύος με τα ύψη h = Ενέργεια ανά μονάδα βάρους h = W/Β => W = h * Β = h * m * g αλλά m = ρv => W = h * V * ρ * g αλλά γ = ρg => W =h * V * γ και ισχύς P = W/t = h * V * γ/t αλλά Q = V/t άρα P = γ * Q * h P = m *g * h
331 Παράδειγμα 301 Σε πολύ μεγάλη δεξαμενή υπάρχει κυκλική τρύπα, με πώμα, με εμβαδόν Α, που βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Να υπολογίσετε την ταχύτητα εκροής του νερού. 1 h 2
332 Παράδειγμα 302 Ο μετρητής Venturi του σχήματος, με διαμέτρους d 1 = 0,10 m και d 2 = 0,06 m, είναι τοποθετημένος σε οριζόντιο σωλήνα νερού. Τα ύψη στο σωλήνα, πριν, στη στένωση και μετά τη στένωση, είναι z 1 = 0,70 m, z 2 = 0,10 m και z 3 = 0,66 m, αντίστοιχα. Να βρείτε τα : Q, v 1, v 2, v 3.
333 Παράδειγμα 303 Λάδι, με σχετική πυκνότητα 0,83, ρέει σε οριζόντιο σωλήνα, όπως στο σχήμα. Το υγρό στο σωλήνα Pitot, μανομετρικού τύπου, είναι νερό. Με δοσμένο ότι οι απώλειες είναι μηδενικές να βρείτε : α) την ταχύτητα του λαδιού στο σημείο 2 και β) την παροχή όγκου του λαδιού. d 1 = 3 in και d 2 = 4 in
334 Παράδειγμα 304 Δύο δεξαμενές, που οι ελεύθερες επιφάνειές τους απέχουν κατακόρυφη απόσταση h k = 20 m, συνδέονται με σωλήνα, όπου οι απώλειες δίνονται από τον τύπο Σh = 10v 2 /g. Ακόμη d = 10 cm Να βρείτε : α) την ταχύτητα του νερού στο σωλήνα και β) την παροχή όγκου h k
335 Παράδειγμα 305 Νερό, με πίεση 1 bar εισάγεται σε αντλία με παροχή 2 m 3 /min και εξάγεται με πίεση 6 bar. Η εξαγωγή της αντλίας βρίσκεται 0,20 m ψηλότερα από την εισαγωγή της. Ο σωλήνας εισαγωγής έχει διάμετρο 0,08 m και της εξαγωγής 0,07 m. Με δοσμένο ότι οι απώλειες είναι μηδενικές να βρείτε : α) το ύψος που η αντλία αποδίδει β) την ισχύ της αντλίας και τις ταχύτητες του νερού γ) στην είσοδο και δ) στην έξοδο 1 bar = 10 5 Pa
336 Παράδειγμα 306 Αντλία μεταφέρει νερό από μια δεξαμενή σε άλλη, όπως στο σχήμα, με σωλήνα, που έχει διάμετρο 5 in και παροχή 150 m 3 /h. Εάν οι απώλειες είναι 8 m και ο βαθμός απόδοσης της αντλίας 70 % να υπολογίσετε : α) το ύψος που η αντλία αποδίδει β) την ισχύ της αντλίας