HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Παρασκευή, 20/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είδαµε την προηγούµενη φορά Συνεκτικότητα Υπογράφηµα Συµπληρωµατικά γραφήµατα Ισοµορφισµός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα Πρακτικώς επιλύσιµα προβλήµατα υσεπίλυτα προβλήµατα Moνοπάτια / κυκλώµατα Ένας µη κατευθυνόµενος γράφοςείναι συνεκτικός αν και µόνο αν υπάρχει ένα µονοπάτι µεταξύ κάθε ζεύγους διαφορετικών κόµβων του. Θεώρηµα: Υπάρχει ένααπλόµονοπάτιγια κάθε ζεύγος διαφορετικών κορυφών σε ένα συνεκτικό, µη κατευθυνόµενο γράφο. 5/22/2016 3 3 5/22/2016 4 4 1
Κατευθυνόµενη συνεκτικότητα Συνεκτικότητα, παραδείγµατα Ένας κατευθυνόµενος γράφος είναι: ισχυρά συνεκτικός αν και µόνο αν υπάρχει ένα κατευθυνόµενο µονοπάτι από το a στο b για κάθε δύο διαφορετικές κορυφές a και b. Ασθενώς συνεκτικός αν ο αντίστοιχοςµη κατευθυνόµενος γράφος (δηλ., αυτός στον οποίο έχουµε βγάλει τον προσανατολισµό των ακµών) είναι συνεκτικός. 5/22/2016 5 5 5/22/2016 6 6 Μονοπάτια Euler και Hamilton Θα µιλήσουµε για το πρόβληµα που παρακίνησε τον Euler να επινοήσει τη θεωρία των γράφων: οι γέφυρες του Koenigsberg (πόλη που σήµερα λέγεται Kaliningrad) Το πρόβληµα των γεφυρών του Königsberg Μπορούµε να περιδιαβούµε την πόλη και, πρν επιστρέψουµε στην αρχική µας θέση, να έχουµε περάσει κάθε γέφυρα µία µόνο φορά; 5/22/2016 7 7 5/22/2016 8 8 2
Το πρόβληµα των γεφυρών του Königsberg Μπορούµε να περιδιαβούµε την πόλη και, πριν επιστρέψουµε στην αρχική µας θέση, να έχουµε περάσει κάθε γέφυρα µία µόνο φορά; Το αρχικό πρόβληµα Μπορείτε να «µοντελοποιήσετε» το πρόβληµα χρησιµοποιώντας όσα ξέρουµε για τους γράφους; Το πρόβληµα των γεφυρών του Königsberg Μπορούµε να περιδιαβούµε την πόλη και, πριν επιστρέψουµε στην αρχική µας θέση, να έχουµε περάσει κάθε γέφυρα µία µόνο φορά; B Το αρχικό πρόβληµα A C D Αντίστοιχος πολυγράφος 5/22/2016 9 9 5/22/2016 10 10 Μονοπάτια Euler & Hamilton Ορολογία: Έναµονοπάτι Euler σε ένα γράφο G είναι ένα απλό µονοπάτι του G που περιλαµβάνει όλες τις ακµές του G. Ένακύκλωµα Euler σε ένα γράφο G είναι ένα απλό κύκλωµα του G που περιλαµβάνει όλες τις ακµές του G. Γέφυρες του Koenigsberg Οι γέφυρες είναι ακµές. Εποµένως, η απάντηση στο πρόβληµα είναι ΘΕΤΙΚΗαν και µόνο αν ο γράφος του προβλήµατος περιλαµβάνει ένα κύκλωµα Euler. Στην πραγµατικότητα, δεν περιέχει 5/22/2016 11 11 5/22/2016 12 12 3
Θεωρήµατα για την ύπαρξη µονοπατιών/κυκλωµάτων Euler Θεώρηµα: Ένας συνεκτικός πολυγράφος περιλαµβάνει κύκλωµα Euler αν και µόνο αν κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθµό. Γέφυρες του Koenigsberg εποµένως δεν υπάρχει κύκλωµα Euler. A Θεώρηµα: Ένας συνεκτικός πολυγράφοςέχει ένα µονοπάτι Euler αν και µόνο αν έχει ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθµού. B C Το αρχικό πρόβληµα D Αντίστοιχος πολυγράφος 5/22/2016 13 13 5/22/2016 14 14 Μονοπάτια/κυκλώµατα Euler Τι λέτε για τον παρακάτω γράφο; Θεώρηµα για την ύπαρξη κυκλώµατος Euler Σχέδιο απόδειξης για το ότι ο άρτιος βαθµός των κορυφών συνεπάγεται την ύπαρξη κυκλώµατος Euler: Ξεκινάµε από ένα τυχαίο κόµβο. Κατασκευάζουµε ένα απλό µονοπάτι προσπαθώντας να φτάσουµε εκεί απ όπου ξεκινήσαµε. Ο γράφος είναι συνεκτικός και κάθε κόµβος έχει άρτιο βαθµό, εποµένως µπορούµε να επισκεφτούµε κάθε κόµβο και αν «πάµε» σε κάποιο κόµβο µπορούµε να φύγουµε από αυτόν Το ότι ο γράφος είναι πεπερασµένος συνεπάγεται ότι η διαδικασία τελικά θα τερµατίσει. Σηµειώστε ότι η πλήρης απόδειξη δίνει ένα αλγόριθµο: πρόκειται για µία κατασκευαστική απόδειξη µίας πρότασης. 5/22/2016 15 15 5/22/2016 16 16 4
Κυκλώµατα Euler για κατευθυνόµενους γράφους Ένας συνεκτικός κατευθυνόµενος γράφος περιλαµβάνει κύκλωµα Euler αν και µόνο αν για κάθε κορυφή του v ισχύει ότι deg + (v) = deg - (v) Μονοπάτια/κυκλώµατα Hamilton Ένα µονοπάτι Euler στο Gείναι ένα απλό µονοπάτιπου περιέχει όλες τις ακµές του G. Ένακύκλωµα Euler στο Gείναι ένα απλό κύκλωµα που περιέχει όλες τις ακµές του G. Έναµονοπάτι Hamilton του Gείναι ένα στοιχειώδες µονοπάτι που περνά από όλες τις κορυφές του G. Ένακύκλωµα Hamilton του G είναι ένα στοιχειώδες κύκλωµα που περιέχει όλες τις κορυφές του G. 5/22/2016 17 17 5/22/2016 18 18 Θεωρήµατα Παραδείγµατα Θεώρηµα του Dirac: Εάν (αλλάόχι µόνο αν) ένας γράφος G είναι συνεκτικός, απλός, έχει n 3 κορυφές, και v deg(v) n/2, τότεο G περιλαµβάνει ένα κύκλωµα Hamilton. 5/22/2016 19 19 5/22/2016 20 20 5
Πρόβληµα Έστω το εξής πρόβληµα: οσµένου ενός απλού γράφου G, περιέχει το G ένα κύκλωµα Hamilton; Αυτό το πρόβληµα έχει είναι NP-πλήρες (NPcomplete) Όπως είπαµε, αυτό σηµαίνει πως, εάν βρεθεί ένας αλγόριθµος που να λύνει αυτό το πρόβληµα σε πολυωνυµικό χρόνο, θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για να επιλύσειόλαταυπόλοιπα NPπροβλήµατασε πολυωνυµικό χρόνο. Βεβαρυµένος γράφος Ένας γράφος G=(V, E, f, h) όπου: V, E όπως έχουµε ήδη δει f: V R (συνάρτηση βαρών κορυφών) h: E R (συνάρτηση βαρών ακµών) Μία από τις δύο συναρτήσεις µπορεί να λείπει. 5/22/2016 21 21 5/22/2016 22 22 Βεβαρυµένος γράφος, παράδειγµα Βεβαρυµένος γράφος, προβλήµατα Το πρόβληµα του συντοµότερου µονοπατιού: οσµένου ενός συνεκτικού, βεβαρυµένου γράφου όπου τα βάρη των ακµών εκφράζουν απόσταση κόµβων, βρες το συντοµότερο µονοπάτι από ένα συγεκριµένο κόµβο σε ένα άλλο (Αλγόριθµος του Dijkstra, πολυπλοκότητα n 2 ) Το πρόβληµα των συντοµότερων µονοπατιών µεταξύ όλων των δυνατών ζευγών κόµβων: Αλγόριθµος Floyd-Warshal, πολυπλοκότητα n 3 5/22/2016 23 23 5/22/2016 24 24 6
Βεβαρυµένος γράφος, προβλήµατα Βεβαρυµένος γράφος, προβλήµατα Το πρόβληµα του περιοδεύοντος πωλητή (traveling salesman):ένας πωλητής θέλει να ξεκινήσει από την πόλη του, να επισκεφτεί όλες τις άλλες πόλεις µία µόνο φορά και να επιστρέψει πίσω στην πόλη του έχοντας διανύσει την ελάχιστη δυνατή απόσταση. Η «µετάφραση» στη θεωρία γράφων: οσµένου ενός συνεκτικού, βεβαρυµένουγράφου όπου τα βάρη των ακµών εκφράζουν απόσταση κόµβων, βρες το κύκλωµα Hamilton µε το µικρότερο δυνατό άθροισµα βαρών των ακµών που συµµετέχουν. 5/22/2016 25 25 5/22/2016 26 26 Επίπεδοι γράφοι Ένας γράφος ονοµάζεται επίπεδος (planar) αν µπορούµε να τον σχεδιάσουµε στο επίπεδο µε τέτοιο τρόπο ώστε οι ακµές του να µην τέµνονται µεταξύ τους. Επίπεδοι γράφοι Για ένα απλό, συνεκτικό, επίπεδο γράφο µε n κορυφές και e ακµές, τα ακόλουθα θεωρήµατα ισχύουν: Θεώρηµα 1: Εάν n 3 τότε e 3n 6 Θεώρηµα 2. Εάν n > 3 και δεν υπάρχουν κύκλοι µήκους 3, τότε e 2n 4. 5/22/2016 27 27 5/22/2016 28 28 7
Επίπεδοι γράφοι: ο τύπος του Euler Επίπεδοι γράφοι Εάν ένας συνεκτικός, επίπεδος γράφος σχεδιαστεί στο επίπεδο χωρίς οι ακµές του να τέµνονται, και nτο πλήθος των κορυφών, eτο πλήθος των ακµών και f το πλήθος των περιοχών, τότε n e + f = 2. Το πρόβληµα του να αποφασιστεί κατά πόσον δύο επίπεδοι γράφοι είναι ισοµορφικοί µπορεί να λυθεί σε πολυωνυµικό χρόνο! 5/22/2016 29 29 5/22/2016 30 30 Ε Π Ι Λ Ο Γ Ο Σ Ολοκλήρωση της θεωρίας του ΗΥ118 Καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας Καλό καλοκαίρι! Ραντεβού στα ΗΥ472, ΗΥ672 σε λίγα χρόνια!!! Καλή επιτυχία στις υπόλοιπες σπουδές σας 5/22/2016 31 31 8