4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου

4. Ομάδες Σημείου ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου o διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων σημείου o διακρίνετε τις βασικές ομάδες σημείου κάθε κατηγορίας o βρίσκετε την ομάδα σημείου ενός μορίου Προαπαιτούμενες γνώσεις υχέρεια στον εντοπισμό των στοιχείων συμμετρίας περιστροφής, στροφοκατοπτρισμού, κατοπτρισμού και αναστροφής, στην εκτέλεση των αντίστοιχων διεργασιών και στην εύρεση των διεργασιών που προκύπτουν από τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των παραπάνω διεργασιών.. 4.1 ύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο η περιγραφή της συμμετρίας ενός μορίου στα πλαίσια της μοριακής συμμετρίας συνίσταται στην εύρεση και καταγραφή του συνόλου των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας που απαντώνται στο μόριο. Το σύνολο αυτό πρέπει να είναι πλήρες, δηλαδή να περιέχει όλες τις απλές διεργασίες συμμετρίας καθώς και αυτές που προκύπτουν από τους συνδυασμούς τους ή τις δυνάμεις τους. Η διαδικασία εύρεσης των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας συνίσταται κατ' αρχή στην κατανόηση της γεωμετρίας του μορίου και στον εντοπισμό ενός όσο το δυνατόν μεγαλύτερου αριθμού στοιχείων συμμετρίας. Στη συνέχεια με βάση τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των διεργασιών που έχουν εντοπισθεί προκύπτουν οι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας και τα αντίστοιχα στοιχεία συμμετρίας. Στο Σχήμα 4.1α δίνονται τρία προφανή στοιχεία συμμετρίας του τριγωνικού διπυραμιδικού μορίου PF. Τα στοιχεία αυτά είναι ο άξονας C που Σχήμα 4.1α. Στοιχεία συμμετρίας C, ταυτίζεται με την ομάδα F(α)-P-F(β), ο άξονας C που ταυτίζεται με την C και σ h στο μόριο PF ομάδα P-F(γ) και το επίπεδο σ h που ταυτίζεται με το ισημερινό επίπεδο του μορίου, PF(γ)F(δ)F(ε). Oι αντίστοιχες διεργασίες είναι οι C, C και σ h. Με βάση αυτές μόνο τις διεργασίες θα δούμε στη συνέχεια πως προκύπτει το πλήρες σύνολο των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας του μορίου. Από τις δυνάμεις της διεργασίας C προκύπτουν οι νέες διεργασίες C και =C. Από το συνδυασμό σ h C προκύπτει η διεργασία S =σ h C ενώ από τις δυνάμεις της διεργασίας S προκύπτει η νέα διεργασία S. Έτσι προκύπτει ένα σύνολο διεργασιών συμμετρίας [, C, C, C, σ h, S, S ]. Oι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας του μορίου, εάν υπάρχουν, μπορούν να προκύψουν από τους συνδυασμούς των παραπάνω διεργασιών. Παρατηρώντας τους παρακάτω συνδυασμούς των διεργασιών του παραπάνω συνόλου, προκύπτει ότι κάποιοι συνδυασμοί ισοδυναμούν με μια διεργασία που ανήκει στο σύνολο αυτό, ενώ για κάποιους άλλους, που επισημαίνονται με σκίαση, δεν υπάρχει ισοδύναμη διεργασία συμμετρίας που να ανήκει στο σύνολο. C =C C =C C =C σ h =σ h S =S S =S C =C C C = C C =_ C σ h =S C S =S C =C C C = C C =_ C σ h =S 1 C S =σ h C S =σ h C S =S

C =C C C =_ C C =_ C σ h =_ C S =_ C S =_ σ h =σ h σ h C =S σ h C =S σ h C =_ σ h S =C σ h S =C S =S S C =S S C =σ h S C =_ S σ h =C S S = S =S S C =σ h S C =S S C =_ S σ h =C S S = Οι συνδυασμοί αυτοί ισοδυναμούν με τις νέες διεργασίας συμμετρίας C ', C, σ v, σ v ', και σ v, που φαίνονται στο Σχήμα 4.1β, και για τους οποίους είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι: C C =C ' C C =C " σ h C =σ v C S =σ v ' S C =σ v " C C =C ' C C =C " C σ h =σ v S C =σ v ' C S =σ v " Έτσι, στα παραπάνω στοιχεία συμμετρίας του μορίου προστίθενται οι δύο άξονες C ' και C " που συμπίπτουν με τους άξονες P-F(δ) και P-F(ε) αντιστοίχως και τα επίπεδα κατοπτρισμού σ v, σ v ' και σ v " που περιέχουν τους άξονες C, C ' και C " και συμπίπτουν με τα επίπεδα PF(α)F(β)F(γ), Σχήμα 4.1β. Τα στοιχεία συμμετρίας του μορίου PF PF(α)F(β)F(δ) και PF(α)F(β)F(ε) αντιστοίχως. Οι άξονες C και S αποτελούν την τομή των επιπέδων σ v, σ v ' και σ v " και οι άξονες C, C ' και C " την τομή του επιπέδου σ h με καθένα από τα επίπεδα σ v, σ v ' και σ v " αντιστοίχως. Τελικά, το πλήρες σύνολο διεργασιών συμμετρίας του μορίου PF διαμορφώνεται ως : [, C, C, C, C ', C ", σ h, S, S, σ v, σ v ', σ v "] Από τη μελέτη των συνδυασμών των διεργασιών συμμετρίας προκύπτουν οι παρακάτω γενικοί κανόνες με βάση τους οποίους μετά τον εντοπισμό ορισμένων στοιχείων συμμετρίας μπορεί να προβλεφθεί η ύπαρξη νέων. 1. Ο συνδυασμός δύο διεργασιών περιστροφής ισοδυναμεί πάντα με διεργασία περιστροφής.. Ο συνδυασμός των διεργασιών κατοπτρισμού σε δύο επίπεδα σ και σ' που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ ισοδυναμεί με διεργασία περιστροφής κατά φ, C n (όπου n=π/φ), περί άξονα που ταυτίζεται με την τομή των δύο επιπέδων. Αυτό σημαίνει ότι η ύπαρξη των επιπέδων κατοπτρισμού σ και σ' προϋποθέτει την ύπαρξη του άξονα C n.. Η ύπαρξη άξονα C n και επιπέδου συμμετρίας σ που τον περιέχει προϋποθέτει την ύπαρξη n τέτοιων επιπέδων, η τομή των οποίων συμπίπτει με τον άξονα και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ=π/n. 4. Ο συνδυασμός δύο διεργασιών περιστροφής C και C ', περί δύο αξόνων που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ ισοδυναμεί με διεργασία περιστροφής περί άξονα, C n κατά φ (όπου n=π/φ). Ο άξονας C n είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζουν οι δύο άξονες. Με βάση αυτόν τον κανόνα αποδεικνύεται εύκολα ότι η ύπαρξη άξονα C κάθετου σε άξονα C n προϋποθέτει την ύπαρξη συνολικά n αξόνων C.. Η ύπαρξη άξονα περιστροφής C n και ενός επιπέδου κατοπτρισμού σ κάθετου σε αυτόν προϋποθέτει την ύπαρξη άξονα στροφοκατοπτρισμού S n. 6. Η ύπαρξη άξονα περιστροφής C ν με άρτια τάξη και ενός επιπέδου κατοπτρισμού σ κάθετου σε αυτόν προϋποθέτει την ύπαρξη κέντρου συμμετρίας i, εφόσον C ν ν σ=σc ν ν =σc =S =i. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η εφαρμογή των κανόνων αυτών στο παραπάνω παράδειγμα του μορίου PF και μάλιστα στην περίπτωση που έχουν εντοπιστεί μόνο τα στοιχεία συμμετρίας [C, C, σ h ]. Κατ' αρχήν η ύπαρξη των C και σ h οδηγεί στον εντοπισμό του S (κανόνας ). Η ύπαρξη των C και C προϋποθέτει την ύπαρξη τριών αξόνων δεύτερης τάξης C, C ' και C " που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 10 (κανόνας 4). Έτσι προκύπτει εύκολα το σύνολο [, C, C, C ', C ", σ h, S ]. Στη συνέχεια από τους συνδυασμούς των διεργασιών αυτών προκύπτουν οι

διεργασίες κατοπτρισμού που αντιστοιχούν στα στοιχεία συμμετρίας σ v, σ v ', σ v " ). Στις παρακάτω ενότητες θα δούμε ότι η εύρεση όλων των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου θα απλοποιηθεί ακόμη περισσότερο. 4. Ορισμός των Ομάδων Σημείου Το πλήρες σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου περιγράφει επακριβώς τη συμμετρία ενός μορίου και καλείται ομάδα συμμετρίας ή ομάδα σημείου. Ο όρος "σημείο" χρησιμοποιείται γιατί, όπως είναι προφανές από τα παραπάνω παραδείγματα, όλα τα στοιχεία συμμετρίας ενός μορίου διέρχονται από ένα κοινό σημείο, το οποίο αποτελεί και το κέντρο μάζας του μορίου. Το σημείο αυτό μπορεί να συμπίπτει ή όχι με τη θέση ενός ατόμου του μορίου και παραμένει ανεπηρέαστο κατά την εφαρμογή οποιασδήποτε διεργασίας συμμετρίας στο μόριο. Ο κανόνας αυτός δεν ισχύει στην περίπτωση μορίων χαμηλής συμμετρίας, όπου τα στοιχεία συμμετρίας τους τέμνονται σε μία γραμμή. Ο όρος "ομάδα" χρησιμοποιείται γιατί όπως θα δειχθεί στη συνέχεια το σύνολο αυτό των διεργασιών αποτελεί μια μαθηματική ομάδα. Η έννοια των όρων "ομάδα" και "σημείο" καθώς και η στενή σχέση της μοριακής συμμετρίας με τη μαθηματική θεωρία των ομάδων θα διευκρινισθεί στο επόμενο κεφάλαιο. Κάθε δυνατή ομάδα σημείου συνίσταται σε μια σειρά από συγκεκριμένες γενεσιουργές και παράγωγες διεργασίες συμμετρίας. Σε κάθε ομάδα σημείου ανήκουν πολλά και διαφορετικά μόρια και έτσι τα μόρια ταξινομούνται με βάση την ομάδα σημείου στην οποίαν ανήκουν. Η ταξινόμηση αυτή έχει εξαιρετική σημασία καθώς, όπως θα δούμε στη συνέχεια, μας επιτρέπει να μελετήσουμε πολλές από τις ιδιότητές των μορίων που ανήκουν σε μια ομάδα σημείου με μια ενιαία μεθοδολογία. 4. Περιγραφή των Ομάδων Σημείου Οι ομάδες σημείου ταξινομούνται σε τέσσερις κατηγορίες, τις μη περιστροφικές ομάδες, τις περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα, τις διεδρικές και τις κυβικές ομάδες. Σε αυτές προστίθεται η σφαιρική ομάδα η οποία αποτελεί μια ιδιαίτερη περίπτωση. Σε κάθε κατηγορία εντάσσεται μια σειρά από οικογένειες ομάδων σημείου οι οποίες έχουν ως μέλη μια σειρά από συγκεκριμένες ομάδες σημείου. Για παράδειγμα στην κατηγορία περιστροφικών ομάδων μοναδικού άξονα εντάσσεται η οικογένεια ομάδων σημείου C nv που έχει ως μέλη τις ομάδες σημείου C v, C v, v, C v και C 6v. Οι κατηγορίες ομάδων σημείου, οι οικογένειες και τα μέλη τους δίνονται στον Πίνακα 4.α. Ο συμβολισμός των ομάδων σημείου που χρησιμοποιείται στη μοριακή συμμετρία είναι αυτός του Schoenflies, όπου το σύμβολο που χρησιμοποιείται για κάθε ομάδα είναι δηλωτικό των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας που περιέχει. Στα σύμβολα των ομάδων μοναδικού άξονα και των διεδρικών ομάδων ο δείκτης "n" συμβολίζει την τάξη του κύριου άξονα της ομάδας και λαμβάνει τιμές n =,,...,. Για να μην συγχέονται οι συμβολισμοί των ομάδων σημείου με εκείνους των διεργασιών συμμετρίας, στα σύμβολα των ομάδων σημείου θα χρησιμοποιούνται έντονοι και πλάγιοι χαρακτήρες (π.χ. C v ), σε αντίθεση με τα σύμβολα των διεργασιών συμμετρίας όπου χρησιμοποιούνται έντονοι και πλάγιοι χαρακτήρες μόνο για το σύμβολο της διεργασίας και κανονικοί χαρακτήρες για τους δείκτες (π.χ. C, σ v ). Υπενθυμίζεται ότι για τα στοιχεία συμμετρίας χρησιμοποιούνται πλάγιοι για το στοιχείο (X) και κανονικοί χαρακτήρες για τους δείκτες (π.χ. C, σ v ). Πίνακας 4.α Κατηγορίες ομάδων σημείου Συμβολισμός Διεργασίες συμμετρίας Μη περιστροφικές ομάδες C 1 C s, σ h C i, i Συνεχίζεται Μέλη C 1 C s C i

Συνέχεια Περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα C n n-1, C n,..., C n C C C C 6 C 7 C 8 C nv, C n,..., C n-1 n, nσ v,d C v C v v C v C 6v C nh, C n,..., C n-1 n, σ h C h C h h C h C 6h S n n-1, S n,..., S n S 4 S 6 S 8 C v, C φ, σ v C v Διεδρικές ομάδες D n, C n,..., C n-1 n, nc (C Cn) D D D 4 D D 6 D nd, C n,..., C n-1 n, nc, nσ d (C Cn) D d D d D 4d D d D 6d D nh, C n,..., C n-1 n, nc, nσ v,d, σ h (C C n ) D h D h D 4h D h D 6h D 8h D h, C, S, C, σ h, σ v, i (C C ) D h Κυβικές ομάδες T, 4C, 4C, C T T d, 8C, C, 6S 4, 6σ d T d T h, 4C, 4C, C, i, 4S 6, 4S 6, σ h T h O, 8C, C, 6, 6C (C =C 4 ) O O h, 8C, 6C, 6, C, i, 6S 4, 8S 6, σ h, 6σ d (C =C 4 ) O h I, 1C, 1C, 0C, 1C I I h, 1C, 1C, 0C, 1C, i, 1S 10, 1S 10, 0S 6, 1σ I h Σφαιρική ομάδα Κ h, C, S, i Κ h Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν όλες οι οικογένειες ομάδων σημείου οι οποίες απαντώνται στη μοριακή συμμετρία ανά κατηγορία. Για κάθε οικογένεια περιγράφονται οι γενεσιουργές και παράγωγες διεργασίες συμμετρίας. Για κάθε ομάδα σημείου μέλος μιας οικογένειας παρατίθενται όλες οι διεργασίες συμμετρίας της καθώς και μια σειρά από αντιπροσωπευτικά μόρια που ανήκουν σε αυτήν. 4..1 Μη περιστροφικές ομάδες σημείου: C 1, C s, C i Οι μη περιστροφικές ομάδες χαρακτηρίζονται από την απουσία αξόνων περιστροφής. Τα μόρια που ανήκουν σε αυτές είναι μόρια χαμηλής συμμετρίας. Οι τρεις ομάδες σημείου της κατηγορίας αναλύονται στη συνέχεια. Ομάδα σημείου C 1. Διεργασίες συμμετρίας: Η ομάδα σημείου C 1 δεν έχει κανένα στοιχείο συμμετρίας εκτός της ταυτότητας,. Τα μόρια που ανήκουν σ' αυτήν καλούνται ασύμμετρα μόρια. Μερικά τέτοια μόρια δίνονται στο Σχήμα 4..1α. Μεταξύ αυτών, κλασικά παραδείγματα αποτελούν οι οργανικές ενώσεις που περιέχουν έναν τετραεδρικό άνθρακα με τέσσερεις διαφορετικούς υποκαταστάτες, όπως το φθοροχλωροβρωμομεθάνιο. Σχήμα 4..1α. Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C 1 4

Ομάδα σημείου C s. Διεργασίες συμμετρίας:, σ h Στην ομάδα σημείου C s ανήκουν αμφίπλευρα αντικείμενα και μόρια, τα οποία έχουν, εκτός της ταυτότητας,, ένα επίπεδο κατοπτρισμού, σ h και κανένα άλλο στοιχείο συμμετρίας. Το επίπεδο αυτό διχοτομεί τα τρισδιάστατα μόρια, ενώ τα επίπεδα μόρια κείνται επί αυτού. Μερικά παραδείγματα τέτοιων μορίων δίνονται στο Σχήμα 4..1β. Σχήμα 4..1β. Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C s Ομάδα σημείου C i. Διεργασίες συμμετρίας:, i Τα αντικείμενα και τα μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C i εκτός από την ταυτότητα,, έχουν κέντρο αναστροφής, i και κανένα άλλο στοιχείο συμμετρίας. Στην ομάδα C i κατατάσσεται πολύ μικρός αριθμός μορίων διότι τα περισσότερα κεντροσυμμετρικά μόρια έχουν συνήθως περισσότερα από τα δύο παραπάνω στοιχεία συμμετρίας και συνεπώς υψηλότερη συμμετρία. Μερικά παραδείγματα τέτοιων μορίων δίνονται στο Σχήμα 4..1γ. Σχήμα 4..1γ Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C i 4.. Περιστροφικές ομάδες μοναδικού άξονα: C n, C nv, C nh, S n, C v Κοινό χαρακτηριστικό αυτής της κατηγορίας ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός μοναδικού άξονα περιστροφής C n ή στροφοκατοπτρισμού S n. Οι οικογένειες των ομάδων σημείου της κατηγορίας αναλύονται στη συνέχεια. n-1 Ομάδες σημείου C n. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n Οι ομάδες σημείου C n περιέχουν ως γενεσιουργό διεργασία την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1). πίσης περιέχουν την ταυτότητα,, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί.

Οικογένεια ομάδων C n Μέλη C C C C 6 C 7 C 8 Γενεσιουργός διεργασία C C C C 6 C 7 C 8 Παράγωγες διεργασίες C C ( ) C C C 4 C (C 6 ) C (C 6 ) C (C 6 4 ) C 6 C 7 C 7 C 7 4 C 7 C 7 6 (C 8 ) C 8 C (C 8 4 ) C 8 (C 8 6 ) C 8 7 Τα μόρια που ανήκουν στις ομάδες C, C, και C 6 είναι ελάχιστα, ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στις ομάδες, C 7 και C 8. Μερικά παραδείγματα δίνονται στο Σχήμα 4..α. Σχήμα 4..α Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου C n Ομάδες σημείου C nv. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, nσ v,d Οι ομάδες σημείου C nv περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1), και n διεργασίες κατοπτρισμού σ v ή σ d. Για την ακρίβεια η γενεσιουργός διεργασία κατοπτρισμού είναι μία, ενώ οι υπόλοιπες n-1 προκύπτουν από τον συνδυασμό των διεργασιών C m n σ v. Οι υπόλοιπες διεργασίες συμμετρίας των ομάδων αυτών είναι η ταυτότητα,, και όλες οι παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον παρακάτω πίνακα. 6

Οικογένεια ομάδων C nv Μέλη C v C v v C v C 6v Γενεσιουργές διεργασίες C σ v C σ v σ v C σ v C 6 σ v Παράγωγες διεργασίες C σ d C (C 4 ) C C C 4 σ d C (C 6 ) C (C 6 ) C ( 6 ) C 6 Τα επίπεδα σ v ή σ d σχηματίζουν διαδοχικά μεταξύ τους γωνία π/n και η τομή τους συμπίπτει με τον άξονα C n. Στις ομάδες σημείου C nv με άξονα περιττής τάξης και στην C v όλα τα επίπεδα συμβολίζονται ως σ v, ενώ στις ομάδες με άξονα άρτιας τάξης (n=>4) υπάρχουν n/ επίπεδα κατοπτρισμού σ v και n/ επίπεδα σ d. Υπενθυμίζεται, ότι τα επίπεδα σ v είναι αυτά που διέρχονται από περισσότερα άτομα. Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες C v, C v και v δίνονται στο Σχήμα 4..β, ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στις ομάδες C v και C 6v. Σχήμα 4..β Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου C nv Ομάδες σημείου C nh. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, σ h Οι ομάδες σημείου C nh περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή περί άξονα, C n (n>1), και μια διεργασία κατοπτρισμού σ h ως προς επίπεδο σ h κάθετο σε αυτόν. πειδή σ h C n =S n περιέχουν και την παράγωγη διεργασία στροφοκατοπτρισμού S n. πίσης περιέχουν την ταυτότητα,, και όλες τις παράγωγες κατάλληλες και ακατάλληλες διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n και S m n και τυχόν συνδυασμούς διεργασιών. Οι ομάδες σημείου με άξονα άρτιας τάξης C h, h και C 6h περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία της αναστροφής, i, καθόσον σ h C =S =i. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. 7

Οικογένεια ομάδων C nh Γενεσιουργές διεργασίες C Παράγωγες διεργασίες Θεωρία ομάδων και μοριακή συμμετρία Μέλη C h C h h C h C 6h σ h i (S =σ h C ) C σ h C S (σ h C ) S σ h C ( ) S 4 (σ h ) i (S =σ h C ) S 4 C σ h C C C 4 S (σ h C ) S S 7 S 9 C 6 σ h C (C 6 ) C (C 6 ) C (C 6 4 ) C 6 S 6 (σ h C 6 ) S (σ h C ) i (S =σ h C ) S S 6 Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες C h και C h δίνονται στο Σχήμα 4..γ, ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στις ομάδες h, C h και C 6h. Σχήμα 4..γ Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου C nh n Ομάδες σημείου S n. Διεργασίες συμμετρίας:, S n,..., S n Οι ομάδες σημείου S n έχουν ως γενεσιουργή διεργασία την ακατάλληλη περιστροφή άρτιας τάξης, S n (n>). πίσης περιέχουν την ταυτότητα,, και όλες τις παράγωγες κατάλληλες και ακατάλληλες διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις S m n. H ομάδα σημείου S 6 περιέχει επιπλέον και τη διεργασία της αναστροφής, i επειδή S 6 =S =i. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω. 8

Οικογένεια ομάδων S n Θεωρία ομάδων και μοριακή συμμετρία Μέλη S 4 S 6 S 8 Γενεσιουργές διεργασίες S 4 S 6 S 8 Παράγωγες διεργασίες C (S 4 ) S 4 C (S 6 ) i (S =S 6 ) C (S 6 4 ) S 6 (C 8 ) S 8 C (S 8 4 ) S 8 (S 8 6 ) S 8 7 ύκολα διαπιστώνεται ότι οι υποθετικές ομάδες σημείου S 1, S και S n+1 ισοδυναμούν με τις C s, C i και C (n+1)h αντιστοίχως. Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες S 4 και S 6 δίνονται στο Σχήμα 4..δ ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στην ομάδα S 8. Σχήμα 4..δ Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου S n Ομάδες σημείου C v. Διεργασίες συμμετρίας:, C φ, σ v φ Η ομάδα σημείου C v περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή απειροστής τάξης, C και άπειρο αριθμό διεργασιών κατοπτρισμού σ v. Η τομή των επιπέδων σ v συμπίπτει με τον άξονα C φ. Οι παράγωγες διεργασίες είναι οι C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και η ταυτότητα. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται παρακάτω. Ομάδα C v Γενεσιουργές διεργασίες C φ, σ v Παράγωγες διεργασίες C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... Σχήμα 4..ε Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου C v Στην ομάδα C v ανήκουν τα μη κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια, μερικά παραδείγματα εκ των οποίων φ δίνονται στο Σχήμα 4..ε. Ο άξονας C συμπίπτει με την ευθεία στην οποία κείται το μόριο που αποτελεί και την τομή των επιπέδων σ v. 4.. ιεδρικές ομάδες: D n, D nd, D nh, D h Κοινό χαρακτηριστικό των διεδρικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός κύριου άξονα περιστροφής C n και n αξόνων C κάθετων στον κύριο άξονα. Οι οικογένειες των ομάδων σημείου της κατηγορίας αναλύονται στη συνέχεια. 9

Ομάδες σημείου D n. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, nc (C C n ) Οι ομάδες σημείου D n περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1) και n διεργασίες περιστροφής C περί άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n.. πίσης περιέχουν την ταυτότητα,, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n. Οι κάθετοι στον κύριο άξονα C n άξονες C σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω. Οικογένεια ομάδων D n C Γενεσιουργές διεργασίες C C C Παράγωγες διεργασίες C Μέλη D D D 4 D D 6 C, C C (C 4 ) C C C C 4 C C 6 C, C C (C 6 ) C (C 6 ) C ( 6 ) C 6 Στις ομάδες σημείου D n με άρτιο n (n>) οι n/ άξονες C συμβολίζονται ως C και οι υπόλοιποι n/, που διχοτομούν τις γωνίες των C, ως C. Οι άξονες C είναι αυτοί που διέρχονται από τα περισσότερα άτομα. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου D οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Έτσι, ο άξονας C που ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z θεωρείται ως ο κύριος άξονας και συμβολίζεται ως C (z), ενώ οι άλλοι δύο ως C (x) και C (y). Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες D και D δίνονται στο Σχήμα 4..α ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στις ομάδες D 4, D και D 6. Σχήμα 4..α. Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου D και D Ομάδες σημείου D nd. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, nc, nσ d (C C n ) Οι ομάδες σημείου D nd περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1), n διεργασίες περιστροφής C περί n άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n και n κατοπτρισμούς σ d ως προς n επίπεδα σ d. πίσης οι ομάδες σημείου D nd περιέχουν την ταυτότητα,, τον στροφοκατοπτρισμό S n που προκύπτει από συνδυασμούς C σ d και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n και S m n. Οι ομάδες σημείου D nd με περιττό n περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία αναστροφής, i, αφού S n n =S =i. 40

Οι άξονες C που είναι κάθετοι στον κύριο άξονα C n σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Τα επίπεδα σ d σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n, περιέχουν τους άξονες C και η τομή τους συμπίπτει με τον κύριο άξονα. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Οικογένεια ομάδων D nd Γενεσιουργές διεργασίες C C ' σ d Παράγωγες διεργασίες S 4 (C σ d ) S 4 Στις περιπτώσεις των ομάδων D nd με άρτιο n (n>) προκύπτει και ένας επιπλέον άξονας C. Ο άξονας αυτός αποτελεί το στοιχείο συμμετρίας της παράγωγης διεργασίας περιστροφής C =C n/ n, συμπίπτει με τον κύριο άξονα C n και συμβολίζεται απλά ως C. Οι υπόλοιποι άξονες δεύτερης τάξης συμβολίζονται ως C '. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου D d οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Ωστόσο, ο άξονας που ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z συμβολίζεται ως C και οι άλλοι δύο ως C '. Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες D d, D d, D 4d και D d δίνονται στο Σχήμα 4..β,ενώ Μέλη D d D d D 4d D d D 6d C C C 6 C 4C ' C 6C ' σ d 4σ d σ d 6σ d C S 6 (C σ d ) i (S =S 6 ) S 6 C ( ) S 8 (C σ d ) S 8 S 8 S 8 7 C C C 4 S 10 (C σ d ) S 10 i (S =S 10 ) S 10 7 S 10 9 C (C 6 ) C (C 6 ) C (C 6 4 ) C 6 S 1 (C σ d ) S 4 (S 1 ) S 1 S 1 7 S 4 (S 1 9 ) S 1 11 δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στην ομάδα D 6d. Σχήμα 4..β Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου D nd Ομάδες σημείου D nh. Διεργασίες συμμετρίας:, C n,..., C n-1 n, nc, nσ v,d, σ h (C C n ) Οι ομάδες σημείου D nh περιέχουν ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή, C n (n>1), τις n διεργασίες περιστροφής C περί n άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C n, τους n κατοπτρισμούς σ v,d ως προς n επίπεδα σ v,d και τον κατοπτρισμό σ h ως προς επίπεδο σ h. πίσης οι ομάδες σημείου D nh περιέχουν την ταυτότητα, 41

, τον στροφοκατοπτρισμό S n που προκύπτει από το συνδυασμό σ h C n και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις C m n και S m n. Οι ομάδες με άρτιο n περιέχουν επιπλέον και τη διεργασία αναστροφής, i, αφού S n/ n =σ h C n/ n =σ h C =S =i. Οι άξονες C που είναι κάθετοι στον κύριο άξονα C n σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n. Τα επίπεδα σ v,d σχηματίζουν μεταξύ τους διαδοχικές γωνίες π/n, περιέχουν τους άξονες C και η τομή τους συμπίπτει με τον κύριο άξονα. Οι διεργασίες συμμετρίας των ομάδων σημείου της οικογένειας δίνονται παρακάτω. Οικογένεια ομάδων Μέλη D nh D h D h D 4h D h D 6h D 8h Γενεσιουργές διεργασίες C (z) C (x), C (y) C C C ', C C C C 6 C ', C C 8 4C ', C σ(xz), σ(yz), σ v σ v σ v σ v 4σ v σ(xy) σ h σ d σ h σ d 4σ d Παράγωγες διεργασίες C S (C σ h ) S σ h C ( ) S 4 ( σ h ) S 4 i (S =σ h C ) C C C 4 S (C σ h ) S S 10 7 S 10 9 σ h C (C 6 ) C (C 6 ) C (C 6 4 ) C 6 S (C σ h ) S S 6 (C 6 σ h ) S 6 i (S =σ h C ) σ h (C 8 ) C 8 C (C 8 4 ) C 8 (C 8 6 ) C 8 7 S 4 ( σ h ) S 4 S 8 (C 8 σ h ) S 8 S 8 S 8 7 i (S =σ h C ) Στις ομάδες D nh με άξονα περιττής τάξης όλα τα κατακόρυφα επίπεδα συμβολίζονται ως σ v, ενώ στις ομάδες με άξονα άρτιας τάξης (n>) υπάρχουν n/ επίπεδα κατοπτρισμού σ v και n/ επίπεδα σ d. Τα επίπεδα σ v είναι αυτά που διέρχονται από τα περισσότερα άτομα. Στις περιπτώσεις των ομάδων D nh με άρτιο n (n>) προκύπτει και ένας επιπλέον άξονας C. Ο άξονας αυτός αποτελεί το στοιχείο συμμετρίας της παράγωγης διεργασίας περιστροφής C =C n/ n, συμπίπτει με τον κύριο άξονα C n και συμβολίζεται απλά ως C. Από τους n, κάθετους στον κύριο άξονα C n, άξονες C οι n/ άξονες C που διέρχονται από τα περισσότερα άτομα συμβολίζονται ως C ' και οι υπόλοιποι n/ ως C. Τα n/ επίπεδα σ v περιέχουν τον C n και έναν C ', ενώ τα n/ επίπεδα σ d περιέχουν τον C n και έναν C. Στην περίπτωση της ομάδας σημείου D h οι τρεις κάθετοι μεταξύ τους άξονες C είναι ισότιμοι. Έτσι, ο(.ο) άξονας που ταυτίζεται με τον καρτεσιανό άξονα z συμβολίζεται ως C (z) και οι άλλοι δύο ως C (x) και C (y). Τα δύο κατακόρυφα επίπεδα (σ v ) συμβολίζονται ως σ(xz) και σ(yz) και το οριζόντιο επίπεδο σ h ως σ(xy). Μερικά παραδείγματα μορίων που ανήκουν στις ομάδες D h, D h, D 4h, D h και D 6h δίνονται στο Σχήμα 4..γ, ενώ δεν υπάρχουν μόρια που ανήκουν στην ομάδα D 8h. 4

Σχήμα 4..γ Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου D nh Ομάδα σημείου D h. Διεργασίες συμμετρίας:, C φ, C, σ v, σ h (C C φ ) Η ομάδα σημείου D h περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες την κατάλληλη περιστροφή απειροστής τάξης, C φ, τις διεργασίες περιστροφής C περί άπειρους άξονες C κάθετους στον κύριο άξονα C φ, τους κατοπτρισμούς σ v ως προς άπειρα επίπεδα σ v και τον κατοπτρισμό σ h ως προς επίπεδο σ h. πίσης περιέχει την ταυτότητα,, τον στροφοκατοπτρισμό απειροστής τάξης S φ που προκύπτει από το συνδυασμό σ h C φ και όλες τις παράγωγες διεργασίες περιστροφής που προκύπτουν από τις δυνάμεις των αξόνων, δηλαδή C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... και κέντρο συμμετρίας i. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται παρακάτω. Ομάδα D h Γενεσιουργές διεργασίες C φ, S φ, C, σ v Παράγωγες διεργασίες E C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... i Στην ομάδα D h ανήκουν τα κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια μερικά παραδείγματα εκ των οποίων δίνονται στο Σχήμα 4..δ. Οι άξονες C φ και S φ συμπίπτουν με την ευθεία στην οποία κείται το μόριο που αποτελεί και την τομή των επιπέδων σ v. Το κέντρο αναστροφής, i, ταυτίζεται με το μέσον του μήκους του μορίου και το σ h διέρχεται από το κέντρο αναστροφής και είναι κάθετο στον C φ. D oo h D oo h D oo h N N O C O H C C H Άζωτο ιοξείδιο του άνθρακα Αιθίνιο Σχήμα 4..δ. Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου D h 4..4 Κυβικές ομάδες: Τ, Τ h, Τ d, O, O h, I, I h Κοινό χαρακτηριστικό των κυβικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη πολλαπλών αξόνων περιστροφής C n υψηλής τάξης (n>). Σε αυτές τις ομάδες σημείου ανήκουν τα πέντε πλατωνικά στερεά: τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο, που φαίνονται στο Σχήμα 4..4.α. Οι έδρες των στερεών αυτών είναι κανονικά πολύγωνα (τρίγωνα, τετράγωνα, πεντάγωνα ή εξάγωνα) και όλες οι κορυφές, ακμές και έδρες είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Τα μόρια ή γεωμετρικά σχήματα που ανήκουν σε αυτές τις ομάδες έχουν άμεση σχέση με τα στερεά αυτά. 4

Σχήμα 4..4α Τα πέντε πλατωνικά στερεά Ομάδες σημείου: Τ, Τ h, Τ d Στην ομάδα σημείου Τ d ανήκει ένα από τα πλατωνικά στερεά, το τετράεδρο. Για την ευκολότερη αναγνώριση των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας της είναι χρήσιμη η σχέση του τετραέδρου με τον κύβο. Συγκεκριμένα, το τετράεδρο είναι το στερεό με τέσσερις κορυφές που ταυτίζονται με ισάριθμες κορυφές του κύβου όπως φαίνεται στο Σχήμα 4..4β-1. 1 Σχήμα 4..4β Ορισμός του τετραέδρου με βάση τον κύβο και στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου Τ d Η ομάδα σημείου Τ d περιέχει εκτός της ταυτότητας τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας: o τέσσερις άξονες περιστροφής C που συμπίπτουν με τις διαγώνιες του κύβου και σχηματίζουν ανά δύο γωνία ~109. και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4C και 4C (Σχήμα 4..4β-1). o τρεις κάθετους μεταξύ τους άξονες περιστροφής C που συνδέουν τα κέντρα των απέναντι ακμών του τετραέδρου ή τα κέντρα των απέναντι πλευρών του κύβου και αντιστοιχούν στις διεργασίες C (Σχήμα 4..4β-1). o τρεις κάθετους μεταξύ τους άξονες στροφοκατοπτρισμού S 4 που συμπίπτουν με τους άξονες C και αντιστοιχούν στις διεργασίες S 4 και S 4 (Σχήμα 4..4β-1). o έξι επίπεδα κατοπτρισμού σ d που καθορίζονται από τα ζεύγη των διαγωνίως απέναντι ακμών του κύβου και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6σ d (Σχήμα 4..4β-). Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου Τ d είναι: Ομάδα σημείου Τ d. Διεργασίες συμμετρίας:, 4C, 4C, C, S 4, S 4, 6σ d 44

Η ομάδα σημείου Τ περιέχει μόνο τις κατάλληλες και ακατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου Τ d, δηλαδή: Ομάδα σημείου Τ. Διεργασίες συμμετρίας:, 4C, 4C, C, S 4, S 4 Τέλος, η προσθήκη στην ομάδα σημείου Τ τριών επιπέδων κατοπτρισμού σ h οδηγεί στην ομάδα σημείου Τ h. Τα επίπεδα αυτά καθορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων C. Ο συνδυασμός των διεργασιών σ h με τις άλλες διεργασίες της ομάδας έχει σαν αποτέλεσμα τέσσερις επιπλέον διεργασίες S 6 (Σχήμα 4..4β-6), από τις οποίες προκύπτουν ισάριθμες διεργασίες S 6, καθώς και η διεργασία i καθόσον σ h C =S =i. Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου Τ h είναι: Ομάδα σημείου Τ h. Διεργασίες συμμετρίας:, 4C, 4C, C, i, 4S 6, 4S 6, σ h Στην ομάδα σημείου Τ d ανήκουν πολλά μόρια, ενώ ελάχιστα είναι αυτά που ανήκουν στις Τ και Τ h. Μερικά παραδείγματα δίνονται στο Σχήμα 4..4.γ. Σχήμα 4..4γ Μόρια που ανήκουν στις ομάδες σημείου Τ d, Τ και Τ h Ομάδες σημείου: O, O h Στην ομάδα σημείου O h ανήκουν τα πλατωνικά στερεά του κύβου και του οκταέδρου. κτός της ταυτότητας περιέχει τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας : o τρεις άξονες περιστροφής κάθετους μεταξύ τους που διέρχονται από τα κέντρα απέναντι εδρών στον κύβο ή απέναντι κορυφών στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες και C 4 (Σχήμα 4..4δ-1). o τέσσερις άξονες περιστροφής C που διέρχονται από τα μέσα απέναντι κορυφών στον κύβο ή εδρών στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4C και 4C (Σχήμα 4..4δ-1). o τρεις άξονες περιστροφής C που συμπίπτουν με τους άξονες και αντιστοιχούν στις διεργασίες C (Σχήμα 4..4δ-1). o έξι άξονες περιστροφής C ' κάθετους μεταξύ τους που διέρχονται από τα μέσα απέναντι ακμών τόσο στον κύβο όσο και στο οκτάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6C ' (Σχήμα 4..4δ-1). o τέσσερις άξονες στροφοκατοπτρισμού S 6 που συμπίπτουν με τους C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 4S 6 και 4S 6 (Σχήμα 4..4δ-1). o τρεις άξονες στροφοκατοπτρισμού S 4 κάθετους μεταξύ τους που συμπίπτουν με τους άξονες και αντιστοιχούν στις διεργασίες S 4, S 4 και C (S 4 )(Σχήμα 4..4δ-1). o τρία επίπεδα κατοπτρισμού σ h που καθορίζονται από τα μέσα τεσσάρων ακμών στον κύβο ή τεσσάρων κορυφών του οκταέδρου και αντιστοιχούν στις διεργασίες σ h (Σχήμα 4..4δ-). o έξι επίπεδα κατοπτρισμού σ d που καθορίζονται από δύο απέναντι ακμές στον κύβο ή διέρχονται από δύο απέναντι κορυφές και διχοτομούν δύο απέναντι ακμές στο οκτάεδρο. Αυτά τα επίπεδα κατοπτρισμού σ d αντιστοιχούν στις διεργασίες 6σ d. (Σχήμα 4..4δ-). 4

1 Σχήμα 4..4δ Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας σημείου O h στον κύβο και το οκτάεδρο 46

o το κέντρο συμμετρίας i που συμπίπτει με το κέντρο μάζας του κύβου και του οκταέδρου, αποτελεί το σημείο τομής όλων των παραπάνω στοιχείων συμμετρίας και αντιστοιχεί στη διεργασία i. Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου O h είναι: Ομάδα σημείου O h. Διεργασίες συμμετρίας:,, C 4, 4C, 4C, 6C ', C, i, S 4, S 4, 4S 6, 4S 6, σ h, 6σ d Η ομάδα σημείου O περιέχει μόνο τις κατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου O h, δηλαδή Ομάδα σημείου O. Διεργασίες συμμετρίας:,, C 4, 4C, 4C, 6C ', C Σχήμα 4..4ε Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου O h Στην ομάδα σημείου O h ανήκουν μόρια όπως το κουβάνιο και αρκετά μόρια ενώσεων συναρμογής μεταβατικών στοιχείων (Σχήμα 4..4.ε), ενώ μόρια που ανήκουν στην Ο είναι εξαιρετικά σπάνια. Ομάδες σημείου: Ι, Ι h Στην ομάδα σημείου Ι h ανήκουν τα πλατωνικά στερεά του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου. και 6S 10 9. Η ομάδα σημείου Ι h, περιέχει εκτός της ταυτότητας τα παρακάτω στοιχεία και διεργασίες συμμετρίας: o έξι άξονες περιστροφής C που διέρχονται από τα κέντρα απέναντι εδρών στο δωδεκάεδρο ή απέναντι κορυφών στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6C, 6C, 6C και 6. o δέκα άξονες περιστροφής C που διέρχονται από τα μέσα απέναντι κορυφών στο δωδεκάεδρο ή εδρών στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 10C και 10C. Σχήμα 4..4στ Στοιχεία συμμετρίας της ομάδας o δεκαπέντε άξονες περιστροφής C που διχοτομούν τις απέναντι ακμές τόσο σημείου Ι h στο δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο στο δωδεκάεδρο όσο και στο εικοσάεδρο και αντιστοιχούν στις διεργασίες 1C. o έξι άξονες στροφοκατοπτρισμού S 10 που συμπίπτουν με τους C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 6S 10, 6S 7 10, 6S 10 o δέκα άξονες στροφοκατοπτρισμού S 6 που συμπίπτουν με τους C και αντιστοιχούν στις διεργασίες 10S 6 και 10S 6. o δεκαπέντε επίπεδα κατοπτρισμού σ που καθορίζονται από δύο άξονες, και αντιστοιχούν στις διεργασίες 1σ. o το κέντρο συμμετρίας i που συμπίπτει με το κέντρο μάζας του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου, αποτελεί το σημείο τομής όλων των παραπάνω στοιχείων συμμετρίας και αντιστοιχεί στη διεργασία i. Έτσι, το σύνολο των διεργασιών της ομάδας σημείου Ι h είναι: Ομάδα σημείου Ι h. Διεργασίες συμμετρίας:, 6C, 6C, 6C, 6, 10C, 10C, 1C, i, 6S 10, 6S 10, 6S 7 10, 6S 9 10, 1σ. Η ομάδα σημείου Ι περιέχει μόνο τις κατάλληλες περιστροφές της ομάδας σημείου Ι h, δηλαδή: Ομάδα σημείου Ι h. Διεργασίες συμμετρίας:, 6C, 6C, 6C, 6, 10C, 10C, 1C 47

Σχήμα 4..4ζ Μόρια που ανήκουν στην ομάδα σημείου Ι h Στην ομάδα σημείου Ι h ανήκουν λίγα μόρια μεταξύ των οποίων το φουλερένιο C 60 (Σχήμα 4..4ζ), ενώ μόρια που να ανήκουν στην Ι δεν υπάρχουν. 4.. Σφαιρική ομάδα: Κ h Η ομάδα σημείου K h περιέχει ως γενεσιουργές διεργασίες τις κατάλληλες περιστροφές, C φ, περί άπειρους φ φ άξονες απειροστής τάξης, C και τις ακατάλληλες διεργασίες περιστροφής S περί άπειρους άξονες στροφοκατοπτρισμού απειροστής τάξης, S φ. Παράγωγες διεργασίες είναι η ταυτότητα, οι δυνάμεις των αξόνων C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... και S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ, οι κατοπτρισμοί σ ως προς άπειρα επίπεδα σ και η αναστροφή i. Οι διεργασίες συμμετρίας της ομάδας σημείου δίνονται παρακάτω. Ομάδα Γενεσιουργές διεργασίες Παράγωγες διεργασίες Κ h C φ, S φ, σ E C -φ, C φ, C -φ, C φ, C -φ,... S -φ, S φ, S -φ, S φ, S -φ,... i Στην ομάδα σημείου K h ανήκει η σφαίρα και όλα τα άτομα. Η έννοια του άπειρου αριθμού αξόνων απειροστής τάξης έγκειται στο γεγονός ότι, οποιοσδήποτε άξονας με τυχαία κατεύθυνση στο χώρο και οποιαδήποτε τάξη αποτελεί άξονα συμμετρίας της σφαίρας, αρκεί βέβαια να διέρχεται από το κέντρο της που αποτελεί και το κέντρο αναστροφής i. πίσης είναι προφανές ότι υπάρχουν άπειρα επίπεδα σ που διέρχονται από κέντρο αναστροφής και είναι κάθετα σε έναν από τους άξονες C φ. 4.4 Συστηματική Μέθοδος ύρεσης της Ομάδας Σημείου ενός Μορίου Σε κάθε εφαρμογή της μοριακής συμμετρίας η εύρεση της ομάδας σημείου στην οποία ανήκει το υπό μελέτη μόριο είναι το πρώτο και απαραίτητο βήμα. Ο εντοπισμός όμως όλων των στοιχείων συμμετρίας του μορίου πολλές φορές είναι δύσκολος αφού υπάρχουν ομάδες σημείου που έχουν πάνω από 100 διεργασίες συμμετρίας. Παρόλα αυτά σε κάθε ομάδα σημείου υπάρχουν ένα ή περισσότερα στοιχεία συμμετρίας "κλειδιά" που είναι χαρακτηριστικά για τη συγκεκριμένη ομάδα και αντιστοιχούν στις γενεσιουργές διεργασίες από τις οποίες προκύπτουν όλες οι άλλες. Για παράδειγμα η ύπαρξη σε ένα μόριο ενός κύριου άξονα C και τριών αξόνων C κάθετων σ' αυτόν σημαίνει ότι θα ανήκει σε μια από τις διεδρικές ομάδες σημείου (D, D h, D d ). Αν το μόριο έχει επιπλέον ένα επίπεδο κατοπτρισμού σ h τότε ανήκει στην ομάδα σημείου D h. Στην αντίθετη περίπτωση, αν έχει επίπεδα κατοπτρισμού σ v ανήκει στην D d, ενώ αν δεν έχει επίπεδα σ v ανήκει στην D. Με βάση τις παραπάνω διαπιστώσεις και μετά από συστηματική μελέτη των στοιχείων συμμετρίας των ομάδων σημείου ο Zeldin πρότεινε μια απλή μέθοδο εύρεσης της ομάδας σημείου ενός μορίου όπου η σταδιακή αναγνώριση κάποιων χαρακτηριστικών στοιχείων συμμετρίας οδηγεί στον εντοπισμό της ομάδας σημείου του μορίου. Σύμφωνα με τη μέθοδο Zeldin ακολουθώντας μια σειρά από λογικά βήματα αναζητούνται κάποια χαρακτηριστικά στοιχεία συμμετρίας στο υπό μελέτη μόριο και η ύπαρξη ή μη αυτών οδηγεί στην εύρεση της 48

ομάδας σημείου του μορίου. Το λογικό διάγραμμα της μεθόδου δίνεται στο Σχήμα 4.4, ενώ τα ερωτήματα που τίθενται σε κάθε λογικό βήμα και οι συνέπειές τους αναλύονται παρακάτω. Σχήμα 4.4 Λογικό διάγραμμα της μεθόδου Zeldin Πορεία εύρεσης της ομάδας σημείου ενός μορίου σύμφωνα με τη μέθοδο Zeldin ίναι το μόριο γραμμικό; Αν το μόριο είναι γραμμικό αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου D h, ενώ αν δεν έχει ανήκει στην ομάδα σημείου C v. Αν το μόριο δεν είναι γραμμικό αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής C. Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής πέμπτης τάξης, C ; Αν το μόριο έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C και έχει επίσης κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου I h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, ανήκει στην ομάδα σημείου Ι Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες. Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής τέταρτης τάξης, ; Αν το μόριο έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής και έχει επίσης κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου Ο h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, ανήκει στην ομάδα σημείου Ο Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής αναζητούνται δύο ή περισσότεροι άξονες C. 49

Υπάρχουν δύο ή περισσότεροι άξονες περιστροφής τρίτης τάξης, C ; Αν το μόριο έχει περισσότερους από δύο άξονες περιστροφής C αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού, σ. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ; Αν το μόριο δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ, ανήκει στην ομάδα σημείου T, ενώ αν δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου T h, ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου T d. Αν το μόριο δεν έχει δύο ή περισσότερους άξονες περιστροφής C αναζητείται ένας τουλάχιστον άξονας περιστροφής. Υπάρχει ένας τουλάχιστον άξονας περιστροφής, C n ; Αν το μόριο δεν έχει άξονες περιστροφής αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού, σ. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ; Αν το μόριο έχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ, ανήκει στην ομάδα σημείου C s, ενώ αν δεν έχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται κέντρο συμμετρίας, i. Υπάρχει κέντρο συμμετρίας, i; Αν το μόριο έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου C i ενώ αν δεν έχει κέντρο συμμετρίας, i, ανήκει στην ομάδα σημείου C 1. Αν το μόριο έχει έναν τουλάχιστον άξονα περιστροφής επιλέγεται ο άξονας με τη μεγαλύτερη τάξη (κύριος άξονας), C n, και αναζητούνται n άξονες περιστροφής δεύτερης τάξης, C, κάθετοι σε αυτόν. Υπάρχουν n άξονες περιστροφής δεύτερης τάξης, C, κάθετοι στον C n ; Αν το μόριο έχει n άξονες περιστροφής, C, κάθετους στον κύριο άξονα, C n, αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ h. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ h ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σ h το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου D nh, ενώ αν δεν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ d. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ d ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σ d το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου D nd, ενώ αν δεν υπάρχει ανήκει στην ομάδα σημείου D n. Αν το μόριο δεν έχει n άξονες περιστροφής, C, κάθετους στον κύριο άξονα, C n, αναζητείται επίπεδο κατοπτρισμού σ h. Υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού, σ h ; Αν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού σ h το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου C nh, ενώ αν δεν υπάρχει επίπεδο κατοπτρισμού αναζητούνται n επίπεδα κατοπτρισμού σ v. Υπάρχουν n επίπεδα κατοπτρισμού σ v ; Αν υπάρχουν n επίπεδα κατοπτρισμού σ v το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου C nv, ενώ αν δεν υπάρχουν αναζητείται άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Υπάρχει άξονας στροφοκατοπτρισμού, S n ; Αν υπάρχει άξονας στροφοκατοπτρισμού S n, το μόριο ανήκει στην ομάδα σημείου S n, ενώ αν δεν υπάρχει ανήκει στην ομάδα σημείου C n. 0

Σύνοψη 1. H περιγραφή της συμμετρίας ενός μορίου στα πλαίσια της μοριακής συμμετρίας συνίσταται στην εύρεση και καταγραφή του συνόλου των στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας που απαντώνται στο μόριο. Συνήθως εντοπίζεται ένας αριθμός στοιχείων συμμετρίας και στη συνέχεια με βάση τους συνδυασμούς και τις δυνάμεις των διεργασιών που έχουν εντοπισθεί προκύπτουν οι υπόλοιπες διεργασίες και τα στοιχεία συμμετρίας.. Το πλήρες σύνολο των διεργασιών συμμετρίας ενός μορίου περιγράφει σαφώς τη συμμετρία ενός μορίου και καλείται ομάδα συμμετρίας ή ομάδα σημείου του μορίου.. Οι ομάδες σημείου ταξινομούνται σε τέσσερις κατηγορίες: τις μη περιστροφικές, τις περιστροφικές μοναδικού άξονα, τις διεδρικές και τις κυβικές. 4. Οι μη περιστροφικές ομάδες χαρακτηρίζονται από την απουσία αξόνων περιστροφής και την παρουσία επιπέδου κατοπτρισμού (ομάδα C s ), κέντρου αναστροφής (ομάδα C i ) ή την απουσία στοιχείων συμμετρίας (ομάδα C 1 ).. Κοινό χαρακτηριστικό των περιστροφικών ομάδων σημείου μοναδικού άξονα είναι η ύπαρξη ενός μοναδικού άξονα περιστροφής C n ή στροφοκατοπτρισμού S n. Στις ομάδες σημείου C n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του C n. Στις ομάδες σημείου C nv υπάρχουν και n κατακόρυφα επίπεδα κατοπτρισμού σ v,d. Στις ομάδες σημείου C nh υπάρχει επιπλέον και επίπεδο κατοπτρισμού σ h και συνεπώς S n, ενώ για n άρτιο υπάρχει επιπλέον το κέντρο αναστροφής i. Στις ομάδες σημείου S n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του S n. Από τις δυνάμεις της διεργασίας S n προκύπτουν και άξονες περιστροφής μικρότερης τάξης, ενώ για n=6 προκύπτει και κέντρο αναστροφής i. Η ομάδα σημείου C h, στην οποία ανήκουν τα μη κεντροσυμμετρικά γραμμικά μόρια, περιέχει άξονα φ περιστροφής C και άπειρα επίπεδα σv. 6. Κοινό χαρακτηριστικό των διεδρικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη ενός κύριου άξονα περιστροφής C n και n αξόνων C κάθετων στον κύριο άξονα. Στις ομάδες σημείου D n δεν υπάρχει άλλο στοιχείο συμμετρίας εκτός του C n και των n αξόνων C. Στις ομάδες σημείου D nd υπάρχουν επιπλέον n κατακόρυφα επίπεδα κατοπτρισμού σ d, καθώς και άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Στις ομάδες σημείου D nh υπάρχουν επιπλέον n κατακόρυφα επίπεδα κατοπτρισμού σ v,d και ένα επίπεδο κατοπτρισμού σ h και συνεπώς άξονας στροφοκατοπτρισμού S n. Όταν το n είναι άρτιο υπάρχει και κέντρο αναστροφής i. Η ομάδα σημείου D h, στην οποία ανήκουν τα κεντροσυμμετρικά γραμμικά φ φ μόρια, περιέχει άξονα περιστροφής C, άπειρους άξονες περιστροφής C κάθετους στον κύριο άξονα C, άξονα φ στροφοκατοπτρισμού S, άπειρα επίπεδα κατοπτρισμού σv και κέντρο αναστροφής i. 7. Κοινό χαρακτηριστικό των κυβικών ομάδων σημείου είναι η ύπαρξη πολλαπλών αξόνων περιστροφής C n υψηλής τάξης (n>). Περιέχουν επίσης πλήθος άλλων στοιχείων και διεργασιών συμμετρίας. Σε αυτές τις ομάδες σημείου ανήκουν τα πέντε πλατωνικά στερεά: τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο. 8. Η σφαιρική ομάδα σημείου Κ h περιέχει ως γενεσιουργές διαδικασίες άπειρες κατάλληλες περιστροφές απειροστής φ φ τάξης, C, άπειρες ακατάλληλες περιστροφές απειροστής τάξης, C, άπειρα επίπεδα κατοπτρισμού σ και την αναστροφή i. 9. Όλες οι ομάδες σημείου εκτός των παραπάνω γενεσιουργών διεργασιών συμμετρίας περιέχουν την ταυτότητα, καθώς και όλες τις παράγωγες διεργασίες που προκύπτουν από τις δυνάμεις και τους συνδυασμούς των γενεσιουργών διεργασιών. 10. Η εύρεση της ομάδας σημείου ενός μορίου διευκολύνεται σημαντικά από τη συστηματική μέθοδο Zeldin. Σύμφωνα με αυτήν ακολουθώντας μια σειρά από λογικά βήματα αναζητούνται κάποια χαρακτηριστικά στοιχεία συμμετρίας στο υπό μελέτη μόριο και η ύπαρξη ή μη αυτών οδηγεί στην εύρεση της ομάδας σημείου του μορίου. 1