Αντοχή κατασκευαστικών στοιχείων σε κόπωση

11.. ΚΟΠΩΣΗ Ενώ ο υπολογισμός της ροπής αντίστασης της μέσης τομής ως το πηλίκο της ροπής σχεδίασης προς τη μέγιστη επιτρεπόμενη τάση, όπως τα μεγέθη αυτά ορίζονται κατά ΙΑS, προσβλέπει στο να εξασφαλίσει ότι η μέση τομή μπορεί να φέρει ασφαλώς τις ροπές που θα αντιμετωπίσει το πλοίο στη ζωή του, δε λαμβάνει υπ'όψη τη πιθανότητα δημιουργίας ρωγμών, που μπορούν να προκαλέσουν κατάρρευση της κατασκευής του πλοίου, λόγω κόπωσης - fatigue. Αντοχή κατασκευαστικών στοιχείων σε κόπωση Σε μία μεταλλική κατασκευή, εναλλασσόμενα φορτία, μπορούν να προκαλέσουν μικροσκοπικές ρωγμές, που μετά από κάποιο αριθμό επανάληψης της φόρτισης, μπορούν να αποκτήσουν διαστάσεις, ώστε να προκαλέσουν θραύση (fracture) της κατασκευής. Βασική παράμετρος των φορτίων κόπωσης, είναι το εύρος της εναλλασσόμενης τάσης από την οποία εξαρτάται ο αριθμός των επαναλήψεων μετά από τις οποίες επέρχεται αστοχία του υλικού. Η πληροφορία αυτή παρουσιάζεται συνήθως υπό τη μορφή διαγραμμάτων εύρους τάσης-αριθμού επαναλήψεων, διαγράμματα σ-n ή S-N, που δηλώνουν τη ζωή ενός δοκιμίου, εκφρασμένη σε αριθμό επαναλήψεων εναλλασσομένου φορτίου σταθερού εύρους, για το συγκεκριμένο τύπο δοκιμίου (γεωμετρία, υλικό, τύπο και ποιότητα συγκόλλησης κ.ο.κ.) και εναλλασσόμενης φόρτισης (καμπτική, μονοαξονική κ.ο.κ.). Στο σχήμα 5-1 παρουσιάζεται μία τυπική καμπύλης σ-n. Παρατηρείται, ότι Για τα περισσότερα υλικά υπάρχει ένα όριο για το εύρος της τάσης σ κάτω από το οποίο, δε συμβαίνει κατάρρευση του υλικού λόγω κόπωσης. Για το εύρος μεγαλύτερο της τάσης διαρροής, δε μελετάται η κατάρρευση λόγω κόπωσης, και θεωρείται ότι το υλικό καταρρέει λόγω των πλαστικών παραμορφώσεων. Η μελέτη της κόπωσης περιορίζεται στην ελαστική περιοχή. Η καμπύλη είναι ανεξάρτητη της μέσης τάσης. Μία απλουστευμένη μορφή από καμπύλες σ-n είναι η m σ N (1) ή άλλως logn log mlogσ 1

όπου οι συντελεστές m,c εξαρτώνται από το υλικό και τις κατασκευαστικές λεπτομέρειες του υπό εξέταση στοιχείου,, σ το σταθερό εύρος φόρτισης που προκαλεί κατάρρευση μετά από Ν επαναλήψεις. Σχήμα 5-1 καμπύλη σ-n Οι τιμές των συντελεστών m, δίνονται για χαλύβδινες κατασκευές από τα βρετανικά πρότυπα (British Standards) BS5400, μέρος 10, και για κατασκευές από αλουμίνιο από τα BS8118. Οι χαλύβδινες κατασκευές έχουν ταξινομηθεί σε οκτώ κατηγορίες ανάλογα με τον τύπο της ένωσης και τον τρόπο συγκόλλησης, και κάθε κατηγορία χαρακτηρίζεται από ένα γράμμα. Οι κατηγορίες, οι σχετικές με χαλύβδινα πλοία είναι οι B,, D, E, F, F2, G, W, που περιγράφονται στον πίνακα 5-1, στον οποίο φαίνονται και οι αντίστοιχες τιμές των συντελεστών. Οι τιμές παρουσιάζονται για λόγους σύγκρισης, μια και πρέπει να χρησιμοποιούνται οι τιμές, που λαμβάνουν υπόψη τον τρόπο ένωσης των στοιχείων της κατασκευής και τον τύπο συγκόλλησης. 2

Πίνακας 5-1 Συντελεστές από τις καμπύλες σ-n Τυπολογία κατασκευής m=3 Συντελεστής K=log m=4 N 10 7 N>10 7 Πολλαπλασιαστής ονομαστικής τάσης B 12,763 16,606 0,64 12,540 16,232 0,76 D 12,182 15,636 1,00 E 12,011 15,352 1,14 F 11,801 15,001 1,34 F2 11,636 14,727 1,52 G 11,395 14,324 1,83 W 10,968 13,612 2,13 Λαμβάνοντας υπ' όψη τα όσα προαναφέρθηκαν, είναι επιθυμητό να οριστεί κάποια μεταβλητή, που να δηλώνει τη βλάβη, που υπέστη η κατασκευή λόγω κόπωσης, Η μεταβλητή αυτή είναι ο "συντελεστής σωρευμένης βλάβης" (damage ratio), και ισούται για την περίπτωση που ένα δοκίμιο υποβάλλεται σε εναλλασσόμενη φόρτιση σταθερού εύρους με ηl n N (2) όπου n ο αριθμός των κύκλων φόρτισης, και N ο μέγιστος αριθμός κύκλων σύμφωνα με τη σχέση (1). Σε δοκίμια ή κατασκευές που οι εναλλασσόμενες τάσεις είναι μη σταθερού εύρους, ο υπολογισμός του συντελεστή σωρευμένης βλάβης, γίνεται με βάση το νόμο του Miner. Σύμφωνα με το νόμο αυτό η κόπωση του υλικού έχει γραμμικά σωρευτική επίδραση στην κατασκευή, δηλαδή η βλάβη που προκαλείται από την εναλλασσόμενη φόρτιση με σταθερό εύρος δεν επηρεάζει τη βλάβη που προκλήθηκε λόγω εναλλασσομένων φορτίσεων με εύρη, διάφορα του σταθερού. Μαθηματικά ο νόμος του Miner εκφράζεται από τη σχέση ηl B i ni Ni (3) 3

όπου n i ο αριθμός των εναλλασσόμενων φορτίσεων σταθερού εύρους Ν i o μέγιστος αριθμός εναλλασσομένων φορτίσεων που προκύπτει από τη καμπύλη σ-n για εναλλασσόμενη φόρτιση σταθερού εύρους σ i σ i, και Β ο αριθμός των περιπτώσεων εναλλασσόμενης φόρτισης, σταθερού εύρους σ i Βλάβη προκαλούμενη στη ζωή του πλοίου λόγω κόπωσης Αν είναι γνωστά, ο αριθμός των κύκλων εναλλασσόμενης φόρτισης που θα υποστεί το πλοίο στη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος, και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του εύρους των εναλλασσομένων τάσεων στην ίδια περίοδο. είναι δυνατός ο υπολογισμός του συντελεστής σωρευμένης βλάβης που θα προκληθεί στη διάρκεια της περιόδου. Αν n i είναι οι κύκλοι που θα ασκηθούν, κατά τη διάρκεια της υπό εξέταση περιόδου, με εύρος από σ i έως σi σ i τότε ηi Npσ σi σ i (4) όπου N οι αναμενόμενοι κύκλοι φόρτισης στη διάρκεια της περιόδου, και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του εύρους της εναλλασσόμενης τάσης. p σ η Από τη πιο πάνω σχέση και από το νόμο του Miner προκύπτει ότι ο συντελεστής n L επιβαρύνεται λόγω των επαναλήψεων n i κατά η ηi σ Np σ σ σ σ i i L m m i i και λόγω της γραμμικά σωρευτικής επίδρασης των καταστάσεων φόρτισης με διαφορετικό εύρος προκύπτει ότι N pσ σ m η N L dσ σ pσ σ dσ m σ 0 0 (4) Σε ένα πλοίο βασικές αιτίες εναλλασσομένων τάσεων είναι 4

οι θαλάσσιοι κυματισμοί η σφυρόκρουση μηχανικές αιτίες (κύρια μηχανή, έλικα κ.ο.κ.) Από μετρήσεις σε πλοία αλλά και από θεωρητικές μελέτες έχει βρεθεί, ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p σ του εύρους των ορθών τάσεων, που προκαλούνται από τους θαλάσσιους κυματισμούς, ακολουθεί κατά τη διάρκεια μακράς χρονικής περιόδου κατανομή Weibull, και ισχύει ότι σ k σ θ P σ p σ dσ 1 e (5) σ σ όπου P(σ) η πιθανότητα το εύρος να είναι μικρότερο από σ, k ο συντελεστής σχήματος, και θ ο συντελεστής θέσης της κατανομής. Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει ότι N σ m N m 1 σ θ σ θ θ 0 0 k k m km1 x N m m x k 0 0 m m k x N m m 0 η σ p σ dσ σ k e dσ L N θ kx e dx θ x e dx N θ x e dx θ Γ 1 k k (6) Η σχέση (6) δηλώνει την εξάρτηση του συντελεστή συσσωρευμένης βλάβης από το υλικό, συντελεστές, m, το συνολικό αριθμό κύκλων N, και τους συντελεστές θ και k της κατανομής Weibull. Προσδιορισμός σταθερών κατανομής Weibull Ο συντελεστής k της κατανομής έχει βρεθεί από μακροχρόνιες μετρήσεις ότι εξαρτάται από τον τύπο του πλοίου, και συγκεκριμένα μεταβάλλεται μεταξύ 0.7 και 5

1.0 για μεγάλα δεξαμενόπλοια και φορτηγά, και μεταξύ 1.0 και 1.3 για ταχύτερα πλοία όπως containerships και φορτηγά. Επίσης υπάρχει εξάρτηση του συντελεστή αυτού και της ακολουθούμενης διαδρομής του πλοίου. Η επίδραση του k στη μορφή της κατανομής φαίνεται στο σχήμα 5-2 0-1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 log{1-p(x) -2-3 -4-5 k= 0,7 k= 1.0 k= 1,3-6 -7-8 X Σχήμα 5-2 κατανομή Weibull Για εμπορικά πλοία συνήθους μορφής, μία πρώτη προσεγγιση του συντελεστή ξ δίνεται, ως συνάρτηση του μήκους L, από τη σχέση: k 1,10,35 L 100 300 Από την οποία προκύπτει ότι για πλοία από 100 m έως 300 m ο συντελεστής ξ κυμένεται μεταξύ από 1,1 και 0,87. Η σταθερά θ της κατανομής Weibull μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση της τάσης σ c, που είναι η μέγιστη τάση που το πλοίο αναμένεται να αντιμετωπίσει και που η πιθανότητα υπέρβασης αυτής ισούται με 1/N R, από τη σχέση 1/k R lnn (7) 6

Μέσω της σχέσης αυτής είναι δυνατή η συσχέτιση της κατανομής Weibull με την τάση που θα αναπτυχθεί στη μέση τομή του πλοίου όταν εφαρμοστεί σε αυτή η ροπή σχεδίασης, που με τη σειρά της συσχετίζεται με τη ροπή αντίστασης της διατομής. Αντικαθιστώντας τη σχέση (7) στη (6) προκύπτει ότι ο συντελεστής σωρευμένης βλάβης ισούται με N m m/k m L lnnr 1 (8) k Αν ληφθεί υπόψη και η αλλαγή της κλίσης της καμπύλης σ-n, η παραπάνω σχέση γίνεται: N m m/k m L lnnr i 1 k 1 i m mk mm 1, i i 1, i k k m 1 k Αν τεθεί 1/m 1/k m lnnr 1 και k 1/m L γ η (9) F τότε γf σc σn ξ (10) Η σχέση αυτή συνδέει το συντελεστή ξ που εξαρτάται από τον αριθμό των επαναλήψεων, το συντελεστή σχήματος k της κατανομής Weibull, και 7

το συντελεστή m που εξαρτάται από το υλικό και τον τρόπο παραγωγής της κατασκευής, το συντελεστή γ F που εξαρτάται από το επιθυμητό επίπεδο ασφάλειας, και το συντελεστή m που εξαρτάται από το υλικό και τον τρόπο παραγωγής της κατασκευής, και το εύρος τάσης δεχτεί για N επαναλήψεις, σ N που είναι το όριο του εύρους, που η κατασκευή μπορεί να αφενός, και το εύρος της τάσης σ c που είναι η μέγιστη τάση που αναμένεται να αντιμετωπίσει η κατασκευή, με πιθανότητα υπέρβασης 1/N R. Σχεδίαση μέσης τομής με βάση το κριτήριο κόπωσης Ο πιο συνήθης τρόπος αποφυγής κατάρρευσης λόγω κόπωσης, είναι ο έλεγχος του εύρους των εναλλασσομένων τάσεων μέσω της διαμόρφωσης της γεωμετρίας της κατασκευής, ούτως ώστε να αποφεύγονται οι συγκεντρώσεις τάσεων, και μέσω της επιλογής των διαστάσεων των κατασκευαστικών στοιχείων, παράγοντες, που δεν επηρεάζουν, τουλάχιστον σημαντικά, την κατανομή των ορθών τάσεων λόγω κάμψης. Αρα η προσπάθεια αποφυγής των δυσάρεστων συνεπειών της κόπωσης επικεντρώνεται στη σχεδίαση κατασκευαστικών στοιχείων, και των ενώσεων αυτών. Ομως αφού οι τάσεις που αναπτύσσονται τοπικά, εξαρτώνται από τις πρωτεύουσες τάσεις λόγω κάμψης, πρέπει από τα πρώτα στάδια της σχεδίασης να γίνει προσπάθεια ώστε αυτές να είναι αρκετά μικρές ώστε να μην προκαλέσουν προβλήματα λόγω κόπωσης. Αυτή η πρόβλεψη αποκτά ιδιαίτερη σημασία στην περίπτωση χρήσης χαλύβων υψηλής αντοχής, για τους οποίους ισχύει μεν, ότι η τάση διαρροής είναι σχετικά υψηλή, δεν έχουν όμως ανάλογα υψηλή αντοχή σε κόπωση. Η αποφυγή κατάρρευσης λόγω κόπωσης θα μπορούσε να επιτευχθεί και με τη μείωση του εύρους των τάσεων σε επίπεδα που δεν προκαλεί κόπωση της κατασκευής. Ομως αυτό αν και επιθυμητό είναι πρακτικά αδύνατο στην περίπτωση των τάσεων λόγω κυματισμού. Η μείωση αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί σε τοπικό 8

επίπεδο και σε περίπτωση υψίσυχνων φορτίσεων που προέρχονται από μηχανικές διεγέρσεις. Η χρήση της σχέσης (10), μπορεί να οδηγήσει στον προσδιορισμό της ροπής αντίστασης της μέσης τομής, για το επιθυμητό επίπεδο ασφάλειας. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω του προσδιορισμού της τάσης σ c, δηλαδή της μέγιστης τάσης που αποδέχεται ο σχεδιαστής ότι θα αναπτυχθεί, με πιθανότητα υπέρβασης 1/Ν. παράδειγμα Να υπολογιστεί η ελάχιστη ροπή αντίστασης ενός containership, μήκους 268m, πλάτους 32m και συντελεστή γάστρας 0.54, ώστε το πλοίο να μη καταρρεύσει λόγω κόπωσης. Οι ορθές τάσεις που προέρχονται από κάμψη λόγω κυματισμού ακολουθούν κατανομή Weibull με συντελεστή σχήματος 1.3. Ο αριθμός των κύκλων εναλλασσόμενης φόρτισης, που το πλοίο θα αντιμετωπίσει στη ζωή -20 χρόνιαεκτιμάται ίσος με 10 8. Αν η μέγιστη τάση αναπτύσσεται σε περιοχή, που η κατηγορία του υλικού και του τρόπου σύνδεσης των κατασκευαστικών στοιχείων είναι D, τότε ο συντελεστής ξ ισούται με 1/m 13 1/k m 11,3 8 3,0 ξ lnn Γ 1 ln10 Γ 1 k 1,3 2,35 2,705 6,75 Η τιμή της συνάρτησης Γ έλήφθη απο τον πίνακα που ακολουθεί. 9

a/b 3 4 5 6 0 2,00 6,00 24,00 120,00 0,1 2,20 6,81 27,93 142,45 0,2 2,42 7,76 32,58 169,41 0,3 2,68 8,86 38,08 201,81 0,4 2,98 10,14 44,60 240,83 0,5 3,32 11,63 52,34 287,89 0,6 3,72 13,38 61,55 344,70 0,7 4,17 15,43 72,53 413,41 0,8 4,69 17,84 85,62 496,61 0,9 5,30 20,67 101,27 597,49 Γ(a+b) Επιλέγεται η L =0,58. Για κατηγορία υλικού D, ισχύει 13 γf 0,58 1, 2 και 12,18 10 σ 3 N 8 10 25MPa Από τα παραπάνω και από τη σχέση (10) προκύπτει ότι το μέγιστο εύρος της εναλλασσόμενης τάσης δεν πρέπει να υπερβεί την τιμή ξ 6,75 σc σn 25MPa 141MPa γf 1, 2 Αν το μέγιστο εύρος προκύπτει από την εναλλαγή μεταξύ των καταστάσεων hogging και sagging, που προκύπτει από τη φόρτιση, λόγω κυματισμών ισχύει, ότι σc Mwh Mws Z, όπου ο αριθμητής είναι το απόλυτο άθροισμα των ροπών και Z η ροπή αντίστασης της διατομής. Για το πλοίο που δίνεται οι μέγιστες ροπές στην κατάσταση hogging 10

και sagging, με πιθανότητα υπέρβασης 10-8, προσδιορίζονται ίσες με 1438MN-m και 2764MN-m αντίστοιχα, και άρα 4202 3 3 Za m 29,9m 141 Οι υπολογισμοί ισχύουν, υπό την προυπόθεση ότι οι παραδοχές δεν απομακρύνουν το θεωρητικό μοντέλο σημαντικά από το φυσικό μοντέλο. Ιδιαίτερη σημασία πρέπει να δοθεί στη μέγιστη τάση που αναπτύσσεται και στη θέση που παρουσιάζεται. Αυτό γιατί η μέγιστη τάση στη διατομή δεν είναι αυτή που προκύπτει άμεσα από τη θεωρία, αλλά αυτή που αναπτύσσεται σε σημεία που παρατηρείται μεγάλη συγκέντρωση τάσεων, όπως επί παραδείγματι στα άκρα των στομίων κυτών. Για τη μελέτη της κόπωσης οι τάσεις αυτές έχουν σπουδαιότερη σημασία, από ότι έχουν όταν χρησιμοποιείται ως κριτήριο σχεδίασης η μέγιστη επιτρεπόμενη τάση κατά IAS. Αυτό γιατί στη δεύτερη αναφερόμενη περίπτωση, ακόμα και αν τοπικά έχουμε υπέρβαση της τάσης αυτής -175MPa για κοινό χάλυβα- δεν υπάρχει άμεσα κίνδυνος για κατάρρευση της κατασκευής. Η αξιοπιστία της μελέτης της συμπεριφοράς σε κόπωση είναι άμεσα συνδεδεμένη με τις μορφές καταπόνησης που λαμβάνονται υπόψη κατά την ανάλυση. Για πιο αξιόπιστα αποτελέσματα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη αν είναι δυνατό όλες οι μορφές καταπόνησης που προκαλούν τάσεις στα κρίσιμα σημεία της κατασκευής - τάσεις λόγω κάμψης, σφυρόκρουσης, μηχανικών αιτίων. 11