Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Σχετικά έγγραφα
Αρμονικός Ταλαντωτής

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Συστήματα Πολλών Σωματίων

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp

(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

Δομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

Κεφάλαιο 11. Η Εξίσωση Schrödinger σε μια διάσταση

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

Η άλγεβρα της στροφορμής

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 9: Συστήματα Πολλών σωματίων

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σκέδαση Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Ασκήσεις. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Το θεώρημα virial1 στην κβαντική μηχανική

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Κβαντομηχανική Ι 2o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0.

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

Είναι (1) Έστω (2) Τότε η (1) γράφεται (3) Από την (3) βλέπουμε ότι η y ( x; a ) περιγράφει μια συνοχική κατάσταση μάλιστα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Σύγχρονη Φυσική

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Κβαντικές Καταστάσεις

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )

Κεφάλαιο 7: Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Transcript:

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι Δυναμικού Σκέδαση σε μια διάσταση: Τετραγωνικό Φράγμα Δυναμικού Σκέδαση σε μια διάσταση: δ-συνάρτηση Σύνοψη Ασκήσεις

Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού Θα βρούμε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές σωματίου με Hamiltonian που έχει δυναμικό της μορφής Κλασσική περίπτωση (Ε<V 0 ): Το σωμάτιο περιορίζεται σε x <a και μπορεί να έχει οποιαδήποτε ενέργεια με Ε<V 0 Στην αναπαράσταση της θέσης η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger γράφεται ως:

Εξίσωση Schrodinger Στην αναπαράσταση της θέσης η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger γράφεται ως: Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger σπάει σε δυο εξισώσεις ως: Θεωρούμε δέσμιες καταστάσεις: σταθερά κανονικοποίησης 8a+ όπου

Ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian Θεωρούμε δέσμιες καταστάσεις: σταθερά κανονικοποίησης 8a+ όπου Για να είναι κανονικοποίησιμη η κυματοσυνάρτηση u(x) θα πρέπει να μηδενίζεται στο άπειρο. Επιλέγοντας τις κατάλληλες μορφές έχουμε: + : αρτια συνάρτηση - : περιττή συνάρτηση 8b+ Η Hamiltonian μετατίθεται με το τελεστή της Parity ([H,P]=0) και επομένως υπάρχει κοινή βάση ιδιοκαταστάσεων. Άρα οι ιδιοκαταστάσεις είναι είτε άρτιες είτε περιττές συναρτήσεις (P u(x) = u(-x) = ± u(x)).

Ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian + : αρτια συνάρτηση - : περιττή συνάρτηση Η Hamiltonian μετατίθεται με το τελεστή της Parity ([H,P]=0) και επομένως υπάρχει κοινή βάση ιδιοκαταστάσεων. Άρα οι κοινές ιδιοκαταστάσεις είναι είτε άρτιες είτε περιττές συναρτήσεις (P u(x) = u(-x) = ± u(x)). a x a άρτια συνάρτηση 8c+ περιττή συνάρτηση Οριακές συνθήκες: u(x) πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία ±α για να υπάρχει η 1 η και η 2 η παράγωγος du(x)/dx πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία ±α για να υπάρχει η 2 η παράγωγος

Οριακές Συνθήκες a x a 8c+ άρτια συνάρτηση περιττή συνάρτηση Οριακές συνθήκες: u(x) πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία ±α για να υπάρχει η 1 η και η 2 η παράγωγος du(x)/dx πρέπει να είναι συνεχής στα σημεία ±α για να υπάρχει η 2 η παράγωγος άρτια συνάρτηση 8d+ περιττή συνάρτηση Στην θέση x=-a οι οριακές συνθήκες είναι ισοδύναμες με αυτές στην θέση x=a λόγω καθορισμένης parity. 8e+

Ιδιοτιμές (άρτιες καταστάσεις) Εύρεση επιτρεπόμενων τιμών ενέργειας (ιδιοτιμών): άρτιες λύσεις διαίρεση κατά μέλη Αύξουσα ως προς ka Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα σημείο τομής και άρα τουλάχιστον μια λύση (μια ιδιοτιμή της Hamiltonian με Ε < V 0. Φθίνουσα ως προς ka 8f+ δεύτερη λύση τρίτη λύση

Ιδιοτιμές (περιττές καταστάσεις) άρτιες λύσεις δεύτερη λύση τρίτη λύση Αύξουσα ως προς ka Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα σημείο τομής και άρα τουλάχιστον μια λύση (μια ιδιοτιμή της Hamiltonian με Ε < V 0. Φθίνουσα ως προς ka Περιττές λύσεις 8g+ Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι για περιττές ιδιοκαταστάσεις υπάρχει σημείο τομής (ιδιοτιμή) μόνο αν W>π/2 Επιπλέον σημεία τομής εμφανίζονται όταν W=(r+1/2)π/2, r=1,2,

Πηγάδι αυθαίρετου σχήματος Σε κάθε πηγάδι δυναμικού της μορφής που φαίνεται στο σχήμα (όχι σε όλα τα πηγάδια) μπορούμε να εγγράψουμε ένα τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού που είναι πιο ρηχό και πιο στενό. Αφού το τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού που είναι λιγότερο επιδεκτικό σε δέσμια κατάσταση έχει τουλάχιστον μια δέσμια κατάσταση το ίδιο θα ισχύει και για το πιο βαθύ και πλατύ γενικό πηγάδι δυναμικού.

Τετραγωνικό Πηγάδι απείρου Βάθους Γραφική εύρεση ιδιοτιμών για πηγάδι πεπερασμενου βάθους: Αύξουσα ως προς ka Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένα σημείο τομής και άρα τουλάχιστον μια λύση (μια ιδιοτιμή της Hamiltonian με Ε < V 0. Φθίνουσα ως προς ka δεύτερη λύση τρίτη λύση Για πηγάδι απείρου βάθους έχουμε:

Τετραγωνικό Πηγάδι απείρου Για πηγάδι απείρου βάθους έχουμε: Βάθους άρτια συνάρτηση Η ασυνέχεια της παραγώγου είναι συμβατή με τον απειρισμό του δυναμικού στην θέση x=a. Όμοια εργαζόμαστε και για τις περιττες κυματοσυναρτήσεις (parity -1) (ka= s π). 8h+

Ιδιοτιμές Hamiltonian Η γενική μορφή για το k προκύπτει από τα παραπάνω ως: 2mE ka n / 2 a n / 2 2 n ακέραιος Αρχή αβεβαιότητας: Τάξη μεγέθους ορμής (n=1): 8i+ Αυθαιρεσία προσήμου p=ћk Σε συμφωνία με αρχή αβεβαιότητας

Απειρωστά Στενό Πηγάδι Απείρου Βάθους Για απειροστά στενό πηγάδι (V 0 a = σταθ) έχουμε: 0 Το σημείο W=ka μεταφέρεται κοντά στο 0 και έτσι υπάρχει μόνο ένα σημέιο τομής του W με την tan(ka). Υπάρχει μόνο μια δεσμια κατάσταση! Στην ειδική αυτή περίπτωση το δυναμικό μπορεί να γραφεί σαν:

Απειρωστά Στενό Πηγάδι Εξίσωση Schrodinger: Απείρου Βάθους Με ολοκλήρωση σε μικρή περιοχή από ε σε ε παίρνουμε: 8j+ Λόγω συμμετρίας του δυναμικού (μετάθεση Η με parity) οι ιδιοκαταστάσεις της Η θα είναι είτε άρτιες είτε περιττές. 8k+

Απειρωστά Στενό Πηγάδι Εξίσωση Schrodinger: Απείρου Βάθους Λόγω συμμετρίας του δυναμικού (μετάθεση Η με parity) οι ιδιοκαταστάσεις της Η θα είναι είτε άρτιες είτε περιττές: 8l+ Ικανοποιεί εξ. Schrodinger και οριακή συνθήκη ασυνέχειας 8m+

Απειρωστά Στενό Πηγάδι Απείρου Βάθους Οι ιδιοτιμές της ενέργειας προκύπτουν από την εξ. Schrodinger: 8n+ Η πιθανότητα u 2 Δx να βρεθεί το σωμάτιο μέσα στο πηγάδι (μηδενικού εύρους Δx) είναι 0 (αρχή αβεβαιότητας και σε πλήρη αντίθεση με το κλασσικά αναμενόμενο!!) 8o+

Σκέδαση σε Σκαλοπάτι Δυναμικού Έστω βήμα δυναμικού σε μια διάσταση (x) της μορφής: Εξίσωση Schrodinger (Ε>V): 8p+

Εξίσωση Schrodinger (E>V) Έστω βήμα δυναμικού σε μια διάσταση (x) της μορφής: Εξίσωση Schrodinger (E<V): 8q+

Λύσεις Εξίσωσης Schrodinger Έστω βήμα δυναμικού σε μια διάσταση (x) της μορφής: Ε>V 0 προσπίπτον κύμα ανακλώμενο κύμα Δεν επιστρέφουν σωμάτια από το -. Άρα θέτουμε Α 2 =0

Οριακές Συνθήκες προσπίπτον κύμα ανακλώμενο κύμα Δεν επιστρέφουν σωμάτια από το -. Άρα θέτουμε Α 2 =0 Συνέχεια κυματοσυνάρτησης: Συνέχεια παραγώγου κυματοσυνάρτησης: 8r+ 8s+

Προσδιορισμός Σταθερών Υπολογισμός σταθερών ανακλώμενου και διαδιδόμενου μέρους κυματοσυνάρτησης: διαδιδόμενο μέρος 8t+ ανακλόμενο μέρος

Ρεύμα Πιθανότητας Ε>V 0 Για το ρεύμα πιθανότητας στις δύο περιοχές έχουμε: εισερχόμενο ρεύμα 8u+

Συντελεστές Ανάκλασης και Διάδοσης 8w+ Ε>V 0 8v+ Για το ρεύμα πιθανότητας στις δύο περιοχές έχουμε: 8x+ 8y+

Τετραγωνικό Φράγμα Δυναμικού Έστω δυναμικό της μορφής: Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Εξίσωση Schrodinger:

Εξίσωση Schrodinger Έστω δυναμικό της μορφής: Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Εξίσωση Schrodinger:

Λύσεις εξίσωσης Schrodinger Έστω δυναμικό της μορφής: Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Εξίσωση Schrodinger (λύση): 8z+ Δεν έρχονται προσπίπτοντα σωμάτια από το x=+ :

Οριακές Συνθήκες- Προσδιορισμός Σταθερών Συνέχεια κυματοσυνάρτησης στην θέση x=l: Συνέχεια παραγώγου κυματοσυνάρτησης στην θέση x=l: 8aa+

Οριακές Συνθήκες- Προσδιορισμός Σταθερών Συνέχεια κυματοσυνάρτησης στην θέση x=0: Συνέχεια παραγώγου κυματοσυνάρτησης στην θέση x=0: 8ab+ Διαιρούμε με ik 1 και προσθέτουμε κατά μέλη.

Προσδιορισμός Σταθερών για Συντελεστή Διέλευσης Εκφράζουμε το Α 1 συναρτήσει του Α 3 για να βρούμε το ποσοστό του ρεύματος πιθανότητας που περνάει μετά το φράγμα: 8ac+

Προσδιορισμός Σταθερών για Συντελεστή Ανάκλασης Εκφράζουμε το Α 1 συναρτήσει του Α 3 για να βρούμε το ποσοστό του ρεύματος πιθανότητας που ανακλάται από το φράγμα: 8ad+ Διαιρούμε με ik 1 την δεύτερη ισότητα και αφαιρούμε τις δύο ισότητες κατά μέλη.

Προσδιορισμός Σταθερών για Συντελεστή Ανάκλασης Εκφράζουμε το Α 1 συναρτήσει του Α 3 για να βρούμε το ποσοστό του ρεύματος πιθανότητας που ανακλάται από το φράγμα: 8ae+

Συντελεστής Ανάκλασης Ο συντελεστής ανάκλασης ορίζεται ως: Άρα για το παρόν σύστημα έχουμε: 8af+

Συντελεστής Διέλευσης Ο συντελεστής διέλευσης ορίζεται ως: Άρα για το παρόν σύστημα έχουμε: R+T=1 (διατήρηση πιθανότητας) 8ag+ 8ah+ Όταν k 2 l = n π τότε ο συντελεστής διέλευσης της ροής πιθανότητας μεγιστοποιείται και ο συντελεστής ανάκλασης μηδενίζεται (ελαχιστοποιήται). Τότε έχουμε συντονισμό σκέδασης.

Συντονισμός Σκέδασης 8ai+ R+T=1 (διατήρηση πιθανότητας) Όταν k 2 l = n π τότε ο συντελεστής διέλευσης της ροής πιθανότητας μεγιστοποιείται και ο συντελεστής ανάκλασης μηδενίζεται (ελαχιστοποιήται). Τότε έχουμε συντονισμό σκέδασης.

Τετραγωνικό Φράγμα Δυναμικού Έστω δυναμικό της μορφής: (E<V 0 ) Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Εξίσωση Schrodinger: V 0

Λύσεις Εξίσωσης Schrodinger Έστω δυναμικό της μορφής: Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Ορίζουμε: Η λύση της εξίσωσης Schrodinger σε κάθε περιοχή γράφεται: 8aj+

Οριακές Συνθήκες- Προσδιορισμός Σταθερών Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Συνέχεια κυματοσυνάρτησης και της παραγώγου της για x=l: 8ak+

Οριακές Συνθήκες- Προσδιορισμός Σταθερών Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Συνέχεια κυματοσυνάρτησης και της παραγώγου της για x=0: 8al+

Προσδιορισμός Σταθερών για Συντελεστή Διέλευσης Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : 8am+ Τώρα μπορούμε να βρούμε τον συντελεστή διέλευσης:

Συντελεστής Διέλευσης Προσπίπτοντα σωμάτια από το x=- : Τώρα μπορούμε να βρούμε τον συντελεστή διέλευσης:

Συντελεστής Διέλευσης 8an+ Σε αντίθεση με τα αναμενόμενα από την κλασσική μηχανική υπάρχει ρεύμα πιθανότητας που ρέει πέρα από το φράγμα δυναμικού (φαινόμενο σήραγγας).

Σκέδαση σε δ-συνάρτηση- Οριακές Συνθήκες Έστω σωμάτιο με Ε>0 σε δυναμικό V 0 δ(x-α). Να μελετηθεί η σκέδαση. Λύση Η εξίσωση Schrodinger γράφεται ως: Με ολοκλήρωση γύρω από το α παίρνουμε: Άρα η παράγωγος της κυματοσυνάρτησης είναι ασυνεχής για x=a 8ao+

Οριακές Συνθήκες Έστω σωμάτιο με Ε>0 σε δυναμικό V 0 δ(x-α). Να μελετηθεί η σκέδαση. Λύση Άρα η παράγωγος της κυματοσυνάρτησης είναι ασυνεχής για x=a Με δεύτερη ολοκλήρωση προκύπτει η συνέχεια της κυματοσυνάρτησης για x=a: Εφαρμόζουμε την οριακή συνθήκη για την ασυνέχεια της 1 ης παραγώγου: 8ap+ 8aq+

Προσδιορισμός Σταθερών 8ar+ Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν οι συντελεστές διέλευσης και ανάκλασης

Σύνοψη Οι δέσμιες κβαντικές καταστάσεις για σωμάτιο σε πηγάδι δυναμικού προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης Schrodinger σε κάθε περιοχή και χρήση των οριακών συνθηκών (συνέχεια κυματοσυνάρτησης και παραγώγου της) Σε πηγάδι δυναμικού με δυναμικο V 0 υπάρχει πάντα τουλάχιστον μια δέσμια κατάσταση. Κατά την κβαντική σκέδαση σωματίου σε βήμα δυναμικού υπάρχει μη μηδενική πιθανότητα εύρεσης του σωματίου στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή. Κατά την κβαντική σκέδαση σωματίου σε φράγμα δυναμικού υπάρχει μη μηδενική πιθανότητα διέλευσης του σωματίου πέρα από το φράγμα ακόμα και αν η ενέργειά του είναι μικρότερη από το ύψος του δυναμικου στο φράγμα (φαινόμενο σήραγγας). Όταν στο δυναμικό υπάρχει δέλτα συνάρτηση, οι οριακές συνθήκες περιλαμβάνουν ασυνέχεια την παραγώγου και συνέχεια της κυματοσυνάρτησης.

Άσκηση 1:Σωμάτιο σε Δυναμικό Απείρου Βάθους Βρείτε τις ιδιοτιμές και τις ιδιοκαταστάσεις για σωμάτιο σε δυναμικό Λύση Το πρόβλημα έχει μελετηθεί προηγούμενως σαν οριακή περίπτωση αλλά τώρα θα μελετηθεί αυτοδύναμα. Αφού το δυναμικό απειρίζεται πέρα από τα όρια, η πιθανότητα να βρούμε εκεί το σωμάτιο θα είναι 0. Άρα από την συνέχεια την κυματοσυνάρτησης προκύπτει ότι: Για Ε>0 στην περιοχή μεταξύ των ορίων έχουμε: όπου

Άσκηση 1:Ιδιοτιμές Hamiltonian Στην περιοχή μεταξύ των ορίων έχουμε: όπου Πολλ/ζουμε με 8as+ ακέραιος 8at+

Άσκηση 1:Κυματοσυναρτήσεις Άρα οι ιδιοτιμές της Hamiltonian είναι: Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτησεις είναι: σταθερά κανονικοποίησης 8au+

Άσκηση 1:Κανονικοποίηση Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτησεις είναι: σταθερά κανονικοποίησης νέα μεταβλητή: Άρα: 8av+

Άσκηση 1: Ε<0 Για αρνητικές ενέργειες έχουμε: Θέτουμε: Τότε η γενική λύση της εξίσωσης Schrodinger στην επιτρεπόμενη περιοχή γράφεται ως: 8aw+

Άσκηση 1: Ε<0 Για αρνητικές ενέργειες έχουμε: επί 8ax+ E 0 Δεν υπάρχει αποδεκτή λύση για την ενέργεια.

Άσκηση 1: Ε=0 Για μηδενική ενέργεια έχουμε: 8ay+ Δεν υπάρχει αποδεκτή λύση κυματοσυνάρτησης για Ε=0

Άσκηση 2:Δυναμικό σε 3 Διαστάσεις Έστω σωμάτιο μάζας m σε δυναμικό τριών διαστάσεων της μορφής: Χρησιμοποιήστε την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών για να μετατρέψετε το πρόβλημα σε 3 μονοδιάστατα προβλήματα. Μετά βρείτε την ενέργεια του τρισδιάστατου συστήματος Λύση Η εξίσωση του Schrodinger σε τρεις διαστάσεις γράφεται ως: Δοκιμαστική λύση χωριζομένων μεταβλητών:

Άσκηση 2: Χωριζόμενες Μεταβλητές Η εξίσωση του Schrodinger σε τρεις διαστάσεις γράφεται ως: Δοκιμαστική λύση χωριζομένων μεταβλητών: 8az+ συνάρτηση του x συνάρτηση των y, z

Άσκηση 2: Χωριζόμενες Μεταβλητές συνάρτηση του x συνάρτηση των y, z Άρα κάθε μέρος της ισότητας θα ισούται με μια σταθερά (έστω E x ) Μονοδιάστατο πρόβλημα 8ba+ συνάρτηση του y συνάρτηση του z Άρα κάθε μέρος της ισότητας θα ισούται με μια σταθερά (έστω E y ) 8bb+ Μονοδιάστατο πρόβλημα Μονοδιάστατο πρόβλημα

Άλυτες Ασκήσεις 1. Θεωρείστε σωμάτιο σε δυναμικό απείρου βάθους με αρχική κυματοσυνάρτηση γραμμικό συνδιασμό της θεμελιώδους και της 1 ης διεγερμένης ιδιοσυνάρτησης της Hamiltonian: Βρείτε την χρονικά εξελιγμένη κυματοσυνάρτηση ψ(x,t) και την αντίστοιχη αναμενόμενη τιμή της θέσης <x> t την χρονική στιγμή t. 2. Θεωρείστε σωμάτιο σε δυναμικό απείρου βάθους της μορφής: Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές της Hamiltonian. 3. Θεωρείστε σωμάτιο σε δυναμικό απείρου βάθους της μορφής: Απ.: Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές της Hamiltonian.

Άλυτες Ασκήσεις 4. Λύστε πρόβλημα με το σκαλοπάτι δυναμικού όταν Ε<V 0. Βρείτε την πιθανότητα εύρεσης του σωματίου στην κλασικά απαγορευμένη περιοχή.