Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης 7.1.3 Θαλάσσιοι Κυματισμοί (β) Αθανάσιος Α. ήμας Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών adimas@upatras.gr
Εισαγωγή Οι κυματισμοί που δημιουργεί η επίδραση του ανέμου στην επιφάνεια της θάλασσας (ανεμογενείς κυματισμοί), δεν είναι «αρμονικοί» (μονοχρωματικοί).
Εισαγωγή Σκοπός παρουσίασης: Συσχέτιση παραμέτρων ανέμου και θαλασσίων κυματισμών. Στατιστική και φασματική ανάλυση πραγματικών (μη-αρμονικών) θαλασσίων κυματισμών. Μέθοδοι πρόβλεψης κατάλληλων τιμών (κανονικών, δυσμενών και ακραίων) των παραμέτρων των κυματισμών για χρήση στο σχεδιασμό θαλασσίων κατασκευών. Αναφορές: DNV 010. Environmental Conditions and Environmental Loads. DNV-RP- C05 (RECOMMENDED PRACTICE), DET NORSKE VERITAS AS. U.S.A.C.E., 00. Coastal Engineering Manual, Engineer Manual 1110-1100, U.S. Army Corps of Engineers, Part II, Chapters 1 &, Washington, DC.
Ανεμογενείς κυματισμοί ΓΕΝΕΣΗ ΑΝΕΜΟΓΕΝΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ: Μεταφορά ενέργειας από τα κινούμενα κατώτερα ατμοσφαιρικά στρώματα στις επιφανειακές θαλάσσιες μάζες.
Ανεμογενείς κυματισμοί Μηχανισμός γένεσης ανεμογενών κυματισμών (Phillips 1957, Miles 1960): Τυρβώδες οριακό στρώμα πνοής ανέμου. ιακυμάνσεις πεδίου πίεσης στην ελεύθερη επιφάνεια. ημιουργία ρυτιδώσεων της ελεύθερης επιφάνειας. Συντονισμός ρυτιδώσεων (τραχεία επιφάνεια) και τυρβωδών δινών της ροής του ανέμου. Σταδιακή εξέλιξη και αύξηση (γραμμική) των ρυτιδώσεων σε κύματα. Αποκόλληση της ροής του ανέμου στην κορυφή του κύματος και δημιουργία κυκλοφορίας αέρα στην περιοχή πάνω από την κοιλάδα του κύματος. ημιουργία πεδίου πίεσης εκτός φάσης με την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας που προκαλεί περαιτέρω αύξηση (εκθετική) του ύψους κύματος.
Ανεμογενείς κυματισμοί Συσχέτιση στοιχείων ανέμου και χαρακτηριστικά κυμάτων: Ταχύτητα ανέμου: U 10 ιάρκεια πνοής: t d Μήκος αναπτύγματος θαλασσίου πεδίου (fetch): F Χαρακτηριστικό ύψος κύματος: H S Χαρακτηριστική περίοδος κύματος: T S
Μήκος αναπτύγματος (fetch) Μήκη θαλασσίου πεδίου, F i, από το σημείο ενδιαφέροντος (π.χ. Άγιος Κήρυκος, Ικαρίας) προς όλες τις πλησιέστερες ακτές
Μήκος αναπτύγματος (fetch) Fetch = Σταθμισμένος μέσος όρος των μηκών θαλασσίου πεδίου, F i, εκατέρωθεν της κατεύθυνσης του ανέμου F N in N F in i cos cos a i a i Συνήθως: α i = i α, α = 5 o, N = 9 (Κυκλικός τομέας κυματογένεσης: ±45 ο εκατέρωθεν της κατεύθυνσης πνοής του ανέμου)
Ανάπτυξη ανεμογενών κυματισμών U 10 > 0 U 10 = 0 H S T S Β T S H S Α C 0 F x Σκαρίφημα ανάπτυξης (ύψος και περίοδος) κυματισμού υπό την επίδραση ανέμου σταθερής ταχύτητας σε δεδομένο μήκος αναπτύγματος.
Ανάπτυξη ανεμογενών κυματισμών Πλήρως αναπτυγμένοι κυματισμοί (fully developed waves) τα χαρακτηριστικά των οποίων εξαρτώνται μόνο από την ταχύτητα του ανέμου (F, t d ) Κυματισμοί περιορισμένοι από το μήκος αναπτύγματος (fetch limited waves): 0 (αναπτυσσόμενος) Β (αναπτυγμένος) Κυματισμοί περιορισμένοι από τη διάρκεια πνοής (duration limited waves): 0 (αναπτυσσόμενος) Α (αναπτυγμένος) C Η κατάσταση των κυματισμών πέραν του Β ή του C, όπου παραμένουν μεν αναπτυγμένοι (developed) αλλά χωρίς πνοή ανέμου, καλείται αποθάλασσα (swell). Από κάποιο σημείο (χωρο-χρονικό) και μετά οι κυματισμοί γίνονται αποσβενόμενοι (dissipating waves).
Στοχαστικοί (πραγματικοί) κυματισμοί Οι κυματισμοί που δημιουργεί η επίδραση του ανέμου στην επιφάνεια της θάλασσας, δεν είναι «αρμονικοί» (μονοχρωματικοί). Η ανύψωση της στάθμης της θάλασσας μπορεί να προσεγγιστεί με σύνθεση περισσοτέρων αρμονικών κυμάτων και να αναλυθεί ως στοχαστικό μέγεθος. Τα χαρακτηριστικά των ανεμογενών κυματισμών = στοχαστικά μεγέθη που ακολουθούν συγκεκριμένους πιθανολογικούς νόμους κατανομής.
Ανάλυση στοχαστικών κυματισμών Η ανάλυση των κυματικών καταγραφών στοχαστικών κυματισμών γίνεται με δύο τρόπους: Στατιστική ανάλυση της κυματικής καταγραφής απευθείας στο πεδίο του χρόνου. Φασματική ανάλυση της κυματικής καταγραφής στο πεδίο των συχνοτήτων. Μέση Στάθμη Θάλασσας η Τ Η t
Στατιστική ανάλυση κυματισμών Η ανύψωση της στάθμης της θάλασσας, η, αποτελεί στοχαστικό φαινόμενο. Κάθε «κύμα» ορίζεται μεταξύ γειτονικών σημείων μηδενικής προς τα άνω διάβασης (zero upcrossing). Τα N «κύματα» κατατάσσονται σε φθίνουσα σειρά ανάλογα με τα ύψη τους H n (H 1 το μεγαλύτερο, H N το μικρότερο). Τα ύψη κύματος ακολουθούν την κατανομή Rayleigh. Μέση Στάθμη Θάλασσας η Τ n-1 n-1 n Η n t
Στατιστική ανάλυση κυματισμών Πιθανότητα εμφάνισης τιμής ύψους Η (κατανομή Rayleigh): H H p x dx1exp H 0 rms P H Πυκνότητα πιθανότητας: p x x x exp H rms H rms Μέση τετραγωνική τιμή ύψους κύματος (rms = root mean square = μέση τιμή τετραγώνων): H rms 1 N Hn N n 1 Χαρακτηριστικό ύψος κύματος: /3 3 N S 33 N n 1 H H H n
Στατιστική ανάλυση κυματισμών Πιθανότητα υπέρβασης τιμής ύψους Η n : Για πιθανότητα υπέρβασης 33% (το κάτω όριο του χαρακτηριστικού ύψους κύματος), προκύπτει: Χαρακτηριστικό ύψος κύματος: n H n n 1PH Hn exp Hn Hrms ln N H rms N 1 H H ln 1, 048H 3 N /3 rms rms S H N /3 33 H N /3 Hp H dh H H H p H dh rms
Στατιστική ανάλυση κυματισμών Πιθανότητα υπέρβασης τιμής ύψους Η S : Αντίστοιχα προκύπτουν: H S 1PHS exp exp0.135 H rms H100 H Hrms 0, 63 H S H10 1, 7 HS 1,86HS N 1000 1 Hmax Hn 1 Hrms ln N HS ln N 1,95 HS για N 000, 04HS N 4000 όπου N είναι ο αριθμός κυμάτων σε μια καταγραφή ή κατ επέκταση σε μια καταιγίδα.
Στατιστική ανάλυση κυματισμών Χαρακτηριστική περίοδος κύματος: /3 3 N S 33 n N n 1 T T T Η περίοδος των στοχαστικών κυμάτων δεν υπόκειται σε κάποια κατανομή πιθανότητας εμφάνισης. Σύμφωνα με τον Νορβηγικό Νηογνώμονα Det Norske Veritas (DNV-RP- C05 010), η κατάλληλη περίοδος για το κύμα με το μέγιστο ύψος σε μια καταιγίδα είναι: T max,94 H max όπου η περίοδος είναι σε sec και το ύψος κύματος σε m.
Φασματική ανάλυση κυματισμών Ο μετασχηματισμός Fourier συνάρτησης x(t) στο πεδίο του χρόνου είναι η συνάρτηση X(f) στο πεδίο των συχνοτήτων: όπου f = 1/T = ω/π είναι η συχνότητα. ift X f x t e dt Στην περίπτωση στοχαστικών κυματισμών θεωρείται η χρονική συνάρτηση xt της οποίας ο μετασχηματισμός Fourier (X(f), - < f < ) δίνει το φάσμα του κυματισμού S(f) = X(f) για 0 < f <. H t E t 8 g
Φασματική ανάλυση κυματισμών Το φάσμα αντιπροσωπεύει την ενέργεια του κύματος σε κάθε συχνότητα. Οι ροπές του φάσματος ορίζονται ως: n mn f S f df 0 Η ενέργεια του στοχαστικού κυματισμού: E H S f df m rms 0 g 8 0 Χαρακτηριστικό ύψος κύματος: H H 4 m H S m0 0 rms
Φασματική ανάλυση κυματισμών Γενική μορφή φάσματος θαλασσίων ανεμογενών στοχαστικών κυματισμών: S f Ag f exp B f 5 4
Φασματική ανάλυση κυματισμών Φάσμα PM (Pierson - Moskowitch): S f 4 4 g g g f exp 0, 74 exp 1, 5 P 4 5 4 5 f Wf f f όπου α = 0,0081, fp είναι η συχνότητα της κορυφής (μέγιστης τιμής) του φάσματος και W = 1,075U 10 είναι η ταχύτητα του ανέμου σε ύψος 19,5m από την επιφάνεια της θάλασσας. Το φάσμα PM αντιπροσωπεύει πλήρως αναπτυγμένους κυματισμούς. ds 1 g 0 fp 0,877 df T W f f P P H f g 4 4 S p W 5 H 0,1 S g
Φασματική ανάλυση κυματισμών Φάσμα JONSWAP (JOint North Sea WAve Project): S f g f exp 1, 5 P 4 5 f f 4 1 f f p exp f p a 0,0081 10, 87ln 1 7 3,3 0,07 0,09 f f f f P P Το φάσμα JONSWAP αντιπροσωπεύει αναπτυγμένους κυματισμούς περιορισμένους από το μήκος αναπτύγματος, ενώ για γ = 1 προκύπτει το φάσμα PM. Για γ, ο κυματισμός τείνει να γίνει αρμονικός με περίοδο Τ p.
Φασματική ανάλυση κυματισμών Σύγκριση φασμάτων PM και JONSWAP:
Φασματική ανάλυση κυματισμών Για τη χαρακτηριστική περίοδο, σύμφωνα με το Shore Protection Manual (USACE 1984), ισχύει: T S 0,95T P Για τη μέση περίοδο μεταξύ διαδοχικών μηδενικών προς τα άνω διαβάσεων, ισχύει: m0 TZ Tm0 m Για το φάσμα JONSWAP, προκύπτει: 1, 34 TZ 1 5 TZ TP TS 1, 5 TZ για 3,3 11 1, 0 TZ 5
Βραχυπρόθεσμη φασματική πρόβλεψη κυματισμών Μέθοδος JONSWAP Ταχύτητα τριβής: u * CD U 10 Για κυματισμό περιορισμένο από το μήκος αναπτύγματος, το χαρακτηριστικό ύψος και η χαρακτηριστική περίοδος είναι: 0,001 1,1 0,035 U 10 gh u gf 0, 0413 S * u* 0,5 gts u gf 0, 71345 u * * 0,33 Ο έλεγχος για κυματισμό περιορισμένο από τη διάρκεια πνοής γίνεται με υπολογισμό του ισοδύναμου μήκους αναπτύγματος gfeq gt d 0, 0053 u* u* Εάν F > F eq, ο κυματισμός είναι περιορισμένος από τη διάρκεια πνοής και ο υπολογισμός ύψους και περιόδου γίνεται θέτοντας F = F eq. 1,5
Μέθοδος JONSWAP: παράδειγμα εδομένα: U10 30m/s F 0km t d 3hr Ταχύτητα τριβής: u U 0, 001 1,1 0, 035U 300, 04637 1,391m/s * 10 10 Ισοδύναμο μήκος αναπτύγματος: F eq 1,5 1,5 * gt d 1,391 9,807 33600 u 0, 0053 0, 0053 1.680m g u* 9,807 1,391
Μέθοδος JONSWAP: παράδειγμα Συνεπώς, F < F eq ο κυματισμός είναι περιορισμένος από το μήκος αναπτύγματος Χαρακτηριστικό ύψος κύματος: H S 0,5 0,5 * gf 1,391 9,8070.000 g u* 9,807 1,391 u 0, 0413 0, 0413,59m Χαρακτηριστική περίοδος κύματος: T 0,33 0,33 u * gf 1,391 9,807 0.000 S g u* 9,807 1,391 Μέγιστες τιμές καταιγίδας: 0, 71345 0, 71345 4,54s H H 5,18m T,94 H 6, 69s max S max max
Μακροπρόθεσμη στατιστική πρόβλεψη κυματισμών Ζητούμενο είναι η εύρεση ακραίου (extreme) χαρακτηριστικού ύψους κύματος H S με μεγάλη περίοδο επαναφοράς T r (π.χ. 50 ή 100 έτη) μέσω κατάλληλης προεκβολής δεδομένων που καλύπτουν χρονική περίοδο σχετικά βραχυπρόθεσμη ως προς την περίοδο επαναφοράς. Η πιθανότητα εμφάνισης ύψους κύματος με μεγάλη περίοδο επαναφοράς δεν ακολουθεί την κατανομή Rayleigh και χρησιμοποιείται είτε η κατανομή Weibull είτε η κατανομή Gumbel. A 0,779 Gumbel : P H HB B H 0, 45 N e A 1 e H H N 1 N N i1 i1 H i i H
Μακροπρόθεσμη στατιστική πρόβλεψη κυματισμών Η πιθανότητα υπέρβασης, 1 - P, συνδέεται με την περίοδο επαναφοράς, T r, και το διάστημα, r, μεταξύ των δεδομένων: Με χρήση της κατανομής Gumbel, προκύπτει: 7.1.3 Θαλάσσιοι Κυματισμοί (β) 1 1 1 r r T r P H r P H T ln ln 1 r r T r r r A B T H H H
Μακροπρόθεσμη στατιστική πρόβλεψη κυματισμών Η πιθανότητα εμφανίσεως του ακραίου χαρακτηριστικού ύψους κύματος σε χρονική περίοδο t << T r δίνεται από την εξίσωση: Tr 1 E t Συνεπώς, η πιθανότητα εμφάνισης του κύματος των 100 ετών (T r = 100 έτη) κατά τη διάρκεια του πρώτου έτους (t = 1 έτος) είναι 1%, ενώ η πιθανότητα εμφάνισής του κατά τη διάρκεια των πρώτων δέκα ετών (t = 10 έτη) αυξάνει σε 9,5%. t e Για την ακραία τιμή της χαρακτηριστικής περιόδου, ο Goda (003) προτείνει: T S 3,3H 0,63 S
Μακροπρόθεσμη πρόβλεψη: παράδειγμα Για δεδομένα χαρακτηριστικού ύψους κύματος με r =1έτος και διασπορά προκύπτει (Gumbel) H 1,63H 1,63,59 4, m S,100 yr S,1yr 0, H S,1 yr και (Goda) T H 0,63 3,3 8,18s S,100 yr S,100 yr Μέγιστες τιμές καταιγίδας: H H 8, 44m T,94 H 8,54s max,100 yr S,100yr max,100yr max,100yr