Κεφάλαιο 1. Διαστατική Ανάλυση και Κανονικοποίηση

Transcript

1 Κεφάλαιο. Διαστατική Ανάλυση και Κανονικοποίηση. Διαστατική Ανάλυση. Το Θεώρημα π του Buckingham Ορισμός. Έστω L, L,, Ln ( n m) θεμελιώδη μεγέθη σ ένα σύστημα μονάδων και έστω L, L,, L n τα ίδια μεγέθη σε κάποιο διαφορετικό σύστημα μονάδων οπότε ισχύει: L L, i,, n, () i i i Ένας φυσικός νόμος f ( q, q,, qm) 0 είναι ελεύθερος μονάδων αν, για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών,,, n με i 0, i,, n ισχύει f ( q, q,, qm) 0 αν και μόνο αν f ( q, q,, qm) 0. Παράδειγμα. Βλ. [] Θεώρημα. (Θεώρημα π). Έστω f ( q, q,, q ) 0 (i) ένας φυσικός νόμος ελεύθερος μονάδων, ο οποίος συσχετίζει τις διαστατικές ποσότητες q, q,, q m. Έστω L, L,, Ln ( n m) θεμελιώδη μεγέθη τέτοια ώστε a i a i ani qi L L Ln, i,, m Αν r rank( A), όπου Α ο πίνακας διαστάσεων a a a a A a a a a a m m m n n nm τότε υπάρχουν m r ανεξάρτητες αδιάστατες ποσότητες,,, m rπου μπορούν να παραχθούν από τις q, q,, q m, τέτοιες ώστε ο φυσικός νόμος (i) να είναι ισοδύναμος με ένα νόμο της μορφής F(,,, ) 0 δηλαδή να εκφράζεται συναρτήσει μόνο των αδιάστατων ποσοτήτων. m r

2 Απόδειξη Βλ. [].

3 Διαστατική ανάλυση φυσικού προβλήματος. Η συνήθης διαδικασία εύρεσης αδιάστατων ομάδων είναι η μέθοδος των επαναλαμβανόμενων μεταβλητών. Αυτή γίνεται σε 5 βασικά στάδια.. Καταγράφουμε όλες τις εμπλεκόμενες διαστατικές μεταβλητές q, q,, q m για το φυσικό πρόβλημα. Η επιλογή αυτή ισοδυναμεί με την παραδοχή ότι ισχύει ένας φυσικός νόμος της μορφής: f ( q, q,, q ) 0 () Παρατηρήσεις. α) Το στάδιο αυτό είναι καθοριστικό και είναι το δυσκολότερ. Απαιτείται καλή κατανόηση της φυσικής του προβλήματος έτσι ώστε αυτό να να απλοποιηθεί με βάση κάποιες παραδοχές. Η επιλογή άσχετων μεταβλητών προκαλεί αχρείαστη περιπλοκότητα και δυσχεραίνει την ανάλυση. Από την άλλη όμως η παράλειψη ουσιαστικών μεταβλητών θα οδηγήσει σε εσφαλμένα συμπεράσματα. β) Ο αριθμός των μεταβλητών πρέπει να είναι ο ελάχιστος δυνατός. Είναι σημαντικό οι αρχικές μεταβλητές να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Παραδείγματα κατάλληλων μεταβλητών είναι τόσο φυσικές μεταβλητές, όπως το μήκος, ο χρόνος, η ταχύτητα, η δύναμη, η θερμοκρασία, η ενέργεια και η πίεση, αλλά και φυσικές παράμετροι όπως η πυκνότητα, η επιτάχυνση της βαρύτητας, η θερμοχωρητικότητα, ο συντελεστής θερμικής διάχυσης και το ιξώδες.. Επιλέγουμε n<m το πλήθος ανεξάρτητα θεμελιώδη μεγέθη που αντιστοιχούν στις μεταβλητές που επιλέξαμε (και μόνο σε αυτές) m L, L,, L n έτσι ώστε οι μονάδες μέτρησης κάθε μεταβλητής q i να γράφονται στη μορφή: a i a i ani qi L L Ln, i,, m () Παρατηρήσεις α) Συνήθως επιλέγουμε το σύστημα LTMΘ (εναλλακτικά ένα από τα LTFΘ ή LTEΘ). β) Αν επιλέξουμε ανεξάρτητο θεμελιώδες μεγέθος L k που δεν χρησιμοποιείται σε καμιά μεταβλητή, τότε η k-οστή γραμμή του πίνακα διαστάσεων Α θα είναι μηδενική. γ) Κάθε θεμελιώδες μέγεθος πρέπει να εμφανίζεται σε δύο τουλάχιστον μεταβλητές. 3. Βρίσκουμε το πλήθος των απαιτούμενων αδιάστατων ομάδων που προβλέπει το Θεώρημα π. Κατασκευάζουμε τον n m πίνακα διαστάσεων Α: q q q L a a a L a a a L a a a m m n n n nm και βρίσκουμε το βαθμό του, r rank( A). Το πλήθος των αδιάστατων ομάδων είναι m r, όσες και οι ελεύθερες μεταβλητές του ομογενούς συστήματος Ax Επιλέγουμε m r γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής m (3) 3

4 k k nk a, a,, a (4) παίρνοντας διαφορετικούς (ανεξάρτητους) συνδυασμούς των ελεύθερων μεταβλητών (που καλούνται επίσης επαναλαμβανόμενες μεταβλητές). Βρίσκουμε έτσι m r αδιάστατες ποσότητες,,, m rτέτοιες ώστε L L L k m r (5) k a k a k ank n,,, Παρατηρήσεις α) Η εύρεση των αδιάστατων αριθμών διευκολύνεται αν βρούμε τον ανηγμένο κλιμακωτό του πίνακα διαστάσεων. β) Οι αδιάστατες ποσότητες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αλλά όχι και μοναδικές. γ) Σε αρκετά βιβλία αναφέρεται επίσης ένα ακόμα στάδιο στο οποίο γίνεται έλεγχος αν οι αριθμοί,,, m r είναι πράγματι αδιάστατοι. 5. Ο φυσικός νόμος () είναι ισοδύναμος με τον ή τον F(,,, ) 0 (6) m r g m r (,, ) (7) 4

5 Προβλήματα. Ως γνωστό, στο σύστημα SI, τα θεμελιώδη μεγέθη είναι το μήκος (L), ο χρόνος (T), η μάζα (M) και η θερμοκρασία (Θ), δηλαδή το SI είναι ένα σύστημα LTMΘ. Στον Πίνακα δίνονται οι μονάδες διάφορων ποσοτήτων σε ένα τέτοιο σύστημα Πίνακας. Μονάδες μεταβλητών και παραμέτρων σε σύστημα LTMΘ. Μεταβλητή Μονάδες Εμβαδόν L Όγκος 3 L Ταχύτητα LT Επιτάχυνση LT Δύναμη MLT Συχνότητα, Γωνιακή ταχύτητα T Ενέργεια, Έργο ML T Ροπή ML T Ισχύς 3 ML T Πίεση, Τάση ML T Πυκνότητα 3 ML Ιξώδες ML T Συντελεστής θερμικής διάχυσης LT Ειδική θερμότητα LT Θερμοχωρητικότητα L T M Μέτρο ελαστικότητας ML T (α) Κατασκευάστε τον αντίστοιχο πίνακα για το σύστημα LTFΘ. (β) Κατασκευάστε τον αντίστοιχο πίνακα για το σύστημα LTEΘ.. Η καταστατική εξίσωση ενός εκθετικού ρευστού μπορεί να γραφεί στη βαθμωτή μορφή du k dy n όπου τ η διατμητική τάση, u η ταχύτητα, n ένας αδιάστατος εκθέτης και k ο λεγόμενος δείκτης συνάφειας (consistency index). Βρείτε τις μονάδες του δείκτη συνάφειας για να είναι η πιο πάνω εξίσωση διαστατικά ομοιογενής. 3. Έστω ο εκθετικός νόμος ολίσθησης u w όπου τ w η διατμητικής τάσης στο τοίχωμα, u w η ταχύτητα ολίσθησης, β ο συντελεστής ολίσθησης και n αδιάστατος εκθέτης Βρείτε τις μονάδες μέτρησης του β για να είναι η πιο πάνω εξίσωση διαστατικά ομοιογενής. n w 5

6 4. Δίνονται οι πιο γνωστοί αδιάστατοι αριθμοί. Πίνακας. Βασικοί αδιάστατοι αριθμοί. ud Αριθμός Reynolds Re Λόγος αδρανειακών και ιξωδών δυνάμεων p Λόγος δυνάμεων πίεσης/αδρανειακών Αριθμός Euler E δυνάμεων u u Λόγος αδρανειακών και βαρυτικών Αριθμός Froude Fr δυνάμεων gd ud Λόγος αδρανειακών και τριχοειδών Αριθμός Weber We δυνάμεων (επιφανειακής τάσης) l Αριθμός Strouhal St Ανηγμένη γωνιακή συχνότητα u u Λόγος τοπικής ταχύτητας προς την Αριθμός Mach Ma ταχύτητα του ήχου σ ένα ρευστό c p Αριθμός Prandtl Pr Λόγος ιξώδους και θερμικής διάχυσης k c Λόγος ειδικών θερμοτήτων υπό σταθερή p πίεση και σταθερό όγκο c Σχετική Τραχύτητα v e d (α) Ελέγξτε αν οι αριθμοί του πίνακα είναι πράγματι αδιάστατοι. (β) Ποιες είναι οι μονάδες της επιφανειακής τάσης σ; Λόγος μέσης ανωμαλίας της επιφάνειας προς χαρακτηριστικό μήκος 5. Θεωρούμε ότι σε κάποιο σημείο του χώρου με αρχική θερμοκρασία u 0 εκλύεται τη χρονική στιγμή t 0, ποσό θερμότητας q και ότι ο χώρος έχει σταθερή θερμική αγωγιμότητα k (σε μονάδες LT ) και σταθερή θερμοχωρητικότητα c (σε μονάδες 3 EL ). Το ποσό θερμότητας q αρχίζει να διαχέεται ακτινικά σε απόσταση r από το σημείο έκλυσης ως συνάρτηση του χρόνου t. Θεωρούμε ένα φυσικό νόμο ελεύθερo μονάδων της μορφής f q, r, u, t, c, k 0. Για αυτό το πρόβλημα διάχυσης θερμότητας στο μάθημα εφαρμόστηκε το θεώρημα π θεωρώντας το σύστημα LTEΘ. Επαναλάβετε την λύση θεωρώντας το σύστημα LTMΘ. Συγκρίνετε τις λύσεις και σχολιάστε. 6. Έστω ο φυσικός νόμος f P, l, m, t, 0 όπου το P δηλώνει πίεση, το l μήκος, το m μάζα, το t χρόνο, και το μαζική πυκνότητα. Δείξτε ότι υπάρχει ένα ισοδύναμος φυσικός νόμος της μορφής l t P F, 0 m m. 6

7 7. Στο μάθημα μελετήσαμε το πρόβλημα της έκρηξης της πρώτης ατομικής βόμβας και με χρήση διαστατικής ανάλυσης διαπιστώσαμε ότι ισχύει qt r C όπου r η απόσταση του κρουστικού κύματος σε χρόνο t από την στιγμή της έκρηξης, C αδιάστατη σταθερά, q το ποσό ενέργειας το οποίο εκλύεται σημειακά στον χώρο κατά την έκρηξη, και η μαζική πυκνότητα του αέρα. Υποθέστε τώρα ότι λαμβάνετε υπόψη και την ατμοσφαιρική πίεση του αέρα, P, και ότι υπάρχει ένας φυσικός νόμος ελεύθερος μονάδων της μορφής / 5 f r, t, q,, P 0. Εφαρμόστε το θεώρημα π και δείξτε ότι υπάρχει ισοδύναμος φυσικός νόμος της μορφής F, 0, ο οποίος μπορεί διαφορετικά να γραφεί ως g( ). Ισχύει πάλι ότι η ακτίνα μεταβάλλεται ανάλογα του /5 t ;, 8. Έστω Pc η διαφορά πίεσης ανά μονάδα μήκους, P Pc, l που απαιτείται για τη μόνιμη ροή ρευστού πυκνότητας ρ και ιξώδους μ με ταχύτητα u σε μακρύ, οριζόντιο αγωγό διαμέτρου d. Υποθέτουμε ακόμα ότι έχουμε ολίσθηση στα τοιχώματα που ακολουθεί το Νόμο του Navier, δηλ. η ταχύτητα ολίσθησης u w είναι ανάλογη της διατμητικής τάσης στο τοίχωμα τ w, όπου β ο συντελεστής ολίσθησης. (α) Βρείτε τις μονάδες μέτρησης του β. (β) Είναι φανερό ότι ισχύει ο φυσικός νόμος u w P,,,,, 0 c d u. Βρείτε ένα ισοδύναμο νόμο με τη χρήση διαστατικής ανάλυσης. f w Βιβλιογραφία. J. D. Logan, Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 00. 7

8 Κεφάλαιο -- Μέθοδος κανονικών διαταραχών Παράδειγμα. Η ακριβής λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι η dy dt y y y(0), () t e y, (3) t e Μπορούμε να βρούμε το ανάπτυγμα της (3) με τη βοήθεια του m-file (MATLAB) syms t epsilon f=exp(-t)/( +epsilon* (exp(-t)-) ); anaptugma=taylor(f,epsilon,3); pretty(anaptugma) το οποίο μας δίνει το εξής αποτέλεσμα: >> exa / \ / \ epsilon epsilon \ exp(t) / \ exp(t) / exp(t) exp(t) exp(t) Βρίσκουμε έτσι ότι y e e e e e e O t t t t 3 3 t t ( ), (4) Με τη μέθοδο κανονικών διαταραχών υποθέτουμε ότι η λύση είναι της μορφής και βρίσκουμε ότι y( t) y ( t) y ( t) y ( t) O( ), (5) 3 0 y ( t) e, y ( t) e e, y ( t) e e e, (6) t t t t t 3t 0 Παρατηρούμε ότι οι λύσεις y0, y, y αντιστοιχούν στους όρους του αναπτύγματος Taylor. Η προσέγγιση (5) είναι ικανοποιητική για μικρές τιμές του ε. Στα σχήματα που ακολουθούν βλέπουμε τα αποτελέσματα για ε=0.5 και 0.. Επιλέξαμε την πρώτη τιμή να είναι κάπως μεγάλη για να φανούν οι διαφορές των προσεγγίσεων μηδενικής, ης και ης τάξης από την ακριβή λύση (3). 8

9 y 0.8 = 0.5 y(t) y 0 y 0 + y 0.6 y 0 + y + y t Σχήμα : Αποτελέσματα για ε=0.5 y 0.8 = 0. y(t) y 0 y 0 + y 0.6 y 0 + y + y t 9

10 Σχήμα : Αποτελέσματα για ε=0. 0

11 Παράδειγμα. Θεωρούμε το πρόβλημα Duffing u u u 3 0 u(0) u(0) 0 Προσεγγίζοντας τη λύση με τη μέθοδο διαταραχών ( ) 0( ) ( ) ( ) βρίσκουμε την ακόλουθη προσέγγιση της λύσης:, (7) u t u t u t O, (8) u( t) cos t cos 3t cos t 3 t sin t 3 8, (9) η οποία περιέχει τον αιώνιο όρο (secular term) 3 sin 8 t t ο οποίος μπορεί να γίνει πολύ μεγάλος όταν t /, όπως φαίνεται στο Σχ. 3 όπου το εύρος της προσέγγισης u αυξάνει με το χρόνο σε αντίθεση με τη φυσική του προβλήματος. Η προσέγγιση είναι ικανοποιητική όταν 3 t 8 = 0. u.5 u 0 u 0 + u t Σχήμα 3: Αποτελέσματα για ε=0.

12

13 .5 = 0.05 u u 0 u 0 + u t Σχήμα 4: Αποτελέσματα για ε=0.05 Μέθοδος Poincaré-Lindstedt Με τη μέθοδο Poincaré-Lindstedt αποφεύγουμε τον αιώνιο όρο προσεγγίζοντας τη λύση ως εξής: όπου και Ο αιώνιος όρος μηδενίζεται όταν Βρίσκουμε λοιπόν ότι όπου u u u O, (0) ( ) 0( ) ( ) ( ) t, (), () O( ) 3, (3) 8 u( ) cos cos3 cos, (4) 3 3 t 8, (5) 3

14 .5 = 0. u u 0 u PL t Σχήμα 5: Αποτελέσματα για ε=0. 4

15 Κεφάλαιο Ανάλυση του οριακού στρώματος Θεωρούμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών Η αναλυτική λύση του προβλήματος είναι η y ( ) y y 0, 0 t, 0, (6) y(0) 0, y() y() t / e e e t t/, (7) Το πιο πάνω πρόβλημα είναι ιδιόμορφο. Αν εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο διαταραχών και τη συνθήκη y()=, βρίσκουμε την εξωτερική λύση Με την αλλαγή μεταβλητών η διαφορική εξίσωση γίνεται η οποία έχει γενική λύση την y t e t O, (8) t o( ), () t t, Y y ( ), (9) Y ( ) Y( ) 0, (0) t/ y() t C Ce, () Εφαρμόζοντας την συνοριακή συνθήκη y(0)=0, βρίσκουμε την εσωτερική λύση y t C e t O, () t/ i( ) ( ), ( ) Με τη μέθοδο της συναρμογής των ασυμπτωτικών αναπτυγμάτων βρίσκουμε (με συναρμογή των πρωτευόντων όρων) τη λύση y ( t) y ( t) y ( t) e, u o i (βλ. σημειώσεις για περισσότερες λεπτομέρειες) y () t e e u t t/, (3) Συγκρίνοντας την (3) με την αναλυτική λύση (7) βλέπουμε ότι οι δύο λύσεις διαφέρουν μόνο κατά τον συντελεστή ο οποίος στη μηδενική τάξη προσεγγίζεται με τη μονάδα. Η συνθήκη y u (0)=0 ικανοποιείται ακριβώς αλλά όχι και η συνθήκη στο t= όπου έχουμε y () u /, / e, Στο Σχήμα 6 δίνονται αποτελέσματα για ε=0. και 0.. 5

16 = = Σχήμα 6: Αποτελέσματα για διάφορες τιμές του ε 6

17 Ένα λυμένο παράδειγμα Θεωρούμε το πρόβλημα συνοριακών τιμών Η αναλυτική λύση του προβλήματος είναι η y y t, 0 t, 0, (4) y(0), y() t/ y( t) / e t t, (5) e Το πιο πάνω πρόβλημα είναι ιδιόμορφο. Αν εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο διαταραχών και τη συνθήκη y()=, βρίσκουμε την εξωτερική λύση Με την αλλαγή μεταβλητών η διαφορική εξίσωση γίνεται της οποία ο πρωτεύοντας όρος (ε=0) είναι y t t t O, (6) ( ), () o t t, Y y ( ), (7) Y ( ) Y( ), (8) t/ y() t C Ce, (9) Εφαρμόζοντας την συνοριακή συνθήκη y(0)=, βρίσκουμε την εσωτερική λύση y t C C e t O, (30) t/ i( ), ( ) Με τη μέθοδο της συναρμογής των ασυμπτωτικών αναπτυγμάτων βρίσκουμε (με συναρμογή των πρωτευόντων όρων) C = και τη λύση y ( t) y ( t) y ( t) 0, u o i (βλ. σημειώσεις για περισσότερες λεπτομέρειες) t/ yu () t t e, (3) Η συνθήκη y u (0)= ικανοποιείται ακριβώς αλλά όχι και η συνθήκη στο t= όπου έχουμε / y e () u, Στο Σχήμα 7 δίνονται αποτελέσματα για ε=0.05 και

18 .5 = = Σχήμα 7: Αποτελέσματα για διάφορες τιμές του ε 8

19 Προβλήματα Κεφ.. Επιβεβαιώστε ότι (α) t tanh( t) O( t ) για t (β) exp(tan( )) O() για 0 p (γ) e O( ) για και όλα τα p > 0 p (δ) ln( ) o( ) για 0 και όλα τα p > 0. Βρείτε μία σχέση τάξης μεγέθους (δηλαδή μικρό ή μεγάλο όμικρον) η οποία εκφράζει το γεγονός ότι η ποσότητα e t φθίνει γρηγορότερα από την ποσότητα /t για t και αποδείξτε την εκτίμησή σας. 3. Θεωρείστε την συνάρτηση f ( y, ), y y 3/ 0 y y... ( y) Εκφράστε την f ως δυναμοσειρά του μέχρι και τον όρο O( ). 4. Χρησιμοποιείστε την μέθοδο Poincaré-Lindstedt για να υπολογίσετε τον πρωτεύoντα και τον πρώτο διορθωτικό όρο της λύσης για το πρόβλημα αρχικών τιμών: y y y( y ), y(0), y(0) 0 5. Θεωρείστε το πρόβλημα dy / y e, y(0) dt (α) Επιλύστε το πρόβλημα μηδενικής τάξης για να βρείτε τον πρωτεύοντα όρο (β) Κατασκευάστε και λύστε τα προβλήματα ης και ης τάξης. 6. Θεωρείστε το σύστημα ελατηρίου σώματος μάζας m. Η δύναμη του ελατηρίου δίνεται από την σχέση F k y όπου k η σταθερά του ελατηρίου και y η απόσταση του σώματος από την θέση ισορροπίας. Επίσης, υπάρχει μία δύναμη αντίστασης της κίνησης η οποία είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, δηλαδή F ay όπου α σταθερά, και θεωρείστε τις αρχικές συνθήκες y(0) A, y(0) 0. Χρησιμοποιώντας τα σωστά (κατάλληλα) χαρακτηριστικά μεγέθη δείξτε ότι η αδιάστατη διαφορική εξίσωση που διέπει την κίνηση του σώματος είναι της μορφής: y ( y) y 0, y(0), y(0) 0 όπου a A m Για επιλύστε το πρόβλημα με την μέθοδο των κανονικών διαταραχών και βρείτε τον κύριο και τον πρώτο διορθωτικό όρο της σειράς. Ποιες είναι οι διαστάσεις των σταθερών ka;, 7. Βρείτε την λύση με τους τρεις πρώτους όρους της σειράς κανονικών διαταραχών (δηλαδή υπολογίστε τη λύση h h ( t) h ( t) h ( t) ) του προβλήματος: 0 dh dt, h(0) 0, h(0), 0 h Προσδιορίστε τον χρόνο t max μέχρι τον όρο τάξης για τον οποίο το h γίνεται μέγιστο. Χρησιμοποιώντας το t max και την λύση που βρήκατε υπολογίστε το hmax h( tmax ) μέχρι τον όρο τάξης. 9

20 8. Θεωρούμε την εξίσωση 4 x x, 0 Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του ασυμπτωτικού αναπτύγματος βρείτε τις τέσσερις ρίζες με προσέγγιση τριών όρων. 9. Με την μέθοδο των ιδιαζουσών διαταραχών επιλύστε τα παρακάτω προβλήματα συνοριακών τιμών: (α) y ( x) y, y(0) 0, y() ln() (β) y ( x) y y 0, y(0) 0, y() όπου 0, 0 x. Πιο συγκεκριμένα, βρείτε την εξωτερική λύση, την λύση στο συνοριακό στρώμα, εφαρμόστε την συναρμογή, και τέλος συνθέστε την ομοιόμορφα προσεγγιστική λύση σε όλη την περιοχή. 0